§10 屈折の法則、反射率と透過率を表すフレネル(Fresnel)の公式

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1 理科大応用物理学科教授工学博士石井行弘著..3 次の非線形分極は ~ P ( ( ~ ( t ( t となり (8 式を代入し i ( ( (.. t i t t t e e e e c c ( ( P ~ ( t となる 非線形分極から以下に示す新たな光が発生する P ( ( ( 周波数 の 倍高調波が発生する P P ( ( ( 周波数 の 倍高調波が発生する ( ( ( 和周波数 が発生する ( P( ( 和周波数 が発生する ( ( P( { 静電界が結晶中に発生する 光整流 (optical rectificatio} となる 問題 光パラメトリック増幅について 上式の和周波数 3 = のように 高い周波数 3 のポンプ光から低周波数 ( 信号光 と ( アイドラー光 へとパワーが流れる この信号光を増幅するレーザー装置をパラメトリック増幅器 (optical parametric amplifier OP という このパラメトリック増幅の複屈折を利用した位相整合条件 ( 角度位相整合 に付き記述しなさい 屈折の法則 反射率と透過率を表すフレネル (Fresel の公式とブリュスタ (Brewster の法則 マックウェルの電磁方程式を用いて 屈折率 の媒質から の媒質に光が入射する際の振幅反射率 振幅透過率を求める 反射率 透過率は光の偏光に依存するので 図 34 は 紙面内に振動している光電界を p (parallel で 紙面に垂直

2 に振動している光電界を s (Sekrecht と表す また 電界の添え字は 入射の光電界は 屈折光は 反射光は 3 と表す 入射角は 屈折角は 反射角は 3 である 媒質の境界の入射側 反射側の電界は等しいので p 偏光の電界は (83 式が成立する 図 34 境界面における入射, 反射と屈折 ik ik ik a p e a p e 3 a p e cos 3 cos 3 cos (83 (83 式の波動成分が等しいことにより 電界振幅の境界成分が等しくなる よって ik ik ik e e 3 e (84 が成立し 位相成分が等しいことから位相整合条件 (phase-matchig coditio と 呼ばれている (84 式の第一の式と第三の式が等しいことから k =k すなわ ち ( si /=( si / が成立し 屈折の法則の関係式

3 si = si (85 が成り立つ この屈折の法則は スネル (Sell の法則とも呼ばれる 同様に (84 式の第一と第二の式から反射の法則 = 3 (86 が成立する 電界振幅 a 3p,a p の 変数を解くため もう一つの方程式が必要となる 光は横波で 電界と対となる磁界の方程式を導出する (83 式から波動インピーダンス Z を用いて (84 式の 成分から 成分の H 成分へ変換する マックスウェル (Mawell の電磁方程式のうち 磁界の時間的変動が電界の空間的変化を表す方程式は H (rot (87 t となる これより, 平面波の場合,= ep{j(kr - t}, H= H ep{j(kr - t} を (87 式に代入し,jk, /t-j の関係式が得られ H k (88 が成立する ここで,k= を用いると (83 式に相当する磁界の方程式は a p Z e a ik 3p ik p ik e 3 ( e (89 Z Z なる ここで空気中の波動インピーダンスは Z a r とな り は真空の誘電率で は空気の屈折率である 波動インピーダンス Z は Z となる 磁性物質がないので = としている 纏めとして あらゆる, について 電界についての (83 式と磁界についての (89 式が成り立つための位相整合条件が成立する よって 反射の法則が導出される 3

4 以下の境界条件 (i,(ii は (83 (89 式の境界の接線成分の連続性から成立されている 改めて 金属面と誘電体境界面で記述する 界面 (iterface における境界条件 (boudar coditio は i 金属の境界面では 電気伝導率を= であるので 抵抗が R= と見なして良く 電位差は となり結果として電界は である 式で書くと図 34 を参考に ( = = (9 と記述できる ただ金属の内部には光は入らないので 金属面の光の反射に適用するときに使用する 本章で扱う Fresel の公式の導出には 透明物体の反射や透過を扱うので ii 誘電体 (dielectric material 境界面での境界条件は 誘電体すなわち絶縁体表面では 電流は流れなく i= であり結果として電位差 V は となる このことを線積分で書くと dl であり 図 34 の境界を拡大した図 35 に従い dl a a a が成立する p 3p p 図 35 電界の境界条件 ( 線積分のループ図 (86 式の = 3 を (83 式に代入すると (a p -a 3p cos =a p cos が導出され a cos (9 p a 3p a p cos となる H 成分について (89 式から 4

