* ** 福岡俊道 4. 力と変位のつり合い - 不静定問題とは - 図 10(a) に示した断面積がA の真直棒の中央部に引張荷重 を与える問題を考える. 荷重点より上の部分には /A の引張応力が作用し, 下の部分の応力は零である. つぎに, 図 10() のように棒の下端を固定した場合に各部に作用する力を求める. 上下固定端に作用する反力を R,S とすると, 力の釣り合いより ( R + S = ) という関係が得られるが, この式だけでは R,S を求めることができない. 各部に働く力に着目すると, A-C には引張力 R,C-B 間には圧縮力 S が作用している. そこで, A-C 間の伸びと C-B 間の縮みの和が零 という変位の釣り合いを考えると, ヤング率を E として次式を得る. Ra S = 0 (17) AE AE この式と力の釣り合い式を連立すると R,S が求められる. P Pa R=, S = a+ a+ A (a) 静定問題 () 不静定問題 A C B R 図 10 静定問題と不静定問題 * 原稿受付平成 0 年 5 月 日. ** 正会員神戸大学海事科学研究科 ( 神戸市東灘区深江南町 5-1-1). S a (18) このように, 力のつり合いだけでなく, 変位のつり合いも考慮しなければ解けない問題を 不静定問題 と呼ぶ. 5. 断面 次モーメントと断面 次極モーメント 断面 次モーメントIと断面 次極モーメントI は構造物の断面の特性を表す量で, 曲げモーメントやねじりモーメントを受けたときに発生する応力を算出するために必要となる. すでに述べたように, 一様断面棒が単純な引張 圧縮荷重を受けた場合の応力は, 内力を断面積で除すことにより簡単に求められる. しかしながら, 一般の機械構造物では軸方向荷重のみを受けることはまれである. したがって, 断面 次モーメントを理解することは材料力学を学ぶ上で不可欠といえる. 図 11(a) は断面 次モーメントの概念を示したものである. 微小面積 da に対象となる軸 ( この場合は 軸 ) までの距離 の 乗をかけて断面全体にわ o Iが大きい 3 1 Iが小さい 3 1 A da (a) 断面 次モーメントと断面 次極モーメント () 同じ長方形断面による比較 z dv V (c) 物理学の慣性モーメント 図 11 断面 次モーメントの考え方 Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 79
418 たって積分する と 軸周りの断面 次モ - メント I が得られる. 軸までの距離の 乗である をかけて 積分すると, 軸周りの断面 次モーメント I が得られる. また原点までの距離 の 乗である をかけて 積分すると, 断面 次極モ - メント I が得られる. こ こで, ピタゴラスの定理 ( = + ) より,I = I + I となる. I = da, I = da I = da = ( + ) da = I + I (19) 断面が矩形や円断面の細長い棒を曲げると, 中央断面に対称に変形する. 一方, 円断面を有する軸がトルクを受けた場合は原点の周りに変形する. したがって, 曲げの問題は断面 次モ-メント, ねじりの問題は断面 次極モ-メントによって解くことができる. はりの問題を解く場合, 慣例的に長さ方向に 軸をとる. したがって, 断面 次モーメントは添字を付けずに簡単にIと記述されることが多い. 簡単な形状の断面について, 断面の中立軸に関する断面 次モーメントI と断面の中心点に関する断面 次極モーメントI の具体的な式を以下に示す. 順に幅, 高さ の長方形断面, 直径 d の中実円断面, 内径 d i, 外径 d o の中空円断面である. 3 I = (0) 1 4 4 πd πd I =, I = (1) 64 3 4 4 4 4 π( d o d i ) π( o i ), d I = I d = () 64 3 いずれも長さの4 乗の次元を持つ量である. ここで, 長方形断面にねじりを与える問題については, 材料力学の範囲を超えているので省略している. 