04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ空間内にある半径 の球 ( 内部を含む ) を B とする 直線 と B が交わっており, その交わりは長さ の線分である () B の中心と との距離を求めよ () のまわりに B を 回転してできる立体の体積を求めよ
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数 t に対して 点 P( t, t ), Q( t+, ( t+ ) ) を考える t が t 0の範囲を 動くとき, 線分 PQ が通過してできる図形を図示し, その面積を求めよ
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xy 平面の y 0 の部分にあり, x 軸に接する円の列 C, C, C, を次のように定 める C とC は半径 の円で, 互いに外接する 正の整数 に対し, C + はC とC + に外接し, C とC + の弧および x 軸で囲まれる部分にある 円 C の半径を r とする () 等式 = + を示せ + + () すべての正の整数 に対して = s + t が成り立つように, によらない 定数,, s, t の値を一組与えよ () のとき数列 { } が正の値に収束するように実数 の値を定め, そのと きの極限値を求めよ
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ a 負でない整数 N が与えられたとき, a = N, a + = é ù ê ë ú û ( =,,, ) として数列 { a } を定める ただし [ a ] は, 実数 a の整数部分 ( a<+ となる整数 ) を 表す () a = となるような N をすべて求めよ () 0 0 N< を満たす整数 N のうちで, N から定まる数列 { a } のある項が とな るようなものはいくつあるか () 0 から 00 までの 00 個の整数から等しい確率で N を選び, 数列 { a } を定め る 次の条件 (*) を満たす最小の正の整数 m を求めよ (*) 数列 { a } のある項が m となる確率が 以下となる 00 4
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 半径 の球 B の中心から直線 に垂線を下ろすと, その足は長さ の線分の中点となり, B の中心と との距離 d は, ( ) d = = () 直線 を x 軸とすると, () から B の球面は, ( ) x + y + z = さて, B を x 軸に垂直な平面 x = で切断したときの断面は, を連立して, ( ) y + z = これより, 断面は平面 x = 上で, 点 (, 0, ) を中心とする半径 の円で あることがわかる なお, yz 平面に関する対称性より, 以下, 0 で考える (i) 0 のとき 断面を平面 x = 上で, x 軸のまわりに 回転すると, 半径 + の円板 となり, その面積 S( ) は, = ( + ) = ( + ) S( ) 4 (ii) のとき 断面を平面 x = 上で, x 軸のまわりに 回転すると, 外径 + で内径 のドーナツ形となり, その面積 S( ) は, ( ) ( ) S( ) = + = (i)(ii) より, 求める立体の体積を V とすると, 対称性を考えて, ( ) 0 4 ò ò V = + d+ d 0 ( ) ( ) = é ù 4 4 úû + + + 6 = + ( + ) + ( ) = ( + ) 4 4 z y x [ 解説 ] 立体の回転体の求積についての頻出問題です 要演習の 題です 電送数学舎 04
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ 点 P( t, t ), Q( t+, ( t+ ) ) を通る直線 の方程式は, ( t+ ) t y t = ( xt), ( t+ ) t まず, (*) の x の値を x ここで, y = f ( t ) とおくと, f ( t ) = (t+ ) at t y = (t+ ) xt t (*) = aと固定し, y のとり得る値の範囲を求める t (a ) t a = t a + a + 4 = + + ( ) さて, t が t 0の範囲を動くとき, (i) a のとき a= f (0) f ( t) f ( ) =a (ii) 0 a のとき a= f (0) f ( t ) f a ( ) = a + 4 (iii) 0 a のとき a= f () f ( t) f a ( ) = a + 4 (iv) a のとき a= f ( ) f ( t) f (0) = a (i)~(iv) より, 直線 が通過してできる領域は, x y x ( x のとき ), x y x + 4 x 0のとき x y x + ( 0 x のとき ), x y x ( x のとき ) 4 ( ) これを利用すると, 線分 PQ が通過してできる図形は, 直線 が通過してできる領 域の放物線 y = x の上側にある部分なので, 図示すると y 右図の網点部である ただし, 境界は領域に含む この 図形の面積 S は, y 軸に関する対称性より, S = ò ( x + x ) dx+ ( xx ) dx 0 4 ò O x = + é x x ù 7 4 úû = + = 4 4 [ 解説 ] 線分の通過領域についての頻出問題です 文系と同一内容ですが, 理系では誘導が付いていません 電送数学舎 04
