微分形式雑記帳 1 ベクトルの内積と外積 次元ベクトルを A a, a, a, B b, b, b とする A a, a, a の長さを A a a a と定義する AB A B cos を A と B の内積とよぶ ただ し はベクトル A と B がなす角度である e1 1, 0, 0, e 0,1, 0, e 0, 0,1 は互いに直交しているので e 1 e 0, e 1 e 0 であり e 1 e e 1 である また A ae 1 1ae ae, B be 1 1bebe であるから 内積の分配法則から ae ae ae be be be ab ab ab を用いて A a, a, a B 1 1 1 1 1 1 b1, b, b の内積を 1 1 する 次元ベクトルを次の式で定義し, AB abababと定義しても良い 行列式を要素と a a a a a a a a a a a a AB,, e e e b b 1 1 1 1 1 b1 b 1 b1 b を A と B の a1 a a 1 b b1 b 外積と呼ぶ 行列式の余因子展開 : b1 b b a1 a a を c c c1 c c1 c c c c e e e 使うと 形式的だが AB a a a と書くことができ A A a a a 0 が わかる C c, c, c として A と B C ー 重積と言う A a, a, a の内積 A B C e e e a a a を A, BC, のスカラ b1 b1 b と BC,, の内積を計算す c c c c1 c1 c
a a a A BC a a a となる 同様な計算 ると 1 1 c c c c1 c1 c c1 c c a a a で AAB a a a 0, B AB a a a 0 となる すなわち A と B の外積 A B は A にも B にも直交している いいかえれば A B は A と B で作る平面に直交するでありこれは法線ベクトルと呼ばれる 外積は分配法則が成立する たとえば A B AB AAABBABB A B となる 直接計算により A B AB a a a b b b ab a b ab 1 1 a b b a b b a b b abab abab abab 1 1 1 1 1 1 ab ab ab ab ab ab 1 1 1 A B 他方 cos A B A B AB A B AB A B sin つまり A B はベクトル A であるから とベクトル B でつくる平行四辺形の ( 向き付けに依存して符号つきの ) 面積で ある また A B AB AB 0 より A B A B というコーシーシ ュワルツの不等式がでる 次にベクトル A と B の平行条件は A B 0,0,0 で ある なぜならそのとき 0 A B ab a b a b a b a b ab と 1 1 1 a1 a a なり が導かれるので A と B が平行 A B A B= 0 であ る
空間曲線 r x, y, z は 次元空間 の中の点である 時刻 t における位置 P が t の 変化とともに連続的に動くときその軌跡は の軌跡は r t xt, yt, zt dr r' x' t, y' t, z' t dt 呼ばれる r r t, a t b で表される は曲線 r r t の中で曲線を描く すなわち P の時刻 t における接線ベクトルと が at bを動くとき軌跡が描く曲線の長さ s は b b ' ' ' ' である a a s r t dt x t y t z t dt 曲面 次元空間 において 位置ベクトル rruv, xuv,, yuv,, zuv, が 変数 uv, の連続な変化に伴ってなめらかに動くとき1つの曲面を動く v を固定して u だけ動かすとu 曲線が u を固定して v だけ動かすと v 曲線が つの変数 uv, を同時に動かすとu 曲線と v 曲線が作る網目状の曲面が描かれる r 偏微分は u 曲線の接線ベクトル r は v 曲線の接線ベクトルと呼ばれる u v r r いま 0 を仮定すると u 曲線と v 曲線は平行でなく網目が正しく作 u v られる uv, u0, v0 において接線ベクトル r u と接線ベクトル r でつくる平 v 面 (つのベクトルは平行でないので正しく平面ができる) をuv, u, v おける接平面とよぶ このときベクトル r r はこの平面に直交するベクトル u v で 長さを1にするため r r 1 r r で割り算をして n u v r r が接平 u v u v 面の単位法線ベクトルとなる r r y z z x x y y z z x x y x,,,, u u, u u, u u u u u u u u u yu zu xv yv zv e1 e e u v yv zv zv xv xv yv yv zv zv xv xv yv 0 0 に
xu yu であるが x, y などと書いて xv yv uv, r r yz, zx, xy, xu, yu, zuxv, yv, zv e e e とも表される u v uv, 1 uv, uv, 曲面の面積 点 uv, が平面上の領域 を動くとき rruv, xuv,, yuv,, zuv, が描く曲面の面積 は r r dudv u v で計算される u, v を微小にとれば r PQ ruu, vru, v u u r P ru, vvru, v v v ベクトル PQ とベクトル P でつ くる平行四辺形の面積 は PQ P の大きさで r r PQP uv となる したがってリーマン積分の定義に従って u v r r を評価することにより dudv とできる つまり u v r r d dudv ということである ベクトルのまま書いて d = ru rvdudv u v とも表される 曲面は点 x, y が平面上の領域 を動くとき x, y の関数として のなかで z z x, y の軌跡は 次元の曲面となる場合は 特に x = u,y= v とおいてや ると r ru, vx, y, zx, y r r z となるので 1, 0,, u x x