強度と剛性の観点から,I とI の持つ意義は以下のように整理できる. Iが大きい 曲げモーメントにより発生する ( 垂直 ) 応力が小さく, たわみにくい I が大きい トルクにより発生する ( せん断応力 ) が小さく, ねじれにくい長方形断面のIの大きさは高さ の3 乗に比例するので, 図 11() に示したように, 同じ はり でも横置きと縦置きでは, 強度と剛性が大きく変化する. また, 断面 次モーメントの式において, とおくと, 断面の重心を求める場合に使用される断面 1 次モーメントが得られる. ところで, 断面 次極モー メントと似た概念の量として物理学における慣性モーメント I s がある. (3) I s = dm = ρdv I s は, 微小質量 dm に回転軸までの距離 の 乗をかけて物体全体にわたって積分したもので, 物体の回転運動に対する慣性を表している.dm を密度 ρと微小体積 dv の積に置き換えてI の式と比較してみると, 断面 次極モーメントI は断面に関する量であるために密度 ρに関係がない, 面積積分であるので dv が da になっていると解釈できる. 6. はりの問題 (1) はり とは はり は, 断面の寸法に比較して長手方向の寸法がかなり大きく, 軸線に対して曲げ変形するような荷重を受ける構造物を指す. 一方, たとえ細長い形状の構造物であっても, 軸方向に一様な引張 圧縮荷重を受ける場合は はり とは呼ばない. 複雑な機械構造物であっても, その一部を取り出すと はり に置き換えることができるケースが多いため, はり は材料力学で扱うもっとも重要な問題の一つといえる. 初歩的な材料力学で扱うはりは, 図 1 に示す 片持ちはり, 両端支持はり, 一端固定他端支持はり, 両端固定はり の4 種類である. これらは, はりの上下方向の変形に対する拘束条件である 固定, 支持 という境界条件により分類できる. 固定 : たわみ ( 変位 ) とたわみ角がともに零未知量は反力と曲げモーメント支持 : たわみのみ零未知量は反力のみ前述の4 種類のはりにおいて, 未知量は順に,, 3,4 である. 前のつを 静定はり, あとのつを R 1 (a) 片持ちはり 1 R 1 R 1 1 R 1 R () 両端支持はり 1 R 1 R (c) 一端固定他端支持はり (d) 両端固定はり図 1 はりの種類 Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 80
419 不静定はり と呼ぶ. 静定はりでは, 力とモーメントのつり合いのみで未知量が求められる. 不静定はりは, 力とモーメントだけでは式が不足し, 図 10() の問題と同様, はりの変形を考慮する必要がある. () はり にかかる荷重はりにかかる荷重は 集中荷重 と 分布荷重 に分類できる. 前者は荷重を与える面積が小さい場合, 後者ははりのスパン ( 長さ ) に比較して荷重を与える長さが無視できない場合に使用される. ある長さにわたって一様な荷重を与える場合を 一様分布荷重 と呼ぶ. 集中荷重は力 (N), 分布荷重は単位長さあたりの荷重 (N/mm) で与える. (3) せん断力線図と曲げモーメント線図はりの断面にはせん断力と曲げモーメントが作用する. せん断力と曲げモーメントを評価する場合, 便宜上図 13のように符号を定義する. せん断力については, 断面の左側を右側に対して上向きにせん断しようとする場合を正, 曲げモーメントは上に凹に曲げようとする場合を正と定義する. それらの値について, はりの長さ方向の分布を表したものがせん断力線図 (Seaing oce Diagam, SD) と曲げモーメント線図 (Bending oment Diagam, BD) である. せん断力ははりの断面に沿った方向にせん断応力 を発生し, 曲げモーメントははりの断面に垂直な引張 圧縮応力 σを発生する. 曲げモーメントにより発生する応力は 曲げ応力 と呼ばれ, 通常せん断応力と比較してかなり大きいため, はりの強度を比較する上でもっとも重要な量である. 図 14に SD と BD の例を示す. せん断力は, 新たなせん断力成分が作用しない限り, 力のつり合いより荷重点や支持点からの距離に関係なく一定である. 一方, 曲げモーメントは力 距離であるために長手方向に大きく変化している. はりの破損は, 通常最大曲げモーメントが発生する位置で発生する.SD と BD の詳細な求め方は紙面の関係上省略するが, 自由物体の考え方を図 15に示した片持ちはりについて紹介する. はりの端部から の距離の断面におけるせん断力 R と曲げモーメント は次式で表される. それぞれ第 1 項が集中荷重, 第 項が分布荷重 による成分である. +R + +R -R (a) せん断力 R () 曲げモーメント - -R 図 13 せん断力と曲げモーメントの符号 SD BD 1 3 3 8 SD BD SD SD R 1 R BD (a) (c) 8 () BD 図 14 SD と BD の例 R = + = + = + (d) / / / (4) 分布荷重によるモーメントについて, 腕の長さは自由物体の重心までの距離 / である. 