0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積をT とする このとき, 以下の問いに答えよ () a を の式で表し, a > を示せ () S とT をそれぞれ の式で表せ S () 極限値 lim を求めよ log T --
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ t を 0< t < を満たす実数とする 面積が である三角形 ABC において, 辺 AB, BC, CA をそれぞれ :, t :- t, : に内分する点を D, E, F とする また, AE と BF, BF と CD, CD と AE の交点をそれぞれ P, Q, R とする このとき, 以下の問いに答えよ () 直線 AE, BF, CD が 点で交わるときの t の値 t0 を求めよ 以下, t は 0 < t< t0 を満たすものとする () AP kae, CR lcd を満たす実数 k, l をそれぞれ求めよ () 三角形 BCQ の面積を求めよ (4) 三角形 PQR の面積を求めよ --
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上で円 x + y に内接する正六角形で, 点 P(, 0 0) を つの頂点とす るものを考える この正六角形の頂点を P 0 から反時計まわりに順に P, P, P, P 4, P5 とする ある頂点に置かれている 枚のコインに対し, つのサイコロを 回投げ, 出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす ( 規則 )(i) から 5 までの目が出た場合は, 出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす たとえば, コインが P 4 にあるときに 4 の目が出た場合は P まで動かす (ii) の目が出た場合は, x 軸に関して対称な位置にコインを動かす ただし, コインが x 軸上にあるときは動かさない たとえば, コインが P 5 にあるときに の目が出た場合は P に動かす はじめにコインを 枚だけ P 0 に置き, つのサイコロを続けて何回か投げて, 回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える 以下の問いに答えよ () 回サイコロを投げた後に, コインが P 0 の位置にある確率を求めよ () 回サイコロを投げた後に, コインが P 0 の位置にある確率を求めよ () を自然数とする 回サイコロを投げた後に, コインが P 0 の位置にある確率を 求めよ --
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 自然数 に対して, 0 を で割った余りを a とおく a は 0 から までの整数である 以下の問いに答えよ () a + は0a を で割った余りに等しいことを示せ () a, a,, a を求めよ () 以下の 条件を満たす自然数 N をすべて求めよ (i) N を十進法で表示したとき 桁となる (ii) N を十進法で表示して, 最初と最後の桁の数字を取り除くと 0 となる (iii) N は で割り切れる -4-
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ 以下の問いに答えよ () を 0 < を満たす実数, i を虚数単位とし, を cos + isi で表される 複素数とする このとき, 整数 に対して次の式を証明せよ cos ( + ), si - i ( - ) () 次の方程式を満たす実数 x (0 x< ) を求めよ cosx+ cosx- cosx () 次の式を証明せよ 9 si0 + si40 + si0 + si80 4-5-
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () C : y logx と C : y ( x-)( x-a) が, P(, 0), y C Q( +, log( + )) ( は自然数 ) で交わっているので, Q log( + ) ( + - )( + - a) C P log( + ) a + - O a x + log( + ) ここで, a- - { - log( + )} となり, x において, f ( x) x - log( x+ ) とおくと, ( ) x( x+ ) - f x x- > 0 x + x + これより, f ( x ) f () - log > 0 なので, a - > 0より a > である () 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積 S は, + S log ò xdx- ( + - )log( + ) + + [ xlog x ] - dx log( ) ò - + ( + )log( + ) -( + -) - log( + ) + log( + ) - () また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積 T は, PQ : y px + q とおくと, + T { px+ q-( x-)( x-a)} dx - ( x-)( x--) dx ò ( ) + - + log( + ) - S log( + ) + - logt log log - log log - log log( + ) log( + ) log - ここで, ( - ) と変形して, log- log log log log( + ) log + log( + ) lim { - } lim lim 0 log log log log( + ) S よって, lim から, lim - - 0 である log log T ò + [ 解説 ] log( + ) 面積計算および極限に関する基本的な問題です () の lim について log は, が大きくなると log( + ) log という感覚からです -- 電送数学舎 0
