偶数ゼータの公式

4 偶数ゼータの公式 ゼータ母関数 で得られた偶数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった 本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 4 cot x 系ゼータの公式 公式 4 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とし n を自然数とするとき 0< x <2 について次式が成立する ( 2n ) = x r= 特に x= のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n () s B 2 2 ( rx) sin rx B 2n x 2n 2 2n 2 2n 2 2 x 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマン ゼータが得られた ( 2 ) = x r= ( 4 ) = x r= ( 6 ) = x r= ( 8 ) = x r= sin rx x 2 r 3 2 3! 2 sin rx x 4 r 5 2 5! 2 x 2! x 3 x 2 () 2 4! 3! sin rx x 6 x 5 x 2 x 4 r 7 () 4 () 2 2 7! 2 6! 3! 5! sin rx x 8 x 7 x 2 x 4 x 6 r 9 () 6 () 4 () 2 2 9! 2 8! 3! 5! 7! これらの ( k) n ( 2n ) = r= x ( ) s C s x sin rx () n n C 2 s は次のような有理数である C 0 =, C =, C2 = 3! 5! 3!3! C 4 = 9! x 2n x 2n ( 2n )! ( 2n )! 5!3!, C 3 = 7! 3!5! 3!7! 5!5! 7!3! 3!3!5! 3!5!3! 5!3!3!, 3!3!3! 3!3!3!3!

これらは次式で計算できる 2 2 C s = B,,2, これを上式に代入すると ここで ( 2n ) = x r= n n ( ) 2 n () s 2 2 B x sin rx n x 2n n 2 2B x 2n n 2 2B ( 2n )! ( 2n )! 2 2B 2 2n 2B 2n = ( 2n )!! 2 2B = ( 2n )! であるからこれらを上式に代入すれば ( 2n ) = x r= n 2 2n 2B 2n 0! () s B 2 2 ( rx) sin rx n x 2n 2 2n 2B 2n 2 2n 2B 2n x ( ) 2 公式 4 2 ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x <2 について次式が成立する ( 2n ) = r= 特に x= のとき n ( 2n ) = 2 2n 2 E ( rx) r= n cosrx E 2n x 2n 2 E ( r) () r 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマン ゼータが得られた ( 2 ) = r= ( 4 ) = r= cosrx x 2 r 2 2 2! 2 cosrx x 4 r 4 2 4! 2 x! x 3 x 2 () 2 3! 2! 2 2n 2 2n B 2n x 2n E 2n 2n 2

( 6 ) = r= ( 8 ) = r= cosrx r 6 2 6! cosrx r 8 2 8! x 6 x 5 x 2 x 4 () 4 () 2 2 5! 2! 4! x 8 x 7 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 2 7! 2! 4! 6! これらの ( k) n ( 2n ) = r= Cs x cos rx () n x 2n n 2 はつぎのような有理数である C 0 =, C =, C2 = 0! 2! 4! 2!2! C 4 = 8! 6!2! 4!4! 2!6! () s C s ( ) ( 2n )!, C 3 = 6! n x 2n n 2 4!2! 2!4! 4!2!2! 2!4!2! 2!2!4! () s C s ( 2n )! 2!2!2! 2!2!2!2!, そしてこれらは次式で計算できる E E C s = () s = これを上式に代入すれば ( 2n ) = r= n E x cosrx () n x 2n n 2 E ( 2n )! ここで () n x 2n n 2 E ( 2n )! n n E 2n E = ( 2n )! E = ( 2n )! であるからこれらを上式に代入すれば E ( rx) ( 2n ) = r= 特に x= のときは i.e. n ( 2n ) = r= ( 2n ) = r= n n E ( r) E ( r) 2 2n 2 2n B 2n cosrx E 2n x 2n 2 cosr E 2n 2n 2 2n 2 2n B 2n x 2n ( 2) 2n B 2n 2 2n cosr E 2n 2n 2 2n ( 2n) 3

これより ( 2n ) = 2 2n 2 r= n E ( r) () r E 2n 2n 例 ζ(6) x= の公式に従いこの計算を行った 級数を 8,400 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた 副産物 n n 2 2B = ( 2n )! E = ( 2n )! 2 2n 2B 2n 0! 2 2n 2 2n B 2n 4

4 2 tan x 系ゼータの公式 公式 4 2 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とするとき 0< x に ついて次式が成立する 2 2n ( 2n ) = 2 2n 2 r= 特に x= のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n () s B 2 2 ( rx) 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレ イータが得られた ( 2 ) = x r=( ) r ( 4 ) = x r=( ) r ( 6 ) = x r=( ) r ( 8 ) = x r=( ) r sin rx r 3 2 sin rx r 5 2 sin rx r 7 2 sin rx r 9 2 x 2 3! x 4 x 2 () 2 5! 3! () r sin rx B 2n ( ) x 6 x 2 x 4 () 4 () 2 7! 3! 5! これらの ( k) x 8 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 9! 3! 5! 7! 2x 2n n ( 2n ) = x r= () s C s ( rx) () r sin rx () n x 2n n C s 2 ( 2n )! 2 2 は公式 4 と同じ係数であり C s = B で与えられる よって ここで ( 2n ) = r= n を代入すれば n () s 2 2B ( rx) 2 2B 2 2n 2B 2n = ( 2n )!! ( 2n ) = r= n () s B 2 2 ( rx) () r sin rx () n x 2n n 2 2 2B ( 2n )! () r sin rx 2 2n 2 B 2n x 2n 5

