カテゴリー 日本建築学会構造系諭文集 第 576 号,7 7S,004 年 月 JStructConstrEng,AIJ,No 576,7 78,Feb,004 スウェイロッキングモデルに入力される地震エネルギーの限界値 BQUND F EARTHQUAKE INPUT ENERGY T SWAY,RCKING BUILDING MDELS 竹脇 出 Izurn TAKEWAKI * Anew critical excitation me 重 hod isdevelopedf}r a Clampedlineqrelastic struc 重 u e supported by a sway rocking sys 重 em lhe input energies to the sway rocking mode 止 and to the supel structure only during an earthquake are introduccd as a new measure of cri 重 icalityit isshown tha 重 thefomiulatien of theearthqualfe inputenergy in 重 he frequency domain is essential forsolセingthecriticalexcitation problem and derivin9bounds on the earthquake inputenergies,itisdemonstrated that the analysis of thebounds on 重 he inputenergies 重 o th6 sway rocking model and to the super structure only isusefu for urderstanding the ratio of the input energy to thesuper s 恤 cture tothatto the total system invarious soil condi 重 ions Keyw 侃 ls; Criti a excitation iethod, Earthguake input energy,sway rocking n0det,freguency domain analysis, Robust design,soil st 厂 ucture intleraction 極限外乱法 地震入力エネルギー スウェイロッキングモデル 周波数領域解析 ロバスト殻計 構造物地盤相互作用 序 地盤条件の差異が地震時の構造物の被害様相 に大きな影響を及ぼす報告が過去の地震において数多くなされており 同時に 構造物 と地盤の動的相互作用も構造物の被害状況に少なからぬ影響を及ぼ すという報告がなされている e これまでに 構造物と地盤の動的相 互作用に関する研究は 主として変形や力に関するものが多く, 地 震入力エネルギーを論じた研究は数少ない その原因としては 両者の動的相互作用を考慮した場合には挙動が複雑となり 振動数 領域での解析が適したモデルもある 入力エネルギーを定義する ことが容易ではなかったことや 地震動の有する不確定性と地盤物 性等の不確定性とが相俟って 基礎固定モデルに比べて評価のばら つきが大きいこと等が挙げられる 系に入力される地震エネルギーの取り扱いについて論じた研究であ る 本論文で提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematicinteraction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容易 に取り扱うことが可能である さらに 本論文の最後において kinematic interaction の効果を考慮した場合の地震入力エネルギーも 上部構造質点や基礎に作用する慣性力を考えることにより比較的容易に評価できることを示す 地動を受ける上蔀 自由度 SR モデルへ の入カエネルギ尸 自由地表面加速度入力 tig t = a t を受ける質 fim 剛性 k, 粘 性減衰係数 c の上部 自由度 SR モデルを考える 図 参照 基礎 本研究では 構造物と地盤の動的相互作用を考慮したモデルとし と上部の質量をそれぞれ mo,m 基礎と上部の各々の重心回りの回 てスウェイロッキングモデル SR モデル を取り上げ SR モデ ルに入力される地震エネルギーについて考察する 特に 地盤ばねやダッシュポットまで含めた全体システムに入力されるエネルギー と 構造物に入力されるエネルギーの関係について論じ さらに 転慣性をそれぞれ IR, IR で表す 上部の質点の基礎からの高さを h で表す 地盤の水平と回転に関するばね剛性とダッシュ絮ット減 衰係数を kh,kr,ch,cr で表す 自由地表面に対する基礎の水平変 位 スウェイ を UF 回転 ロッキング を ef で表し ロッキン 地震動特性の変動に伴う地震入力エネルギーの上限値について論じ る これまでに 構造物に入力される地震エネルギーに関する研究 は数多く行われ 多くの成果が得られている 例えば 6 本論 文は 文献 6 で提案さ れた方法を SR モデルに拡張し 相互作用 グ成分を含まない基礎に対する上部質点の相対変位を u で表す こ のモデルに対する運動方程式は次式で与えられる Mti + C 血 + Ku =_ M 所 8 ここで 京都大学大学院工学研究科都市環境工学専攻教授工博 Prof,Dep し of Urban and Environmental Engineering,GraduateSchool Df Eng, Kyoto University,Dr Eng 7 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
