3 章フーリエ変換 テーマと目標 単発現象に含まれる振動数を分析する方法とその考え方 フーリエ係数からフーリエ変換への橋渡しの数学的操作 フーリエ変換とフーリエ逆変換の定義 フーリエ変換の実例 デルタ関数の定義と使い方 フーリエ変換の性質 たたみ込み積分とフーリエ変換 パーセバルの等式 3. フーリエ変換の定義 [ 周期現象から非周期現象へ ] 前章まで, 周期現象を扱う数学の道具を学んだ. 周期現象には基本振動数があり, その振動数の整数倍の振動数をもつ周期現象が重なりあって様々なパターンを作り出す. 基本振動数で繰り返すサイン コサインあるいは複素指数関数と, 整数倍の振動数で繰り返す関数がどれだけ混ざっているかを表すのがフーリエ展開 ( フーリエ級数への展開 ) であり, 各振動数の寄与を振幅として表すのがフーリエ係数であった. しかし,( 見ている間には ) 回しか起きない現象もたくさんある. ある時間だけ続く音, 繰り返しなく続くメロディーを思い起こせばよい. たとえば, 楽器がある高さの音を数秒間鳴らしたあと沈黙しているとしよう. このとき どんな振動数の音が入っていたか と問うのは自然なことだろう. 繰り返さない現象 ( 非周期現象 ) に適応できる フーリエ展開の拡張 がどうあるべきかを学ぶのが本節の目的である. フーリエ展開は周期関数しか扱えない. そこで 周期が非常に長くなれば非周期現象とほとんど同じ と考えることにしよう. 年に 度の繰り返しでも生きている間に 回しか起きなければそれでよいのだ! フーリエ展開において周期を無限大にするとどうなるか を考察すればよいことになる. [ 周期の変化とスペクトルの変化 ] フーリエ級数では基本振動数を ω と書いてきたが, 以後 Δω と書くことにする. なぜなら, フーリエ級数で 現れる振動数の間隔が基本振動数となるから : f() = n= c n e i n Δω, c n = T/ T f()e i n Δω d T/ 横軸に振動数, 縦軸に c n の実部や虚部を描いた図を f() のスペクトル ( 章参照 ) と呼ぼう. 周期 T の現象 をフーリエ展開すると, 振動数の間隔 Δω = π T ごとに振幅 c n ( の実部や虚部あるいは絶対値, 以後この注を 省略することがある ) のスペクトルが現れる. 例題 6 5 f() = π + n=, i n ein Δω 4 3 5 5
のスペクトル ( 実部と虚部 ) をスケッチせよ. Re c n Δω = π T Im c n Δω = π T 問題 例題 では, 虚部のスペクトルに負の振動数が現れる. 負の振動数は何を意味するか. また, 原点について対称 ( 奇関数 ) となるのはどのような意味があるか. 例題 において, 周期 Tを大きくしていくと, スペクトルの間隔が狭くなることがわかる. この例では, 周期を大きくすると のこぎり波 のパターンも間のびするから, 間隔だけでなくスペクトルの形も相似的に変化する. つぎに, パターンを同じ形に保ち, 繰り返しの周期だけを大きくする. 次の例では, 矩形パルスの幅を変えずに間隔 ( したがって周期 ) を大きくする : mahemaica 下図のアニメーション.6.4 T. 4 4...4 3 4 5.6.6 T.4. 4 4...4 3 4 5.6.6 T.4. 4 4.. 3 4 5.4.6 これらを観察すると, 周期 T を大きくするときに
) スペクトルの間隔が密になる ) スペクトルの形は変わらない ( 縦方向には縮む ) ことがわかる. 理由は ) は既に学んだとおりスペクトルの間隔がπ/Tとなるから. ) は 個のパルスの波形がスペクトルの形を決めているからである. 縦軸はフーリエ係数の大きさ ( ある振動数の振幅 ) を表すが, パルス列が粗になるほど信号の強度が落ちるという意味である. [ 単発現象へのアプローチ ] 単発の現象を 周期 T を無限大にした極限と同じ と考え, フーリエ展開の極限の形を求めることにする. フーリエ展開において T の極限では Δω = π T になる. これに関連して, リーマン和の極限による定 積分の定義を復習しよう : b g(x) a N dx = lim g(kδx)δx Δx N k= そこで, 右辺の形に合わせるようにフーリエ展開の式を変更する : f() = n= i n Δω c n e = c n Δω n= ei n Δω Δω = n= c nt π ei n Δω 右辺に現れる c n Δω について考察しよう. 本来,c n は ω n = n Δω という 点における振幅であるが, 区間 n Δω を中心とする幅 Δω の範囲の振動の振幅が c n であると考えてもよい. このとき, c n Δω は単位振動数あたりの振 幅, すなわち振幅 ( ないしスペクトル ) の密度 F(ω n ) を与える : c n Δω = c nt π π F(nΔω) = π F(ω n) F(ω π n) の/πは, 必然性はない., などの選択肢がある. π π π この段階で, フーリエ展開とフーリエ係数を書き直す : f() = π n= F(ω n) e i ω n Δω, F(ω n ) = Tc n = T T f()e i n Δω d = f()e i ω n d T の極限でω n ω( 連続変数 ), Δω dω, n= Δω dωだから f() = F(ω)e+i ω dω となる. 複素指数関数の引数の符号に注意せよ. 用語 : T T, F(ω) = f()e i ω d F(ω) を f() のフーリエ変換という. 単位振動数あたりのフーリエ係数 ( 振幅の密度 ) に相当する量である. f() = F(ω) = π f()e i ω dを実行することをf() をフーリエ変換するという. F(ω)e+i ω dωは,f(ω) から逆にf() を求める変換なので逆フーリエ変換という. T T Δω 問題 スペクトル密度を c n T = F(ω n ) とせず,(i) c n T = π F(ω n ), (ii) c n T = π F(ω n ) としたとき, フーリエ変 3
