量子臨界現象におけるトポロジー

大学院共通授業科目 トポロジー理工学特別講義 量子臨界現象におけるトポロジー 理学研究院物理学部門網塚浩 1. 重い電子状態の現象論と微視的機構. 量子相転移と非フェルミ液体異常 3. 量子臨界異常の観測例 4. 量子相転移とトポロジー

1. 重い電子状態の現象論と微視的機構 弱 局在性 強 s,p 4d 3d 5f 4f 通常 属 ransition Heavy electron metal Valence fluctuation ( モット転移 ) High c みる物理量や温度領域によって局在 遍歴両描像が出現. ( 電 相関 ) ( 運動エネルギー ) 弱 ( 強相関 ) 軽い電 重い電

電子の属性 質量 m = 9.10956 10-31 [g] 電荷 e = - 1.6019 10-19 [C] スピン S = 1/ 磁気モーメント μ e = gμ B S = 9.84 10-4 [J/]

重い電子の発見 通常金属の電子比熱 K の比熱 3 C ~ γ + β ( << F ) Kittel & Kroemer hermal Physics K の場合 : γ ~ mj/k mol

CeAl 3 の低温比熱 CeAl 3 ( 75 H.R. Ott) C ~ γ + β 3 γ ~ 1600 mj/k mol K の約 1000 倍!

自由電子気体模型 ( F ) V C << + = L γ 自由電子気体の比熱 m F F h = ε x y z F () () r r εφ m Δφ = h () r r = i e V 1 φ 3 1,, n L n L n L z y x π π π = = = (n 1, n, n 3 : 整数 ) ( ) z y x m + + = h ε Fermi エネルギー Fermi 面 Fermi 球 ( ) m N N D C F B F B F B V 3 h π π ε π = = ( ) m D C F F V 1 ε γ ( ) ( ) ε ε ε ε d D f E = 0 より正確には ( ) ( ) ( ) ( ) L + + = = μ ε μ ε ε ε π ε ε ε D d D B 6 0 N N E F B B F 個 F B V N d de C 1 = Fermi 温度 K 10 10 5 4 = B F F ε

通常金属の電子比熱係数 m ~1 m F ~10 4 0 K

重い電子系の低温比熱 CeAl 3 ( 75 H.R. Ott) γ ~ 1600 mj/k mol m F ~1000 m ~1 10 K 0 重い電子 系 ( 主に Ce, Pr, Yb, U, Np, Pu 化合物 )

重い電子による超伝導の発見 CeCu Si ( 79 F. Steglich) ΔC / c ~ 1000 mj/k mol 重い電子 そのものが超伝導 ( 遍歴する電子である証拠!)

電気抵抗 : 通常金属 ρ ~ ρ 0 ~ 5 0 ~Θ D

重い電子系の電気抵抗 CeCu 6 CeAl 3 ~

ここまで 電子が重い エネルギーを与えたときに電子同士が相互作用することによって加速されにくい 有効質量が大きい 重い電子の比熱は温度に比例する 自由電子と同じ統計性 しかし 比例係数が異常に大きい 電気抵抗は低温で に比例 自由電子には無い性質

Fermi 粒子の衝突 p, ε ( > 0) p, ( 1 ε1 < 0) p, ε ( > 0) p, ( 1 ε 1 > 0) Fermi 球 p, ε ( > 0) p, ( 1 ε 1 > 0) p, ε ( > 0) p, ε ( 1 0) 1 < Fermi 面下 Fermi 球

Fermi 粒子の寿命 p, ε ( > 0) 有限温度 ( 衝突頻度 ) ε ( ) B p, ( 1 ε1 < 0) 準粒子の寿命 τ 1 ( ) B Fermi 球 温度 での熱物理量 B の幅の統計平均 p, ε ( > 0) p, ( 1 ε 1 > 0) Δt 1 十分低温 (<<E F ) では Δt < τ B の時間内の平均 Fermi 球 低エネルギー励起の構造 ( 統計性 ) は理想気体と同じ! 輸送特性には衝突頻度 (~ ) が現れる

Landau の Fermi 液体論 Landau の Fermi 液体論 基本仮定 : 相転移が無い限り相互作用について摂動論が成立 ( 断熱的連続性 ) 理想 Fermi 気体の1 粒子準粒子 (1 対 1 対応 ) 相転移が無い限り相互作用によって粒子数は変わらない Fermi 球内の体積は変わらない Lüttinger の定理 準粒子は自由電子気体と同じ統計性 C V ρ = << * F = γ + L 1+ A χ = const.

