2 目標円周角と中心角との関係 ( 円周角の定理 ) を理解し角度を求められる ~ 円に関する基本事項の確認 ~ 円周角弧 記号中心 (O origin )点(P point )半径(r ragins ) ( 円 ) 中心から等しい距離にある点の集合 ( 半径 ) 円周上の 点から円の中心まで引いた線分の長さ ( 直径 ) 円周上の2 点間の距離の最大値 ( 円周 ) 円を形づくる線 ( 孤 ) 円周上の2 点で分けられたそれぞれの円の部分 ( 弦 ) 円周上の2 点を結ぶ線分 課題 次の図の x の値を求めなさい 二 弦 _ 入 直径 儀中心角 () (2) P とはし In 円町たし 427し ytz z! は A B 272748 なり糦嶰蒲 i: 考え 式 直線 PO を引き延長線上に 2 底角が 4 2 をおくつの の外角性質で 0 0 AP 0 0 BP は二等辺く P 0 3 4 2 4 2 と三角形 -.-8 Z が 4. の図ようになる 0 PB 2 2 し十 8480 の外角性質より 2 は Z となる 以上から 2 には十 Z 2 0 rio COA 0 P 0 3 より 4 2 に以上から 7 し 6 0 -.-.
80 まとめ 円周角 円周角の定理について つの弧に対する円周角 の大きさは その弧に対する中心角 の大きさの半分 である 2 同じ弧に対する円周角の大きさは 等しい 一 0 中心角 ~ 演習問題 ~ () (2) (3) / 円周月 9 0 504890 0 2 u 中心角 0 ' 円周角 x は中心角 0 0 死に対する円周角はの半分 どこでも等しい x x x ~ 発展問題 ~ () (2) (3) 2 〇 円周角外角の性質より つ. i なので 7 しが 3 6 ' 65 2304 iこ石の円周角 円周角は等しいので < y z 0 0 し 外角の 性質より 6 5 なので 9 0 x 十 ( x 十 3 6 ) 80 く ) に ) に 2 0 9 0 0 2 ) ( 4 4 x x x 3 0 0 2 2
中心角は円周角の 2 倍 目標円周角の定理や図形の性質を駆使して正確に解くことができる 考えた跡を図に残して解いてみましょう ( 簡単な説明を入れても良い ) ~ 基本問題 ~ 問 次の x y の角度を求めなさい () (2) (3), 瀬角 5530653595 80 な -50-35-35 x x y x y 注意 メモ欄 同じ弧から生まれる円周角はすべて等しい 問 2 次の x y の角度を求めなさい () (2) 4 0 円周月は箛 i 円周角 9 0 0 0 4 0 0 5 x x y 0 注意 メモ欄 ( ) く ACB は中心角 4 A 0 3 の半分なので 0 0 ( 2 ) 中心局 80 より円周再は 9080-90.4050
~ 発展問題 ( 補助線なし版 )~ が 4 0 () (2) だ " A Ile). く D 7 し鬱 B 2 く 0 0 AC 4 0 t 3 0 二 7 x x (3) x A 殲. 年, 毖頃 2 2 x 橘っしたメラン型 ~ 発展問題 ( 補助線必要版 )~ 2 4 ) ( t 3680 錯角 () (2) 2 に 4 4 ピンに 2 2 ( > しーー " 管 齡 " 33+30637 氎 2 4 2 0 で に 2 0 年 一 y 人 ) に 5 0 6 3 B D D ( を結ぶと ADC い ) し円周角の定理より _ さ < DCB も 9 0 4 BDC A C x BDC で 8075+90 5 nrnnr
2 知識 円に関する知識を利用し円周角の定理を証明しよう () OPA で円の半径なので 0 A また三角形の外角の性質から AOB OPA + OAP 2 0 ON 2より AOB2 OPA したがって APB AOB の POP の 2 4 A B (2) 補助線としてを結ぶ直径を引くと OPA と OPB は二等辺三角形だからそれぞれの底角を図のようにっけ x yとするとっに 2 2 ( 4 0 OPA で AOK AP 十く 0 PA 0 つし 4 OPB で BOK 0 PB t 4 0 3 P 2 い, てはななは k AOB BOK- AOK なので x - - 2 つ 2より AOB 4 に 2 ( 2 し ) 吻 また APB y- x だから APB 2 AOB A " B が世