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 円 C, C +, C + の中心から x 軸に垂線を下ろし, その足をそれぞれ H, H +, H + とおくと, + = + + + = rr + HH ( ) ( ) 同様にして, H+ H+ = + + C + HH + = rr + H すると, HH + = H+ H+ + HH + より, rr + = + + + rr + 両辺を rr + + で割って, = + + + () a r = とおくと, r = r = から a = a = となり, より, a = a + a, a a a = 0 + + ここで, 次方程式 x p =, q = + となる + + x = 0 の つの解を x = p, q ( p< q) とおくと, すると, を変形して, a+ pa+ = q( a+ pa) から, a+ pa = ( a pa) q = ( p) q = + q = q 同様に, より, a+ qa+ = p( a+ qa) となり, a+ qa = ( a qa) p = ( q) p = p = p 4 4より, ( p+ q) a = p + q から, a = p + q すると, 条件から a = s + t なので, 定数,, s, t の値の つとして, = p =, = q = +, s =, t = () () より, = より, = ( s + t ) ( s + t ) r まず, 0 のとき, 明らかに im が正の値に収束する場合はない そこで, > 0 として, = { s( ) + t( ) } さて, < < より, < < = となり, (i) > のとき im = 0 となり, 正の値に収束しない C H + H + C + x 電送数学舎 04
r (ii) 0< < のとき im (iii) = ( = ) のとき このとき, = { s ( ) + t} (i)~(iii) より, 数列 { } り, このとき im = である 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 = となり, 正の値に収束しない となり, が正の値に収束するのは, < から, im = = t = = のときであ [ 解説 ] ときどき見かける有名な構図の問題で, () までは定番といってもよいものです 4 電送数学舎 04
04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ a () a = N 0, a + = é ù ê ë ú û に対して, a = とすると, é a ù = ûú から a =, すると, a = のとき é a ù = ú から a û = 4,, a = のとき é a ù = ú から û a = 6, 7 となり, まとめると, a = N = 4,, 6, 7 である () 一般的に, 負でない整数 i, j ( i< j) に対して, i é x ù j úû < を満たす整数 x は, x = i, i +, i +,, j すなわち, i x< jとなり, j i個の x が存在する さて, ある正の整数 に対して, a = とすると, a = 4, となり, 4 < 6, 8 <, 6 < 4,, a a 0 a a < ここで, 条件から 0 N< すなわち 0 a < より, =,,,, 9 よって, a = となる整数 N の個数は, 9 9 å( ) 9 = å = = = = () ある正の整数 に対して, a = mとすると, a = m, m+ となり, m a < ( m+ ), 4m a < 4( m+ ),, m a < ( m+ ) 00 さて, 0 N において, m < ( m+ ) と仮定すると, 0 m < m+ 0 まとめると, 0 m かつm> となり, これを満たす整数 m は 存在しない これより, a = mとなる確率は, 整数 N の個数に注目して, { ( m+ ) m} 00 å = 00 å = = 00 00 = 0 00 条件から, 00 00 より, 9 9 + = 8 + = + となり, 00 00 00 =,,,, 9 00 00 よって, 9 のとき 0 N に含まれ, 94 のとき N> とな ることから, 求める正の整数 m の条件は, 00 9 < m 7 すると, m の最小値は m > より, 9 = 7 m = = 8 である [ 解説 ] ()() は実験で具体的に計算すればよいだけですが, それをベースにした () の設問はかなり難度が高く, 記述も容易とはいえないものになっています 電送数学舎 04