換とフーリエ逆変換の式はどのようになるか. これらの定義も頻繁に用いられるので, 各文献で使われる 定義を確認することが肝要である. [ フーリエ変換が存在する ( 有限の値になる ) 条件 ] 存在しない ( 計算しても値がでない ) ものを扱っても意味のないことなので, フーリエ変換が存在するか 否かを見分ける方法が欲しい. それは f() d が存在する ( 絶対可積分という ) なら F(ω) = f()e iω d も存在する である. なぜなら f()e iω d < f()e iω d < f() e iω d = f() d であるから. 絶対可積分という条件を少しゆるめる, それ自身が絶対可積分でなくても 絶対可積分関数列の極限 として定義できる関数については, 極限値をもってフーリエ変換とする. 章末の ファインマンの処方 にこの考え方の例を見る.( この項目は難易度が高いので跳ばしてよい.) [ フーリエ サイン変換とフーリエ コサイン変換 ] 複素フーリエ級数とフーリエ三角級数の関係 は, フーリエ変換でも同様であり F(ω) = f()e iω d = f() cos ω d フーリエ コサイン変換 + i f() sin ω d フーリエ サイン変換 である.f() が実数で偶関数のとき F(ω) はフーリエ コサイン変換となり, 奇関数のとき F(ω) はフーリエ サイン変換の i 倍となる. 問題 3 f() が実数のとき (i)f( ω) = F(ω) (ii) フーリエ コサイン ( サイン ) 変換は ω の偶 ( 奇 ) 関数 (iii)f() が偶 ( 奇 ) 関数なら F(ω) は実数 ( 純虚数 ) を示せ. 3. フーリエ変換の例 ある関数のフーリエ変換 の逆フーリエ変換はもとの関数である ( フーリエ変換の双対性 ). フ - リエ変 換の例を学習するとき, フーリエ変換と逆フーリエ変換を対にして 覚える のがよい. 4
例題 幅 d, 高さ の単一パルス f() = { d < < d その他 のフーリエ変換を求めよ. sinc(x) sin x x の関数のグラフを知っていると話が楽だが F(ω) = f()e iω d = f= の 領域を積分区間 から除外する = iω [e iω d/ ] d/ = eiω d/ iω d/ e iω d/ d/ e iω d = e iω d/ e iω d/ iω = d e+iω d/ iω d/ e i(ωd/) sin (ωd = d ) ( ωd ) F(ω) = d sinc ( ωd ) ; F() = d, F (± π d ) = 中央ピークの裾の幅 W = 4π d 高さ 幅 = 4π f() d F(ω) W ω mahemaica アニメーション : パルスの d が小 W が大 : 広範囲の周波数にわたる成分を持つ ( スペ クトルが横に広がる ) 矩形パルスのフーリエ変換が sinc になるのだから,sinc の逆フーリエ変換は矩形になるはずである. それ は記憶に値する内容なのだが, その逆フーリエ変換を正直に積分計算で求めようとすると ( 絶対可積分で ないし ) 非常に難しい. 結果だけを覚えるのがよいだろう : sinc(ω) = sin(ω) ω の逆フーリエ変換, sinc (ω)e+i ω dω / < < = 面積, 幅 の矩形波 { その他 5
問題 4 例題 のフーリエ変換 F(ω) は実数である. それは f() のどのような性質によるか. 例題 3 = から始まる指数関数的減衰 f() = { e a < その他 (a > ) のフーリエ変換を求めよ. F(ω) = f()e iω d = e a e iω d = mahemaica 計算とグラフ e (a+iω) d = (a + iω) [e (a+iω) ] = a + iω a ω Re F(ω) = a, Im F(ω) = + ω a + ω ( lim e a = )...8.6 f().8.6.4. Re F(ω).4. 3 3 3..4 Im F(ω)...8.5.6.4 3 3. 3.5 パルスの幅が狭まると, スペクトルが拡がり高い振動数成分まで含まれるようになる. a の関数形は, 分野により異なる名称がある : 確率統計ではコーシー分布, 物理ではローレンツ関数 a +ω ( ローレンツィアン ) あるいはブライト ウィグナー分布. 経済学などでローレンツ曲線というと全く別の関数. 指数関数とローレンツ関数はフーリエ変換の双対であることは記憶に値する. 6
問題 5 (i) g() = { e a < e a < (a > ) (ii) h() = { e a < e a < (a > ) の関数形を例題 3 と比較 し,g と h の対称性に留意せよ. f() のフーリエ変換を F f と書く. F g,f h を求めよ. 例題 4 ガウス関数 ( 正規分布 )f() = e a のフーリエ変換を計算せよ. F(ω) = f()e iω d = e a ( iω a ) = e ω = e a e iω d この複素積分は, 複素平面の実軸上の積分 e a (+ iω a ) d = e a ( + iω = e ω 4a + iω 4a a e a z dz = e ω + iω 4a a 複素積分 a ) d = e a (+ iω a ) e a (+ iω a ) d e a s ds ω a e 4a = π dz g(z) と, 実軸と平行な直線上の積分 +a ( iω a d ) +ib +ib dz g(z) が等し い. その理由は被積分関数 e a z が 直線に挟まれた部分で正則 (.7 参照 ) かつ無限遠で値が になる からである. 複素積分になじんでいない場合は次の問題をいて納得してほしい. mahemaica 3 計算とグラフ よく引用される結論 : を変数とするガウス関数のフーリエ変換はωを変数とするガウス関数になる. すなわち, ガウス関数はそれ自身がフーリエ変換の双対である. フーリエ変換の幅ともとの関数の幅の積は一定値で, フーリエ変換の高さはもとの関数の幅に反比例...5 f().. f.5 3..5 F(ω)..5 4 4..5 4 4 3. パルスの時間幅が短いとスペクトル幅が広い.5.5.. f.5..5.5 4 4 4 4 問題 6 ガウス関数のフーリエ変換 F(ω) = e a e iω dをωで微分し ( 微分してから積分してよい ), 部分積分 法を適用できるように変形することで, d ω F(ω) + F(ω) = を導け.F() = π を用いてこの微分方程式 dω a a の特を求めよ. 7
問題 7 F(ω) = e ω 4a の逆フーリエ変換が a π e a となることを示せ. 3.3 デルタ関数 不思議だが便利なデルタ関数 δ() を定義しよう. それは : δ() f() 関数値は原点を除きどこでも :δ() = 原点を含む区間で積分すると : δ()d =, より一般的には f()δ()d = f(), というものである. いわば, 大きさのない点に質量を与えた質点を表したり, ある一点における関数値を サンプリングするための関数であり, 幅広く利用される. 原点を だけ移動すると, でサンプリングするデルタ関数 δ( ) となる : f()δ( )d = f( ) [ フーリエ変換によるデルタ関数の定義 ] フーリエ変換とその逆変換の式を組み合わせると, デルタ関数が浮かび上がってくる : f() = 逆変換 の定義 F(ω) e iω dω = [ f( )e iω d ] e iω dω F(ω) の定義 問題 8 f() = f( ) [ π eiω ( ) dω] d = f( )δ( ) d 積分することを 寄せ集める と考え, ω の積分を先に δ( ) = π eiω ( ) dω π eiω ( ) dω 積分が となり, = のとき無限大に発散することを確認せよ.. を複素平面上の操作として観察し, のとき デルタ関数の定義式 δ( ) = π eiω ( ) dω δ(ω Ω) = の変数の記号を取り替え e i(ω Ω) d も頻出 ( 複素指数関数の肩の符号 :{,, ω} {ω, Ω, } と取り替えている. フーリエ変換および逆変換の積分核 e ±iω の符号と合わせた ). [ フーリエ変換でデルタ関数を利用する ] フーリエ変換では振動数が連続に変化することを前提としているため, 振動数に有限の幅をもって成分が分布するときは自然な表現ができるが, ある振動数だけに成分が集中するときはデルタ関数で表現せざる 8