式より, せん断力に対して, 集中荷重は距離に関係なく一定, 分布荷重は の一次関数となっている. 曲げモーメントについては, 集中荷重が の一次関数, 曲げモーメントが の二次関数となっている. (4) 曲げ応力の計算はりに発生する曲げ応力 σ は, 曲げモーメント と断面 次モーメント I から求めることができる. σ = I / (5) は中立軸からの距離であり, 矩形断面や円断面の場合は中央断面からの距離となる. 式から明らかなように, 曲げ応力 σ は中立軸からの距離 に比例し, 最大値ははりの上下面で発生する. 図 16は, 端部に集中荷重 を受ける片持ちはりについて, 各断面に発生する曲げ応力を示している. 式 (4) を参照すると, 端部から距離 の断面における曲げモーメント は となる. 固定端に向かって の一次関数として が増加し, それに比例して式 (5) で求められる曲げ応力 σ が大きくなっている. また各断面おいて, 上面で最大引張応力, 下面で最大圧縮応力が発生し, その間の応力は中立軸からの距離 に比例して直線的に変化してい Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 81
40 / R (a) 荷重条件 () 自由物体図 15 自由物体の考え方 >0 ρ d d < 0 引張応力 図 17 はりのたわみ ma = 圧縮応力 =/ =/4 図 16 片持ちはりの曲げ応力 る. 各断面における最大曲げ応力 σ m を求めるために は, 上下面の の大きさを ma として曲げモーメント を I / ma で割ればよい. ここで I / ma は 断面係数 と呼ばれる量で, 長さの 3 乗の次元を持ち通常 Z で表す. σ m = σm = (6) I / Z ma 断面係数 Z の具体的な計算式を下記に示す. 長方形断面 ( 幅, 高さ ) I I Z = = / = 6 (7) ma 中実円断面 ( 直径 d) 4 3 I πd / 64 πd Z = = = (8) d/ 3 ma 中空円断面 ( 内径 d i, 外径 d o ) I π Z = = = d / 3d 4 4 4 4 ( do di )/64 π( do di ) ma o o (9) (5) はりの曲げとたわみ図 17 は, 曲げモーメント によりはりがたわむ様子を示している. たわみ量 は次式によって求めることができる. d 1 = = d EI ρ (30) 曲げモーメント とたわみの座標の取り方に対応するために, 右辺にマイナス記号が付いている.E,I はヤング率と断面 次モ - メント,ρ ははりが変形したときの曲率半径である.E と I は, はりの材料と断 面形状によって決まるので, 荷重を受けたときの曲げモーメント線図 (BD) が与えられると, 上式を積分することによってはりのたわみ曲線を求めることができる. 二階の微分方程式であるため, を求めるために積分は 回実行される. その際の積分定数は, 固定 あるいは 支持 というはりの上下方向の変形に対する境界条件により決定できる. 固定 の場合はたわみ () と傾斜角 (d /d) がともに零, 支持 の場合はたわみ は零となるが, 支持点ではりの軸線が水平からある角度傾くので傾斜角 d /d は有限な値となる. 以上をまとめると, 固定点 : = 0, d / d = 0 支持点 : = 0 図 1を参照すると, 静定はり である 片持ちはり と 両端支持はり の場合, 反力と曲げモーメントのつり合いのみからせん断力線図と曲げモーメント線図を描くことができるので, はりの曲げ応力とせん断応力を評価する場合, はりのたわみを考慮する必要はない. 一方, 不静定はり である 両端固定はり では, 求めるべき未知数の数が支持点の反力がつと曲げモーメントがつの計 4 個, 一端固定他端支持はり では反力がつと曲げモーメントが1つの計 3 個であるため, 上記のたわみ曲線の微分方程式を必ず解かなければならない. 静定はりの一例として, 端部に集中荷重 を受ける長さ の片持ちはりの場合, はりのたわみ とたわみ角 θは以下のようになる. 3 3 = ( 3+ ) 6EI (31) d θ = = ( ) d EI 最大たわみ ma と最大たわみ角 θ ma は荷重点 ( =0) で発生する. Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 8
