009 IA I, 3, 4, 5, 6, 7 7 7 4 5 h fx) x x h 4 5 4 5 1 3 1.1........................... 3 1........................... 4 1.3..................................... 6 1.4.............................. 8 1.4.1.............................. 8 1.4.......................... 8 1.4.3...................... 9 1.4.4............................. 1
1.4.5......................... 1 1.5.................................... 13 1.6........................... 15 16 3 18 3.1...................................... 18 3............................................ 3.3............................ 4 3 4.1................................ 4 4............................................ 5 4.3........................................... 8 5 31 5.1................................ 33 5............................. 34 6 37 6.1..................... 38 6........................ 39 6.3................................ 4 7 43 7.1 e........................................ 44 7. e................................. 45 7.3 sin x....................................... 45 7.4 sin x.................................. 47 7.5...................................... 48 7.6......................................... 51 8 5 8.1.......................... 5 8........................ 54 9 56 9.1.......................................... 56 9................................... 56 9.3......................................... 58 9.4......................................... 58 9.5......................................... 63
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34 fx)gx) r n x) x x ) n = x p n x)q n x) r n x) + q n x)rx) + p n x)sx) + Rx)Sx) x ) n = 0 r n x) fx)gx) x = n r n x) r n x) x ) k p n x)q n x) fg) k) ) k! k! fg) k) ) = k! = k l=0 k l=0 = k l=0 f l) ) g k l ) l! k l)! f l) ) g k l ) k l! k l)! = k! l!k l)! f l) )g k l) ) l=0 kcl f l) )g k l) ) k = 1 5. f) = b gy) y = fx) g fx) = gfx)) n gy) b n q n y) fx) n p n x) q n p n x)) x n fx) gy) p n x) = 0 + 1 x ) + + n x ) n q n y) = b 0 + b 1 y b) + + b n y b) n Rx) = fx) p n x), Sy) = gy) q n y)
35 f) = b 0 = b gy) y = fx) g fx) = gfx)) = qfx) b) + Sfx)) = b 0 + b 1 1 x ) + + n x ) n + Rx)) + + b n 1 x ) + + n x ) n + Rx)) n + Sfx)) = b 0 + 1 b 1 x ) + b 1 + 1 b )x ) + + 1 b n + + 1 n b n )x ) n + ux) + Ux)Rx) + Sfx)) ux) q n p n x ) b) x n + 1 Ux) q n p n x ) b + Rx)) Rx) Rx) Sfx)) x x ux) Ux)Rx) = 0, x ) n x x ) n = 0 x ) n = Sfx)) fx) b) n x fx) b) n x ) n ) Sy) = y b y b) n x fx) f0) x ) n = 0 f ) n = 0 r n x) := q n p n x)) x n g fx) = r n x) + ox ) n + ox ) n = r n x) + ox ) n r n x) g fx) n n 6 4 6 fx) = e sin x cos x 0 6. sin x 0 6 p 6 x) p 6 x) = x 1 3! x3 + 1 5! x5
