日本物理学会013年秋季大会 於 高知大学朝倉campus 講演1aSB-6 (013年9月1日 高スピン間の回転行列の数値評価における著しい桁落の回避方法 田嶋直樹 福井大工 1.回転演算子の角運動量固有状態基底での表現行列 D関数 をWignerの公 式で数値的に求めると 角運動量jが大きいとき著しい桁落ちが起きる j=1/ないし1との角運動量合成に関連する漸化式 で求める場合も同程 度の桁落ちが起きる. D関数をフーリエ 有限 級数で表せば非常に大きなjでも桁落ちはほと んど起きないことを示す 3.本講演では フーリエ 展開係数は数式処理で求めてデータファイルに書 き出しておき 数値計算プログラムはそれを読み込んで使う 数値計算プ ログラム内で係数を計算できる桁落ちの小さい公式を考案すべく研究中
(D Euler ϕ, θ, ψ ˆR(ϕ, θ, ψ = e iϕĵz e iθĵy e iψĵz D j mk = jm ˆR(ϕ, θ, ψ jk = e imϕ e ikψ d j mk(θ, d j mk(θ = jm e iθĵy jk Ĵy d i mk(θ D j mk Wigner Bohr-Mottelson d j mk(θ ˆR d i mk(θ 1
Wigner [1] d j mk(θ = n ( 1n t n (j, m, k; θ, n : integer in [max(0, k m,, min(j m, j + k], t n (j, m, k; θ = (j + m!(j m!(j + k!(j k! (j m n!(j + k n!(n + m k!n! (cos θ j+k m n ( θ m k+n, j j θ = π, m = k = 0 j n = j ( t n j, 0, 0; π ( t j/ j, 0, 0; π = 1 j = 1 j j! (j n!n! j! (j/!, πj j t n 1 d j mk(θ j 54 (114 Wigner ( j + 1 = j 1, j + 1 = j 1 [] [1] e.g., see M.E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, 1957. [] Fast and accurate determination of the Wigner rotation matrices in the fast multipole method, H. Dachsel, J. Chem. Phys., 14, 144115 (006
d 60 0,0 ( π = 0 0.000000000000000 1-0.000000000000003 0.00000000000717 3-0.000000001015688 4 0.000000064810 5-0.0000587176415 6 0.0017394685417 7-0.193700957098 8 5.6781885730146 9-189.55436778016883* 10 4930.30910596191*** 11-101865.89061905353**** 1 169847.45669080***** 13-3155503.7834087****** 14 60971973.17156********* 15-4549643.48665******** 16 19413868191.71305********** 17-13005764080.1619********** 18 7418389580.701*********** 19-36666801607.795*********** 0 1540899133756.48************ 1-5595779170091.55************* 173770413466341.4************** 3-474337385719086.94************* 4 117374793488593.8************** 5-33774371777948.*************** 6 43660880810631.*************** 7-6717584118044.*************** 8 9330976109648.*************** 9-1136131970634956.*************** 30 1131364708546436.*************** 31-1136131970634956.*************** 3 9330976109648.*************** 33-6717584118044.***************
34 43660880810631.*************** 35-33774371777948.*************** 36 117374793488593.8************** 37-474337385719086.94************* 38 173770413466341.4************** 39-5595779170091.55************* 40 1540899133756.48************ 41-36666801607.795*********** 4 7418389580.701*********** 43-13005764080.1619********** 44 19413868191.71305********** 45-4549643.48665******** 46 60971973.17156********* 47-3155503.7834087****** 48 169847.45669080***** 49-101865.89061905353**** 50 4930.30910596191*** 51-189.55436778016883* 5 5.6781885730146 53-0.193700957098 54 0.0017394685417 55-0.0000587176415 56 0.000000064810 57-0.000000001015688 58 0.00000000000717 59-0.000000000000003 60 0.000000000000000 total = d^{60}_{0,0}(pi/= 0.10578173008570
d j km Wigner cos n θ m θ x = θ x = 1 cos x + 1 3 x = 3 4 3x + 3 4 x cos x = 1 cos x + 1 cos 3 x = 1 4 cos 3x + 3 4 cos x µx cos νx = 1 (µ + νx + 1 (µ νx { kθ kθ, cos 0 k n + m} d j mk(θ = n cjmk n cos nθ where n = j, j 1, for m k : 0 1 even odd for j : even odd c jmk n = 1 νπ 4π 0 d j mk(θ where ν = cos nθ dθ for m k : even odd for n = 0 m k:even 1 other wise and Wigner formula dj mk
d 7 1, 1 (θ = 144 7 ( θ 144 = 35 ( 7 t d 7 1, 3 (θ = 48 15 cos ( θ 5 ( 5 t cos ( θ = 7 15 cos ( 7 t d 4 1, (θ = 45 9 6 ( θ 48 5 ( θ 1 + cos4 ( + 15 3 t 64 cos3 3 15 cos ( 5 t cos ( θ 7 ( θ + cos3 40 ( θ ( θ 3 ( t 8 9 ( θ 4 ( θ 1 + cos5 ( θ cos6 ( θ ( θ 4 ( θ 36 ( 15 cos 3 t ( 3 15 cos θ 64 ( t 5 ( θ 48 cos5 ( θ 3 ( θ 7 = 7 (4 t 7 (3 t 3 ( t 3 t + (0 θ 3 d 4,0 (θ = 88 10 cos ( θ 6 ( θ 96 cos4 ( θ 4 ( θ 36 + cos6 ( θ ( θ 96 = 7 10 cos (4 θ +0 cos(3θ 4 10 cos ( θ +0 cos(θ 3 10 cos(0θ 64
c jmk n Maxima 0 Mathematica j max j d j mk j4. 8byte j max = 50 5MB, j max = 100 400MB, j max = 00 6.4GB d j mk(θ Wigner j m, k j (j + 1 (m, k d j mk(θ = ( 1 m k d j km(θ = ( 1 m k d j m, k(θ = d j k, m(θ 1 4 {(m, k 0 m j, k m}
cos nθ, nθ : n cos nθ, nθ nθ, cos nθ = cos θ, θ θ, cos θ n n (= cos nθ, nθ nθ, cos nθ = cos θ, θ θ, cos θ n 1 cos θ, θ θ, cos θ, cos θ = cos θ θ θ = θ cos θ nθ, cos,cos n nθ > π 4 π [ π 4, π 4 ] n
まとめ 1.回転演算子の角運動量固有状態基底での表現行列 D関数 をWignerの公式 で数値的に求めると 角運動量jが大きいとき著しい桁落ちが起きる j=1/ないし1との角運動量合成に関連する漸化式で求める場合も桁落ちに大 幅な改善は見られない. D関数をフーリエ 有限 級数で表せば非常に大きなjでも桁落ちはほとん ど起きないことを示した 3.本講演では フーリエ 展開係数は数式処理で求めてデータファイルに書き 出しておき 数値計算プログラムはそれを読み込んで使った 現在 数値計 算プログラム内で係数を計算できる桁落ちの小さい公式を考案すべく研究を 継続中である 4. 関数値が非常に小さい場合に限り Wigner公式のほうが誤差が小くなるこ とがある あらゆる用途を想定して 最終的には引数によってはWigner公式 に切り換えるようプログラムを改良すべきである