5 Z a a a a p p p 3p p a Z (9 となる (9 式は (85 式のスネルの法則を用いて si a p a3 p a p a p a p (93 si となる (9 式と (93 式から cos a a a a p 3p cos a3 cos 3 p a si p cos a p a p si p 3p si ap si となる =a 3p /a p, C= cos /cos, S= si /si とおくと (94 式は (-C=(+S から(S+C=C-S となる この関係式から p 偏光の振幅反射率 r p r p =a 3p /a p は (95 式になる 最後の結果は小角度近似 (small-agle approimatio である cos, si. ta を用いている º 以内の角度で sitaが小数点二桁目で一致している 因みに º で sitaである (94 a3 p si cos cos si si cos a p cos si cos si cos si a3 p cos cos rp a cos si cos si p cos cos si cos si cos ta ta cos cos cos cos (95 (9, (9 式から 5

6 a a cos p a 3p a p cos si の両辺の和を取り p a 3p a p si cos si ap a p cos si が成立する これから p 偏光の振幅透過率 t p は a p cossi cossi t p (96 ap si si si cos a 3p となる (9 式から a p a a p p が成り立ち p 偏光の振幅反射率と透過率の 関係式が rp t p が導かれる スネルの法則の小角度近似を用い = となり 反射率 r p, 透過率 t p はそれぞれ (95 (96 式は (97,(98 式となり 入射側と屈折側の屈折率のみで表すことができる a3 p ta rp ap ta (97 a p t p (98 ap s 偏光については 図 34 の入射面と屈折面での境界の 方向の光電界が等し ik いことから a ik ik e a e 3 a e が成立する ここで 位相整合条件 s 3s s より波数の関係は k =k 3 =k である 方向の光電界に対して (89 式の導出と同様に 成分の磁界成分に変換し 6

7 a s cos ik a s ik a s ik e 3 cos e 3 cos ( e Z Z Z となる 上式の 式を用いて a a a ( a a cos a cos (99 s 3s s, s 3s s となる s 偏光の振幅反射率 r s, 振幅透過率 t s の関係 +r s =t s が成立する s 偏光の振幅反射率 r s と振幅透過率 t s は (97,(98 式から rs a3s as si si rp ( as si ts cos t as si p ( 小角度近似の基で成立する これまでは 光波が媒質 から媒質 へ入射している 以下は 媒質 から媒質 へ入射したとする 媒質 から媒質 の p 偏光の振幅反射率は (95 式で 与えられ, 媒質 から媒質 への境界で反射したときの振幅反射率 r p は, ' p r ta ta rp となり, r s =r s が成 立する よって, 疎から密の反射は,の位相を伴うことを表す r = - r が成り立つ p,s 偏光に依らず成立する (96 式の振幅反射率 t p と媒質 から媒質 への入射したときの振幅透過率 t p を用いると, t p t p +r p = となる 問題. t p t p +r p = を導出しなさい p 偏光の上記の等式が s 偏光についても t s t s +r s = として成立する p,s 偏光に共通な図 36 振幅反射率 r と透過率 t の変化エネルギー保存則である θ B =56.3 ( =., =.5 tt + r = ( が成立し, これをストークス (Stokes の定理と呼ぶ ( 式のストークスの定理は, 5. で記述した繰り返し反射干渉計の干渉強度の計算に利用されている 7

8 ブリュスタ (Brewster の法則は 入射角と屈折角の関係が であるとすると (97 式から r p ta ta ( (3 となり p 偏光の反射率 r p がとなる この入射角 をブリュスタ (Brewster の角度 B と呼ぶ ( 式の振幅反射率 r s から図 36 の B =56.3のとき r s =-cos B =.38 となる (85 式のスネルの法則から si B si si B cos が成立し この関係式から ta B =( / (4 となる =, =.5 とするとブリュスタ角は B =56.3である 図 36~38 は, 媒質 から媒質 へ入射し B 図 37 振幅反射率 r と透過率 t の変化 θ B =5.4 ( =., =.3 た際の入射角 θ に対する反射率 r p,r s 透過率 t p,t s の計算結果を示す 各図は 媒質 は空気であり 媒質 の屈折率 が異なる いま (97(98 式を用いて垂直入射の反 射率 透過率は = =.5 として rp rs t t.. 8 となる p S 問題. 図 38 振幅反射率 r と透過率 t の変化 θ B =63.4 ( =., =. ガラス板を 枚重ねた積層偏光子の s 偏光の強度透過率は 一枚のガラス板の 強度反射率を r S とし くり返し反射がないとすれば ( r S であることを導 きなさい ここで 一枚目のガラス板への入射角は ブリュスタ角 B =56.3 であ 8

