平成 4 年度高知県算数 数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例 問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが 回足したことになる オ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+5 =50 縦の和は,50 =5 とわかる アからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5) =10 よって, ウとエの組み合わせは,1 から 9 までで,1,9,5 を用いない合計 10 となる 数の組み合わせである したがって, 答えは と 8,3 と 7,4 と 6 である 答え と 8,3 と 7,4 と 6 1と同じように, 縦の和と横の和の合計は, オだけ 回足した合計オ= x なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+ x = x +45 縦の和 = 横の和 = y なので, y x 45 y y x 45 y x 45 答え y x 45 3 オが 4 のとき, より縦に並んだ合計は, 4 45 49 4.5 しかし, 他の には 1 から 9 の自然数しか入れることがで きないので, 合計が小数になることはあり得ない 4 よって, この場合はできない
() 1 左の図のように, 各辺の和を X,Y,Z にすると, X+Y+Z=1++3+4+5+6+7+8+9+ ア + エ + キア =1, エ =, キ =3,X=Y=Z なので, X+Y+Z=45+1++3 3X=51 X=17 よって, 各辺が 17 になる数の組み合わせを考えると答えのようになる 1 と同じように考えると, 各辺の和は, 1++3+4+5+6+7+8+9+4+5+6=60 よって,1 つの辺の和は 0 になる 1 ただし, 頂点を除くとなり合った つの数は入れかえが可能 ただし, 頂点を除くとなり合った つの数は入れかえが可能 数の和 17 数の和 0 3 3つの辺の和の合計は,3 3=69 69-(1++3+4+5+6+7+8+9)=4 1,の考えから3つの頂点の合計が4とわかる 1から9のそれぞれ3 数を使って4になるのは, 7,8,9の組み合わせしかないので, それぞれの頂点は,7,8,9とわかる 1,と同じように組み合わせを考えると, 右のような答えになる ただし, 頂点を除くとなり合ったつの数は入れかえが可能 4 3つの頂点の数をA,B,Cとしたとき,3 辺の和の合計は, 1++3+4+5+6+7+8+9+A+B+C=45+A+B+C 各辺が同じになる には, これが必ず 3 で割りきれなければならない 45 3=15 で 3 で割りきれるので, A+B+C も 3 で割りきれなければならない よって, 各頂点の合計は必ず 3 の倍数になる組み合わせでなければいけないことがわかった
問題 (1) 1 ABC の面積を a, ABF の面積を b とすると, a は AC を底辺とし, 頂点 B から垂線を引き, 高さとする三角形 の面積, b は AF を底辺とし, 頂点 B から垂線を引き, 高さとする三角形 の面積といえる 条件より,AC と AF は一直線上にあり,AC=AF である よって, a b また, BDF の面積を c としたとき, b は AB を底辺とし, 頂点 F から垂線を引き, 高さとする三角形 の面積, c は BD を底辺とし, 頂点 F から垂線を引き, 高さとする三角形 の面積といえる よって, b c ここで, a b c ということがわかる 左の図のように, BCD, CDE の面積を, それぞれ d, e とすると, 同様に考えて, a d e 同様に, ACE, AEF の面積を, それぞれ f, g とした ときも, a f g したがって, a b c d e f g となり, DEF= a b c d e f g = a a a a a a a = 7 a である 答え 7 倍 左の図のように, 問題に示されたそれぞれの点を G,H とする と,1 と同様の考えから, ABC と AGB は同じ長さの AC, AG を底辺とし, 同じ頂点 B までの垂線を高さとするので, ABC= AGB= a また, AGB, BGH, HGD の 3 つの三角形を考えた ときも同様で, 全て面積は等しく, a よって, ADG=3a また, 同様に, ADGと GDFを考えたときも, ADG= GDF=3 a, ADF= 6a とわかる 同じように, BDEも CEFも 6a となり, DEF= ABC+ ADF+ BDE+ CEF = a 6a 6a 6a =19 a である 答え 19 倍
3 左の図のように, 問題に示されたそれぞれの点を G,H,I,J とすると,1, と同様に, ABC= AGB= BIG= IJG= JDG= a なので, AGD= 4a また, AGD= GHD= HFD= 4a よって, ADF=1a 同じ考え方により, BDE= CEF=1a となり, DEF= ABC+ ADF+ BDE+ CEF = a 1a 1a 1a =37 a である 答え 37 倍 4 1~3をまとめて考えると, 1BC=AB,CE=BC,AF=CAのときは, (-1) 3 +1=7( 倍 ) ADFに含まれる ABCと同じ面積をもつ三角形の数 ADF BDE CEF ABC BC=AB,CE=BC,AF=CAのときは, 3 (3-1) 3+1=19( 倍 ) 3BC=3AB,CE=3BC,AF=3CAのときは, 4 (4-1) 3+1=37( 倍 ) このことから,BC=10AB,CE=10BC,AF=10CA のときは, 11 (11-1) 3+1=331( 倍 ) 答え 331 倍
() 1 (1) と同様の考えから, ABC= BPC= CQP= a である よって, BPQ= a また, ACD= DRA= ARS= b であるから, DRS= b したがって, BPQと DRSの面積の和は, a b になる 答え BPQ+ DRS= a b 下の図のように, BCD の面積を d, ABD を e とすると, これまでの考え方より, CQR= d ASP= e とわかる 四角形 PQRS= BPQ+ DRS+ CQR+ ASP+ 四角形 ABCD = a b d e + 四角形 ABCD = a b d e + 四角形 ABCD a b, d e は, それぞれ四角形 ABCDの面積に等しい よって, 四角形 PQRS= 四角形 ABCD+ 四角形 ABCD+ 四角形 ABCD したがって,5 倍である =5 四角形 ABCD 答え 5 倍
問題 3 (1) 7 番目は,6 番目の5-1=4 9 番目は,() の8 番目 -1=6-1=5 11 番目は,() の10 番目 -1=7-1=6 答え 7 番目 4 cm 9 番目 5 cm 11 番目 6 cm () 8 番目は,(1) の7 番目 +=4+=6 10 番目は,(1) の9 番目 +=5+=7 1 番目は,(1) の11 番目 +=6+=8 答え 8 番目 6 cm 10 番目 7 cm 1 番目 8 cm (3) 奇数番目を順に見てみると,1 番目 3 番目 5 番目 7 番目 9 番目 1 番の 1 cmから 番進むごとに 1 cmずつ増えている 1 cm cm 3 cm 4 cm 5 cm n 1 そのため, 奇数の n 番目の半径はcmと考えることができる また, 偶数番目を順に見てみると, 番目 4 番目 6 番目 8 番目 10 番目 と, 番の 3 cmから 番進むごとに 1 cmずつ増えている 3cm 4cm 5cm 6cm 7cm (1+) (+) (3+) (4+) (5+) n そのため, 偶数の n 番目の半径は cmと考えることができる
(4) (3) で考えたことより, 30 30 番目の半径は 17 cm 31 1 31 番目の半径は 16 cm 3 3 番目の半径は 18 cm よって,17+16 +18=67( cm ) 答え 67 cm (5) 円の中心間の距離をまとめると, 次のようになる 1 番目 ~3 番目 番目 ~4 番目 3 番目 ~5 番目 4 番目 ~6 番目 5 番目 ~7 番目 6 番目 ~8 番目 中心間 の距離 1+3 + =9 3+ +4 =11 +4 +3 =13 4+3 +5 =15 3+5 +4 =17 5+4 +6 =19 よって, n 番目と n 番目の距離は, n 7 といえる これが 111 cmとなるので, n 7 111 n 111 7 n 104 n 5 答え n 5