36 sin 0 = 0 e y 0 6 q 6 y) q 6 y) = 1 + y + 1 y + 1 3! y3 + 1 4! y4 + 1 5! y5 + 1 6! y6 cos x 0 6 r 6 x) r 6 x) = 1 1 x + 1 4! x4 1 6! x6 e sin x cos x x = 0 6 q 6 p 6 x))r 6 x) 6 q 6 p 6 x)) 6 q 6 p 6 x)) = 1 + x 13! x3 + 15! ) x5 + 1 x 13! x3 + 15! ) x5 + 1 3! + 1 5! x 1 3! x3 + 1 ) 3 5! x5 + 1 x 13! 4! x3 + 15! ) 4 x5 x 1 3! x3 + 1 ) 5 5! x5 + 1 x 13! 6! x3 + 15! ) 6 x5 6 7 1 + x + 1 x 1 8 x4 1 15 x5 1 40 x6 r 6 x) 6 1 + x 1 x3 1 3 x4 1 40 x5 + 7 90 x6 e sin x cos x x = 0 6 e sin x) = e sin x cos x gx) = e sin x g x) = fx) gx) 0 7 g0) + g 0)x + g 0) g 0) + g 0)x + g 0) x + g 0) 3! = f0) + f 0)x + f 0) x 3 + + g6) 0) 6! x + + g6) 0) 5! x + + f 5) 0) 5! x 5 + g7) 0) x 6 6! x 6 + g7) 0) x 7 7! x 5 + f 6) 0) x 6 6! fx) 0 6 gx) e y y = sin x fx)
37 tn x sin x cos x tn x = sin x cos x = sin x 1 + cos x 1) 1/1 + y) y = cos x 1 sin x 6 6 6 fx) n p n x) p n x) = f) + f ) 1! x ) + f )! x ) + + f n) ) x ) n fx) p n x) x x ) n = 0 3) fx) 3) n p n x) fx) p n x) fx) n p n x) = f) + f ) 1! x ) + f )! fx) R n+1 x) R n+1 x) = fx) p n x) fx) n x ) + + f n) ) x ) n R n+1 x) 10 fx) p n x) fx) n + 1 n + 10 R n+1 x) R nx)
38 R n+1 x) x x R n+1 x) 11 R n+1 x) R n+1 x) 6.1 R n+1 x) x x ) n = 0 4. R n+1 x)/x ) n 0 R n+1 x) x ) n 0 x ) n+1 3) x R n+1 x) = x ) n+1 x R n+1x) n + 1)x ) n = = x R n) n+1 x) n + 1)!x ) = Rn+1) n+1 ) n + 1)! R n+1 x) x ) n+1 = R n+1c 0 ) n + 1)c 0 ) n = R n+1c 1 ) n + 1)nc 1 ) n 1 = R n) n+1 = c n 1) n + 1)!c n 1 ) = Rn+1) c n) n + 1)! c 0 x c 1 c 0... c n c n 1 R n+1 x) fx) n n + 1 R n+1) n+1 x) = f n+1) x) R n+1) n+1 x) f n+1) x) c x R n+1 x) = f n+1) c) x )n+1 n + 1)! 11
39. fx) = f) + f )x )+ f ) x ) + f ) x ) 3 3! + + f n) ) x ) n + f n+1) c) x )n+1 n + 1)! c x n + 1 n = 0 fx) = f) + R 1 x), R 1 x) = f c)x ) n > 0 R n+1 x) f n+1) x) R n+1 x) c n R n+1 x) 6. 3.1 f n+1) x) 0 fx) n gx) = g) + g t)dt n + 1 fx) f n+1) x) n + 1 f n+1) x) 0 R n+1 x) fx) R n+1) n+1 x) = f n+1) x)
40 R n+1 x) f n+1) x) n + 1 R n+1 x) f n+1) x) f n+1) x) = R n+1 n+1) x) f n) x) R n+1 n) x) f n) x) = f n) ) + f n+1) t)dt n R n+1 n) x) fx) = f) + f )x ) + + f n) ) x ) n + R n+1 x) n f n) x) = f n) ) + R n+1 n) x) f n 1) x) R n+1 n 1) x) f n 1) x) = f n 1) ) + = f n 1) ) + f n) t)dt f n) ) + = f n 1) ) + f n) )x ) + t ) f n+1) s)ds dt t ) f n+1) s)ds dt R n 1) n+1 x) f n+1) x) x x f n+1) x) = x t sdsdt = f n ) x) = f n ) ) + = f n ) ) + 1 t )dt = 1 6 x3 3 x 3 + 3 3 ) f n 1) t)dt f n 1) ) + f n) )s 1 ) + t s f n+1) s 1 )ds 1 ) ds )dt = f n ) ) + f n 1) )x ) + f n) ) x ) t s ) ) + f n+1) s 1 )ds 1 ds dt R n ) n+1 x) f n+1) x) = 0 + R n+1) n+1 x) R n+1x) R n+1 ) = R n+1) = R n+1) = = R n) n+1 ) = 0