9 る ブリュスタ窓を使用しているので p 偏光の射出光となっている この積層偏光子を図 で示すレーザー共振器のブリュスタ窓 (Brewster s widow に適用すると垂直入射に比べ反射ロスがどのくらい抑えられるか計算しなさい 問題 の解答 ブリュスタ角 B でガラス板へ入射しているので r p = である 一枚のガラス板の強度反射率を r S であり 単位強度 の光が入射しており s 偏光の透過強度は- r S 枚目のガラスの透過強度は (- r S - (- r S r S =(- r S となる よって 枚のガラスの透過強度は ( r S となる ブリュスタ窓つきガラスレーザー管の多数回の反射 透過により s 偏光の強度透過率 ( r S はほぼ となり p 偏光成分が取り出せることになる s 偏光の強度反射率は 一回の反射で r S 回の反射で ( r S r S 回の反射で ( r S - r S となる たとえば =5 で強度反射率は.78(r S =.5 図 36 参照 である ブリュスタ窓の採用は ( 式から 回ブリュスタ窓を透過した p 偏光の強度透過率は (t p t p =(- r p = (r p = であり となる p 偏光のレーザー光は反射ロスが で効率よく励振される 上述のように s 偏光の強度透過率は ( r S は ほぼ となっている p 偏光のガラスへの垂直入射の強度反射率を r p とすると 単位強度 がガラスに垂直入射すると強度透過率は t p t p =- r p =.96 (r p =.4 図 36 参照 で反射ロスが 4% 生じている 回の強度透過率は (t p t p =(- r p となり 例えば =5 で p 偏光の強度透過率は.8 となり 反射ロスは -(t p t p となり 8% となる レーザー光の励起が効率よく行えない ブリュスタの法則 を 使用して r s が成立することを示しなさい 全反射 si 図 39 に示す (, 座標系で スネルの法則から si が成立し 屈 折率 > の媒質から入射すると, 屈折角が 9 (= になる入射角 c が存在する 9

10 よって si si c が成立し入射角 c を臨界角 (critical agle という た とえば ガラスから空気中の入射の際 c =4.8となる この角度が 全反射角で c 以上の角度で入射すると反射ロスがなく パーセントの反射率で反射される この現象を全反射 (total iteral reflectio, TIR という 光ファイバー中の伝播において コアのガラスとクラッドのガラスとの反射に使われている また, 光導波路 (Optical Wave Guide 内の誘電体境界の反射に利用されている. エバネッセント (vaescet 波図 39 は のとき ガラス ( =.5 から空気 ( =. へ入射した場合を示している 全反射を起こす臨界角以上の入射角 は c であり si si c よ り si si c 質 側の cos は cos si i si iq( が成立する 媒 si 図 39 全反射における臨界角 c (5 となる (5 式から の媒質側の cos は純虚数の値を有する 臨界角やブリュスタ角は =.5, =. で 臨界角 c =4.8であり ブリュスタ角 B =33.7である そこで 全反射において光エネルギーは空気側の 側に入っていない 側の 方向の電界 は 振幅を a として (r,t=a ep[i(k si +k cos -t+ ] ep ep i k si t (6 =a k Q である ビーム幅の 方向の界面に進む平面波は epik si であり 減衰しない波であり進行波となる 側には 境界面に沿った 軸方面に進む進行波が存在し 振幅は境界面から