(3) 直径 POK をひき三角形を2つに分ける OPA で OP と OA は円の半径なので OP 0 A P よって2 辺が等しいので二 OPA は等辺三角形となるので 2つの底角 O は等しくなる人二つまり 0 PA OAP また三角形の外角の性質から AOK 0 PA + 0 A 2 2より AOK2 0 PA 3 OPB でも同様に考えると BOK2 0 PB 4 A つ 0 x 0 0 '" N B AOB AOK+ BOK なので 3 4から 0 AOB2( PA 0 + PB ) 2 APB したがって APB AOB 2
目標弧の比と円周角の大きさの関係を理解し利用して解くことができる 課題 が 3 つし 垬 2 つ ( / / 考え方 両の円周月 < AFB 7 ( とおくと 同じ 孤の長さの 円周再 < B FC や 4 CED も等しく x となることを利用 てして孤の長さが 3 倍になれば角度も 3 倍でと AFD 3 つし 2 ) し 4 0 なので 7 に 2 0 3 7 に 3 2060 く AED 6 0 ( 2 6 同じ孤の長さの中心角 なのでくよ 等しい弧に対する円周角について つの円で 弧 生 2 2 し, まとめ 円周角の大きさ 等しいに対するは等しい 円周角弧の長さ 2 等しいに対するは等しい 3 弧の長さの比 円周角の大きさの比
~ 目標達成問題 ~ 次の図の x y を求めなさい () (2) t 弧の長が等しい 孤が 2 : 6 に 3 なので 中心角円周月もに 387 ( x y x 2652543 ~ 発展問題 ~ 右の図で 3 点 A B C は円周上にありえ弧 AB: 弧 BC: 弧 CA2:3:4である ) 4 7し ABC の3つの内角の大きさをそれぞれ求めなさい 27 し 9 等分された つの孤の円周再を 7 にな - 4 BAC 3 つ ( く ABC 4 7 ( 三角形の内角の和 8 より LA CB - 2 7 し 3 x 十 4 つけ 2 ( 80 ' 9 つし 80 ACB 4 0 K 2 0 以上より ABC 80 BAC 6 0.
目標点が同一円周上にあるか判断でき角度を求めることができる 課題 4 点 A~D が同じ円周上にある円はどちらでしょうか 図 図 2 説明 同じ円周上にあるならば円周再が等しいので は < ADB < AC B - 5 0 で等しいので〇 はく ADB も 4 ACB なので X 5 0 年 5 円周角の定理の逆について まとめ 2 点 P P が直線 AB について同じ側にあるとき APB AP ' 3 ならば 4 点 A B P P は同じ円周上にある ~ 目標達成問題 ( 判断問題 )~ 次の図で 4 点 A B C D が同一円周上にあるものを選び番号に をつけなさい 0 8 〇 〇 ロ O
- 円 ~ 目標達成問題 2( 求角問題 )~ 次の図で x y の大きさを求めなさい og TJ V 53580 ) にあるのでく に x x y - (3+44+39) 6 0 32323969 3.4 周上 ( 3 9 等しいので A ~ つは同 ~ 発展問題 ( 証明問題 )~ 次の図で ABC90 であるとき B E F D が同一円周上にあること を証明しなさい ABC 敗 9 0 ということは try の AC が直径ということ 2 AC が含まれた三角形 ( 円周上の点 ) の " は直角三角形なので ADC 9 0 3 D 2 〇より CBE 4 CDF 9 0 となり これは BF を直径とした円の 円周上に B. E F D があることを示し 2 いる
OB 目標接線の性質を理解し問題を解けるようになろう ~ 確認事項 ~ 円と接線について 中心 円の接線は中心と接線を結ぶ仞線分 ( ) と垂直に交わる 半径 接線覉 課題 次の図において PA PB は円の接戦であり点 A B はその接点である ACB70 のとき xの大きさを求めなさい 上下の 2 三角形つのは合同! し -.- -_- 半径 OA を引くと両の中心月が 4 0 xt ] AP BO 90+90+40360 つに 40 一まとめ O 円外から 3 いた 2 の本接線の長さは等しい いし 2 半径 接線し主の下直角三角形 考え方 円の接線について が合同になる ) " 為
