九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a> とし, つの曲線 y= ( ), y= a ( > ) を順にC, C とする また, C とC の交点 P におけるC の接線をl とする 以下 の問いに答えよ () 曲線 C とy 軸および直線 l で囲まれた部分の面積をa を用いて表せ () 点 P におけるC の接線と直線 l のなす角を ( a) とき, limasin θ( a) を求めよ a θ とする > θ( a) π) < < この --
九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 辺の長さが の正方形 OABC を底面とし, 点 P を頂点とする四角錐 POABC が ある ただし, 点 P は内積に関する条件 OA OP=, およびOC OP= を満たす 4 辺 AP を: に内分する点をM とし, 辺 CP の中点をN とする さらに, 点 P と直線 BC 上の点 Q を通る直線 PQ は, 平面 OMN に垂直であるとする このとき, 長さの比 BQ:QC, および線分 OP の長さを求めよ --
九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ横一列に並んだ6 枚の硬貨に対して, 以下の操作 L と操作 R を考える L: さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する R: さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する たとえば, 表表裏表裏表と並んだ状態で操作 L を行うときに, の目が出た場合は, 裏裏表表裏表となる 以下, 最初の状態 とは硬貨が6 枚とも表であることとする () 最初の状態から操作 L を 回続けて行うとき, 表が 枚となる確率を求めよ () 最初の状態からL, R の順に操作を行うとき, 表の枚数の期待値を求めよ () 最初の状態からL, R, L の順に操作を行うとき, すべての硬貨が表となる確率を求めよ --
九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 原点 O を中心とし, 点 A(, ) を通る円をS とする 点 B >, ) で円 S に内接 する円 T が, 点 C でy 軸に接しているとき, 以下の問いに答えよ () 円 T の中心 D の座標と半径を求めよ () 点 D を通り 軸に平行な直線をl とする 円 S の短い方の弧 AB, 円 T の短い方の弧 BC, および線分 AC で囲まれた図形を l のまわりに 回転してできる立体の体積を求めよ -4-
九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 実数, y, t に対して, 行列 y A= t, 4 B= 6 α を考える ( AB) が対角行列, すなわち β の形の行列であるとする () 命題 y t A= tb を証明せよ 以下,(),(),(4) では, さらにA E かつA 4 = E であるとする ただし, E は単位 行列を表す () y t= を示せ () と y をそれぞれ t の式で表せ (4), y, t が整数のとき, 行列 A を求めよ --
九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () C : y= とC : y= a を連立すると, これより, = a, = a = a, y= a より, P( a, a ) さて, より, y = となり, 点 P におけるC の接 線 l は, = a のときy = から, a ( y a= a ), y= + a a a すると, C とy 軸およびl で囲まれた部分の面積 S は, () より, a = a ( + ) S a a d= a 4 a = a a 4 y = a より, 点 P におけるC の接線 l の傾きは, = a y = a = 4 a a ここで, 軸の正の部分とl, l のなす角をそれぞれα, β とすると, tan α= a, tanβ= a tanα tanβ + tan( α β) = = a a + tanαtanβ ( ) = a + a a a a> よりtan( α β) > となり, θ( a) = α β からtan θ( a) = a a さて, a のとき, tan θ( a) から θ( a) となり, cos θ( a) より, limasin θ( a) = limatan θ( a)cos θ( a) = lim a cos θ( a) = = a a a a y a O P C a l l C [ 解説 ] 微積分の応用問題です また, 直線のなす角の扱いとしては, ここでは tan の加 法定理の適用が妥当でしょう -- 電送数学舎
九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ 条件より, OA= OC=, OA OC= P OA OP=, OC OP= 4 M さて, 点 M は辺 AP を: に内分する点, 点 N は辺 N B CP の中点より, OM= OA+ OP, ON= OC+ OP A Q C ここで, Q は線分 BC を t: t に分ける点とすると, PQ= OQ OP= ( t)ob+ toc OP O = ( t)(oa+ OC) + toc OP= ( t)oa+ OC OP さて, 直線 PQ が平面 OMN に垂直なので, PQ OM= となり, OP= k とおくと, (( t)oa+ OC OP ) (OA+ OP) = ( t) + ( t) + k =, t+ k = 9 4 4 4 また, PQ ON= から, (( t)oa+ OC OP ) (OC+ OP) = ( t) + + k =, t+ k = 4 4 4 より, t= となり, t= から, 点 Q はBC を: に外分するので, 4 4 BQ:QC=: k = = より, 4 4 4 6 また, ( ) OP= k= = 6 4 [ 解説 ] t の値が負になり計算間違いをしたかと思いましたが, 問題をよく読むと, 直線 BC 上の点 Q と記されていました このため, 上図の Q の位置は, 結論とは異なります なお, 文系で類題が出されています -- 電送数学舎
