大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅰ. 問 g 最高点の座標を y max とすると, 力学的エネルギー保存則より \ y m mgy 補足 max g max 小物体の運動方向に対する仕事は重力 ( 保存力 ) の斜面に沿った成分のみであり, 垂直抗力 ( 非保存力 ) の仕事は である よって, 力学的エネルギー保存則が成り立つ これを確かめてみよう 小物体は重力の斜面に沿った外力を受けながらその運動エネルギーを失っていく 尚, 小物体に働く垂直抗力の向きと小物体の運動方向のなす角は 9 だから, 垂直抗力は小物体に対し仕事をしない すなわち小物体の運動エネルギー変化に垂直抗力は寄与しない そこで, 小物体が最高点に達するまでに, すなわち小物体の運動エネルギーが になるまでに, 小物体が斜面を上った距離を l max とすると, 重力の斜面にそった成分が小物体に対してした仕事は, 運動の向きと外力の向きのなす角が 8 だから, mg sinq l max cos8 -mgl sinq よって, m - mglmax sinq max これと, 最高点の座標を y とすると, y sinq より, m - mgymax \ y max max g max l max
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ. 問 ( g cosq a sin q ) m - 台 B 上の観測者から見ると, 小物体は, 斜面からの垂直抗力 N, 小物体の重力 mg, 水平左向きの慣性力 ma を受け, 台 B の斜面と平行な向きに運動する したがって, 小物体は台 B の斜面に垂直な方向に対しては静止している つまり, 小物体が受ける外力の斜面に垂直な成分はつり合っている よって, そのつり合いの式 N + ma sinq mg cosq より, ( g cosq a sin q ) N mg cosq - ma sin q m - N ma a q mg 問 a m sinq cosq g, b M + m sin q k M + m sin q 台 B が受ける外力は, 台 B の重力, 小物体からの垂直抗力, ばねから受ける弾性力, 台 A からの垂直抗力である N sin q N ' a kx q N Mg
大阪大学物理 8 を解いてみた 台 B は水平方向に運動するから, その運動方程式は, Ma N sinq - kx \ m ( g cosq - a sinq ) mg cosq sinq - ma sin sinq - kx q - kx ( M + m sin q ) a mg cosq sinq - kx m sinq cosq k \ a g - M + m sin q M + m sin 補足 問 の N m( g cosq - a sin q ) x q 台 B から見た小物体の運動は台 B の斜面に束縛された運動に過ぎないが, 台 A の観測者から見た小物体の運動は台 B が運動しているため, 台 B の観測者から見た運動より複雑である したがって, 台 A の観測者の立場から垂直抗力 N を求めるのは大変である そこで, 実在の力の大きさは観測者の立場が変わっても同じであるから, あらかじめ台 B の観測者の立場から垂直抗力 N を求めさせ, 問 の問題を正解しやすくしたと思われる 教訓物体に働く力を求める場合, より簡単に求められる観測者の立場からその力を求める 問 4 a b 問 5 b a a - b x より, Ma Ma - Mb x \ Ma -Mb æ a ç x - è b æ a これより, 台 B は位置 x の 次関数で表される外力 F -Mb ç x - を受ける運動, è b すなわち単振動運動であることがわかる æ a F -Mb ç x - より, è b つり合いの位置, すなわち振動中心の位置は, F a より x b
大阪大学物理 8 を解いてみた 単振動の開始位置は x の位置だから, 振動開始位置と振動中心の距離, a つまり振幅は b また, a - b 単振動の外力 F の一般形を F -KX, 単振動する物体の質量を M とすると, p M K 振動周期 T p より, w w K M æ a F -Mb ç x - において, Mb が K に相当するから, è b w Mb M 角振動数の別解 b 振幅を A, 角振動数を w, 初期位相を d, 台 B の振動中心からの変位を X とすると, X Asin ( w t + d ) ( または A ( w t + f ) よって, dx dt 単振動中の台 B の速度 Aw cos ( wt + d ) X cos f は初期位相 ) と表される d 単振動中の物体の加速度 -w A ( wt + d ) -w X a dt X d dt sin よって, a -w X 一方, a b x より a -b ( x - ) a -, より, a X x -, w b b a \w b 4