ロ M tig t 図 地動加速度を受けるスウェイロッキングモデル 三瓢劇 K C di g CH R,u { uu θ F } r = { 00 } T a e 本モデルでは 基礎のインピーダンス評価において スウェ イと ッキングの連成を考慮しない 基礎の埋め込みを考慮した場合の 取り扱いは 8 節で触れる 本 SR モデルへの入力エネルギーを考える ベクトルの転置を > T で表す時 式に nt を前掛けして 0 から to まで時間積分すると次式を得る 〆 TM 魂 を otc 岫 utk 智 廖 otm 噌 ザ 3 4 を部分積分し tig 0 = tig to の条件と M,r の具体的表現を代入して変形すると次式が得られる 勝 [fi Mni k TM 倉 面 d = 虐 { mti + mo + m ab F + mh θ F }digdr を { 用 o @ 9 + ab F + M tig+ tl F + 碗 + の Mo + m tig } tigdr 倉 { 川竃 a 9 + 亘 F + 朋 tig + b F + θ F ん + の } tigdt [ X り + 已 8 智 耀 { m @ 9 di F + m dig ab F 躯の }tigdt 4 4 式の最下式の { } の中の表現は 基礎と上部質点に作用する慣 性力の総和を表しており 4 式は 地面 自由地表面 が SR モデルに対してなす実仕事とザが致することを示している 構造物の線形弾性応答に限定すれば 地震入力エネルギーは時間領域のみならず 振動数領域でも表現できることは知られている S 7 9 6 π, π F, あ, % のフーリ工変換を ti,ttf,6f,ug で表し 禦 F, 転の a に g 対する伝達関数を それぞれ H ぴ,HtiF ω ω, H6F ω で表す すなわち UtUg Hti ω UF /Ug HUF ω ef IUg HF ω 5a dig の特性から 4 式の積分の上下限を, に拡張して 4 式を 逆フーリエ変換し 5 式の表現を用いると次式が得られる 壕雌 { m σ, σ σ Cl e h の汽 d 圭酷 噛 { F H 噛 }]tig d あるいは速度表現瞬 F, F の tig に対する伝達関数を それぞれ 6 H ぴ ω ノ勉 F ω,hgf ω で表すと 6 式は次のようにも表現できる デ lffo m HtiF m { HtiF H Hti }] 嶐 d π [ 上部構造への入力エネルギー ] 上部構造物の最下部で仮想の切断面を考え, 上部構造質点に作用 する慣性力がこの仮想切断面に作用する力と釣り合うと考えると 0 t で基礎が上部構造に対してなす仕事 上記の力と基礎版 7 の変位の積で上部構造物への入力エネルギー は次式で表現される E デ昌ず叩 9 + 謬 F + 偏 + の dig+ 躍 F dr + が { 加 ゴ 8 + a F + θ Fh + のぬ + RθF } θ Fd 8 8 式の下限を に拡張して 8 式を逆フーリエ変換し 5 式の伝達関数表現を用いると次式が得られる Ei 圭結 { H F He @ h H H { tu } mh { HtiF H h Hti @ } 6, 9 式を次のように置く ヂー愚 尹轟 σ d σ, + RHe 輪 ω σ d FA ω,fs ω を以下ではエネルギー伝達関数と呼ぶ El Centro NS lmperial Valley 940 と Kobe 9 0a > 0b University NS Hyogoken Nanbu lgg5 に対する全体システムと構造物への地震入力 エ ネルギーの時刻歴とその最終値の例を図 に示す モデルの質量 および回転慣性は m = 30xl3 kg,ir = L6x05 kg m, mo = g x03 kg,ir 48xl5 kg m であり 階高は h = 35 m とする 地盤のばね剛性とダッシュポット減衰係数は次のような簡略化され たものを用いる 7 kh = 6,77! 79 γ σ,k 5,00 G 3 ch 6,/ 54 γ ρvs,c = 036! 3 pvsr4 上式の妥当性は 簡易的に振動数依存性を表現できるコーンモデル 8 との比較により後で示す 7 節 地盤の密度とボアソン比は ρ L8x 03 kglm3,v 35 とし 基礎の 等価な円盤の 半径は r = 4m とする 上部構造の固有周期は 05 s 減衰定数は 05 とし 地盤のせん 断波速度は 50 m!s,00 m!s とする ここでは 比較的小さなせん 断波速度を扱うが これは 地盤特性のひずみ依存性を考慮した際 の等価なものを対象としているからである 図 3 a c は それぞれ 地盤の 等価 せん断波速度として 50 m!s,00 m!s,00 m /s を採用したときの 上部構造の固有周期 0,05 s 減衰定数 0,05 に対する 0a,b 式で定義されるエネルギ ー伝達関数 FA ω,fs ω を表す 全隼システム系は 3 自由度であ るため ほぼ全ての場合について ろ ω は 次固有振動数以外に 高次固有振動数において も増幅する傾向が見られる 方 上部構 造物へ入力されるエネルギーに関連する Fs ω は 次固有振動数 においてのみ増幅する形となっている 7 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
{ に 石胃旦 Architectural Arohrteotural Institute エnstrtute of Japan 4 } 6b 3 儒 卩 亀 E0 6 げ o ElCem 四 NS940 erali S 切 re T= 05 [ 50 S ユL 睡 = 005 司野 D 図 0 80 ゆ 9 い 0 く匙 欄 = 三 0 匚み E 評 v 驅 50 仲 s} 冂 岬許 9 穿 商卩押 3e 50 P 04 蚤瞿 50 書量 げ 5e 0 0 S 40 e6 5 0 5 0 恤 ma sp trmets 全体システムと構造物への入力エネルギー時刻歴の例 〇り er 釦 自 i 匿冒 S 廿 U 旧 T= 0 { S τ } VS =50 側 S } E 0 8000Lan 60DD 三 き 40Q E 0DD Kobe Un 卍 er5 岬 NS 995 丁詛 5 蛾 鋲 D5 Vs =00 回 5 〇 veraii 幽 S ヒm α 凵隠 凵 幽圏 陣 trcutarftegu8ncy radis, ClrCularfiequency ra 齢 } 哮 葬 図 3 a エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 