九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () L を 回続けて行うとき, 左端の硬貨は, 必ず表 裏 表と反転する これより, 表が 枚となるのは, 左端の硬貨が表, それ以外は裏という場合である このときは, 出た目が, 6 または 6 のいずれかより, その確率は, ( ) + ( ) = 6 6 8 () L, R の順に操作を行うとき, 出た目と表の枚数の関係は右表のようになる R R R R4 R R6 なお, 右表では, L の操作で の目が出るのを L, の目が出るのを L, の目が出るのを L,, R の操作で の目が出るのを R, の目が出るのを R, の目が出るのをR, と表している これより, 表の枚数の期待値は, L 4 L L L4 L L6 4 4 4 6 + + 8 + 6 + 4 4 + + 6 = 9 6 6 6 6 6 6 6 9 () L, R, L の順に操作を行うとき, すべての硬貨が表となるのは次の場合である (i) 最初の操作が L6 以外のとき L, R の順に操作を行ったとき表の枚数が で, 回目に 6 の目が出る場合より, L R L6, L R4 L6, L R L6, L4 R L6, L R L6 = となる 6 6 この確率は, ( ) (ii) 最初の操作が L6 のとき L, R の順に操作を行ったとき表の枚数がk のとき, 回目に6 k の目が出る場 合より, L6 R L, L6 R L4, L6 R L, L6 R4 L, L6 R L この確率は, ( ) = となる 6 6 (i)(ii) より, 求める確率は, + = である 6 6 8 [ 解説 ] パズルのような問題です () では, 期待値を求めるので, センター試験を解くときと同じように, すべての場合を表にまとめました すると, これが次の () への誘導となっていました -- 電送数学舎
九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () 円 S 上の点 B (, ) に対して, 条件より, 円 T の 中心 D は線分 OB 上にあることより, t を正の実数とし て, D( t, t) とおくことができる すると, DB= DC から, ( ) ( ) t + t = t ( ) t + = t ( ) これより, t= t から () 円 S : y れぞれy t= となり, 円 T は中心 D (, ) + =, T :( ) ( y ) =, ( ), 半径 である + = に対し, その上側の半円は, そ 9 y= + と表せる 9 ここで, 弧 AB, 弧 BC を直線 l: y= のまわりに 回転してできる立体の体積 を, それぞれV, V とすると, ( ) = π 4 ( ) V= π d π ( ) = π 4 π + 6 = π π π= π π 8 8 4 8 8 d { ( ) } = π { ( ) } V= π + d 9 ( ) = π 9 よって, 求める立体の体積を V とすると, V= V V = π π= π 8 7 4 = π π π= π π 8 8 4 8 y A B C O 9 D π d l [ 解説 ] 回転体の体積を求める計算問題です なお, V を求める際に, 円を対応させて定積 分の計算を一部, 省略しています -4- 電送数学舎
九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ y 4 () C= AB 6y 4 y = t 6 = とすると, t 4t C ( 6y+ 4 t) C+ {( 6 y)( 4 t) (4 y)( t)} E= O ( y t) C= C + {( 6 y)( 4 t) (4 y)( t)} E 条件よりC は対角行列であり, また E も対角行列なので, y t のと き, C は対角行列となり, 4 y=, t= よって, = t, y= 4t から, () まず, B + ( + 4) E= O より, t 4t A= = tb 6t t B = E さて, ここで, A= tb であると仮定すると, A = t B = t E, 条件より, 4 4 A = ( t E) = t E A E かつA 4 = E なので, t かつt 4 = となり, t = これは, t が実数という条件に反することより, A tb である すると, () より, () まず, y t= A + ( + ty+ y) E= O より, 4 A = ( ty y) E A E かつA 4 = E なので, A = ( ty y) E ty y かつ( ty y) = より, ty y= より, y= t となり, に代入すると, ( t+ ) ( t) =, t t = よって, t から, = t+, y 4 t = t + t t t = + t 4 (4), y, t が整数のとき, より t は の約数となり, 4 より t は の倍数となる よって, t=± であり, このとき, (, y, t ) = (7,, ), ( 7,, ) から, 7 A= 7, 7 7 [ 解説 ] 行列の演算についての問題です 上の解答例では, ハミルトン ケーリーの定理を, () では C について, () では B について, () では A について利用しています -- 電送数学舎