Landau の Fermi 液体論,σ q Fermi 球 F 裸の電子 c 電子間相互作用の導入 連続的に移行 τ = z c + Γ1 c c c + Γ 1 3 1,, 3, L, 5 F c c c c 準粒子 q 1 3 4 5 1 もとの c は z の割合でしか含まれない 運動量 電荷 電子数保存 c + L 相転移 ( 長距離秩序 ) が無い限り 物理量は電子間相互作用 U に関して解析的 F 証明は困難 成功例 : 近藤問題 ( 磁性不純物に対する Anderson 模型 )

重い電子の正体は? 重い電子状態が発現する物質系 主として Ce, Pr, Yb といった希土類元素 及び U, Pu などのアクチナイド元素を含む金属化合物 CeCu Si, CeRu Si, CeAl 3, CeCu 6, CeCoIn 5 PrOs 4 Sb 1, PrFe 4 P 1, YbCu Si, UBe 13, UPt 3, URu Si, UPd Al 3, PuCoIn 5, 4f or 5f 不完全殻を持つ磁性イオン

磁性元素 H 超伝導 ( 数値は転移温度 (K) ) He Li Be 0.06 室温で強磁性 ( 数値は転移温度 (K) ) 低温で磁気秩序 B C N O F Ne Na Mg Al 1.14 Si P S Cl Ar K Ca Sc i V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 0.39 5.38 1043 1400 631 0.88 1.1 Rb Sr Y Zr Nb Mo c Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb e I Xe 0.55 9.5 0.9 7.8 0.51 0.0003 0.56 3.4 3.7 Cs Ba La Hf a W Re Os Ir Pt Au Hg l Pb Bi Po At Rn 6.0 0.1 4.5 0.01 1.4 0.66 0.14 4.153.4 7. Fr Ra Ac Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd 89 b Dy Ho Er m Yb Lu 0.1 h Pa U Np Pu Am Cm B Cf Es Fm Md No Lr 1.4 1.4 0.

不完全殻

内殻軌道と物性 1 3s Ni(3d 8 4s ) 1 6s U(5f 3 6d 1 7s ) 1 Ce(4f 1 5d 1 6s ) 5s ( rr(r) ) 3p 4s 3d ( rr(r) ) 6p 6d 5f 7s ( rr(r) ) 5p 5d 4f 6s 0 4 8 r (a. u.) 結晶中結晶格子を組むと 0 4 8 r (a. u.) 0 4 8 r (a. u.) d 電子バンド + スピン相関 c-f 混成バンド + 多極子相関

重い電子系を導く電子相関 f 電子の感じる有効ポテンシャル c-f 混成効果 V トンネル効果により f 電子 c 軌道 ( 伝導電子軌道 ) へ c 電子 f 軌道へ磁性を消失させる,σ V U f 軌道内クーロン斥力 U 狭いf 軌道に電子が 個入る ( ) と 強い斥力によりエネルギー増磁性を回復させる 競合

Anderson 模型 ( ) + + + + = d d d d d d d d d d d a a a Ua a a V a a V a a E a a H σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ε,, 伝導 s 電子運動エネルギー d 軌道電子束縛エネルギー sd 混成効果 d 軌道内 Coulomb 相関 E d U + E d V U 電子相関の尺度

Anderson 模型 ( ) + + + + = d d d d d d d d d d d a a a Ua a a V a a V a a E a a H σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ε,, V U 0 系は Fermi 液体にとどまる電子相関を連続的に変化スピン揺らぎ小価数揺らぎ大スピン揺らぎ大価数揺らぎ小 Kondo limit