41 ma 3 =, θma = (3) 3EI EI 以下に, 片持ちはりが等分布荷重, 両端支持はりが中央に集中荷重及び全長に等分布荷重を受けた場合に発生する最大たわみと最大たわみ角をまとめている. (N/mm) ははりの単位長さあたりにかかる荷重の大きさである. 両端支持はりの場合, 最大たわみははりの中央, 最大たわみ角は両端の支持点で発生する. 片持ちはり, 等分布荷重 ma 4 3 =, θma = (33) 8EI 6EI 両端支持はり集中荷重 ( 中央 ) ma 3 =, θma = (34) 48EI 16EI 両端支持はり等分布荷重 ma 4 3 5 =, θma = (35) 384EI 4EI 集中荷重の場合, 最大たわみははりの長さ の3 乗, 分布荷重の場合は の4 乗に比例しており, 最大たわみ角はそれぞれ の次数が1ずつ低い. (6) はりと板の曲げ剛性式 (30) から明らかなように,EI が大きいほどはりの曲率半径 ρが大きくなり, 曲がりにくくなる.EI を はりの曲げ剛性 と呼ぶ. はりの剛性を上げるためには, ヤング率 E の大きい材料を選ぶか断面 次モーメントIを大きくすればよい. ヤング率は, 炭素鋼とアルミニウムでも約 3:1と材料によってさほど大きく変化することはない. そこで, 例えば長方形断面ではIは断面の高さ の3 乗に比例するので, 図 11() に示したように高さを大きくして断面 次モーメントを大きくする方法が有効である. ところで, 高さ, 幅 の長方形断面のはりを幅方向に多数並べると平板と見なすことができる. そのような平板の曲げ剛性は, 単純に板幅を考慮して求めた EI ではなく,EI (1-ν ) となり, はりに比べて 1 / (1-ν ) 倍大きい. ポアソン比 νを 0.3 とおくと約 10% 剛性が高いといえる. はりを曲げた時の断面形状の変化に着目すると, 引張り側では外に開くように変形し, 圧縮側では内側に変形する. 一方平板の場合には, 仮想的に中央部から 単位幅のはり を取り出しても, 側面が拘束されているためにはりのような変形が起こらない. その結果 1 / (1-ν ) 倍剛性が高くなる. (7) 曲げ応力の特性を考慮したはりはりの断面に発生する曲げ応力は, 図 16に示したように表面で引張応力と圧縮応力の最大値が発生し, 上下表面の間は 直線的に変化する. その結果, 表面近傍に比べて中立軸周辺の材料が受け持つ荷重の割合は小さい. したがって, 表面近傍のみ高い応力に耐えられる形状のはりを使用することは当然の方策といえる. 表面付近の幅を大きくして中央部を細くした I 形鋼 はそれを実現したはりであり, 軽量化とともに十分な強度を維持することが可能となっている. このようなはりの断面 次モーメントは, 図 18に示したように引き算や足し算によって求めることができる. この手法は, 中空軸をはじめとする様々な断面形状を有するはりの断面 次モーメントの算出に適用できる.5 章で紹介した断面 次モーメントの計算式は, 長方形と円の中央断面に対する式である. 断面 次モーメントの引き算や足し算を実行する場合, モーメントの対象となる軸が中立軸以外の場合の断面 次モーメントの値が必要となることがある. その場合に有力な手段となるのが 平行軸の定理 である. 中立軸から a だけ離れた軸に対する断面 次モーメントI a は, 中立軸に対する値をI, はりの断面積を A として次式で求められる. Ia I aa = + (36) つぎに, はりの長手方向の曲げモーメントの変化に着目する. 端部に集中荷重 を与えた時, はりに発生する曲げモーメント は, はりの端部からの距離を として = となる. はりの断面が幅, 高さ の長方形断面の場合, 発生する最大曲げ応力は式 (6) より 対象断面 対象断面 I の引き算 I の引き算 I の足し算 (a) 断面 次モーメントの引き算と足し算 o 面積 A () 平行軸の定理 a I I a 図 18 断面 次モーメントの引き算 足し算および平行軸の定理 Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 83