r r z 0,1, と表される このとき v y y z z 0 1 r r x x 1 0 z z,,,,1 u v z z で 0 1 x y 1 0 y y r r z z 1 x y x y 1 z z n,,1, z z x y 1 x y が得られる z z 1 dxdy x y 微分形式 上の微分 1- 形式を Pdx + Qdy + Rdz と定義する ここで PQR,, は 上の関数である 微分 0- 形式は微分可能な関数 f : のこととする 向き付けられた曲線上の1- 形式の線積分を C b æ dx dy dzö Pdx+ Qdy+ Rdz= ç Pxt ( (), yt (), zt ()) + Qxt ( (), yt (), zt ()) + Rxt ( (), yt (), zt ()) dt dt dt dt ò ò ç è ø a で計算される 計算結果は曲線の形にだけ依存してパラメータ表示の方法に依存しない この microscopic version はベクトル,, る つまり abc を点 (,, ) x y z で 1- 形式が食べ 0 0 0 ( + + )(,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) Pdx Qdy Rdz a b c P x y z a Q x y z b R x y z c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 と定義される グラディエント f = f f f,, x y z は微分形式で f f f df = dx + dy + dz x y z たとえば ( ) と置き換えられる d x + y = xdx+ ydy となる a= df は exact な1- 形式は保存系のベクトル場にあたる a= df のとき f は a のスカラポテンシャルと呼ばれる
- 形式 : 例 dx dy ò dx dy = ベクトル場上向き flux(xy 平面からz 軸方向への流量 )=xy 座標 への曲面 が落とす影の面積平面座標の向き付けに応じて dx dy =-dy dx が要請される 一般の- 形式 : Pdx dy + Qdy dz + Rdz dx ò Pdx dy + Qdy dz + Rdz dx はベクトル場での flux をあらわす - 形式の積分 ò fdx dy の計算 (1) dx dy =-dy dx () ab, を p - 微分形式とするとき計算規則は a ( b+ g) = a b+ a g ( f ) a b = fa b ただし f は関数 ( すなわち 0- 形式 ) - 形式引き戻し :* という記号をつける F * f = f F 合成関数 F: Ì Ì とするとき flux 積分は * fdx dy = F fdx dy ò ò ( ) と計算される そして 引き戻し演算は ( fdx dy) ( f ) ( dx) ( dy) ( f ) d ( x) d ( y) F = F F F = F F F * * * * * * * のように分配されていく 具体的には ( * * F f) = f F, d( F x) = d( xf) ( fdx dy) f d ( x ) d ( y ) * F = F F F のように合成関数などとなり 結局 * となる つまり ( fdx dy) f( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) d( xuv (, )) d( yuv (, )) なる F = と
例 ) x, yz, 座標の上の関数などの表現を uv, 座標の上の関数表現に置き換える g g 他方一般に dg = du + dv の関係から u v x x y y dx = du + dv, dy = du + dv でこれらの をとると u v u v æ x x ö æ y y ö æ x y x yö du + dv du + dv = - du dv ç è u v ø è ç u v ø èç u v v u を得るので ø * æ x y x yö fdx dy ( fdx dy) f ( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) = F = ç - du dv çè u v v u ø 得られる 同じ方法で ò ò ò が æ ( yz, ) ( zx, ) ( xy, ) ö Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = P Q R + + du dv ç è ( uv, ) ( uv, ) ( uv, ) ø òò òò î = e 1, ĵ = e, ˆk = e という記号が用いられる 不思議なことにî, ĵ, ˆk は 4 元数の i, j, k と似た性質がある Piˆ Qj ˆ Rkˆ d Piˆ Qj ˆ Rkˆ + + = + + r r du dv ò ( ) ò ( ) ( u v) ただし ò fdu dv = òò fdudv のときは とも表される ò fdv du =-òò fdudv のように向き 付けに依存して符号が付けられる Fubini の定理からòò fdvdu = òò fdudv であ るから òò fdu dv と òò fdv du は符号が逆である しかし どちらを正 ど ちらを負にとるかは uv, のとりかたの順序に依存している - 形式 dx dy dz の形のものである ( dx dy) dz dx ( dy dz) = をみたすので括弧を つける必要がない しかし dy dx dz =-dx dy dz のように一か所の入れ替 えでは符号が変わる 積分については ò fdx dy dz = òòò fdxdydz と定める したがって ò fdy dx dz =-òòò fdxdydz などとなる E E E 1- 形式 a = Pdx + Qdy + Rdz についても引き戻しで曲線上の積分を解釈しなお すことができる 曲線はパラメータをt とおき a t b の範囲を動く E
r t x t y t z t () = ( (), (), ()) とする そして I [ ab, ] = とおいて * * * * * * * ò a = ò Pdx + Qdy + Rdz = ò r ( Pdx + Qdy + Rdz) = ò r Pd ( r x) + r Qd ( r y) + r Rd ( r z) C C I I * * * * * * * ò a = ò Pdx + Qdy + Rdz = ò r ( Pdx + Qdy + Rdz) = ò r Pd ( r x) + r Qd ( r y) + r Rd ( r z) C C I I まとめると * * F df = df f ( a b) ( a) ( b) F =F F * * * ( ) a b= - b a (a が k 形式のとき a = k とおいた ) 1 ab 4- 形式 a = 0 ( 例 : dx dy dx dz われわれは dx,d y, dz のつしか持っていないから ) ( 形式 ) ( p 1) d p- = + -形式 d( dx ) = 0 d ( fdx) = df dx ( ) d fdx + gdy = df dx + dg dy じつは もっと一般に d = 0 がいえる