Anderson 模型 対称アンダーソン模型における状態密度

近藤効果 Kondo 効果 希薄磁性合金の問題 (~1930) 伝導電子の海の中の 1 個の磁性イオン 実験事実 ρ ~ A ~ ln χ ~ const S I Fermi Sea, σ C ~ γ K 低温で磁性が消失局所 Fermi 液体

s-d 問題近藤 (1964) + D J c B ln 1 ~ ρ ρ ρ s-d Hamiltonian 第 ボルン近似 (J の 3 次摂動 ) スケーリング ( 摂動 ) D D J J J J D D D D c ~ ln 1 ~ ~ ρ = Δ = ( ) ) exp(1/ ~ J D D c K ρ = = σ σ σ ε, c I sd s JS c c H ',, ' ' c 1 1 c c N s β α σ ασ αβ J<0 (AF 的 ) ならで J 発散 : 摂動の破綻 K : 近藤温度 ~ 典型的多体電子相関

s-d 問題 J << 1 弱結合極限 doublet ~ J ~ D (~ ) K = 0?? くりこみ破綻 Wilson (1973) 数値くりこみ群 S I s 強結合極限での励起 Fermi 液体論に従う非自明!! 数値くりこみ群が常にうまくいくとは限らない厳密解も求まるとは限らない Yosida (1966) spin singlet 基底状態 ΔE ~ K ( 変分法 )

. 量子相転移と非フェルミ液体異常 近藤効果と RKKY 相互作用の競合 高温 on-site Kondo 効果 K ~ e -1/J,σ coleman Physica B 1999 J S j S j inter-site RKKY 相互作用 RKKY ~ J K / RKKY 低温 :AFM か FL か? =0 で AFM-FL 間の量子相転移 (QP)

量子相転移 : 実験例 H.v. Löhneysen et al. 1996 x = 0.1 を境に FL AF x = 0.1 では非 Fermi 液体的振る舞い

量子相転移 :Generic phase diagram K ~ De -D/J RKKY ~ J /D N non-fermi Liquid AF δ c 量子臨界点 (QCP) Fermi Liquid δ 圧力 組成 磁場 m m * 0

量子臨界現象 量子相転移 相関距離 ξ ~ c ν 相関時間 z τ ~ ξ 振動数 ω ~ τ 1 ~ c zν z: 動的臨界指数 古典系の場合 c 熱揺らぎが支配的 ξ B >> hω 揺らぎのスローイングダウン動的性質は本質的では無くなる

量子臨界現象 量子相転移 (=0) の場合 相転移はパラメター δ の変化で起こる 量子揺らぎ ( どんな揺らぎかは非自明 ) hω ~ δ δ c zν B ~ hω 付近より低温で 静的 ( 熱的 ) 性質と動的 ( 量子揺らぎ ) が結合 d 次元の量子系は d+1 次元の古典系と等価

量子臨界現象 :SCR 理論の予想 準粒子バンドの SDW 転移に伴う揺らぎ という観点 反強磁性 強磁性 Fermi 液体 d 3d d 3d C/ -ln a - b 1/ -1/3 -ln const. ρ 3/ 4/3 5/3 Millis PRB 1993 Moriya and aimoto JPSJ 1995

量子臨界現象 : 実験

量子臨界現象 : 問題点 AF 相は本当に準粒子の SDW という描像でよいのか? NFL 的挙動は相図上で AF 相から離れたところでも観測される 物理量のべき指数は必ずしも SCR 理論の予想に従わない QCP 近傍では しばしば非常に弱い磁気モーメントによる磁性 が観測される この実体は何か NFL との関係は? QCP 近傍にはしばしば異方的超伝導が出現する この原因 機構は何か?

3. 量子相転移の例 : 圧力誘起 CePd Si MnSi Pfleiderer et al. Nature 004 Mathur et al. Nature 1998 ρ = ρ 0 + 1.5

量子相転移の例 : 圧力誘起 UGe Saxena et al. Nature 000

量子臨界異常の例 : 磁場誘起 メタ磁性 : ある磁場で磁化が急増する現象 B M CeRu Si : 磁気秩序のない典型的な重い電子系物質 dm/db 発散せず 相転移ではない. Saaibara et al. PRB 51 (1995) 1030

Quantum Critical End Point 対称性変わらず critical end point quantum critical end point 1st. order 0 B 0 B Q1: QCEP 近傍の電子状態は Landau の Fermi 液体論に従うか? ( ラッティンジャーの定理の破綻?) Q: QCEP は安定に存在しうるのか?