をえない. 具体的な例で見ていこう. 例題 5 デルタ関数 δ(ω Ω) = π e i(ω Ω) d を用いて f() = sin Ω のフーリエ変換を求めよ. F(ω) = sin Ω e iω d = eiω e iω e iω d = π i i ( e i(ω Ω) d e i(ω+ω) d ) = π (δ(ω Ω) δ(ω + Ω)) = iπδ(ω + Ω) iπδ(ω Ω) i スペクトルを描くと, 実部は で, 虚部が次のとおり : πδ(ω + Ω) Im F(ω) Ω Ω ω πδ(ω Ω) 問題 9 f() = cos Ω のフーリエ変換を計算せよ. 例題 6 f() = δ() のフーリエ変換を求め, 結果を物理的な意味として説明せよ. F(ω) = δ() e iω d = e = すでに学んだとおり, パルスの幅が小さいほどスペクトルが拡がる. パルスの幅とスペクトルの幅は反比 例する.δ() は無限に短いパルスの表現と考えられるから, そのフーリエ変換の幅は無限に広い :F(ω)= は, 無限に拡がった振動数の成分が, どこでも同じ振幅を持つことを示す. 問題 f() = のフーリエ変換を求め, その結果を物理的な意味として説明せよ [ デルタ関数のフーリエ変換に関わる式 ] まとめと若干の拡張をしておく. デルタ関数の定義にしたがい計算すると,δ() のフーリエ変換 F δ は F δ = δ() e iω d = [e iω ] = = 9
時間原点に非常に短いパルスがあるとき, 非常に広い振動数にわたって同じ振幅 ( さらに同じ位相 時間 原点に対称であることによる ) の成分を持つ. 逆変換は δ() = eiω 変数は自由に選んでよいから, たとえば, dω, あるいは δ(x) = と書いてもよい. また上の逆変換で変数を変えて F = e iω d = = eikx とすれば, 直流の振動数が であることを表す式となる. 振動数 ω の単振動 e iω のフーリエ変換は となる. F[e iω ] = e iω e iω dk dω = πδ() e iω( ) d( ) = e iω d = πδ(ω) e iω d = e i(ω ω) d = πδ(ω ω ) 時刻 = に非常に短いパルス δ( ) が来るとき, そのフーリエ変換は δ( ) e iω d = e iω δ( ) e iω( ) d( ) = e iω すなわち ( = に来るパルス δ() のフーリエ変換に較べて ) 位相が iω だけシフトする. 問題 デルタ関数 δ(ω Ω) の逆フーリエ変換を求めよ. [ デルタ関数のその他の性質 ] 定義式 偶関数 : δ(x)f(x)dx = f() にもどって証明する必要がある. δ( x)f(x)dx = δ(x )f( x )d( x ) x= x = δ(x )f( x )dx δ(x) = δ( x) 縮尺 ( スケーリング )(x 軸方向を /a に縮めた δ(ax) の性質 ): δ(ax)f(x)dx = 偶関数 δ( a x)f(x)dx = デルタ関数の引数 にあわせて dx を変更 = a δ(x)f(x)dx = δ(x) a f(x)dx = f() = δ(x)f(x)dx, δ( a x)f(x) d( a x) = a a f()
δ(ax) = δ(x) a 導関数 : ( d δ(x)) f(x)dx dx = 部分積分 δ(x)f(x) デルタ関数は 両端で δ(x) ( d f(x)) dx = dx デルタ関数の導関数を f(x) にかけて積分すると, f(x) の導関数の値が求まる. デルタ関数を矩形パルスの幅が無限に短くなったものと想像する. 有限の幅のときに微分をすると, パルスの立ち上がりと立ち下がり で鋭いピークがでる. その状態で積分して, その後にパルス幅を狭 めていくと, 微分の計算と同等になる. 合成関数 : δ(x) ( d f(x)) dx dx δ(f(x))g(x)dx = 置換積分 x f δ(f) g(x)df ( df dx ) = f= となる すべての点で サンプリング g(x) ( df dx ) 積分 : δ(f(x)) = f= となる すべての a i δ(x a i ) ( df dx ) 例 :δ(x a ) = δ(x a) δ(x + a) a a x δ(x)dx = θ(x) = { x < < x θ(x) は単位階段関数 (uni sep funcion). dθ = δ(x) はわかりやすい. dx メモ mahemaica の組み込み関数として UniSep[x] と HeavisideThea[x] がある : UniSep[]=,HeavisideThea[]= 未定義. HeavisideThea[x] を微分すると DiracDela[x] を与える.UniSep[x] を微分すると x= で不定, それ以外で と返す. 例題 7 d d δ() のフーリエ変換を計算せよ. より ( d d δ()) e iω d ( d δ(x)) f(x)dx dx = δ() ( d d e iω ) d あるいは, デルタ関数の定義を直接に用いて = δ(x) ( d f(x)) dx dx = δ()( iω)(e iω )d = iω δ()(e iω )d = iω