41 0 n + 1 R n+1) n+1 x) = f n+1) x) gx) hx) gt)ht)) = g t)ht) + gt)h t) gb)hb) g)h) = b = b b g t)ht) + gt)h t)) dt g t)ht)dt + gt)h t)dt = gb)hb) g)h) b b gt)h t)dt g t)ht)dt fx) fx) f) = f t)dt 4) x b x t x gt) = f t), h t) = 1 1 ht) 1 t + c c ht) = t + c fx) f) = f t) t + c) dt = f x)x + c) f ) + c) f t)t + c)dt f )x ) c = x 1 fx) f) f )x c) = f t)x t)dt t x) = x t) R x)
4 gt) = f t), h t) = x t) ht) x t) ht) = 1 x t) f t)x t)dt = 1 f x)x x) + 1 f )x ) + fx) f) f )x ) f ) x ) = R 3 x) R n+1 x) = f n+1) t) x t) n dt f t) f t) x t) dt x t) dt f n+1) x) f n+1) x) R n+1 x) 6.3 1.6 R n+1 x) = f n+1) t) x t) n dt x t) n 1.6 φt) = x t) n
43 φt) 0 x > x < n φt) = x t) n x > x > φt)dt R n+1 x) = f n+1) t) φt)dt = f n+1) c) φt)dt < c < x) ] x φt)dt = x t) n x t)n+1 x )n+1 dt = [ = n + 1 n + 1 R n+1 x) = f n+1) c) x )n+1 n + 1)! R n+1 x) = f n+1) c) x c) n x ) < c < x or x < c < ). x t) n x t) 0 x t) k, k = 1,,..., n 1 m n + 1 R n+1 x) = φt) = x t) m 1 f n+1) t) x t) n dt = f n+1) x c)n m+1 c) = f n+1) c) x c) n m+1 x ) m m x t) m 1 dt c x m = 1 m = n + 1. I 7
44 7.1 e e x 0 e 3 4 8 4 8 e 3 0 < e 3. e x 0 7 e x = 1 + x + x + x3 3! + + x6 6! + ec x 7 7! c 0 x x = 1 e 0 < e 3 0 < c < 1 1 7! = e0 1 7 < ec 7! 7! < e1 1 7 3 7! 7! 1 + 1 + 1 + 1 3! + + 1 6! + 1 7! < e < 1 + 1 + 1 + 1 3! + + 1 6! + 3 7!.71853 < e <.718650 e =.718 n = 7 3 R 7 1) 0.001 4 7 46 e = 1 + 1 ) n n n n 1 + 1/n) n n = 1 8.5657845139.5 9.5811747917 3.3703703703 10.593744601 4.4414065 0.653977051 5.4883 30.6743187758 6.51663717 50.691588090 7.5464996970 100.704813894
45 3 y 3 n = 1 log y e x e x 7 6 5 4 3 1 O 1 n = 0 x log e = 1 O 1 1 n = 0 x 6: e x 7. e e + e 4 9 e. e = p/q p q q > e e x 0 q x = 1 q! e = 1 + 1 + 1 + 1 3! + + 1 q! + ec q + 1)! 0 < c < 1) q!e = q! + q! + qq 1) 5 4 3 + qq 1) 5 4 + + 1 + ec q + 1 e c /q + 1) e c /q + 1) 0 < c < 1 0 < e c < e < q + 1 0 < e c /q + 1) < 1 7.3 sin x e sin 1 4 7
46 4 7 sin 1 3. sin x 0 n sin x = x x3 3! + x5 5! + 1)n 1 x n 1 n 1)! + R n+1x) R n+1 x) sin x n + 1 1) n cos x R n x) = 1) n cos c n + 1)! xn+1 c 0 x x = 1 sin 1 = 1 1 3! + 1 5! + 1)n 1 n 1)! + 1)n cos c n + 1)! c 0, 1) 0, 1) 0 < cos c < 1 0.000 < 1 7! < 1)3 cos c 7! 1 1 3! + 1 5! = 0.8416666 < 0 0.841 < 0.8416 0.000 < sin 1 < 0.8416 + 0 < 0.84 sin 1 = 0.841 n sin 1 3 3 0.001 1/7! < 0.000 7 sin 1 3 6 x = 1 0.841 0.841 < 0.8419 = 0.841 0.000 < sin 1 < 0.841 0.000 3 1 n = 7 sin 1 3 n = 7
47 7.4 sin x sin x cos x e x e x x > 0 sin x 0 < x < π/ x 0 < x < π/ sin x cos x 1) n x π/ 0 < x < π/ n 1 p n 1 x) n p n x) x 0 n p n 1 x) = p n x) sin x n p n 1 x) = p n x) sin x 7 y p 1 = p p 5 = p 6 p 9 = p 10 p 13 = p 14 sin x O x p 15 = p 16 p 3 = p 4 p 7 = p 8 p 11 = p 1 7: x = 0 sin x n R n 1 x) = R n x) 0 n R n 1 x) = R n x) 0 R n 1 x) R n x) R n x) gx) x = m q m x) R m x) gx) = q m x) + R m x) = q m 1 x) + R m 1 x), q m x) = q m 1 x) + gm) ) x ) m m!