11 離れるにつれて指数関数的に急激に減少する これを エバネッセント波 (evaescet wave という 臨界角 C について si si c si である 図 4 に示す 方向の エバネッセント波の振幅である ep(-=.37 の伝搬距離 は (6 式か ら Q となり Q (7 c が成立し 臨界角 c 以上の入射角 は となる ここで 入射角 が 5で Q=.57, =7とすると Q=.99 となる =7の入射では 側に /6 浸入している 図 4 ~の場所で 側の空 気側に滲みだしているエバネ Q( を満足する入射角 ッセント波の振幅は 側の振は =4.5であり 程度浸入している 幅の 37 % である エバネッセント波は 波長 程度の伝播距離で消滅するので 非伝播光と呼ばれる ミクロン程度の伝播であり 回折の影響が少ない 光のビームスポットは 回折限界で決まる大きさのスポット以下には絞り込めない ところがエバネッセント波は わずかな伝播距離により回折の影響が少なく 数 m のスポットの光を取り出すことが出来る エバネッセント波の光である近接場の光を扱う光学を 近接場光学 (Near-field optics と言う これを利用し滲みだした光の強度を一定にトレースすることにより 透明位相物体の表面形状の測定ができる この光学装置のことを近接場顕微鏡と言う 光ファイバーでは コア (core とクラッド (clad との境界を全反射により光が伝播する 図 4 に示すように 側をクラッド部と見立てればクラッド部を迂回して反射しており 入射角 に依存して反射光の位相が変化する この迂回し境界に沿って推移した後反射される現象をグース ヘンシェン (Goos-Haeche シフトと呼ばれる. エバネッセント波を応用する光学素子 図 4 は ブリュスタ入射角とエバネッセント波を用いる偏光ビームスプリッ

12 タ (Polariatio beam splitter, PBS} を示す 境界の誘電体多層膜は 半波長の厚みを何層も重ねて蒸着したもので 問題. に記述した積層偏光子となる ブリュスタ角で入射する s 偏光は積層偏光子の個々の境界面で少しずつ反射を受けて減衰し p 偏光は反射ロス無しで透過する p 偏光の直線偏光の光を透過することができ 空気層はエバネッセント波が生じている 空気層におけるエバネッセント波のパワーが半分になる距離に誘電体多層膜を置き ビームスプリッタとしての透過パワーとなる 反射は s 偏光となり入射パワーの半分が反射される 図 4 偏光ビームスプリッタ は p 偏光 は s 偏光を表す 図 4 は 誘電体多層膜を蒸着していない偏光依存のないプリズム ビームスプリッタ (Prism beam splitter を表す キューブ ビームスプリッタ (Cube beam splitter とも呼ぶ ビーム スプリッタ間隔は 半波長程度の厚みであり 屈折率が入射側のガラスと同じであるガラスと接すると波のエネルギーのおおよそ半分が透過し 半分は反射される 近接場光を容易に説明できるものに全反射現象がある この時に境界面への入射角を深くすると 光は透過せず すべて反射される まず 図 43 に示す光学系によりプリズムへの入射角を全反射角に設定する 次に図 44 に示す光学系を組む このとき プリズムと計算機ホログラム (Computer-geerated hologram, CGH 間の距離を光源の波長程度にしなくてはならないため プリズムと CGH 間は屈折率マッチングオイルであるキシレンにより圧着させてある これにより滲み出したエバネッセント光が再生光となり CGH へ入射し CGH の再生像をカメラにより撮影した 図 45 に再生像を示す

13 図 4 無偏光キューブ ビームスプリッタ 図 43 直角プリズムを用いる全反射光学系 図 44 直角プリズムのエバネッセント波が計算機ホログラム (CGH の再生光 図 45 図 44 の光学系を用いるエバネッセント波による CGH の再生像 3

14 エバネッセント波を用いる指紋センサーは 図 46 で示すように 指紋を 45 度プリズムに押し付けて表面に沁み出しているエバネッセント波は散乱を起こし 反射センサー上に弱い光が届く よって 次元 CCD(charge-coupled device センサー上に指紋のパターンが生ずる それ以外に 45 度プリズムの表面に微小な細菌等を拡大結像するための全反射顕微鏡への応用がある エバネッセント波 指紋 (figer prit 強い 次元 CCD センサー 弱い 図 46 エバネッセント波を用いた指紋センサー 問題. 全反射の際のエバネッセント波の cos は (5 式で記述でき cos =iq( を (95 式の r p と ( 式の r s に代入し r p ep(-i p, r s ep(i s とおけば それぞれの位相が NQ Q p ta s ta cos N cos になることを示しなさい ここで N= / である この位相差 = p - s とすれば 問題. ta cos Q( N si となることを示しなさい 4

15 この結果から全反射により p 偏光とs 偏光との位相差が生じる 屈折率 N と全反射入射角 を選ぶことにより の位相変化を与えることが出来る この偏光素子は 反射を使用しているので波長に依存せず色消しの位相シフター achromatic phase shifter を構成している 図 47 に示す菱形 (rhomb プリズム内の 回の反射により 位相板を実現したプリズムをフレネルロム (Fresel rhomb という 図 47 フレネルロム 垂直入射で i =47 5 (=.56, BK7 の 回の反射で,p,s 偏光の位相差が/4+/4=/ となる 色消し (achromatic の四分の一波長板である 偏光 (Polariatio 図 48 二つの電界振動面, を表す 5