( d d δ()) e iω d = [δ()e iω d ] δ() d e iω d = + iω δ() e iω d = iω 例題 8 等間隔 τ で繰り返されるデルタ関数のパルス列 k= δ( kτ) のフーリエ変換を求めよ. まず, k= δ( kτ) は基本周期が τ だから, そのフーリエ級数を求めよう : τ/ c n = ( δ( kτ) ) e i nπ τ d = τ τ δ( kτ)e i nπ τ d τ/ k= = τ/ τ δ( τ)e i nπ τ d = τ/ k= τ/ τ/ π n e i τ k= δ( kτ) = τ einπ τ n= π : 振動数が等間隔で並ぶ, 振幅の単振動の重ね合わせ τ τ これから, k= δ( kτ) のスペクトルは δ (ω n π ) τ n= に比例することがわかる. τ 実際, k= δ( kτ) = τ n= einπ の右辺の形を用いて k= δ( kτ) のフーリエ変換を求めよう : τ ( δ( kτ) ) e i ω d = ( τ einπ τ ) e i ω d = τ ei(nπ τ ω) d k= = τ ei(nπ τ ω) d n= n= = δ 関数のフーリエ積分 による定義を用いる τ = τ n= π τ δ (ω n π τ ) n= 間隔 τ 間隔 π/τ 例題 9 単位階段関数 θ() = { < < のフーリエ変換を求めよ.( 少し高級 ) uni sep θ() を偶関数と奇関数に分する :θ() = + sgn(), sgn signus または sign のフーリエ変換は,F = πδ(ω) だから,F / = πδ(ω) () = { < < sgn() を f α () = { e α e α < の α の極限と考える :sign() = lim α + f α () sgn() のフーリエ変換は,f α () のフーリエ変換を求めてから α の極限をとる. f α () e iω d = e α e iω d + e α e iω d = a iω [e(α iω) ] + a iω [e( α iω) ] = a iω + (a + iω) + (a iω) = a + iω α + ω = iω α + ω i α ω = iω :F [ sgn] = i ω F θ = πδ(ω) + iω
3.4 フーリエ変換の性質 [ 線型性 ] f() のフーリエ変換 F(ω) = f()e iω d は f() に含まれる振動の成分の単位振動数あたりの密度 という意味をもつが, f() を与えると F(ω) が 決まる すなわち関数から関数への演算と見ることもできる. この立場を表すのが という書き方である. フーリエ変換は線形演算である : その物理的な意味は F f = F(ω) F a f + a f = a F f + a F f f() が a 倍になれば, どの振動数成分の振幅も a 倍になる f () と f () の和 ( 重ね合わせ ) で表せる信号の振動数 ω の成分は,f () と f () の ω の成分の和である 問題 これまでにフーリエ変換の線型性を用いて計算した場面 ( たくさんある ) を確認せよ. [ 搬送波を振幅変調したときのスペクトル ] 振動数 ω で単振動する波に情報を乗せて送るときの方法として振幅変調 (AM) という方法がある. それは, 情報が波形 f() で与えられるとき,f()e iω を送る方法である. たとえば AM 放送の短波ラジオや中波ラ ジオでは, 振動数 ω のラジオの電波を搬送波とし, その振幅を音声信号に比例して変化させる. f()e iω のフーリエ変換から, 振幅変調によるスペクトルの変化を調べる.F f() = F(ω) とする. F[f() e iω ] = f() e iω e iω d F(ω) のグラフが ω だけ右にシフトしたことがわかる. = f()e i(ω ω) d = F(ω ω ) 問題 3 h() = { e a < e a < (a > ) ( 問題 5 参照 ) と e iω の積のフーリエ変換を求めよ. 問題 4 g() = { e a < e a < (a > ) ( 問題 5 参照 ) と cos(ω ) の積のフーリエ変換を求めよ. 3
問題 5 周波数スペクトルを ω だけシフトしたときは, もとの波形が e iω 倍され f() e iω となることを逆フーリ エ変換により確かめよ. 以上の内容を言い換えると, 振動スペクトルのシフト ω は時間波形の位相変化 e iω を引き起こす. これに対応して, 時間波形のシフトはスペクトルの位相変化を引き起こす. 実際, F f( T) = f( T)e iω d となり, スペクトルの位相が ωt だけずれる. たとえば f() が偶関数であるとすると F(ω) は実数. このとき = e iωt f( T)e iω( T) d = e iωt F(ω) F f( T) = e iωt F(ω) = (cos ωt i sin ωt )F(ω) = (cos ωt) F(ω) i(sin ωt) F(ω) となり, スペクトルに実部と虚部が現れる ( 偶関数を横にずらすと, 対称ではなくなることに対応 ).....5.5.8.6 3 3 3 3.4..5.5 3 3.. 偶関数のスペクトル 位相シフトしたスペクトルの実部とスペクトルの虚部 問題 6 時間波形 cos Ω をどれだけシフトすると sin Ω になるか.cos Ω と sin Ω のスペクトルの関係を位相差の見地 から説明せよ. 問題 7 時間波形 sin Ω をどれだけシフトすると cos Ω になるか.cos Ω と sin Ω のスペクトルの関係を位相差の見地 から説明せよ. 問題 8 sin(ω + φ) のフーリエ変換を計算せよ (Ω, ϕ は定数 ). 問題 9 > で e a e iω,< で という関数のグラフを描き, フーリエ変換を計算せよ. [ 導関数のフーリエ変換 ] F(ω) の逆フーリエ変換 4
f() = F(ω)e+i ω dω に注目しよう. この式は 時間波形 f() が単振動 e +i ω の寄せ集めで,ω ω + Δω に含まれる振幅が F(ω) Δω π と述べている. df f() の導関数を求めるとき, それぞれの単振動の導関数を求めて寄せ集めればよいだろう ( 項別微 d 分に相当し, 積分が収束する必要がある ). これを実行すると より d d e+i ω +i ω = iωe d d f() = F(ω) iωe+i ω dω = iωf(ω) e+i ω dω F [ df d ] = iωf(ω) となる. 導関数のフーリエ変換は, もとの関数のフーリエ変換に iω を掛けたものである. 問題 df 導関数の定義 = lim d Δ f(+δ) f() Δ は, 時間シフト f( + Δ) を含む線型演算である. 定義式の右辺を用い て F [ df d ] を計算せよ ( 極限操作 lim Δ とフーリエ変換の積分は順序を変えてよい ). 高階の導関数についても同様である. たとえば である. F [ d f d ] = (iω) F(ω) = ω F(ω) 問題 sin( Ω) のフーリエ変換が π (δ(ω Ω) δ(ω + Ω)) となること, および 導関数のフーリエ変換 を既知と i して,cos( Ω) のフーリエ変換を求めよ. cos( Ω) のフーリエ変換を既知としてsin( Ω) のフーリエ変換を, 同様に求めよ. [ フーリエ変換を用いて微分方程式をく ] 微分方程式 d f df + γ d d + ω f = をくとき,f = e λ を仮定して代入し (λ + γλ + ω )f = そこで特性方程式 (λ + γλ + ω ) = をいて λ を決める という方法がある. 微分方程式の各項のフーリエ変換に注目すると背景が見え てくる. F f = F(ω) のときF [ d f d ]= ω F, F [ df ] = iωfだから f df d,d + γ + ω d d f = のフーリエ変換は 5
