数学第 3 学年安芸高田市立美土里中学校指導者瀬沢真範 単元名 名刺交換の回数から全体の人数を求めよう ~ 二次方程式 ~ 本単元で育成する資質 能力, 挑戦力, コミュニケーション能力 平成 29 年 7 月 7 日 金 第 5 校時 第 3 学年男子 11 名女子 13 名計 24 名 研究主題 主体的に学び表現する児童生徒の育成 ~ 資質 能力の育成を目指す 学び合い の授業づくりを通して ~ 1 単元観本単元は, 中学校学習指導要領数学第 3 学年 2 内容 A 数と式 3 二次方程式について理解し, それを用いて考察することができる を受けて設定した 第 1 学年では, 一元一次方程式とその解の意味について理解するとともに, 等式の性質や移項の考えを用いて方程式を解く方法を学習し, 代数的な操作のよさを理解している 第 2 学年では, 連立二元一次方程式とその解の意味について理解し, 一元一次方程式に帰着させて解く方法として, 加減法や代入法について学習している 第 3 学年では, 因数分解や平方根について学習し, 二次方程式を解くための基礎を培っている その上で, 二次方程式を解くことができるようにする また, 具体的な問題解決の場面で二次方程式を活用できるようにするとともに, 方程式をこれまでより多くの日常生活の場面で問題解決に活用できるようにする 2 生徒観平成 28 年度の広島県 基礎 基本 定着状況調査生徒質問紙において, 数学の授業では, 問題を解くときには, 前にならったことが使えないかいつも考えています の問いに対して, 肯定的な回答が 78.2% であり, 既習事項をもとにして課題解決につなげていこうとする考え方が概ね定着している また, 昨年度から本校が取り組んでいる 学び合い の授業について,75.0% の生徒が肯定的に捉えている ペア活動やグループ活動でお互いの意見を共有し, 多様な意見に触れ, 他者との考えを比較することで新たな可能性を見出そうとしている しかし, 平成 28 年度の広島県 基礎 基本 定着状況調査において, 判断の理由を数学的な表現を用いて説明する問題での平均通過率は 69.6%, 数量の関係を文字を用いた式で表す問題においても平均通過率は 69.6% であった また, 事前アンケートにおいても, 数学の授業では, 理由をあげて自分の考え方や解き方を説明しています の問いに対して肯定的な回答は 25.0% となっており, 根拠を挙げ数学的な用語を使って説明することに課題がある 3 指導観根拠を明確にし, 説明する活動については, 数学科の全領域で, なぜ どのようにして と問うことを指導者は意識して指導してきたが, 生徒に十分意識させきれていなかった そこで本単元では次の点に留意して指導を行う 1 計算方法を帰納的に見いだすための数学的活動を行う 2 既習事項の用語や定理などを小黒板にまとめ, 提示することで, 数学的な用語を使った言語活動の手助けとする 3 お互いの気付きを出し, そのことを比較 類別 類推することが協働してできる 学び合える場 を設定するために, ペア活動やグループ活動を取り入れていく これらの指導を通して, 思考場面において既習内容についての学び直しや捉え直しをさせることで, 学習内容の深い学びにつなげていきたい 単元の指導を通して, 既習事項である等式の性質や因数分解, 平方根の学習を拠り所としながら, 効率的な二次方程式の解き方を見いださせていきたい また, 因数分解による解き方と平方根の考えによる解き方を比較させ, 二次方程式も二元一次連立方程式と同様に, 一元一次方程式に帰着させて考えればよいことに気付かせたい その上で, 二次方程式の一般式 ax 2 + bx + c = 0 の場合はどのように考えていけばよいのかということから, 平方完成や二次方程式の解の公式につなげていきたい 二次方程式の利用では, 単に二次方程式の解をすぐに解答とするのではなく, その解が問題の意味にあっているのかを吟味することの必要性を感じさせていきたい 本単元では, 名刺交換の回数から全体の人数を求めることができる という課題を設定する 全体の人数という未知数を求めることから方程式を用いるという見通しをもたせながら, これまで学習した一元一次方程式や二元一次連立方程式では解決できないことから, 新たな方程式として二次方程式を解くことの必然性を感じさせていきたい
4 単元の目標 学習指導要領との関連 1 二次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること 2 因数分解したり, 平方の形にしたりして二次方程式を解くこと 3 解の公式を知り, それを用いて二次方程式を解くこと 4 二次方程式を具体的な場面で活用すること 5 単元の評価規準 ア関心 意欲 態度 イ思考 判断 ウ技能 エ知識 理解 1 具体的な事象を通して, 二次方程式やその解に関心を持ち, 自分なりの方法で解を求めようとする 2 因数分解を利用して二次方程式が解けることに関心をもち, それを利用して二次方程式を解こうとする 3 平方根の考えを利用して二次方程式が解けることに関心をもち, それを利用して二次方程式を解こうとする 