48 m m 1 R m x) = R m 1 x) gm) ) x ) m m! sin x m = n + 1 R n+1 x) = R n x) 1)n n + 1)! xn+1 R n x) = R n 1 x) R n+1 x). R n x) n n + 1 n R n+1 x) 0 n R n+1 x) 0 sin x 0 n 0, x) c sin x = 0 + 1x + 0x + 1 3! x3 + 0x 4 + 1) x 5 + 5! + 0x n + 1)n 1 n 1)! xn 1 + 0x n + 1)n cos c n + 1)! xn+1 = n 1 k=0 1) k k + 1)! xk+1 + 1)n cos c n + 1)! xn+1 R n+1 x) = sin x p n+1 x) = 1)n cos c n + 1)! xn+1 1)n n + 1)! xn+1 cos c 1 0 = 1)n x n+1 cos c 1) n + 1)! n R n+1 x) 0 n R n+1 x) 0 7.5 e sin 1 e x sin x n e sin cos log 1+x) α fx) = 1 + x) α 0
49 f x) = α1 + x) α 1 f x) = αα 1)1 + x) α. f n) x) = αα 1) α n + 1)1 + x) α n. α n ) = αα 1) α n + 1) n p n x) = k=0 α n ) x n R n+1 x) = α n + 1 ) 1 + c) α n 1 x n+1 3 8 4 3 8 = 1+7) 1/3 x = 8. 3 3 = 7 3 3 8 8 = 3 1 7 = 3 3 + 17 = 3 1 + 1 ) 1 3 7 31 + x) 1/3 0 x = 1/7 fx) = 31 + x) 1/3 f x) = 1 + x) 3 f x) = 3 1 + x) 5 3 f x) = 5 3 3 1 + x) 8 3 31 + x) 1 3 = f0) + f 0)x + f 0) x + f c) x 3 = 3 + x x 3! 3 + 5x 3 71 + c) 8/3 c 0 x x = 1/7 3 3 8 = 3 + 1 3 3 1 3 7 + 5 3 1 1 + c) 8/3 3 + 1 3 3 1 3 7 = 3.03657
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54 b f) + f )b ) + f ) b ) + = fb) fx) fx) 13 8. fx) n=0 n S 0, 0 + 1, 0 + 1 +,..., n k, S n S n n=0 n S S n = S n S n S S n S S S n = 0 n n=0 n fx) x = b fb) fx) n p n x) p n x) = f) + f )x ) + f ) x ) + + f n) ) x ) n 13 k=0
55 x = b n p n b) S n p n b) n=0 f n) ) b ) n = fb) fb) p nb) = 0 n fb) p n b)= R n+1 b)) b c b f n b) p n b) = b b x) n f n+1) x)dx f n b) p n b) = f n+1) c) b )n+1 n + 1)! c f n b) p n b) = f n+1) c) b )b c) n 0 S S n S 0 1 n n + n n n n = r n S = 1/1 r) S 0 1 n = rn+1 1 r fb) p n b) n + fb) p n b) 0
56 fx) R n+1 x) = fx) p n x) R n+1 x) 0 fx) R n+1 x) fx) log1 + x) 9 9.1. fx) n 0 n n 0 n p n x) n fx) p n x) n R n+1 x) = fx) p n x) n R n+1 x) R n+1 x) x x ) n = 0 n 0 x fx) p nx)) = R n+1x) = 0 = 0 n n n fx) x fx) n n 0 fx) 9. e x, sin x, cos x 0 x x n n = 0
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59 1 5 5 log1 + x) x = 0 1 < x 1 log1 + x). x 1 < x 1 n n 0 1 < x < 0 fx) = log1 + x) f n+1) x) = 1) n 1 + x) n+1 log1 + x) x = 0 n 1) n 0 x t) n dt 1 + t) n+1 0 x 1 0 t x 1 + t 1 0 0 x t) n 1)n 1 + t) 0 x 1 x t)n x t)n 1 + t) n+1 n+1 dt x t) n dt = xn+1 n + 1 0 x n+1 n n + 1 = 0 0 x 1 log1 + x) 1 < x < 0 x t 0 t 1 + x 1 + t x t n 1 + t) n x n 1 t ) n x 1 + x 1 + t 1 t x < t < 0 1 t x 1 + t < 1