Non-Fermi-Liquid (NFL) Behavior CeRu Si ρ = ρ 0 + A α R. Daou (004) Cambridge

Sr 3 Ru O 7 ρ = ρ 0 + A α NFL R.S. Perry et al. PRL 86 (001) 661 S.A. Grigera et al. Science 94 (001) 39

Sr 3 Ru O 7 良質試料 QCEP 近傍に新たな相? S.A. Grigera et al. Science 306 (004) 1154

U(Ru1-xRhx)Si

4. 量子相転移とトポロジー トポロジー概念を用いた最近の理論提案の紹介 1 Fermi 面のトポロジー変化と物性の関係 NFL: トポロジカル秩序発現の可能性 Coleman Physica B 001

量子相転移とトポロジー 準粒子による SDW 転移の描像 Kondo breadown の描像 大きな Fermi 面 小さな Fermi 面 n = 1 + n c n = n c f 電子は局在 Fermi 面トポロジーの不連続変化 Hall 効果 dhva 効果等による検証が待たれている

CeRu Si の dhva 効果 φ B < B M ω B > B M m* ~ 00 m 0 m* ~ 10 m 0 小さな hole Fermi 面 大きな hole Fermi 面 相転移が無いのに 伝導電子状態数はメタ磁性で減少!? H. Aoi et al., JPSJ 6(1993)3157. dhva 効果で B M 近傍を精密に追うのは無理 極低温磁気抵抗測定が最近行われた

CeRu Si の極低温磁気輸送特性 Daou et al., 005 磁気抵抗 ホール抵抗に飛びなし Fermi 面は連続変化 ( トポロジー不変 ) 大きなFermi 面が保たれる

CeRu Si の極低温磁気輸送特性 dhva では見えてないブランチあり と指摘

量子相転移に伴うトポロジカル励起 d=3 Kondo-Heisenberg model α f iα f iα =1 電荷の揺らぎ無し 理論は U(1) ゲージ変換に対して不変 f iα f i α U(1) ゲージ場 A μ の存在 e iφ ( τ ) r c-f 混成の度合い : b ~ c i α f iα iα J K (or J H ) を tune <b i > と A μ の揺らぎとの競合. Senthil et al. PRB69 (004) 035111

量子相転移に伴うトポロジカル秩序の可能性 J H 導入すると f 状態に分散 c-f 混成した状態 つの Fermi 面が発生 cold: c 成分大 ( 軽い ) hot: f 成分大 ( 重い ) FL: conventional Fermi liquid FL*: FL with cold FS + spin liquid 電荷ゼロ スピン 1/ の励起 (spinon) を伴う. Senthil et al. PhysicaB 004

量子相転移に伴うトポロジカル秩序 C/ ~ ln C/ ~ ln スピン液体状態 S = 0, 並進対称性破らず Analog: d Néel VBS. Senthil et al. PhysicaB 004

d Néel state vs VBS spin 回転対称性の破れ トポロジカル秩序の可能性? 並進対称性の破れ この間の相転移は? 異なる対称性の破れた状態間の転移通常 1 次か 相共存. Senthil et al. Science 004 syrmions 1 Q = d 4π r mˆ x mˆ y mˆ 適当な境界条件のもとで Q 整数 m(x,y,t) well-defined Q 一定

MnSi の Spin Liquid Crystal Order( 理論 ) Fisher et al., PRB 77, 04415 (008).

スピン配置のホモトピー群による分類 m = const. ならば m は方向 (θ, φ) のみの関数 空間の各点 x mˆ ( x) 球面 S ( θ ( x), φ( x) ) 写像 m( x) 様々なスピン配置 S への写像で分類ホモトピー群

レポート課題 量子相転移の例を一つ調べ その特徴をまとめなさい ( 実験でも理論でもよい )