ω F + iγωf + ω F = ( ω + iγω + ω )F = (ω iγω ω ) = よって, のスペクトルとしては, だけが許される. こうして ω ± = iγ ± (iγ) + 4ω = iγ ± 4ω γ f() = Ae iω + + Be iω = Ae γ e i ω ( γ ) + Be γ e i ω ( γ ) = e γ (Ae i ω ( γ ) + Be i ω ( γ ) ) f() が実数なら最右辺の括弧内が互いに複素共役になるので A = B となる. A = α iβ と書くと f() = e γ ((α iβ)e i ω ( γ ) + (α + iβ)e i ω ( γ ) ) = e γ (α cos [ ω ( γ ) ] + β sin [ ω ( γ ) ]) 例題 d f + df 6f = sin ののフーリエ変換 F(ω) を求めよ d d ( ω + iω 6)F(ω) = iπ(δ(ω + ) δ(ω )) F(ω) = iπ(δ(ω + ) δ(ω )) δ(ω + ) δ(ω ) ( ω = iπ + iω 6) (ω + i)(ω 3i) = iπ(δ(ω + ) δ(ω )) i 5 { ω + i + ω 3i } = π 5 (δ(ω + ) { + i 3i } δ(ω ) { + i 3i }) = π 5 (δ(ω + ) ( 7 i ) δ(ω ) ( 7 i )) = π (δ(ω + )( + 7i) + δ(ω )( 7i)) 5 例題 例題 で得た F(ω) を逆フーリエ変換し, 微分方程式のを求めよ. f() = F(ω)eiω dω = (( + 7i)e i + ( 7i)e i ) = + e i 5 (ei + 7 ei e i ) i = (cos + 7 sin ) 5 6
問題 デルタ関数のフーリエ変換が F δ() =, 単位階段関数のフーリエ変換が F θ() = πδ(ω) + iω となること を既知として,F [ d d θ] = F δ したがって d d θ = δ を確認せよ. [ 時間軸の圧縮と拡大の影響 ] 早送りで再生する音声は, 特別な操作をしないと, ピッチ ( 音の高さ ) が高くなる. オリジナルの信号が f() のとき,a 倍の早送りによって得られる信号は f(a) となる. ピッチが変わる様子をフーリエ変換により調 べる : F f(a) = f(a)e iω d = f(a)e iω a (a) d(a) a = a f( )e i(ω a ) d = a F (ω a ) F f() = F(ω) F f(a) = a F (ω a ) a F (ω a ) のグラフは F(ω) のグラフを ω 軸方向に a 倍に拡大し ( 原点は動かさない ), 縦軸方向に /a に縮小したもの である...5..5 a 倍で早送りした結果, どの振動数成分も振動数が a 倍のところに 4 6 8 移動し, グラフが a 倍に拡大する.ω ω + Δω の範囲に含まれる振幅 F(ω)Δω が aω aω + aδω の範囲に移 動したのだから, 早送りのフーリエ変換は a 倍に 薄まり 縦軸方向に /a となる. 3.5 たたみ込み積分とフーリエ変換 f() と g() のたたみ込み積分 (convoluion) は f g = f( τ)g(τ)dτ と定義される. 広範囲の応用がある. しかし積分計算をそのまま実行すると非常に手間がかかる ( 数値計 算の時間がかかる ). フーリエ変換を用いると容易に計算ができる. [ システムの応答と, たたみ込み積分 ] たとえば, 大ホールで 手を 回たたく とその後しばらく残響で鳴り続ける. パルス入力 ( 回たたく ) に対するシステムの応答 ( しばらく鳴り続ける ) を衝撃応答という. 時刻 = のパルス入力の後の系の応答 ( 残響の音の振幅 ) をf() としよう. 入力がパルスでなく時間 的に変化する音 ( たとえば会話 )g() のとき, 部屋の残響の影響でどんな 音に聞こえるかを数式で表したものがたたみ込み積分になる. 入力波形 g() をパルスに分して考えると, = τ で入力の大きさが g(τ) のパルスが 応答 g g f 7
来たとき, その後の応答が時刻 において f( τ)g(τ) となる. システムの応答が線型のとき ( すなわち, 入力がa 倍になれば応答もa 倍, 入力が 個の和のとき応答はそれぞれの応答の和 ), 連続的に変化する入力 g() による応答は, f( τ)g(τ) のτを過去から未来まで変化させて和をとることで与えられ る : f( τ)g(τ)dτ 例題 τ < τ < 衝撃応答が階段関数 f( τ) = θ( τ), 入力波形がg(τ) = { 他 f g = f( τ)g(τ)dτ = θ(x)( x)dx = 階段関数 の定義に 従って計算 = g が でない 範囲に積分区間 を変更 = θ(x)dx dx { θ( τ)τdτ θ(x)xdx = 次の等号で階段関数 にあわせて変数 x を導入 する準備 のときの系の応答を求めよ. θ( τ)τd( τ) < ( θ = ) xdx = = < < ( 積分の下限が ) dx xdx = ( ( ) ) = < 問題 3 f( τ) = e ( τ) θ( τ), 入力波形が g(τ) = τ < τ <, 他 のときの系の応答は? mahemaica 4 例題と問題 のアニメーション 定積分の数値計算では, 積分区間を N 個の小区間にわけて被積分関数の和をとるから, 計算量は N に比例 する. しかし, たたみ込み積分では, 個の に対して f( τ)g(τ)dτでn, 異なるN 個のについて計 算するので, 全部で少なくとも N に比例した計算量になり,N が大きくなると負担が増える. [ たたみ込み積分の応用例 ] 音響システムの応答を例としてたたみ込み積分を説明したが, 手ぶれ がある画像もたたみこみ積分の例である ( 図は前章を参照 ). また, 個の関数 f() とg() がどれくらい似ているかを評価するとき, 横にずらしながら重ねてみて, 8