60 x t) n 1)n 1 + t) 0 n+1 dt 0 x < x n 1 + x 1 < x < 0 x t n 0 dt 1 + t) n+1 x n x n 1 + x = 0 x n 1 + x 1 t x 1 + t n dt < x n 1 + x 1 < x < 0 log1 + x) x 0 1dt fx) = log1 + x) f n+1) x) = 1) n 1 + x) n+1 log1 + x) x = 0 n f n+1) θx) x θx) n x = 1) n 1 θ)n x n+1 1 + θx) n 0 < θ < 1) 1 < x 0 < θ < 1 0 < 1 θ < 1 + θx 0 < 1 θ 1 + θx < 1 x 1 1 1)n θ)n x n+1 ) n 1 θ 1 + θx) n = x n+1 n 0 1 + θ. log1 + x) = 0 1 dt 1 + t 1 + x)1 x + x + + 1) n 1 x n 1 ) = 1 + 1) n 1 x n 1 1 + x = 1 x + x + 1) n 1 x n 1 n 1 xn + 1) 1 + x 1 x log1 + x) = x x + x3 xn + 1)n 1 3 n + 1)n 0 t n 1 + t dt
61 log1 + x) x = 0 n n 0 x 1 0 1) n t n 1)n 1 + t dt x 1 < x < 0 t n 1)n 1 + t dt x = s n 1 s ds 1 1 + x 0 0 0 0 t n 1 + t dt t n dt = xn+1 1 + x x 0 s n ds = n 0 x n+1 n 0 n + 1)1 + x). 5. 1 < 1 Rn+1) = 0 n R n+1 x) R n+1x) = 1 1 + x 1 + x x + 1) n 1 x n 1 = 1 1 + x) 1 x + x + 1) n 1 x n 1) 1 + x R n+10) = 0 = 1) n x n 1 + x R n+1 ) = R n+1 ) R n+1 0) = R n+1 c) = 1) n 1 + c c 0 1 < 1 1 < c < 1 n c n 0 R n+1 ) 0 c n x > 1 x < 1 log1 + x) log1 + x) k=0 k S n = n = 0 8) n n k, S = k=0 k=0 k
6 n = S n S n 1 n S S = 0 0 0 log1 + x) x = 0 k 1 xk 1) k = x x + x3 3 x4 4 + x5 5 k=1 x > 1 8) x > 1 x n + 1 = 1 n n N N n n + 1 < x n N N n x n+1 n + 1 = x xn n n n + 1 = x n n x n n + 1 > N x n n x n n + 1 n n n n + 1 = x n n 0 log1 + x) 0 x > 1 x = 1 x < 1 x = 1 log1 + x) = log 0 log1 + x) 0 x x + x3 3 x = 1 + 1)n 1 xn n + 1 + 1 + 1 3 + + 1 n + n 1/n = 0 x > 1 fx) = 1/x 8 1 n > 1 + 1 + 1 3 + + 1 n > n+1 1 n+1 n 1 x dx 1 n dx = logn + 1) + x
63 1 n y = 1 x n n + 1 x 8: n + 1 n+1 1/ n+1 1 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + + 1 8 + 1 9 + + 1 16 + 1 17 + 1 + 1 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + + 1 8 + 1 16 + + 1 16 + 1 3 + n + 1 n+1 1/ 1 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 + 1 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = + 9.5 1 + x) α α = 1 x < 1 1/1 + x) α 0 ) n α p n x) = n k=0 x n p nx) = 1 + x) α x < 1 n
64 α α n ) = αcn n > α 0 x < 1 x O.K.. R n+1 x) = f n+1) hx) xx hx) n = α n + 1 ) n + 1)1 + hx) α n 1 x n+1 1 h) n 1 h n ) ) n α k 1 h R n+1 x) = α 1 + hx) α 1 x n+1 k 1 + hx k=1 14 x < 1 1 h 1 + hx < 1 0 < h < 1 α > 1 1 + hx) α 1 < 1 + x ) α 1, α < 1 1 + hx) α 1 < 1 x ) α 1 gx) = 1 + x ) α 1 + 1 x ) α 1 1 + hx) α 1 < gx) x R n+1 x) < αx gx) n 1 + α ) x k k=1 1 + α ) x m < 1 m R n+1 x) < αx gx) m 1 k=1 1 + α k ) x R n+1x) = 0 n 14 n k=1 c k = c 1 c c n n k=1 1 + α m ) x n m+1
65. 1 + x) α 0 n=0 α n tn x 1 ) x n 10 C 10.1 fx) fx) C 10. φx) φx) = { e 1 x x 0 0 x = 0 C 0 x 0 φx). x 0 C C φx) C x = 0 φx) x = 0 1 x 0 e x = 0 x 0 e 1 x 0 = 0 x
66 15 φx) x = 0 0 x 0 x e 1 3 x 0 = 0 x φx) x = 0 0 n x 0 e 1 x x n = 0 φx) x = 0 x = 0 0 φx) C n φ n) 0) = 0 φx) 0 0 + 0x + 0x + = 0 x 0 x 0 x 0 φx) > 0 x = 0 φx) 10.3 ψx) ψx) = e 1 x 1 x e t dt x 0 0 x = 0 ψx) C 0 ψx) 0 x 15 y = 1 x