~ 目標達成問題 ~ x の大きさを求めなさい () 島根県 (2) 神奈川県 0 AB は ロ AP 3 0 AE8 のとき DEF の周の長さを求め なさい V 二等辺三角形 3 0 し 90+90+30+2 し 3 6 0 ' 外角の い -33 7 に 50 性質より 33+3366 ~ 発展問題 ~ EA DF EC はそれぞれ 2 に 8090 点 A B C で円 O と接する接戦である -66 ED t DB t 3 Ft E F i 8 - y. 二 2 4 ED 十さが十 元十 EF 西 _ 十 -_- た ( 8 8 6 _ ( 二 おさえておくべき作図 () 円の接線の作図 ( 円外の場合 ) 円の接線の作図 2( 円周上の場合 ) 蠟 0 つの 周上に垂直潞 X ; 麗学務円 ( P から 20 P 垂線 〇 3 交点と (2) 円の中心の作図 (3)3 点を通る円の作図結んで実 3 てきとうな 鬱鬱 A 53 B C 円 0 てきとうな 2 点 垂直國 二等方線 の交点 の垂直溯 線
合同 目標円の性質や図形の性質などを利用し相似を説明できる 課題 x x 円周角 C DE DE C 2 組の角解答欄アイウエ ~ 目標達成問題 ~ 証明 ABC と APD で 43 AC 4 PAD ( 元 百 の 4 ACB 円周角 ) < ADP ( 市の円周百 ) 以上より 2 組の 月 がそれぞれ等しいので 0 ABC い AP D ] x 円に関する証明について まとめ 基本的な流れは相似 と同じ 円周月が等しいことや様な再の性質を用いよう
目標円に関する性質 定理が成り立つ理由を理解し利用して問題が解ける 私立対策の一つです高校でも使います ~ 円 三角形に関する重要語句 ~ 重心の定義 ABC の各頂点から対辺の中点に引いた線 ( 中線 ) は 点で交わるこの点のこと 重心の性質 ABC の重心を G BC CA AB の中点を各々 L M N とするとき AG:GP2: BG:GQ2: CG:GR2: 外心の定義 ABC の各頂点が同一円周上にあるときこの円を ABC の外接円といい外接円の中心を外心といいます 外心の性質 ABC の辺 BC CA AB の垂直二等分線は 外心で交わります 内心の定義 ABC の各辺が同一円の接線になっているときこの円を ABC の内接円といい内接円の中心を ABC の内心といいます 内心の性質 ABC の角 A B C の二等分線は内心で交わります ABC の内心から各辺に引いた垂線の長さは等しくなるまた ARAQ BPBR CPCQ が成り立つ
円に関する性質 定理. 円に内接する四角形の性質 2. 円に外接する四角形の性質 3. 接弦定理 4. 方べきの定理. 内接四角形 右の図で四角形 ABCD は円 O に内接している () A+ DCB の大きさを求めなさい 中心戒 巠 A に DCB で は 80 2 < DCB 3 6 0 なり (2) DCE の大きさを求めなさい : 今の問題より次の定理が成り立つことが分かる 円に内接する四角形の性質 向かい合う内角の和は80 である 2つの内角はそれに向かい合う内角のとなりにある外角に等しい 2. 外接四角形 AB0cm BC3cm CD 6cm AD 3cmであるとき AB+DC nnnr.hr 0 と AD+BC の長さをそれぞれ冖 - 求めなさいつまり向かい合う AB 十 DC 6 辺の和は AD + BC 6 等しい / し 3 6
ー 今の問題より次の定理が成り立つことが分かる 円に外接する四角形の性質 円に外接する四角形の向かい合う 辺の和は等しい AB+DCAD+BC 3. 接弦定理 AT は円 O の接線である右の図を利用して ATB BCT であることを証明しなさい く ATB っし, 43 C たよとよと Ty 前の内接四角形の性質より 4 PCT く PTA が成りを 7 く PCB く PTB ( 両の円周月 ) が く PCT. 4 PFA 9 0 ン人上より 4 つに 4 よ 今の問題より次の定理が成り立つことが分かる 接弦定理 円の接線とその接点を通る弦の作る 円周角はその角の内部にある弧に 対する円周角に等しい 4 3 CA t.ba S
4 4. 方べきの定理 定理を知ってから問題で慣れてみましょう 方べきの定理 次の 3 通りの等式が成り立つ PA PBPC PD PA PBPC PD PA PBPT PT () (2) x, (3) 3 X (4+3)2 し x ( っけ 7 ( ) 解くと 2 2 2 ( 2 に 2 7( X ( し t 2 ) 8 8-0402/- たるさに +2 し - ( xt 6 ) ( 7( ) 0 つに 4 X ( 2 し 4 _ ) x ( 2 4 3 ) 27 しを 3 7 し ) に +37 (-20) に 28'-/2