08 次数学セレクション問題 [ 東京大 ] > 0 とし, f = x - x とおく () x で f ( x ) が単調に増加するための, についての条件を求めよ () 次の 条件を満たす点 (, b) の動きうる範囲を求め, 座標平面上に図示せよ 条件 : 方程式 f = bは相異なる 実数解をもつ 条件 : さらに, 方程式 f = bの解を < < とすると > である --
08 次数学セレクション問題 [ 金沢大 文 ] 関数 f ( x ) は等式 f = x- + xf ( t) dtを満たすとし, f ( ) = 0 0 く 次の問いに答えよ () f ( ) を を用いて表せ () の値を求めよ () k は定数とする y = xf -kのグラフと y = x のグラフの共有点の個数を求 めよ --
08 次数学セレクション問題 [ 千葉大 ] を正の数とし, t は 0 t< を満たす数とする 点 (,( t t- )) における曲線 y = ( x-) の接線と, x 軸および y 軸で囲まれた領域を D( t ) とする () 領域 D( t ) の表す図形の面積を および t を用いて表せ () 領域 D( t ) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を を用いて表せ () s は 0 s t を満たす数とする 領域 D( t ) と領域 D( s) を合わせてできる領域 D( t) È D( s) の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を を用い て表せ --
08 次数学セレクション解答解説 [ 東京大 ] () f = x - x ( > 0) に対して, これより, f ( x ) の増減は右表のよ < < とすると, <- < < < であり, しかも > である条件は, 右図から, > - < b< f () = - ここで, の つの境界線 b=- とb= - の関 係は, 両式を連立すると, - = -, - + = 0 (+ )( - ) = 0 よって, =- で交わり, = で接する 以上より, 点 (, b) の動きうる範囲は, から, >, - < b< - f = x - = ( x+ )( x- ) x - うになる f ( x ) + 0-0 + すると, x で f ( x ) が単調に増加 f ( x ) - する条件は, 0 < である y () 方程式 f = bは相異なる 実数解をもち, その解を この不等式を b 平面上に図示すると, 右図の網点部になる ただし, 境界は領域に含まない α - O b - b O - β γ x [ 解説 ] 微分の方程式への応用問題です 内容は基本的です -6- 電送数学舎 08
08 次数学セレクション解答解説 [ 金沢大 文 ] () 条件より, ここで, 0 f = x- + x f ( t) dt = x- + x f ( t) dt 0 0 f ( t) dt= とおくと, f ( x ) = x- + x となり, f () = - + = + () より, f = x- + x = ( + ) x- ( x ) f =- x+ + x = ( - ) x+ ( x < ) に代入すると, 0 0 = f ( t ) dt = {( - ) t + } dt + {( + ) t -} dt = é ( ) t tù é ( ) t tù êë - + + + - úû êë úû = + 0 よって, =-となる () () より, f ( x ) =- ( x ), f =- x+ ( x < ) = ( - ) + + ( + ) - ここで, y = xf -k と y =- x を連立すると, すると, xf - k=-x, xf + x = k y = xf + x 5のグラフと y = k 6のグラフの共有点の個数 は, のグラフとのグラフの共有点の個数に一致し, 5より, (i) x のとき ( ) xf + x =- x+ x = x- - (ii) x < のとき xf + x = x( - x+ ) + x =- x + x =-( x - ) + (i)(ii) より, とのグラフの共有点の個数は, 右図より, 個 ( k< 0, < k), 個 ( 0, ) 0 < k < 6 k =, 個 ( ) y k O 5 x [ 解説 ] 置換え型の積分方程式と 次関数と方程式の融合問題です 誘導が詳しいので, 方針は明快です -7- 電送数学舎 08
08 次数学セレクション解答解説 [ 千葉大 ] () 曲線 y = ( x-) に対し y = ( x-) となり, 0 t< に おいて, 点 (,( t t- )) における接線の方程式は, y -( t- ) = ( t-)( x- t) y = ( t-) x- t + すると, と y 軸との交点は (0, - t + ) となり, また x 軸との交点は t+ (, 0) である そこで, 接線 と x 軸および y 軸で囲まれた領域 D( t ) の O t x 面積を S( t) とおくと, S( t) t+ = (- t + ) = ( -t - t + t+ ) () より, S ( t) = (-t - t+ ) =- ( t- )( t+ ) すると, 0 t< における S( t) の増減は右表 t 0 のようになる これより, S( t) は t = のとき最 S ( t) + 0 - 大となり, 最大値は, S( t ) 8 S( ) = ( - - + + ) = 7 9 7 () 0 s t< のとき, 点 ( s, ( s- ) ) における接線の方程 y 式は, より, y = ( s-) x- s + さて, つの領域 D( t ) と D( s ) を合わせてできる領域 D( t) È D( s) の面積を T(, t s) とすると, (i) 0 s= t< のとき T(, t s) = S( t) より, () から最大値は (ii) 0 s<t<のとき を連立すると, 8 7 である ( t-) x- t + = ( s-) x- s + から, ( t- s) x = t - s, x = t+ s よって, T(, t s) = S( t) + {(- s + )-(- t + )} t+ s となり, T(, t s) = (-t - t + t+ ) + ( t + st -s t- s ) ここで, t をt= (0 << ) で固定し, s を 0 s< で動かすと考え, T(, s) = ( -t 0 - + + ) + ( + s-s - s ) y O s t x -8- 電送数学舎 08
T ( t 0, s) =- (s + s- ) =- ( s- )( s+ ) すると, 0 s< におけるT( t 0, s) の 増減は右表のようになる これより, T(, s) は s = のとき最大となり, 最大値は, t T t t t t t 08 次数学セレクション解答解説 t t t 0 0 0 0 ( 0, ) = ( - 0-0 + 0 + ) + ( 0 + - - ) 9 7 = 5 ( 0-0 + 0 + ) 7 t t t さらに, この状態を保ったままt 0 を 0 << で動かすと考え, 変数をt 0 から t に 戻し ( ) (, t U t = T t ) とおき直すと, U( t) 5 ( t t t ) U ( t) = 5 ( t - t+ ) 9 = (5 )( ) 6 t- t- すると, 0 <t< における U( t) の増減は右 s 0 = - + + から, 7 表のようになる これより, U( t) はt= のとき最大となり, 最大値は, 5 U ( 5 7 9 8 ) = ( - + + ) = 5 7 5 5 5 5 (i)(ii) より, T( t, s) は, t=, s= = のとき, 最大値 8 5 5 5 5 をとる ( 0, ) + 0 - T t s T(, s ) t 0 t 0 5 U ( t) + 0 - U( t ) [ 解説 ] 微分と最大 最小に関する問題です () は 変数関数が対象の設問で, 文字を固定して処理しています ただ, 重複をいとわず丁寧に記述したところ, かなりの分量になってしまいました -9- 電送数学舎 08