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅲ x ' N y ' q mg O 台 A 問 6 - g sin q 座標の原点は, 台 A に固定されているから, この座標系による小物体の加速度とは, 台 A 上の観測者が観測した加速度である 台 A 上の観測者が観測する小物体にはたらく外力は, 台 B からの垂直抗力 N と小物体の重力 mg である 求める加速度を a x' とすると, x ' 方向の運動方程式は, ma x -mg sin q + mg cos 9 -mg sin q ' \ a x ' -g sin q 問 7 g sinq 変位の ' D x' t + - g sinq t x 成分は, ( ) もとの位置に戻ってきたとき変位 Dx' となるから, 戻ってくるまでの時間を t' とすると, t' - g sinq t ' t' ¹ より, t ' g sinq 5
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 8 np g sinq w V 小物体が台 B を上り始めてからもとの位置に戻ってくるまでの時間が g sinq V 台 B の単振動周期 T の整数倍であればよいから, nt g sinq \ V ng sinq T p np g sinq T より, V w w 6
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅰ. 問 ev m 加速後の電位を とすると加速前の電位はV ( V > ) だから, 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーは ev 加速前後において力学的エネルギーが保存されるから, 加速後の電子は速さを とすると, ev + + m \ 補足 ev m 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギー ev について [V] V [V] V E d 外力 F d [V] V [V] V E d d 7
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ V 極板間の距離を d とすると, 電界の大きさ E d 電荷 - e[ C] の電子を電位 [ V] ev 必要とする外力の大きさ F - ee である d 外力の向きと変位の向きのなす角が だから, ev 外力がする仕事 W F d cos d ev d 問 V の位置から電位 [V] の位置まで移動させるとき, この仕事は電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーとして蓄えられる よって, 加速前の電子がもつ保存力 ( 静電気力 ) の位置エネルギーは ev である pm 時刻 : m x 座標 : - 磁界中で電子は向心力 ( ローレンツ力 eb ) を受け等速円運動をする 円運動の半径を r とすると向心加速度 a より, r その運動方程式は, m eb r m \ r 荷電粒子は半円を描いた後磁界から飛び出すから, その軌道の長さは rp である 磁界に入射した時刻を とするから, rp 磁界から飛び出す時刻は, m m 飛び出すときの x 座標は, - r - p p m 8
大阪大学物理 8 を解いてみた y r eb O x 9
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 電子の軌跡 y φ r φ φ eb O φ x 時刻 : ( p - f ) m m sin f x 座標 : - - 電子が描く円弧の長さ r( p - f ) r( p - f ) より, m p - - 電子が飛び出す時刻 ( ) ( p - f ) r f m sin f また, x 座標 - r sin f - ( p f ) m
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅲ 問 4 問 5 電子の運動 : z 軸正方向に等速直線運動をする 理由 : 電子の運動方向と磁場の向きが平行だから, 電子は磁場から力を受けない m sinq 半径 : p m 周期 : 図 より, 電子の磁場の向きと垂直な速度成分は sin q よって, 電子が受けるローレンツ力の大きさは e sin q これが向心力となって, z 軸方向からみたときは等速円運動をする この等速円運動の半径を r とすると, m sinq 等速円運動の運動方程式は, ( ) e sinq B m sinq \ r 問 6 また, 周期は, r p m sin q p p m sinq sinq pm cosq 等速度運動の速度成分は, よって, L 問 7 p m cosq r B cosq だから, これに等速円運動の周期をかければよい p m cosq p m 等速円運動の周期 T より, 電子の速さが変わっても一定である 電子の速さが のとき, 電子は等速円運動をちょうど 回行なって位置 (,,L) に達する