4 σ = Z = / 6 /( ) となる. そこで, / ( ) が一定となるようにはりの断面形状を長手方向に変化させると, はりの各断面における表面の最大曲げ応力が一定となる 一様強さのはり となる. はりの幅 を変化させる場合は / が一定となり, 高さ を変化させる場合は / が一定となる. それぞれの一様はりの形状は, 最大曲げ応力をσ m として以下の式で表される. 6 = 0 ee 0 = σ = 0 ee 0 = m 6 σ m (37) また, 片持ちはりが全体に等分布荷重 を受ける場合は / ( ) が一定となる. この場合の一様はりの形状は以下の式で表される. 3 = 0 ee 0 = σ = 0 ee 0 = 3 σ m m (38) 図 19に幅と高さを変化させた場合の一様強さのはりの形状を示している. 上記以外にも, 様々なケースについて各断面の最大曲げ応力が長手方向に一定となる 一様強さのはり を求めることができる. しかしながら, 長手方向に形状を変化させることは製造コストの大幅な増加につながるので, 通常は I 型鋼のように長手方向に形状が変化しない部材が使用されることが多い. 0 0 (a) 一定 一定 集中荷重を受ける片持ちはり 0 0 図 19 一様強さのはり 一定 一定 () 分布荷重を受ける片持ちはり o / 図 0 集中荷重と分布荷重 3/4 =/ /3 = o / (8) 集中荷重と分布荷重はりが受ける荷重の形態として集中荷重と分布荷重があることは () 節で述べたとおりである. 長さ の片持ちはりの端部に集中荷重 が作用するとき, 自由端から固定端に向かって 座標をとると, 最大曲げモーメントは固定端で発生して ma = となる. もし同じ大きさの荷重 が全面に等分布荷重 = / として作用した場合, 曲げモーメント は / と座標の二次関数になり, 最大曲げモーメントは ma = / = / と集中荷重の場合の半分になる. しかしながら, 全荷重 が等分布荷重の中心であるはりの中央に集中荷重として作用すると考えると, / となる. このことは, 最大曲げモーメントに関する限り, 全荷重を荷重の中心に作用すると仮定して求められることを示している ( 式 (4) 参照 ). たとえば図 0に示したように, 片持ちはりの自由端側の / の部分に作用する等分布荷重によって固定端に発生する最大曲げモーメントを求める場合, 大きさ / の集中荷重 が腕の長さ3 /4のモーメントとして固定端に作用すると考える. 分布荷重が三角形になった場合は, 等分布荷重による全荷重が三角形の重心に作用する集中荷重に置き換えればよい. 荷重はある面積に対して作用するので厳密な意味での集中荷重は存在しないが, 分布荷重を集中荷重と置き換えることによって計算がかなり簡略化できることが多い. また長いはりの場合,3 章の (5) 節で説明した自重が問題となることがある. その場合は, 材料の密度から求められる自重を単位長さあたりの分布荷重に置き換える. (9) はりのせん断応力長さ, 断面が幅, 高さ の長方形断面を持つ片持ちはりの端部に集中荷重 を与えた場合を考える. はりの断面に働くせん断応力 ははりの位置に関係なく一定で, 曲げモーメントによる最大応力 σは, はりの固定端に発生する. この場合, とσ の大きさと両者の比は以下のようになる. = / A = /( ) σ = / Z = /( / 6) = 6 /( ) (39) / σ = /(6 ) Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 84
43 仮にはりの長さ が高さ の 10 倍とすると, は σ の 60 分の 1 となり, その影響は無視できると考えられ る. しかしながら, 高さと長さの比が小さくなると の影響が無視できなくなる場合があるので注意を要する. なお, 曲げを受けるはりの断面に発生するせん断応力は, 厳密には中央部で高くなり, 最大値は上記の平均せん断応力より 50% 大きい. 7. 軸のねじり (1) ねじりモーメントにより発生するせん断応力プロペラをはじめとして, 動力を伝達する回転軸にはねじりモーメント T( トルク ) によるせん断応力 が発生する. 軸が伝達する動力 P(W) は, ねじりモーメントT(N m) と軸の角速度 ω(ad/s) の積として求められる. P = Tω = T πn/ 60 (40) ここでnは軸の回転数 (m) である. 