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () ABC において, AD:DB :, BE : EC t : - t, A CF : FA : であり, t t0 のとき, AE, BF, CD が 点で交わることより, チェバの定理から, AD BE CF 0, t D DB EC FA -t0 F すると, t0 ( -t0) から, t 0 となる 5 B t E -t C () 条件より, AP kae, CR lcd なので, A AP:PE k:- k, CR : RD l : - l さて, AEC と直線 BF にメネラウスの定理を適用して, AP EB CF, k t PE BC FA - k D R Q F すると, kt ( -k ) より, k P となる + t B t E -t C また, CDB と直線 AE にメネラウスの定理を適用して, CR DA BE, l t RD AB EC -l -t すると, lt ( -l )(-t ) より, (- t) l - t, l -t となる - t () BQ : QF m: -mとし, BFA と直線 CD にメネラウスの定理を適用して, BQ FC AD, m QF CA DB -m 4 すると, m 4( -m) より, m となる よって, ABC の面積が から, BCQ BCF ABC 4 AP : PE : - :tとなり, + t + t ABP ABE t ABC + t + t t +t また, CR : RD -t : ( - - t ) - t :tから, -t -t CAR -t CAD -t ABC -t - t + t -t - t (4) () から, ( ) すると, PQR ABC- BCQ - CAR - ABP より, PQR - - -t - t - t + t 5t - 0t+ 9 (5t -) ( - t)( + t) ( - t)( + t) [ 解説 ] 平面図形の基本定理を適用する問題です ベクトルを利用する手もありますが -- 電送数学舎 0
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 回サイコロを投げ, はじめに P 0 に置かれたコインが y 与えられた規則にしたがって P 0 に移動するのは, 出たサイコロの目の ( 回目, 回目 ) の組合せが, P P P P0 (, 5), (, 4), (, ), (4, ) - O x (5, ), (, ) これより, この確率は () 回サイコロを投げ, コインが P 0 の位置にあるのは, (i) 回投げた後に P 0 の位置にあるとき P4 P5 回目に出た目が の場合だけより, このときの確率は () から である (ii) 回投げた後に P 0 以外の位置にあるとき 回投げた後に P k ( k 5) にあるときは, 回目に出た目が -k の場合だけよ り, このときの確率は () から 5 ( ) - である (i)(ii) より, 回サイコロを投げた後に P 0 の位置にある確率は, + 5 となる () 回サイコロを投げ, コインが P 0 の位置にある確率を a, P 0 以外の位置にある確率をb とする () と同様に考えると, a + a + b ( a + b ) ここで, a + b から a +, すなわち でa である さらに, 回サイコロを投げ, コインが P 0 の位置にあるのは, の目が出たときだけなので, その確率 a である 以上より, 回サイコロを投げた後に, コインが P 0 の位置にある確率は である [ 解説 ] 確率の基本問題ですが, つの設問の結論はすべて同じです 意外すぎて, とまどってしまいます -- 電送数学舎 0
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () 0 を で割った余りが a より, 0 + 0 0 0( q + a ) (0 q ) + 0a q を自然数として, 0 q + a と表せ, すると, 0 + を で割った余り a + は, 0a を で割った余りに等しい () 0 を で割った余りは 0 より, a 0 である そして, () の結論を当てはめていくと, a は0a 00 を で割った余りに等しく, 00 7 + 9 より a 9 である 0a 90 を で割った余り (90 + ) より, a である a は 0a 0 を で割った余り (0 9 + ) より, a 4 である a4 は 0a 0 を で割った余り (0 + 4) より, a 5 4 である a5 は 4 0a 40 を で割った余り (40 + ) より, a である a は 5 () 自然数 N を十進法で表示したとき, 最初の桁の数字を k ( k 9), 最後の桁の数字を l (0 l 9) とおくと, 条件 (i)(ii) より, 5 4 N k 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 + l ここで, () の結論を合同式を用い, mod で記すと, 5 0 º 4, 4 0 º, 0 º, 0 º 9, 0 º 0 これより, N º 4k+ + 9+ 0+ l 4k+ l+ 75 º 4k+ l+ 0 さらに, 条件 (iii) から N が で割り切れることから, 4k+ l+ 0が の倍数と なり, 4 4k+ l+ 0 55 より, (a) 4k+ l+ 0 のとき 4k+ l から ( k, l ) (, 8), (, 4), (4, 0) (b) 4k+ l+ 0 9 のとき 4k+ l 9から ( k, l ) (5, 9), (, 5), (7, ) (c) 4k+ l+ 0 5 のとき 4k+ l 4から ( k, l ) (9, ) (a)~(c) より, 求める自然数 N は, 08, 04, 400, 509, 05, 70, 90 [ 解説 ] うまく誘導のついた整数問題です なお, () の不定方程式は, 一般的に解くよりは, 値を絞り込んで数値を代入していった方が簡単です また, () から合同式を利用してもよかったのですが -4- 電送数学舎 0
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ () cos + isi のとき, 整数 に対してド モアブルの定理より, cos + isi, - cos( - ) + isi( - ) cos - isi これより, + cos, - si i となり, cos ( + ), si ( ) i - ( - i - ) () cosx+ cosx- cosx (0 x< ) (*) に対し, () すると, -si x si( - x) + - si x, 4si xcosx- si x 0から, si x si x- si x 0 si x(cosx- ) 0 よって, si x 0 または cosx から, (*) の解は, x 0,,, 5 S si 0 + si 40 + si 0 + si 80 とおくと, S -cos40 + -cos80 + -cos0 + -cos0 4 - ( cos40 + cos80 - + cos0 ) 9 - ( cos40 + cos80 + cos0 ) 9 - ( cos40 + cos0 cos40 ) 4 4 9 - {cos40 + ( - )cos40 } 9 4 4 [ 解説 ] 複素数の計算問題ですが, (), () は () を無視して, 普通に三角関数の変形により解いています 出題意図は, 倍角の公式とか複素数列の和の扱いなどでしょうか もちろん受験生はこんなことを気にする必要はないのですが -5- 電送数学舎 0