50 m!s, 上部構造固有周期 0,05 s 0 4D3000oo0L oo o 〇 ver 釦 甲 訂 n c 置凵旧ト 丁 丁匸 0 5 } >Si 暫 oo 回 sl 7 隔 P 卩 覧鯛鴨匚 冒 [ 0 8000L の 6eoo 至に蹇三 0DD crrcularftequencv redtsi :lrtularfreguency tadis } 図 3 b エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 00 m!s, 上部構造固有周期 0,,05 s 35D 50006D0004eo0 = = ζ コ [ 極限外乱問題 A ] ハ am 涌伽醜 ω L Ω ω u 凸ヤ,, 昭 p ma 釧 佃 n 酒剛 e F frequency ω 顎 3 二 図 4 解法の模式図 AmaxA, Ω ah 式の制約と自由地表面加速度のフーリエ振幅スペクトル IA ω 亅に関する制約望! ω オを満足し 0a 式の SR モデル全体に対する地震入力エネルギーを最大にする自由地表面加速度のフー を求めよ 本論文で扱う第二の極限外乱問題は次のように表現される リエ振幅スペクトル IA ω [ 極限外乱問題 S ] 式の制約と自由地表面加速度のフーリエ振幅スペクトル IA ω に関する制約! ω λ を満足し 0b 式の上部構造物に対する地震入力エネルギーを最大にする自由地表面加速度のフーリエ 振幅スペクトル IA ω を求めよ 4 極限外乱問題の解法と地震入力工ネルギーの上限値 前節の二つの問題の解は A であれば Dirac のデルタ関数と なり A が有限であれば 関数 ω あるいは Fs ω の区間積分を最大化する矩形関数となる 図 4 参照 同様の考え方は パワー スペクトル密度関数に対する定式化については提案されている 9 0 } そのときの矩形関数の区間幅は 式より ω = π δ ん 4 で与えら れる バ呻 に対する地震入力エネルギーの上限値 absolute bound は FA ω, Fs ω が ω 圍妨 連成系の非減衰 次固有円振 動数 で最大値をとるという近似を導入すれば 0a,b 式に 式 を代入することにより 近似的に次式で与えられる 5D ボ 5 ぎ 羣 500 δ 匹 = 艀 3 E 紳 π の ω,e 抄 π 偽 at,b A が有限である場合に対する地震入力エネルギーの上限値 credible bound : 起こり得る上限 は 近似的に次式で与えられる 問題 A については 3a 問題 IS については 3b Cl darftequency radis Clrcuhr 甜 equ8n 剛 radis 万農馬 d 吻 t L 吻 ω ch 3 図 3 c エネルギー伝達関数 FA ω,fs ω 地盤のせん断波速度 Vs= 00 m!s, 上部構造固有周期 0,05 s 3 極限外乱問題 本論では 自由地表面加 me 度 tig t =a t び g ω = A ω に課 す制約は 次の 乗時間積分の値 指定値 C と そのフーリエ振幅スペクトルの上限とする 上限値 A 鳥 ω 血! π 鼎 d ω ω δ 本論文で扱う第の極限外乱問題は次のように表現される λ 鰐巧 d 吻 ω 吻 ω! 劬 3b A の設定については 現時点では確かな情報が得られていないが 無限大ではない有限の値を設定するという意味で credible beund と 呼ぶことにする 表 対象とする記録地震波とその特性 4 皿!5 ご @ / 3 ω rad /s El Centro NS 940 9 4 4, Kobe UnivNS 995 306 759 55 Mexico SCTI EW 985 0 5 33 JMA Kobe NS 995 5,8 53 487 L 73 NII-Electronic N 工工 Eleotronlo Llbrary Library Service
5 記録地震動に対する入カエネルギーとその上限値 記録地震動として HCentro NS lmperialvalleyl940,kobe UniveTsityNS Hyogoken Nanbu 995,SCTI EW Mexico Michoacan 985 JMA Kobe NS Hyogoken Na 皿 bu 995 の 4 波を採用する 表 にこれら 4 波の特性値を示す 4 は ax IA ω の最大値を表す 地盤と構造物モデルのパラメター値は 節と同じものを採用する 地 盤の 等価 せん断波速度は 50 m!s,00 nl!s, 00 mls の 3 種類を 考え 上部構造の減衰定数は 05 とする 図 5 は,E Centre NS 940 に対する地震入力エネルギーを 上部 構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す 太実線は 全体システムへ へ の入力エネルギー E ノを表し, 細実線は上部構造物 の入力エネルギー Ei を表す 両者の差は主として地盤により消 費されるエネルギーを表している 4 8 式から明らかなように E は Ststo で定義される量であるのに対して ただし tigの性質からsts でも同じ量を表す Ei は sts において定義され る量であることに注意する必要がある この地盤により消費される エネルギーは 地盤の 等価 せん断波速度が小さいほど大きい また 上部構造の固有周期が短くなるほど, 上部構造で消費される エネルギーに対して地盤により消費されるエネルギーの比率が大き くなる 図 5 には 3a,b 式で与えられる credible bound λ 皀 4m 胱とする と a,b 式で与えられる absolute bound も示し てある 両上限値は 上部構造の固有周期が短い領域ではほぼ致 しているのに対して 上部構造の固有周期が長い領域では大きな差 が発生する これは 基礎固定モデル 6 でも見られる現象であり 地震動の有する加速度パワーの周期特性および SR モデルのエネル ギー伝達関数の周期特性と関係している 楊と秋山 は 同様のモデルについて 異なる振動数領域の手法 運動方程式のフーリエ変換逆変換による方法 を用いて 全体 