2 2n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n ) = ( 2n 2 2n 2 2n ) 2 を適用して i.e. 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n 2 2 2n ( 2n ) = 2 2n 2 r= n n () s B 2 2 ( rx) () s B 2 2 ( rx) () r sin rx 2 2n 2 2n 2 B 2n 2 2n 2 x 2n 2x 2n () r sin rx B 2n ( ) 例 ζ(6) x=/64 としてこの計算を行った 級数を32 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた 公式 4 2 2 ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x について次式が成立する ( 2n ) = 2 2n 2 特に x=/2 のとき ( 2n ) = 2 2n 2 2 2n r= n E ( rx) () r cosrx E 2n x 2n r 2n r= n E ( r) () r 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレ イータが得られた ( 2 ) = () r r= ( 4 ) = () r r= cosrx 2 r 2 cosrx 2 r 4 x 2 2! x 4 x 2 () 2 4! 2! E 2n 2n 6

( 6 ) = () r r= ( 8 ) = () r r= cosrx r 6 2 cosrx r 8 2 x 6 x 2 x 4 () 4 () 2 6! 2! 4! これらの ( k) x 8 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 8! 2! 4! 6! n ( 2n ) = r= Cs x () r cosrx () n x 2n n 2 E は公式 4 2 と同じ係数であり C s = () s n E ( rx) () ( 2n ) = r cosrx () n x 2n n r= 2 ここで n を代入すれば ( ) E 2n E = ( 2n )! 2n = r= n E ( rx) 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) 2 () r cosrx を適用して与式を得る E 2n () s C s ( 2n )! で与えられる よって x 2n E ( 2n )! 7

4 3 csc x 系ゼータの公式 公式 4 3 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とするとき 0< x に ついて次式が成立する 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n n () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 2 2n B 2n x 2n 2 特に x= のとき ( 2n ) = B 2n ( 2) 2n 証明公式 6 3 ( 6 ) で次のディリクレ イータが得られた ( 2 ) = x r= ( 4 ) = x r= ( 6 ) = x r= ( 8 ) = x r= 2r x} x 2! 4 sin {( ) ( 2r) 3 sin {( 2r) x} x 3 x 2 ( 2r) 5 () 2 4! 4 3! sin {( 2r) x} x 5 x 2 x 4 ( 2r) 7 () 4 () 2 6! 4 3! 5! sin {( 2r) x} x 7 x 2 x 4 x 6 ( 2r) 9 () 6 () 4 () 2 8! 4 3! 5! 7! これらの ( k) ( 2n ) = r= n () s C s x ( 2r) 2n sin( ) 2r x ( ) n x 2n n 4 2 2 は公式 4 と同じ係数であり C s = B で与えられる よって ここで 2n = r= ( ) n () s 2 2B {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n () n x 2n n 4 C s ( 2n )! 2 2B ( 2n )! 8

n を代入すれば 2 2B = ( 2n )! ( 2n ) = x r= n 2 2n 2B 2n 0! () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 2 2n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) = ( 2n) 2 2n 2 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n n 2 2n 2 B 2n x 2n 4 を適用して () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 公式 4 3 2 ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x について次式が成立する 2 2n ( 2n ) = 2 2n r= 特に x=/2 のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n E {( ) 2r x} cos( 2r) x ( 2r ) 2n 4 証明公式 6 3 ( 6 ) で次のディリクレ ラムダが得られた ( 2 ) = r= ( 4 ) = r= ( 6 ) = r= ( 8 ) = r= 2r x} x! 4 cos{( ) ( 2r) 2 cos{( 2r) x} x 3 x 2 ( 2r) 4 () 2 3! 4 2! cos{( 2r) x} x 5 x 2 x 4 ( 2r) 6 () 4 () 2 5! 4 2! 4! 2 2n B 2n x 2n 2 cos{( 2r) x} x 7 x 2 x 4 x 6 ( 2r) 8 () 6 () 4 () 2 7! 4 2! 4! 6! 2 4n B 2n x 2n 9

これらの ( k) ( 2n ) = r= n C s x ( 2r) 2n cos( 2r) x( ) n x 2n n () s 4 Cs ( 2n )! E s E = で与えられる は公式 4 2 と同じ係数であり C s = ( ) よって これに ( 2n ) = r= n を代入すれば n E = ( 2n )! ( 2n ) = r= n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) E x ( 2r) 2n cos( 2r) x () n x 2n n 4 2 2n 2 2n B 2n E x ( 2r) 2n cos( 2r) x () n 4 を適用して所望の式を得る E ( 2n )! 2 2n 2 2n B 2n x 2n 例 ζ(6) x=/64 としてこの計算を行った 級数を25 項まで計算したところ 有効数字 0 桁が得られた 202.04.0 宇宙人の数学 K. Kono 0