一番よく重なったところをとらえることが行われる ( 相関関数 ). サインとコサインは 9 度ずらせばぴったり重なるから本質的には同じものと判定する という具合である. 横にずらして 重ねる( 内積をとる ) 作業は, たたみこみ積分である. ランダムなノイズの性質を考察するとき, そのノイズを表す関数それ自身とのたたみ込み積分に注目する ( 自己相関関数 ). [ たたみこみ積分にフーリエ変換を利用する ] フーリエ変換を利用すると, たたみこみ積分の計算量を減らせる. また, 衝撃応答 ( 残響や手ぶれの性質 ) が既知のとき, たたみ込み積分の結果 ( 残響がある部屋の録音やぶれた画像 ) から入力信号 ( もとの音声やもとの画像 ) を取り出す作業にもフーリエ変換を利用することができる. 例題 3 畳み込み積分のフーリエ変換が, フーリエ変換の積となることを示せ. F f g = [ f( τ)g(τ)dτ] e iω d = ( f( τ)e iω d) g(τ)dτ = ( f( τ)e iω( τ) d( τ) ) g(τ)e iωτ dτ = ( f( τ)e iω( τ) d( τ) ) g(τ)e iωτ dτ = F f F g たたみこみ積分のフーリエ変換は, それぞれのスペクトルを掛け合わせたものとなり, 概念的にも非常にわかりやすい. 入力がδ 関数ならば系の応答は応答関数 f() そのものである (f() を衝撃応答という ).δ 関数のフーリエ変換は であり, 時間的なδ 関数にはすべての振動数が均一に含まれることを意味する. f() のフーリエ変換 F(ω) と の積をとると再びF(ω) だから, その逆変換は衝撃応答 f() となっている. 入力の時間波形 g() は, そのフーリエ変換すなわち振幅 G(ω) で振動数 ωの成分を含む. 線型応答をするので, 成分ごとに考えて重ねあわせればよい : 振動数 ωの入力の振幅がg(ω) で, その振動数の応答が G(ω) F(ω) となる. その逆フーリエ変換を求めれば時間波形, すなわち, たたみ込み積分を得る. たたみ込み積分のフーリエ変換 G(ω) F(ω) と, システムの衝撃応答のフーリエ変換 F(ω) が既知であれば, 単なる割り算でG(ω) が求まり, これを逆変換すれば入力波形を得る. mahemaica 5 フーリエ変換を用いてたたみ込み積分を実行 問題 4 f() g() のフーリエ変換は, 各関数のフーリエ変換のたたみ込み積分 ( の 倍 ) となることを示せ. π 9
3.6 パーセバルの等式 章でフーリエ級数におけるパーセバルの等式を学んだ. 同等の内容がフーリエ変換でも成立する : T/ T f() d = c n n= T/ f() d = F(ω) dω フーリエ係数がフーリエ変換に対応することを思いだそう : c n = T T T f()e i n Δω d, F(ω) = f()e iω d フーリエ変換のパーセバルの等式を証明には, たたみこみ積分のフーリエ変換を利用する : f( τ)g(τ)dτ = 上式の右辺でG(ω) = F(ω) さらに = とおくと F(ω)F(ω) e dω = F(ω)G(ω)eiω dω F(ω)F(ω) dω = F(ω) dω となり, 題意 ( 黄色 ) の式の右辺が現れる.Gの代わりのF(ω) の逆変換を調べると F(ω) e iω dω = F(ω) e iω( ) dω = F(ω) e dω iω( ) = F(ω) e iω( ) dω = f( ) である. そこで,g(τ) = f( τ), さらに = とおくと f( τ)g(τ)dτ = f( τ)f( τ) dτ = f( τ)f( τ) dτ ここで τ = τ と置換すれば よって f( τ) dτ = f(τ ) d( τ ) τ = f() d = F(ω) dω = f(τ ) dτ = f( τ) dτ 3.7 補遺 ( ファインマンの処方 ) f() の無限大における性質によってはフーリエ変換 ( の積分 ) が収束しない場合がある. この積分を出来る限り救うためにフーリエ変換の定義を拡張する :ϵ > とし,の正の区間でe i ω e i ω ε, 負の区間でe i ω e i ω+ε とする.lim e ε, lim + e ε だから,f() が多項式程度の発散をしてもフーリエ変換は収束する. 式で書くと, フーリエ変換の拡張定義は F(ω) = f()e i ω d F ε (ω) = f()e i (ω+iε) d + f()e i (ω iε) d である. 通常のフーリエ変換では, 積分を実行した後で ε の極限をとると同じ結果であり, これを
フーリエ変換の自然な拡張と考える. 逆変換は f() = {lim ϵ この式は次の δ 関数の定義 ϵ δ() = lim ϵ π [ F ε(ω)e iω( iε ) dω + lim ϵ F ε(ω)e iω(+iε ) dω} eiω( iε ) dω ϵ が成り立つことから得られる. 複素積分により証明は比較的簡単 : π [ eiω( iε ) dω + e iω(+iε ) dω] + e iω(+iε ) dω] = πi [ iε + iε ] f(z) = πi [ f(z ) z z iε f(z ) z z + iε ] dz 3.8 補遺 ( 振幅スペクトルと位相スペクトル ) 信号 f() にどのような振動数の振動がどれくらいの振幅で含まれているかを示すのがスペクトルである. f() のフーリエ変換 F(ω) の実部 Re F(ω) と虚部 Im F(ω) のペアがスペクトルとなる.f() が実数の場合に は,Re F(ω) は f() のフーリエ コサイン変換,Im F(ω) は f() のフーリエ サイン変換 ( の符号を反転 したもの ) に他ならず,f() が偶関数ならスペクトルは実部だけになり, 奇関数なら虚部だけになる. 一方,F(ω) = F(ω) e iφ(ω) Im F と極形式に変換すると F(ω) が振幅スペクトル,φ(ω) = arcan が各 Re F 振動数の位相スペクトルとなる. 位相スペクトルは, 値を π < ϕ < π に制限した折り返し表示もある. 例題 4 幅 d, 高さ の単一パルス f() = { d < < d その他 のフーリエ変換 F(ω) = d sin(ωd ) ( ωd ) の振幅スペクトルお よび位相スペクトルを求めよ. sin (ωd F(ω) = d ) ( ωd, ϕ(ω) = ) 振幅スペクトル位相スペクトルは, どこでも
例題 5 例題 4 のパルスを d/ だけシフトしたときフーリエ変換は位相がe iωd/ だけ変化する. このパルスの振幅スペクトルと位相スペクトルを求めよ. F(ω) = e id ω 常に sin (ωd d ) ( ωd d, ϕ(ω) = ) ω 振幅スペクトルは例題 4 と同じ, 位相スペクトルを折り返して表示 例題 6 f() = { e a < その他 (a > ) のフーリエ変換 F(ω) は,Re F(ω) = a a +ω, Im F(ω) = ω a +ω である. 振幅および位相スペクトルを示せ. 問題答 問題 例題 では, 虚部のスペクトルに負の振動数が現れる. 負の振動数は何を意味するか. また, 原点について対称となるのはどのような意味があるか. 正と負の振動数は複素平面上の時計回りと反時計回りの回転運動に対応し, 同じ振動数の正と負がペアに なり単振動を表す. この例題の関数に限らず実数値をとる波形をフーリエ展開したとき,c n = c n すなわ ち正負の成分は互いに複素共役であり, 虚部は, 符号が反対で同じ大きさとなるため, 奇関数のグラフと なる. これに対し実部は偶関数である.