システムに入力される地震エネルギーと構造物のみに入力される地 震エネルギーを求める先駆的研究を展開し 両エネルギーの関係に ついて論じている また 構造物と地盤の特性の違いによる地下逸 散効果や 構造物のアスペクト比が地下逸散に及ぼす影響等につい て詳細に論じている 本論文の手法では 運動方程式のフーリエ変 換は用いるがその逆変換は行わず 直接振動数領域での積分により 地震入力エネルギーを求めている kinematic interactien の効果や impedance の振動数依存性を考慮した場合には 直接的に振動数領 域での積分を用いる方が適していると思われる また 入力地震動 の振動数特性の不確定性に起因する地震入力エネルギーの上限値を 論じるには 時間領域を経由する手法よりも直接的に振動数領域で の演算を行う手法が適していると思われる 図 6 は Kobe UnivNS 995 に対する地震入力エネルギーを 上 部構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す この地 震動は約 s に卓極周期を有するため これとほぼ同じ固有周期 を有するモデルの地震入力エネルギーは 全体システムおよび構造 物とも それらと対応する credible bound に近接することがわかる すなわち 実際の入力エネルギー と credible bound の近接度は 地 震動の有する極限性の周期特性を表現する有効な指標のつである といえる 本地震動は 構造物と地盤の動的相互作用効果が現れに くい周期領域においてパワーを有する地震動であるため 図 5 と比 較して 全体システムへの入力エネルギーと上部構造物への入力工 ネルギーとの差はそれほど顕著ではない 蕊 図 7 は MexicoSCTI EW l985 に対する地農入力エネルギーを n 0@ 0 actual inpu! ov 巳 rall crgdible bo 凵 nd ov 巳 rald 己 bsod 凵 te bound overdl [ } adhrad i 叩呱 Strucltine } @ @ redile bo ] d s 監 re} absolute beund 5tru コ Ω s 二げ!5 m s,,eicj [ s a 匠 i E 距ぜ 旧 求求 Bbu StrUC, leb 9 4 0o ノ瀬 6 : Gfli r an th @ 0 息 natua 聖 perid xed ba!, び } 蓐 げ 0 ζ 〇コユ匚 llげ adwel lnput 肥旧 り凾凾ロ bgurxi edib o 田 ra[ り absdu ヒ obund { 剛 a 剳姜 np ロ覧 { 帥 UC 加 ra D 剛 5d 曲鵬 u 而 5 旧 薹鱗 5 げ! 鵡鬻 hp 050 0 0 0A o 0 旧 h 面 P 面 xedbase od adva [ S} c 卩 inp 頃 {o 兇 ra i} edible,,absot bound 鳳 II, 凵!e adwa 加 und evve 旧 [t } 囘 in 卩凵 StruCtUFe 齟 Lcred nd{strutu nd LL b LabSdUto bun av 睡 bou d D 0 m! j, 距 b Vs =00 mts, c Vs =00 m! j ー ユ詮 h ζ5 且 Σ 5 ガソ o oo 自 5 @ 9 5 @na 抛 r 創 peri 国 [ 5, <TAB> a 伽副 i 叩唄 o eral, rpre レ absol 頃 e bund 訊町 eture ゴ VS 己 { 耐 5 岡 $99000 竃蕊 δ 匸 コ { fu 鯛 b <TAB> 哈 dbl8 bund r 訓レ <TAB> ロ@bd I 勲 a lve 隔 Il d<tab> チ a 訓 <TAB> i 叩 u 伽 { 勳 r 司 <TAB> 隠曲 已 幽 ab 惚開 bo IU 倒田囘ド Si 凵 n {mcd F@ i cd <TAB>} 鷺二饗 <TAB> 9,<TAB> 朋 鹽 9 鹽 d = の <TAB>ih i {;iiii ガヒual i 叩岨 {ov 鯏り Credibte 膊冂 d l 喇朋 abse tebo 凵 nd ovendη 鹹 ua npu {structure 卩 } 幽齟齟 ue @credi bu 冂 d St 旧 [ abse iil 櫛 : 6i bo 凵 nd te Struet 凵囘 t: a ivs kns D DF gr } 円 二寵 囲 糟 ー Vs 曜縲 π F E 胃 @ @ StruCtur8 7 げ 5ri q 窪曄 自 鍵 :;: : :!rτ 幕 0 曜 d β i netured p od Cnxed base ] s レ b }5 El Centro N @940 による全体システムと上 構造物への地震入力エネルギ ー : 実際の入力工ネルギ ーと crediblebo 皿 n ィよび absolute @ @ S 祀如 r 己 p 師自 d fixed e} b S a: a inp 凵 { ve 阻匹 rεdibb absodute bu 囗 d 0 り ar 己 り bund 6vor 釦り adual inpセ ro 舘啣 <TAB> D05 鹽 d <TAB> <TAB> <TAB> <TAB> 幽 <TAB>: 淳 <TAB> トー L D 低 U<TAB> r 彈 <TAB> :: : ll 孫 ; @5 げ f f0 05 @ 5 冂 a ヒ ur 創 perio6 haed b c { S b }6 Kobe Univ NS 95 による全体システムと 部構造物への地震入力エ 74L NII-Electronic ルギー : 実際の入力工ネLibrary ルギ Service ーと