大阪大学物理 8 を解いてみた よって, cosq T L 速さを から大きくしていくと, z 軸方向の速さが大きくなるので, 電子が z L に達するまでの等速円運動の回数が減少していく したがって, 次に電子が位置 (,,L) にある検出器に検出されるとき, 等速円運動をちょうど 回行うことになる このときの速さを とすると, ' ' cosq T L より, \ ' おまけ ' cosq T L cosq T L
大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅳ 問 8 < R m sinq m sinq 回転半径 < R であればよい \ < R m sinq y 円筒 電子の軌跡 msin θ φ O x R
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 9, 検出器の座標 (,,pr) より, q ¹ のとき電子が検出されるためには, 以下の つの条件が満たされなければならない p z 軸正方向に進むためには < q < であること 電子が検出されるためには等速円運動を少なくとも 回しなければならないから, 軌道半径 < 円筒の半径であること 電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回 ( n は自然数 ) であること 軌道半径 < 円筒の半径 m sinq 4 m m sinq 4 m < R, R より, < æ p \ sin q < ç < q < è 電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回 z 方向の速さが cosq だから, cos q nt pr 4 m pm pm 4 m R, T より, cos q n p æ p \ cos q ç < q < 4 n è あるいは, 問 6 より, 電子が等速円運動を 回したとき, 電子は座標 (,, L) (,, pr ) (,, nl) が成り立てばよい に達するから, 4 m pm cosq よって, p n \ cos q 4 n,4より, sinq - cos q æ - ç è n < \ 8-9n < 8 9 \n < 8 n は自然数だから, n, \ cos q, 4
大阪大学物理 8 を解いてみた まず, 各状態量を ( P V, n, T ) 初期状態, の形で成分表示しておく æ PV æ PV 左室 ç P, V,, T 右室 ç è P, V,, T è 状態 気体の物質量は, 理想気体の状態方程式より求めた æ PV æ 左室 ç P, V,, T 右室 ç è P è P V, T R V,, 左室 : 導入弁が開くから, 左室の圧力は P である よって, 気体の物質量は 右室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しない また, 圧力を P R とおいた 状態 æ PV 全体の状態 ç P, V + V,, T è æ PV V æ PV V 左室 ç P, V,, T 右室 ç è V + V P, V,, T è V + V 接続バルブが解法されるから, つの系になったと見なしてよく, P V このとき気体の物質量は また, 圧力を P とした PV 左室 右室で成分表示する場合, + 左室と右室の気体の物質量比 左室と右室の体積比 V :V より, PV 左室の気体の物質量 PV 右室の気体の物質量 V V + V V V + V P V P V 5
大阪大学物理 8 を解いてみた 状態 æ PV V æ PV 左室 ç P L, V,, T 右室 ç è V + V P, V,, T è 左室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しない また, 圧力を P L とした 右室 : 導入弁が開くから, 圧力は P になる よって, 気体の物質量は 状態 4 æ PV V + V 全体の状態 ç P 4, V,, T è V + V æ PV V + V V 左室 ç P 4, V,, T è V + V V + V æ PV V + V V 右室 ç P 4, V,, T è V + V V + V 接続バルブが解法されるから, つの系になったと見なしてよく, P V このとき気体の物質量は また, 圧力を P 4 とした V V 左室 右室で成分表示する場合, + V P V + P V V + V V + V 左室と右室の気体の物質量比 左室と右室の体積比 V :V より, P V 左室の気体の物質量 P V 右室の気体の物質量 状態 5 æ 左室 ç P, V,, T è PV æ 右室 ç P è V + V V + V V + V V + V PV V + V V, V, T V + V V + V R 5, V V + V V V + V 左室 : 導入弁が開くから, 圧力は P になる よって, 気体の物質量は 右室 : 密閉状態だから気体の物質量は変化しない また, 圧力を P R5 とした P V P V 6