問題 スペクトル密度を c n T = F(ω n ) とせず,(i) c n T = π F(ω n ), (ii) c n T = π F(ω n ) としたとき, フーリエ変 換とフーリエ逆変換の式はどのようになるか. これらの定義も頻繁に用いられるので, 各文献で使われる 定義を確認することが肝要である. (i) (ii) f() = f() = n= n= c nt π ei ω n Δω = n= F(ω n ) = π Tc n F(ω) = c nt π ei ω n Δω = n= F(ω n )e i ω n Δω f() = F(ω)e +i ω dω F(ω n ) = π Tc n F(ω) = T T f()e i ω n d F(ω n) π ei ω n Δω f() = T T f()e i ω n d F(ω)e+i ω dω 問題 3 f() が実数のとき (i)f( ω) = F(ω) (ii) フーリエ コサイン ( サイン ) 変換は ω の偶 ( 奇 ) 関数 (iii)f() が偶 ( 奇 ) 関数なら F(ω) は実数 ( 純虚数 ) を示せ. (i) (ii) (iv) F( ω) = f() cos( ω) d + i f() sin( ω) d F C ( ω) = f() cos( ω) d F S ( ω) = f() sin( ω) d = f() cos ω d = f() cos(ω) d = f() sin(ω) d i f() sin ω d = F C (ω) = F C (ω) f() が偶関数のとき, 奇関数 sin(ω) との積は奇関数. フーリエサイン変換 = F(ω) f() sin(ω) dは, 原点 について対称な積分区間で奇関数を積分するため となり, フーリエ変換はフーリエコサイン変換と一致 し, 実数となる.f() が奇関数のとき, 偶関数 cos(ω) との積は奇関数となり がってフーリエ変換はフーリエサイン変換の i 倍すなわち純虚数となる. f() cos(ω) d =, した 3
問題 4 例題 のフーリエ変換 F(ω) は実数である. それはf() のどのような性質によるか. f() が偶関数だから. 問題 5 (i) g() = { e a < e a < (a > ) (ii) h() = { e a < e a < (a > ) の関数形を例題 3 と比較 し,g と h の対称性に留意せよ. f() のフーリエ変換を F f と書く. F g,f h を求めよ. F g = e +a e iω d + e a e iω d = (a iω) [e(a iω) ] + (a + iω) [e (a+iω) ] = a iω + a + iω = a a + ω F h = e +a e iω d + e a e iω d = (a iω) [e(a iω) ] + + a + iω = a iω + a + iω = iω a + ω F g は実数 (g が偶関数 ),F h は純虚数 (h が奇関数 ) となることに注意せよ. 例題 3 と比較すると f() = (g() + h()) すなわち f() を偶関数と奇関数から構成したとき, そのフーリエ変換 F は F = F [ (g + h)] = F g + F h となり, 右辺の各項が F の実部と虚部を与える. 問題 6 ガウス関数のフーリエ変換 F(ω) = e a e iω dをωで微分し ( 微分してから積分してよい ), 部分積分 法を適用できるように変形することで, d ω F(ω) + F(ω) = を導け.F() = π を用いてこの微分方程式 dω a a の特を求めよ. 4
d d F(ω) = dω dω e a e iω d = i a = ω a F(ω) = e a ( i)e iω d ( d d e a ) e iω d = i ( a d d e a ) e a e iω d = i a {[e a e iω ] ( iω) e a e iω d} df F = ωdω a df F = ω a ω dω log F = 4a ω + C F = Ae 4a, A = F() = e a d = π a 問題 7 F(ω) = e ω 4a の逆フーリエ変換が a π e a となることを示せ. 例題 4 の結果 e a e iω d = π を既知とし, 変数の置き換えにより計算を省略する : ω a e 4a ω と を交換する作業になり混同が起きることを危惧し, 変数の記号を x, ω k と変更する : e a x e ikx dx = π x, k ω および a b の置き換えにより e となる. 左辺の積分とフーリエ変換の定義式 とを比べると, 因子 π k a e 4a 4b e iω d = b π e b f() = ω e 4a e iω dω 倍および b a の置き換えで同じ式になるので, 積分の結果でも同じ置き換えをする : f() = π a π e a = a π e a 問題 8 積分することを 寄せ集める と考え, π eiω ( ) dω を複素平面上の操作として観察し, のとき 積分が となり, = のとき無限大に発散することを確認せよ. 被積分関数 e iω ( ) は単位円上の点 ( 原点から単位円上の点に向かうベクトル ) を 5
表す. のとき積分を実行するとωの値が変わり角 ω ( ) が変化する.ω: だからベクトルの先端は単位円上を何度も周り, どの向きのベクトルも均等に加算されるだろう. ちょうど反対向きのベクトルのペアごとに和をとると, を何度足しても.δ( ) = を確認した. = のとき ω によらず e iω ( ) = であり, dω π =.δ() = を確認した. 問題 9 f() = cos Ω のフーリエ変換を計算せよ. F(ω) = cos Ω e iω d = eiω + e iω e iω d = π ( = π(δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)) e i(ω Ω) d e i(ω+ω) d ) 問題 f() = のフーリエ変換を求め, その結果を物理的な意味として説明せよ F(ω) = e iω d = e i(ω ) d = πδ(ω ) = πδ(ω) f() = は, いわゆる直流信号, すなわちいつまでも同じ値を保つ. その振動数は ( だけ ) である. 実際, F(ω) = πδ(ω) となる. 問題 デルタ関数 δ(ω Ω) の逆フーリエ変換を求めよ. δ(ω Ω)eiω dω = π eiω 問題 これまでにフーリエ変換の線型性を用いて計算した場面 ( たくさんある ) を確認せよ. 略 問題 3 h() = { e a < e a < (a > ) ( 問題 5 参照 ) と e iω の積のフーリエ変換を求めよ. 6