ゴ ac 凶司 [nput 0 ピ剛 冊 CradbVe bund overall 己 bsdul 巳 bo 凵 nd overa 凵 a 副 叩 u ± struditu 囘 ; a 信 tualinp 凵ヒ 0 ern, 響響,cntibleb 凵 d D over 四 absoeuヒ 9 bumd overa actual i 門醐 s 齟 幽 ε 四 credlblebund CStrUChrrg 哈 ; C 喝 dl 凵 8 bund { 馴川 abstute bo 凵而 s 監 njetura } 厂 e 齟 LL abs 亅甑 ebound Slnt 響 甥腎 ヂr 莎 r : 耋 : / llllllllill 鰐醗 : 5 5 鄲 o 0 05 5 5 # ; 4 na 趣圃 pe 的 d 俶 ed b 鴿 e s a a 訓 input ovora り, pmdibl8 跏 nd Ve 刺 abselute bσ 畍 d trveral aetun inpu! St 悶 Ct 凵 } oredi 凵 8 btund S 蜘 C 切 } 曲 se [ 賦 e bo 凵 nd StruCtU { 3 あ o o 註三曽帽樫〆躡 5 げ L i i 号 o o5 5 @, 35 4 naturelpe d fixedb ra l: : ることがわかる また 図 6 と同様に 構造物と地盤の動的相 tldi E e } s c o o5,5 5 3 u 4 natu 喝 I d lfixed pe base }s b 図 7 xico scrl Ew 5 による全体システ と上部構造物への地 入力エネルギー : 実際の入力工ネ ルギーと cred 童 ble boun ィよび absolute bound a Vs =50 mls, b Vs = この地震動は約 s に卓越周期を有するため これとほぼ同じ固有周期 有するモデルの地震入力エネルギーは 全体システムおよび構造 ィとも それらと対応する credible bound に近接 作用効果が現れにく い周期領域においてパワーを有する地震動であるため 全体システ エネルギーと上部構造物への入力エネルギーとの差はほ ムへの入 られない 図 8 は JM @Kobe 寅 S l995 に対する地震入力エネルギーを 上 とんど 構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す 図 5 とルぼ同様の特性が観察される 図 5 8 から共通に理解されることは 構造物の固有周期が同じ 剛性が変化しても 構造物に入力されるエネルギー であれば 地 はほぼ定 あることである 図 6,7 から理解されるように credib bound は長周期側で実際の入力エネルギーよりもかなり きな値を示す これは 長周期側でも 式で表される地動 速度の 乗時間積分に制約を課したことに起因すると考 られる 長周期側では 地動速度の 乗時間積分に制約を課す とが妥当である場合が多いことが文献 6 で示されている れに関する敢り扱いについては次節で述べる ここでは S cf ルに入力される地震エネルギーの特性の例 を示すために w モデルを扱い 基礎版の大きさも特定の値を用いた 基礎固 モデルとは異なり 地震入力エ ネ @ c Vs = 00 m/s> ガ et げ日伽釦 Inp 凵 j etal Credibleb 側 nd { overa [ 墜 D,,,ab5plute bo 凵 overel, a 副 i 冂 pu 電 5ヒ贓 ure, 幽幽 credible bound s 童 rcrctur m/ bu j, na 宦 ur {5 j Ute ρerbd ed base beu abs 閲 5ucturj @bo o げげ 響葭 b 05 巳 Mげ o ua qfi x, d svre Q 黶 覊躍 s ョ E a i 隷認翼嚶 b ノ譁 lll: 雫 aetual 且 h o oral り, C 8dib bund erall } abs 副凵 abeundy σ er inpus 加 e re cred ibie 05 h 0 0 t 闇 8 糾 5 ガ : : : 辮 { 二 ; 七 i 剛引 ド o o n o 6 l 齪凵 ra absolu8 bun i5 ヒ mre げ 60 鹽 @ act 凵剖 hp 浴 korverall 閧 credible bund o erall, F, abgotute bo 凵冂 d erat 卩 } a 雛凵団 i 冂 pu 電 s ヒ ructu 旧 cre ble nd Cs 加丿 r 司 aboel ヒ凵 malu perid fixed ba } [ S c 〆 ± 黌れげコ f 彫浦響 旧 i @ i, as l na red parid ixed base { j b 図 8JMA Kobe NS 5 による全体システムと上部構造 物への地震入力エネルギー 実際の入力工ネルギ ーと cr ible bound お よび absolute bound L a Vs = 50 m / j, b Vsrl m!s, c Vs00 m s 上部構造物の基礎固定時の固有周期に対して描いた図を表す ギーを単純に上 部構造物の質量のみで正規化することは 難であり 種々のモデル に対する全体像を議論するにはより幅広いパラメタ 領域での解析が必要である 6 地動速 の 乗時間積分値に制約が存在する問題 前節の例からも明 かなように credible bound は長周期側で実際の入 エネルギーよりもかなり大きな値を示す その原因のつ 式のような地動加速度の 乗時間積分値に制約を設定 たことが考えられる 長周期領 で ll 大 式の制約を満足させるには 極めてきな が要求され 非現実的となる 本節で は 次のよ とし 速度や変 うな地動速度の 乗時間 分値に制約が存在する問題を考える Z56 轟 ω! π が γ @d ω 崎 4 ここで V ω 地勁速度 ta 砺 t は地 換を表し t のフーリエ変 動速度の 乗時間積 分値の制 値を表す A ω t ia v ω の と 0a, b 性質を用い の地震入力エ ルギーは次 のように変形できる E 宀 ω ら ω IV ω d ω ヒが ω 馬 ω IV ω ω 本節で扱う第の極限外乱問題は次のよう 表現される [ 極限外乱問題 A ] 5a 5b 4 式の制約と地動速度のフーリエ 幅スペクトル 7 ω に関する制約 γ a 7 満足し 5a 式の SR モデル全体への入力エネルギー 大最にする地動速度のフーリエ振幅スペクトル 7 ω を求めよ 7 は 7 ω [ の 限値を表 NII-Electronic 上記の問題に対する解は Library 地動加速度の Service 乗時間積分値に