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 P V PV 右室の気体の状態方程式 P V n より, n 問 a P a + æ 全体の状態 ç è \ P 問 PV V + V P V, V + V,, T P より, P ( V + V ) V P V V + V a P a + ( a - ) PV ( a + ) P V æ PV 状態 の左室の内部エネルギーをU L とすると, ç P, V,, T より, è PV U L P V æ PV V 状態 の左室の内部エネルギーをU L とすると, ç P, V,, T より, è V + V U L PV P V V V + V V V + V 7
大阪大学物理 8 を解いてみた \ U 問 4 L a a + - U L P V æ V PV ç èv + V PV ( V - V ) ( V + V ) æ V ç èv PV æ V ç èv ( a - ) ( a + ) ( a - ) PV ( a + ) P V V V + V - - - + P V 右室の状態が状態 から状態 に移る過程において, 気体が導入され始める瞬間までの過程 温度一定の閉じた系における状態変化だから, 等温変化である よって, PV 一定 ( 等温変化 ) が成り立つ 気体が導入される始める瞬間の右室の圧力は P であり, このときの体積を kv とすると, ピストンを動かす前と気体が導入される始める瞬間において, PV 一定より, P V P kv \ k P P a a 問 より P P だから, k a + a + 気体が導入され始めてから状態 までの過程 圧力 P で変化するから, 等圧変化である 8
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 5 a - PV a + 圧力 P がする仕事により体積が kv からV に変化する a V a V k, a より, kv V a + V a + a a + æ \ W P DV P çv è 問 6 - V a + 初期状態から状態 への変化 等温変化 ( 状態 から状態 への変化 a - PV a + PV 一定 ) により, ( ) P,V から çap è a æ V 等積変化により, çap æ a V, から ç P, に変化 è a è a + a 状態 から状態 への変化 気体が導入されはじめるまで æ V, に変化 æ a V æ 等温変化 ( PV 一定 ) により, ç P, から ç P, V に変化 è a + a è a + 気体が導入されてから æ 等圧変化により, ç è 以上と a 7 より,, V a + グラフは次図のようになる P から ( P ),V に変化 9
大阪大学物理 8 を解いてみた y 7P 状態 7 4 P P 状態 初期状態 状態 O V 7 4 V V(7V) x
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 7 y 7P 状態 7 4 P P 状態 初期状態 状態 O V 7 4 V V(7V) x
大阪大学物理 8 を解いてみた 初期状態から状態 に至る過程で右室の気体がピストンから受けた仕事 y 7P 状態 7 4 P P 状態 初期状態 状態 O V 7 4 V V(7V) x
大阪大学物理 8 を解いてみた 状態 から状態 に至る過程で右室の気体がピストンにした仕事 y 7P 状態 7 4 P P 状態 初期状態 状態 O V 7 4 V V(7V) x
大阪大学物理 8 を解いてみた 問 8 49P 状態 k における体積 V の室の圧力と気体の物質量をそれぞれ P k, n k とする 状態 k - のとき 体積 体積 V の室の状態は, 常に ( P, V, n ) V の室の状態は ( P V n ) それぞれの状態方程式は, P V n P k -,, k - k - V nk - 状態 k のとき 接続バルブを開放することによって, 状態 k になるから, つの系と見なしたときの状態は, ( P V V n + n ) k, +, k - このときの状態方程式 P k ( V V ) ( n + nk - ) P k ( V + V ) ( n + nk - ) n + nk - PV + P k -V \ P k PV + P V + V これと a 7 より, 状態 k + のとき a + + および, より, 7P k - k - + V ap + P 8 P k - 7P + P k - P k 8 状態 k から状態 k + までの変化は等温変化だから, P k + V P kv V \ + 4 P k P k ap k 7P k V 49P + 7P k-,4より, P k + 5 8 上限値がある とあるから, 上限値を P max とすると, lim P lim k k - P k+ k P max が成り立つ よって,5 の両辺について極限をとると, æ 49P + 7P k - lim P k+ limç より, P k k è 8 \ P max 49P max 49P + 7Pmax 8 4