16 光波は マックスウェルの 階の微分方程式に従われ 根の解を有し これらが電界 と を示していることになる この二つの光電界が (, t ep i( k t ep( i (8 となり, について解き 光電界の軌跡を表す式は cos si, (9 である. 位相差 は であり各々の電界の初期位相の差で表される (9 式の電界の軌跡は 楕円を表し楕円偏光 (ellipticall polaried light という 偏光状態は 複素振幅の の大きさと位相 の関係で決まる 光波は 方向に進む横波で 図 48 で示す振動方向が互いに独立な光電界 の位相差により 位相差が=mm=,,...のとき / =(- m / となり直線偏光 (liearl polaried light という 位相差が=m±(/ そして振幅が = = のとき + = となり 円偏光 (circularl polaried light という. ジョーンズ (Joes ベクトル 偏光状態を表すベクトルで 時間 (t と空間 (k に依存する項を省略し 直線 円 楕円偏光を表すベクトルをジョーンズベクトル (Joes vector と言う Joes ベクトル J( は (8 式を電界振幅 で規格化して J(= ep( i ( となる よって Joes ベクトル ( 式を用い電界 (,t を記述すると (, t J( ep i( k t ( となる 電界振幅 の方位角をとすると ta = / である = である直線偏光の Joes ベクトル J( は 方位角 を用いて ( 式から 6

17 J( cos si となる 円偏光は ( 式に = =, を 代入して 右回り円偏光 (right-haded circularl-polaried light は J( 左回り円偏光は J( i となる 図 5 は = から i =/ まで変化した際の偏光ベクトルの軌跡を表す = =/ = 図 5 = とするとき 位相差 の変化による偏光ベクトルの変化問題. = = の直線偏光 J= は 右回り円偏光と左回り円偏光に分解できることを Joes ベクトルを用いて示しなさい. ジョーンズ (Joes マトリックス受動的 (passive な偏光素子は の行列で表すことができる この行列をジョーンズマトリックス (Joes matri と呼ぶ 入射のジョーンズベクトルから偏光変換作用を表すジョーンズマトリックスを介して出力のジョーンズベクトルが求まる これらの入出力関係は 線形である 移相子 (retarder は 良く使用する偏光素子である そのジョーンズマトリックス R( は ( i i i e e e i e R ( である 水晶のような複屈折結晶は つの軸である位相が進む進相軸 (fast ais と位相が遅れる遅相軸 (slow ais がある 軸が f s 軸にそれぞれ一致 している ここで 方向の屈折率 が であり 位相速度 v, v 7

18 が v v である いま半波長板 (/ 板 = を使用し 反時計方向に方位角 の 入射直線偏光が半波長板に入射し 出射偏光面は cos cos si si となり 軸に対して時計方向に回る方位角 の直線偏光に変換される 複屈折 の二つの屈折率を表す屈折率楕円体は.5 章に示す.3 偏光子 (polarier- 位相板 (phase plate- 検光子 (aaler の組み合わせ 図 5 の入射直線偏光は 方位角 を有する 直線偏光が入射し設定角 の偏光板を透過後の電界を求める ( 式で表す R( の位相板の座標系, は 設定角 に設定されている 今 入射光と偏光板を 回転して 位相板の座標 を実験室座標系 軸に一致させる 直線偏光のジョーンズベクトル J( が 回転を行い この回転の操作を旋光子 (rotator の作用 T(で表し Joes ベクトルは T( J( となる この T( J( の光が 位相板 R( に入射する 位相板通過後の電界は R(T(J( となる 位相板の座標 を に戻すため 旋光子 T( を乗じる 位相板通過後の光電界 は, = T(R(T(J( となり ここで旋光子の行列 T( は T( cos si (3 si cos であり ユニタリー行列で表される素子である ユニタリー行列とは TT =I ( 単位行列 の関係で はダガー (dagger と発音し短剣印を意味する T は T 行列の転置に複素共役をとった行列である 旋光子は 複屈折結晶から作ることができる 旋光子は 波長板のことである 纏めとして 固有軸, 回転 T( 実験室座標系, 軸に合わせる 最後に 位相板 R( を通過したのち 位相板の座標, を固有軸, に戻す 図 5 の位相板の代わりに直線偏光子がある場合 偏光子通過後 Joes ベクトルは P(T(J( となる よって直線偏光子の座標 を に戻し偏光子通過後の電界は P(T(J( となる その後偏光子の座標 を固有軸 に戻す 偏光子通過後の電界は T(P(T(J( となる ここで 入射直線偏光は 方位角 =, =, = としているので ジョーンズベクトルは J( となる また 直線偏 8