} 3 匚 唇 = ε ぴ舳航 n 忙 陌 e 臨 F F 軸 猷 甫耐 e n C価 n 齟 目 ω F 網育 Σ F3 ω ω に置き換えることにより同様にして求めることが可能であ る 図 9 参照 V に対する地震入力エネル ギーの上限値 absolllte bllnd は 関数 ω 毋 ω が t ab で最大値をとるとい う近似を導入すれ ば 5b 式に 4 式を代入するこ とにより 近似的に次式で与えら れる Eiabs π δ 7 吻塘 ω 8 ω L Ω ω 脅凵 equency ω 図 9 速度制約問題の解法の模式図 VmaPt= vm,ω 自妨 表 記録地震波の速度定式化に関する特性 臨 @ δ 7 規 ω 4 アα の EI CentroNS 940 0,696 033 5 Kobe Univ NS 995 0597 0307,70 Mexico SCTI EW 985 3,93 88 386 JMA Kobe NS 995 0746,854 4,8 ε 0s 8to4 6 6 } semlinfinited ロ冂 e e er 叫 5emHnfinl ± 巳 eone s ヒ囗戯 ure } 0s seml in 飼 ni 陪 cone trveral り sem infinitecone sbeortute レ heq Lndepandentmedelfveral 舶 qlndependent modet e er 創 ] 8 ガり freq 日 陶 qi Ind pende 冂監 medebc5trddwre d8pondenlmodel S 霍囮 CU 亠囘 s h=0 05 に 4 F= 噌ー冂冖 ノ to4 ; 妄 r,, ハ il es フ写 r na ヒur 訓 価 xed } s pariod basa 言 04 6 D8 i VS 強 60 脚 ms } 凵 LL hc 壽言 4D 0 0S 0 4 06 08 natu 囘 perio fixedbase 図 0 振動数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づ くモデルと 半無限弾性地盤に対してコーンモデルによる地 盤インピーダンスを用いたモデルによる全体システムと構造 物へ の入力エネルギーの比較 V に対する地震入力エネルギーの上限値 absolute beund は 関数 ω 馬 ω が ω 目妨で最大値をとるという近似を導入すれ ば 5a 式に 4 式を代入することにより, 近似的に次式で与えられる E デ αb π Φ 妨 翔 eq 6 V が有限である場合に対する地震入力エネルギーの credible は 近似的に次式で与えられる 7 疏 F bound d 吻 t L, 吻 t L 妨 7 また 矩形関数の振勦数幅は ω 同 π グ で与えられる 5 節と同じ 4 つの記録地震波に対して求めた地動速度のフーリエ 振幅スペクトルの実際の最大値 maxlv ω = Vmax 地動速度の 乗時間積分値 矩形関数の振動数幅を表 に示す 本節で扱う第二の極限外乱問題は次のように表現される [ 極限外乱問題 S ] 4 式の制約と地動速度のフーリエ振幅スペクトル IV ω に関す る制約 jv ω r を満足し 5b 式の上部構造物への入力エネルギーを最大にする地動速度のフーリエ振幅スペクトル γ ω を求めよ 上記の問題に対する解は 地動加速度の 乗時間積分値に制約が 存在する問題 極限外乱問題 S において 関数 Fs ω } を γ が有限である場合に対する地震入力エネルギーの credible bound は 近似的に次式で与えられる 7 瑠晦 d 吻 a L, 吻 WL h 9 また 矩形関数の振動数幅は ω 呂 π 〆戸 で与えられる 構造物と地盤の動的相互作用問題は 構造物が長周期化すると 般にその影響は小さくなるため このような領域では基礎固定モデルとしての取り扱い 6 が適当である 7 コーンモデルによる地盤インピーダンスを用いた場合の例 前節の例では 地盤インピーダンスとして振動数非依存型のばね 剛性 ダッシュポット減衰係数に基づくモデルを用いた ここでは コーンモデル IS による地盤インピーダンスを用いた場合との比較を 行う 図 ID は 図 5 と同じ条件で 半無限弾性地盤に対してコーン モデルを適用した場合の地盤インピーダンスを用いて計算した全体 システムと構造物への入力エネルギーを示す 上部構造の固有周期 が 秒程度までの範囲では 地盤のせん断波速度に関係なく 振動 数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づくモデルは コーンモデルによる地盤インピーダンスを用いたモデルと良好な対 応を示すといえる ただし 地盤のせん断波速度が Gm/s では 全体システムと構造物への入力エネルギーに大きな差がなく また 両インピーダンスモデル間の差も大きくないため ここでは省略してある ここでは 層モデルで 基礎版の半径が比較的小さいモデ ルの例を示しているが, 数層モデルでより大きな基礎半径のモデル についてもほぼ同等の近似精度を有することを確認している 8 Kinematic interacti n を考慮した場合の地震入力エネルギー 前節までは 基礎の埋め込みがなく 所謂 kinematicinteraction の 影響が小さく無視できるモデルを扱っていた ここでは kinematic interaction を考慮した場合の簡易的な取り扱いについて述べる 本論 文で 提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematic interaction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容易に取り扱う ことが可能である 基礎の上面は地表面と致しているものとし その中央の点の水 平回転の有効入力 加速度 を配 δω, 砺 t 対応する振動数領域 での ものを ti δ ω, 曲 i ω とする tiδ t,b i t は 自由地表面の水平 加速度 tig ω と有効入力を表現する関数 SHT to,srr ω て次式で与えられる δ 払 σ6 画塾訂 i tiii JE7 e8 mt 塾 ti 幽 σ, mt 8 を用い 0a 0b 76 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service