図 1(a) は, 軸がねじりモーメントTを受けて, せん断応力 とせん断ひずみγが発生している様子を示している. この場合に発生するは, 図 (c) を参照すると円筒座標系における θz に対応している.γが小さい場合はγ tanγと置くことができるので, フックの法則より以下の式を得る. φ = Gγ G = Gφu (41) φ u は単位長さあたりのねじれ角である. つぎに図 1 () を参照すると, せん断応力 にリング状の微小面積 π d と軸中心までの距離 を乗じ,0 から まで積分 T (a) ねじりによるせん断ひずみ T 0 γ γ φ T T o d () トルクとせん断応力 (c) せん断応力の分布 図 1 軸のねじりにおいて発生するせん断応力とせん断ひずみ した値はトルク T と等しい. それに上式の と φ u の関係を代入すると次式を得る. 3 π π φ 0 u φ 0 u T = d = G d = G I (4) I は5 章で説明した断面 次極モーメントである. ここで GI は,6 章 (6) 節のはりの曲げ剛性 EI に対応して 軸のねじり剛性 と呼ばれ, 軸のねじれにくさを表す. 式 (41) をφ u =/G と変形して上式に代入すると, ねじりモーメントTからを求める式が得られる. = T I / (43) この式を用いると, 軸の形状から とI を求めて, 伝達するトルク T に対して軸に発生するせん断応力 が求められる. 上式は, 以下に示すように曲げ応力を求める式 (5) と非常に似通った形をしている. せん断応力 曲げ応力 σ ねじりモーメントT 曲げモーメント 断面 次極モーメントI 断面 次モーメント I 軸中心からの距離 中立軸からの距離 その結果, 図 1(c) に示すようにせん断応力 は半径に比例し, 最大値は軸の表面で発生する. すなわち, 最大せん断応力 m を求めるためには, 軸の半径を o として, ねじりモーメントTを I / o で割ればよい. ここでI / o は ねじりの断面係数 ( 極断面係数 ) と呼ばれる量で, 長さの3 乗の次元を持ち通常 Z で表す. T m = (44) Z 断面 次極モーメントI に対応して, ねじりの断面係数 Z の具体的な計算式を下記に示す. 中実円断面 ( 直径 d o = o ) Z Z 4 3 I πdo / 3 πdo = = = (45) d / d / 16 o 中空円断面 ( 内径 d i, 外径 d o ) I d d d d = = = d / d / 16d o 4 4 4 4 π( o i ) / 3 π( o i ) o o o (46) () 中空軸の有用性曲げを受けるはりにおいてI 形鋼が有効であるのと同じ理由で, 軸を中空にすることはねじりを受ける軸に対して有効である. そこで, 中空軸の有効性を 外径 d o, 内径 d o / の中空軸と直径 d o の中実軸に発生する最大せん断応力の値を比較する という簡単な例題で説明する. 中空軸は直径の 1/ まで中空となっているので, 中実軸と比較して 5% 重 Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 85
44 量が減少する. 同じ大きさのねじりモーメントを受ける場合につの軸に発生するせん断応力の比は, 式 (44) より中実軸と中空軸の Z の比となることがわかる. Z πd 16d 16 ( ( / ) ) 3 ollo solid o o = = 4 4 solid Z π d o do ollo = 16 /15 = 1.067 計算結果より,1/ まで中空にしても応力増加は 7% 程度にとどまっていることがわかる. (3) だ円断面軸と長方形断面軸の強度だ円軸にねじりモーメント T を与えた場合, せん断応力の最大値 は幅の狭い短径側の表面に発生し, 長半径を a, 短半径を として下記の式で計算できる. T π a = (47) ここで a = = d / とおくと, 円断面に対する式と一致する. また長方形断面軸をねじった場合, せん断応力の最大値は同じく幅の狭い方の表面中央で発生する. その場合のせん断応力は, 辺の長さを m, n (m > n) として次式で計算できる. 1 T = (48) k mn 1 k 1 は m / n とともに増加し m / n = 1 ~ に対して 0.08 から 0.333 まで変化する. 以下, マリンエンジニアのための材料力学入門講座 ( その 3) に続く. Jounal of te JIE Vol. 44,No.3(009) 86