F h = iω a + ω F[h()eiω ] = i(ω ω ) a + (ω ω ) 問題 4 g() = { e a < e a < (a > ) ( 問題 5 参照 ) と cos(ω ) の積のフーリエ変換を求めよ. F g cos ω = {F[g()eiω ] + F[g()e iω ]} = { a a + (ω ω ) + a a + (ω + ω ) } = a { a + (ω ω ) + a + (ω + ω ) } : 実数なのはg cos ω が偶関数だから. cos(ω ) のスペクトルは ω = ±ω に鋭いピークをもつ. この つのピークを中心として g のスペクトルがあ り重なる....5.8.6 4 4.4.5.. g() cos ω 3 3 F g cos ω 問題 5 周波数スペクトルを ω だけシフトしたときは, もとの波形が e iω 倍され f() e iω となることを逆フーリ エ変換により確かめよ. F(ω ω )e iω dω = F(ω ω )e i(ω ω ) e iω d(ω ω ) = e iω = e iω f() F(ω )eiω dω 問題 6 時間波形 cos Ω をどれだけシフトすると sin Ω になるか.cos Ω と sin Ω のスペクトルの関係を位相差の見地 から説明せよ. cos Ω ( π Ω ) = sin Ω だから, 必要なシフトは時間軸を右向きに π Ω. 一方, 例題 5 と問題 8 の結果は F cos Ω = π(δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)), F sin Ω = iπδ(ω + Ω) iπδ(ω Ω) であり, 説明すべきことは e iω π Ω F cos Ω = F sin Ω である. δ(ω Ω) e iω π Ω では,ω = Ω のときだけ δ(ω Ω) だから, 第 因子の e iω π Ω で ω = Ω を代入して 7
も同じ式となる : 同様に となり δ(ω Ω)e iω π Ω = δ(ω Ω)e iω π Ω = δ(ω Ω)e iπ = δ(ω Ω) ( ) = i δ(ω Ω) δ(ω + Ω)e iω π Ω = +i δ(ω + Ω) F [cos Ω ( π π )] = e iωω F cos Ω = e iω π Ω π(δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)) = i δ(ω Ω) + i δ(ω + Ω) Ω を得る. = F sin Ω 問題 7 時間波形 sin Ωをどれだけシフトするとcos Ωになるか.cos Ωとsin Ωのスペクトルの関係を位相差の見地から説明せよ. 略 問題 8 sin(ω + φ) のフーリエ変換を計算せよ (Ω, ϕ は定数 ). sin(ω + φ) = sin (Ω ( + φ Ω )) と変形すると,sin(Ω) を時間軸上で φ Ω だけ左にシフトしたものであり,sin(Ω) のフーリエ変換を e iω φ Ω 倍し たものである : iπ(δ(ω + Ω) δ(ω Ω)) e iωφ Ω = iπ (δ(ω + Ω)e i( Ω)φ Ω δ(ω Ω)e i(+ω)φ Ω) = iπ(δ(ω + Ω)e iφ δ(ω Ω)e iφ ) 別として, 直接計算 : δ(ω ± Ω) は ω = Ω のときだけ と異なるから e iωφ Ω の ω に Ω を代入 F(ω) = sin(ω + ϕ) e iω d = cos ϕ sin(ω) e iω d + sin ϕ cos(ω) e iω d = cos ϕ {iπδ(ω + Ω) iπδ(ω Ω)} + sin ϕ {π(δ(ω Ω) + δ(ω + Ω))} = i π {e iϕ δ(ω + Ω) e iϕ δ(ω Ω)} 問題 9 > で e a e iω,< で という関数のグラフを描き, フーリエ変換を計算せよ. 8
例題 3 の > でe a,< で のフーリエ変換 を既知とする.e a e iω は e iω をe a で変調し a+iω た信号 だから, そのフーリエ変換は e a のフーリエ変換を ω 軸上で Ω だけ右にシフトしたもの となる. すなわち 別として直接の計算を記す : F(ω) = f()e iω d F(ω) = f()e iω d = a + i(ω Ω) = e a e iω e iω d = e a e i(ω ω) d = a + i(ω Ω) 問題 df 導関数の定義 = lim d Δ f(+δ) f() Δ は, 時間シフト f( + Δ) を含む線型演算である. 定義式の右辺を用い て F [ df d ] を計算せよ ( 極限操作 lim Δ とフーリエ変換の積分は順序を変えてよい ). F [ df d ] = 時間シフト [ lim f( + Δ) f() ] e iω F f( + Δ) F f() d = lim Δ Δ Δ Δ 位相シフト e iωδ F(ω) F(ω) = lim Δ Δ e iωδ = lim F(ω) = iωf(ω) Δ Δ F [ df d ] = iωf(ω) という結論は, つぎの部分積分を実行しても得られる : F [ df d ] = df() e iω d d = [f()e iω d ] f() d e iω d = ( iω) f()e iω d = iωf(ω) ここでは,f() のフーリエ変換が存在するためには ( まだ説明していないが, 現実的な場合を考えれば頷 ける条件 )f(), したがって部分積分第 項は であることを用いた. ± 問題 sin( Ω) のフーリエ変換が π (δ(ω Ω) δ(ω + Ω)) となること, および 導関数のフーリエ変換 を既知と i して,cos( Ω) のフーリエ変換を求めよ. cos( Ω) のフーリエ変換を既知として sin( Ω) のフーリエ変換を, 同様に求めよ. cos ( Ω) = Ω d d sin(ω) 9
F cos( Ω) = F [ Ω d d sin(ω)] = Ω F [ d d sin(ω)] = Ω [iω π (δ(ω Ω) δ(ω + Ω))] i = πω Ω (δ(ω Ω) δ(ω + Ω)) = πω Ω δ(ω Ω) πω Ω δ(ω + Ω) = πω Ω π( Ω) δ(ω Ω) δ(ω + Ω) = π(δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)) Ω 問題 デルタ関数のフーリエ変換が F δ() =, 単位階段関数のフーリエ変換が F θ() = πδ(ω) + iω となること を既知として,F [ d d θ] = F δ したがって d d θ = δ を確認せよ. F [ d θ] = iω (πδ(ω) + ) = iπ ωδ(ω) + = = F δ d iω 問題 3 f( τ) = e ( τ) θ( τ), 入力波形が g(τ) = τ < τ <, 他 のときの系の応答は? f g = f( τ)g(τ)dτ = e x θ(x)( x)dx = = e ( τ) θ( τ)τdτ e x θ(x)dx = e ( τ) θ( τ)τd( τ) e x θ(x)xdx = { < のとき (θ = ) : < < のとき ( 積分の下限が ) : e x dx e x xdx = (e ) ( + x)e x < のとき : e x dx e x xdx = e = + e 問題 4 f() g() のフーリエ変換は, それぞれの関数のフーリエ変換のたたみ込み積分 ( の 倍 ) となることを示 せ. F f g = f() g() e iω d = [ = F(ω ) G(ω ) π F(ω )eiω dω ] [ ei(ω +ω ω) d δ(ω +ω ω) π G(ω )eiω dω ] e iω d dω dω = F(ω ω) G(ω )dω 3
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