4 具体的な場面で, 二次方程式を利用して問題を解決しようとする 1 具体的な事象の中には, 二次方程式で表 1 二次方程式に値を代入して, その数が解 1 二次方程式とその解を理解している される関係があることに気付き, その解の意味を考察することができる であるかどうかを確かめることができる 2 二次方程式と解くには, 因数分解や平方根の考え方を利用できるという見通しをもつことができる 3 = 0 ならば 2 因数分解を利用し 2 二次方程式の解は, 一 = 0 または = 0 て, 二次方程式を解 般に2つあることを の性質を適用する くことができ, その 理解している と, 因数分解を利用 手順を説明すること 3 因数分解による二次 して二次方程式が解 ができる 方程式の解き方を理 けることを考察する 解している ことができる 4 平方根の考えを利用 3 平方根の考えを利用 4 平方根の考えによる して二次方程式が解 して, 簡単な二次方 簡単な二次方程式の けることに気付き, 程式を解くことがで 解き方を理解してい 二次方程式の解き方 き, その手順を説明 る を考察することがで することができる 5 x 2 + x + = 0 の形 きる の二次方程式も, x + 2 = の形に変 形すれば解けること を理解している 5 具体的な場面で数量 4 簡単な二次方程式を 6 二次方程式を利用し の関係をとらえ, 二 つくったり, 解を求 て問題を解決する手 次方程式をつくるこ めたりすることがで 順を理解している とができる きるとともに, 解の 6 二次方程式の解の適 適否を説明すること 否について考察する ができる ことができる
6 本単元において育成しようとする資質 能力とのかかわり 本校で育成したい資質 能力は,1 コミュニケーション能力 2 3 挑戦力 4 協働性 5 自己肯定感 6 よりよく生きようとする力の 6 つである そのうち, 本単元で重点 的に指導したい資質 能力は以下の 3 つである 育成したい資質 能力 本単元の学習を通して目指す姿 と育成するための支援 工夫 スキル 意欲 態度 スキル 1 2 挑戦力 3コミュニケーション能力 課題解決の際, 自ら求めて様々な資料を検索することで情報を収集し, 必要な知識 情報を選択し, それを根拠として自分の考えや他者の考えを補強 修正することができる 既習事項や本時での獲得した知識や情報をもとに課題を解決していく 困難な課題や初めての状況に直面した際, 自分のこれまで学んできたことを活用したり, 他者と協力したりすることで, あきらめることなく解決案を生み出したり, 計画を見直したり, 実践したりしようとする 単元を貫く学習課題 単元のゴール を常に意識して学習に取り組んでいる 相手のことを考え, 根拠をもって自分の考えを分かりやすく説明することができる 相手の思いや立場を尊重して受け止め, 課題解決に向けて話合いを深めることができる 仲間との建設的な対話を通して, 自分たちの考えをよりよくしていこうとする 7 指導と評価の計画 全 17 時間 次時学習内容 評 価 関考表知評価規準評価方法 課題の設定 情報収集 単元を通して学ぶ課題名刺交換の回数から全体の人数を求めることができる 問題名刺交換を全員で 45 回行ったときの人数は何人でしょう 表や樹形図などを用いて課題を解決する イ 1 方法を探る エ 1 第一次 二次方程式とその解 2 班の中で名刺交換をしたときの回数を確認し, それを学級全体に広げた場合にはどのようにすればよいかを考えることを通して, 効率的に求める方法を考える必然性を感じる 効率的に課題を解決する方法を考えることを本単元の課題として意識する 人数 未知数 を求めることから, 方程式を立てて考えればよいという見通しをも ウ 1 つ 問題 1 辺が xm の正方形の土地の横を 4m 延ばし, 縦を 2m 縮めて面積が 16m 2 長方形の土 地を作った 正方形の一辺の長さを求める式を作りなさい 式を整理し, 二次方程式を定義する 解の意味を確認する コミュニケーション能力
整理 分析 前時の内容から, 二次方程式の解き方を考 ア 1 える イ 2 第二次 因数分解による解き方 5 課題 1 拓海さんは, 二次方程式の解き方を考えています いくつかの二次方程式をつくり, 下のように考えました 拓海さんの考えの続きを説明してみましょう 拓海さん オは x x-8=0 のことだから, 数の計算と同じように考えると, x と x 8 のどちらかが なぜ解が 2 つあるのか なぜ因数分解で解けるのか 本時 問題 1 二次方程式 x 2 5x + 6 = 0 を解きなさい 2 二次方程式 x 2 6x + 9 = 0 を解きなさい 3 二次方程式 x 2 16 = 0 を解きなさい 因数分解を用いて, 二次方程式を解く ア 2 イ 2 イ 3 ウ 2 エ 2 エ 3 問題二次方程式 x + 2 2 = x + 4 解きなさい ア2 ウ2 エ3 左辺に全部の項を集めて, 因数分解をす る 第三次 平方根を利用した解き方 3 整理 分析 実行 次の方程式を解きなさい 1 3x 2 6 = 0 2 x 2 2 = 9 平方根の考えを使って解く 次の方程式を解きなさい 1 x 2 + 6x 1 = 0 2 x 2 + 5x + 6 = 0 x + 2 = という形の式をつくって 平 方完成の考えを使って 解く 挑戦力 ア3 イ4 ウ3 エ4 エ5 ウ4