水平回転の有効入力に付加される基礎の水平回転変位を UT の,θ r t で表す 形式的には UT t, θ T りは前節までの UF t, θ F t に対応している このモデルに対する振動数領域での運動方 程式は次式で与えられる ω M i C K U ω M { r S, ω r S, ω } ω ここで M, 年 C は 式と同じ質量 剛性 減衰行列を表す ただ し 地盤インピーダンスは 基礎上面の中央点で評価したものを表し 基礎の回転慣性もその点回りのも のとする また U ω { U ω UT ω et ω }T, r {00 } T,r { I } T t 上部構造質点と基礎に作用する慣性力を考え それと釣り合う反 力が基礎の動きに対してなす仕事を考えることにより 構造物基礎系に入力されるエネルギーは次式で表現される 零五尹ず [ mo a th 6+ r + m { th ti6+ T h + 硲 + 魯 a + } ti δ + tir ロコ dt * コサロ @ IR + IR θ 0 + の + mh{ab f { + が [ [ 川 o{5 班払器 ω Hσ τ ω +tit+h θ 0 + の +a }] tiδ + El, d 棚 { SeT ω +Hdr ω + h {SRT ω +Ho τ ω } +H ぴ ω } HT ω 砺 ω } ltig 払器 { r, } +mh {SHT ω +H σr ω +h { SRT ω+ HeT ω }+ Hti ω }] { r ω r ω} ぴ,@ ヨ 3 ただし 3 では 0a, b の関係と加速度 速度の逆 T リエ変換を用いている 3 } モおける Hti ω,hdir ω He τ ω 式か ら求!i } られる加速度 U ω, CtT 禦, 6r 甲 の tig ω に対する 達関数を表す また 基礎周辺地盤に関するエネルギ も考慮する場合には の 3 式の 行目第の ] に続く tio + tit をt にし 第 行目を削除す ればよい 自由地表面の回転変 成分は考慮しないため E 6 ヂーが 用 o ゴ 吻 + m{ ab 6 + T +h 砺 + 螺 9 山 払 毒噛! H 故轍 } { SHT ω + H σ 7 ω { + 海 RT ω+ H ω } + H σ ω } ] { ω H 血 ω } ミ, d 4 方 構造物に入力される ネルギーは 上部構造質点に作用す る慣性力を考え それと釣 合う反力が基礎の動きに対してなす仕事を考えることにより 式で表現される 扉が刑 { 崎 +ti {h + 碗 +th + 嫐 } k 莇紛壷 δ 吻 ir + mb + {di δ 吻 +h * θ o + 倒 r + th }] ti6 +α iff i [ HT H T h RT } Hti { s T ω HtiT ω } σ?d 払器 { s i H, }, + 励 { SllT H ω+ 々 +h { ω T ω +HeT ω } + Hti ω }] {SRT ω H T ω}σ d j と同様に 0a, b 5 ただし 5 では, 関係と加速度 速度の逆フーリエ変換を用いている 時 が経過するに従い 基礎の運動エネルギーは減衰により消失する め 3 のE ヂは砂に等しいことを数式的に示すことが可を 能である 4, 5 式 のように表 現する ヂー鰄 iσ d 厚鋸 σ d 6a 6b 6a, b 式を評価関数とする場合にっいても 3 節と同様の極 外乱問題を構成することが可能であり 4 節とほぼ同様の解法を展開することができ これを用いて kinematic interactien の効果を 慮した場合の地震入力エネルギーの上限値を導くことができ emati interaction 地震入力 の効果 不確定性 特に振動数特性 の両者 ッ時に扱うことが可能となる 9 結論 本論文において 下の成果を得た 構造物と地盤の相互作用を表現するモルとして スウェイロッキン グるモデルを取り上げ全体シテムと構造物の両者に入力され 震エネルギーを振動数領域で評価する方法 を提示した 自由度系構造物の固有周 が同じであれば 地盤の剛性が変化しても構造物に入力され エネルギーはほぼ定である 3 自由地表面加速度の 乗時 積分値とそのフーリエ振幅スペクトルの上限に制約が設けれ 全体シスデムと構造物に入力される地震エネルギー いずれかを評価関数とする極限地震動問題を定式化し そ 問題に対する解 自由地表面加速度のフーリエ振幅スペ トル は エネルギー伝達関数との積の振動数領域積分が最大となる矩形関 となることを明らかにした 4 実際の地震入力エネルギー credible bound の近接度は 地現する有効な指標の震 動の有する極限性の周期特性を っであ るといえる 5 長周期領域では 地動速度 大きな影響を及ぼすため 地動速ズ に関する制約を付加する必要がある しかしながら 構造物 と地盤の動的相互作用問題 では 構造物が長周期 すると般にその影響は小さくなるため このような領域で 基礎固定モデルとしての取り扱い 6 が適当である i6 振動数非依存型のばね剛性 ダッシュポット減衰係数に基づ モデルと 半無限弾性地盤にコーンモデルを適用したとき 地盤インピーダンスを用いたモデルによる全体システムと 造物への入力エネルギーの比較を行い パラメターの限 されたモデルではあるが両者は良好な対応を示すことを明らかにした 7 論文で提案する方法は振動数領域での方法であるため kinematic in raction の効果やインピーダンスの振動数依存性を容 に取り扱うことが可瞭ある kinematic interac on の効果を考慮した場合の地震入力エネルギーは 上部構造質点や基礎に作用する 性力を考 NII-Electronic ることにより評価することが可能でLibrary ある Service また 3 の
謝辞 慮した場合についても地震入力エネルギーの上限値を導くこと ができ kinematic interaction の効果と地震入力の不確定性 に振動数特性 の両者を同時に扱うことが可能である 本研究の部は 鹿島学術振興財団研究助成 00 年度 : 代表, 竹脇出 による また 数値計算の部において藤本弘志君 京 都大学大学院生 の協力を得た ここに記して謝意を表する D 記録 地震波の部は 気象庁 関西地震観測研究協議会により観測されたものである 関係各位に謝意を表する 参考文献 楊志勇, 秋山宏 : エネルギー授受に基づく相互作用の効果 に対する評価, 日本建築学会構造系論文集, 第 536 号,pp3945, 0000 TrifUnac, M D, Hao, TY, and Todorovska, M : n energy flow in earthquake response,report CE 03, July00 Univof Southem calif, 00 3 棚橋 諒 : 地震の破壊力と建築物の耐震力に関する私見, 建築 雑誌,9355 4 Housner,GW,: Behavior of structures during earthquakes,joumal f the Engineering Mechanics Divisien, ASCE, 85 4,pp ユ09 9, 959 5 Lyon, RH : Statistical energy analysis of dynamical systems, lhe Mrr Press,Cambridge MA 975 6 加藤勉秋山宏 : 強震による構造物へのエネルギー入力と構造物の損傷, 日本建築学会論文報告集, 第 35 号,pp,g 8, 975 9 7 滝澤春男 : 地震動のエネルギー応答スペクトル, 第 4 回自然災害科学総合シンポジウム論文集, pp 359 36,977 8 秋山宏 ; 建築物の耐震極限設計 東京大学出版会, 980 9 大井謙, 田中尚 高梨晃 : 地震動による構造物へのエネル ギー入力の統計量予測に関する基礎的考察, 日本建築学会論文報告集, 第 347 号, pp 47 55,985, 0 中村恒善, 上谷宏二, 小坂郁夫, 竹脇出 : 建築耐震設計における保有耐力と変形性能 990, 定義および算定法, pp,73 6, 990 特 Kuwamura, H, K 量 rino, Y 含 and Akiyama,H : Predictionof earthquake energy inputfrom smoothed Fouricramplitude spectrum,elarthquake Engrgand StructIlyn, 3,pp5 37, 994 小川厚治, 井上朗 中島正愛 : 損傷に寄与する地震入力エネ ルギーに関する考察 日本建築学会構造系論文集, 第 530 号, pp77 84, 000,4 3rda ろ M り Huerta,B,and Reinoso,E : Exactcomputation of input energy spectra ftm Fourieramplitude spectra,eartfiguakeengrg and Structllyn,3, pp 597 605,003, 4 Uang,C M,and Bertero,VV: Evaluation of seismic energy 血 structures,eartheuakeengrgand St 厂 uct llyn, 9,pp 77 90, 990, 5 } Housner,GW,and JenningS,PC : The capacity of extreme earthquake motions to damage structures,structural and geotechnicalmechanics : Avolume honoring N M,Newma k edited by W JHa, pp 0 6, Prentice HallEnglewood Cliff, NJ, 977 6 } 竹脇出 : 多様な減衰分布を有する構造物に入力される地震エネルギーの限界値, 日本建築学会構造系論文集, 第 57 号, pp 65 7,003 0 7 Parmelee,RA : The influenceef foundationparameters on the seismic response of interactionsystems,ptcof the 3rd Japan Earthguake Enginee ing Symposium,970 8 Wb 岻 JR : Foundation vibrat 励 analysis zasing simple pa ン sicat modet, Prentice Hall,994 9 竹脇出 : 確率論に基づく新しい critical 外乱法, 日本建築学会構造系論文集, 第 533 号, pp 69 74,000,7 0 Takewaki,, : Robus 量 building stiffness design for variable critical excitations, 丿 :StructEng, ASCE, 8,pp 565 574,00 喰 mabashi,r : Studies on 重 he nonlinea vibratiens of structures subjected to destructiv earthquakes,proceedings of the First Mortd Confe 厂 ence on Earthguake En8ineering,Bclkeley,CA, pp 6 : 6 956 TakewalCi,,Takeda,N,and Uetani,K: Fastpractical evaluation of soil s 重 ruc 重 ure interactionof embedded structures,soil llynamics and Eartheuake Engineering,3 3, pp 95 0,003 003 年 8 月 9 日原稿受理,003 年 月 5 日採用決定 78 NII-Electronic N 工工 Eleotronio Library Service