まとめ 創造 表現 振り返り 縦 5m, 横 8mの長方形の土地に, 右の図のように幅は一定の道と花壇を作ります 花壇の面積を 10m 2 にするには, 道の幅を何 mにすればよいですか 問題から二次方程式を導き, 問題に適した ア 4 解を求める コミュニケーション能力 イ 5 イ 6 2,3,4 のように連続する 3 つの整数があります 大きい方の 2 つの整数の積は, 3 つの数の和の 2 倍になります これらの 3 つの整数を求めなさい 第四次 二次方程式の利用 7 問題から二次方程式を導き, 問題に適した解を求める 挑戦力長さ 10 cmの線分 ABがあります 点 PはAを出発して毎秒 1cmの速さでBまで動きます このとき,AP,PBを1 辺とする2つの正方形の面積の和が 58 cm 2 になるのは, 点 PがAを出発してから何秒後ですか ウ 4 エ 6 問題から二次方程式を導き, 問題に適した ウ 4 解を求める 挑戦力 イ 6 エ 6 実行 振り返り 単元を貫く課題の解決 名刺交換を全員で 45 回行ったときの人数は何人でしょう 二次方程式 2 = 45 を解く ア 4 イ 6 は自然数であることに留意して解答を ウ 4 求める 挑戦力
8 本時について 1 本時の目標 二次方程式を効率よく解く方法を見つけることができる 2 観点別評価規準 二次方程式やその解に関心をもち, 既習内容を活用しながら, 二次方程式の効率的な解の求 め方を考えている 二次方程式を解くには, 因数分解や平方根の考え方を利用できるという見通しを持つことが できる 3 学習の展開 学習内容 1 既習事項の確認 二次方程式の確認 指導上の留意点 配慮を要する生徒への支援 予想される生徒の反応 前時の解の求め方を振り返る 前時の解の求め方が効率が悪いことに気 づき本時の目標につなげる 2 本時の課題を把握し, 課題解決へ向けての見通しをもつ 本時の目標二次方程式を効率よく解く方法を見つけることができる 評価規準 評価方法 教科の指導事項 育成したい資質 能力 導 入 課題 1 拓海さんは, 二次方程式の解き方を考えています いくつかの二次方程式をつくり, 下のように考えました 拓海さんの考えの続きを説明してみましょう ア x 2 + 2x 15 = 0 イ x 2 = 4 ウ x 2 25 = 0 エ x 2 + 6x 5 = 0 オ x x 8 = 0 カ x 3 2 = 5 拓海さん オは x x 8 = 0 のことだから, 数の計算と同じように考えると,x と x 8 のどちらかが 課題解決の見通しを もつ 拓海さんの考えは, 因数分解を使っていることを確認する 因数分解を使って二次方程式を解く方法の要点をおさえる 3 課題の解決課題 2 ア~カの方程式はすべて解くことができるでしょうか 拓海さんの考えやその他の考えを利用して解いてみよう 展 開 グループで交流する グループで課題解決に取り組んでいる際, 指導者は基本的に見守るという立ち位置でいる グループの話し合いに声をかける場合は, まずグループでの協議の様子を把握して判断する 生徒の声を聴く グループ協議が行き詰まっている場合は, 二次方程式やその解に関心をもち, 既習内容を活用しながら, 二次方程式の効率的な解の求め方を考えている ア1, 課題解決の際, 必要な知識
展 開 全体で練り合い, 考え を深める 新たな課題の発見 指導者が支援するのではなく, 他のグループと困っていることを共有し, 課題解決の糸口を見出させる 生徒をつなぐ グループの中で他の生徒とつなぐ グループ協議は意見を一つにまとめることが目的ではなく, 個々に考えをもたせるために行わせる 生徒にもどす アの方程式は右辺が0で, 左辺が因数分解できるので拓海さんと同じ考え方で解ける イの方程式は4を左辺に移項すると右辺が0になり, 左辺が因数分解できるので拓海さんと同じ考え方で解ける ウの方程式は右辺が0で, 左辺が因数分解できるので拓海さんと同じ考え方で解ける イとカの方程式は同じ平方根の考えを使うと解くことができる エの方程式は解くことができない エの方程式を解く方法はないだろうか 因数分解では解けない方程式があることを確認する 式変形の方法までたどり着けなくても, 式変形をすれば解けそうだということに気付ければよい 情報を選択し, それを根拠として自分の考えや他者の考えを補強 修正することができる 振り返り 5 今日の学習を振り返る ま と め 自己評価する 今日の授業で気付いたことや難しかったことをにまとめさせる それぞれの方法について, 後日具体的な解き方を確認していくことを伝える 二次方程式は, 因数分解や平方根の考えを使うと解くことができる場合もある すべての二次方程式が解けるわけではなかった 二次方程式を解くには, 因数分解や平方根の考え方を利用できるという見通しを持つことができる イ2