19 光子の作用行列 P( は 方位角 = の直線偏光子のジョーンズ行列 として与えられ となる よって 直線偏光子のジョーンズ行列 P( は P( である J( -θ α θ 図 5 設定角 で配置された位相板の座標系 問題. 入射光の方位角 である直線偏光 Jが 設定角 位相量 の 波長板を通過した Joes ベクトルを求めなさい.4 ストークスパラメータ 四つのパラメーターで偏光状態を表すストークス パラメータ (Stokes parameter がある 偏光状態を表現するには. 章で記述したジョーンズ行列とストークスパラメータの 種類がある ジョーンズ行列は振幅と位相を扱うがストークスパラメータは電界の 乗である強度で記述しておりインコヒーレ ント光でも成り立つ (8 式の電界, 振幅, 位相差 を用いて 9

20 si cos 3 S S I I S I I S として表すことができる は. 章で記述したポインティングベクトルを測定する際の時間平均を表し I は, 方向のポインティングベクトルであり強度を表す ストークス パラメータの各成分の意味を考えると S 成分は入射光自体の強度 成分は水平偏光成分 S 成分は 45 直線 成分は右まわり円偏光成分を表す これらのストークスパラメータは実測することができる S 3 S 図 5 すべての偏光状態をポンアカレ球の球面上で表す 図 5 のような球面上で 偏光状態を表すポアンカレ球がある 赤道上に直線偏光 北半球に左回り楕円偏光 南半球に右回り楕円偏光が示され 北極 南極はそれぞれ左回り 右回りの円偏光に対応する その測定は一枚の偏光板と一枚の /4 板があればできる その測定は 偏光板の透過軸を 45 きざみに回しながら光を通し それぞれ都合 4 通りの透過光強度を測定する 次に 偏光板の前に透過軸に対して異方軸を 45 傾けた /4 板を入れて透過光強度を測定す

21 る 最後に その状態で偏光板の透過軸を 9 回転させて透過光強度を測定する これで合計 6 つの光強度が得られたことになる これら値から 4 つの値で構成されるストークスパラメータが導出できる.5 屈折率楕円体 図 53 屈折率楕円体 複屈折材料である光学結晶は 異なる誘電率を有する,, 軸を座標とする屈折率楕円体で表すことができる 複屈折は 図 53 で示す, 面が円であり, 軸の屈折率が縮退した屈折率楕円体で表すことができる が常屈折率を e が異常屈折率を示す 屈折率楕円体の式は e となる 異常光線の屈折率 e は 屈折率楕円体を用いて e (θ= + となる ここで 光線 s は 光学軸に対して 傾いている 常光線は に無関係に一定の屈折率 o である よって複屈折の大きさは e (- o となる e と の関係式は 以下の通りである

22 si ( e e 楕円の式は e e ( si cos ( cos ( o o si となる ここで e e e である (4 (9 o, e ( である e 図 53 の網掛けの部分で示す屈折率楕円体の子午面を描いたのが 図 54 である これを法線面 (ormal surface と言う これは 光線の伝搬方向の屈折率を描いた図である 光学軸 ( 軸 についての回転楕円体を表す 常屈折率 o の法線面は球面であり 異常屈折率 e の法線面は 楕円である 原点からの距離 e ( は (4 式で与えられる 図 54 は e > o である正結晶の切断面である フェルマー (Fermat の原理図 54 複屈折材料の法線面から 光線と波面は直交し 光線ベクトル s と直交するのは常光線であり 図 54 に示すように異常光線は直交していない 3 幾何光学 3. アイコナールの式 光の現象を解析するには Mawell の方程式を解くことが必要である 回折現象を無視し 光の経路のみを考慮する光学を幾何光学と言う 幾何光学は レンズの設計に威力を発揮する ( 式のヘルムホルツの波動方程式 において 波長 を に近づけると, 波

23 数 k は になる 近似した式が光学距離を意味するアイコナール (ikoal からアイコナールの式 (ikoal equatio と言う この導出は 計算量を要するが以下に記述する ( 式のヘルムホルツの波動方程式は k 波面 の光が 方向に伝播するとして を ( 式に代入する ( ( ( ik e ここで 波面は光路長に相当し は屈折率 k は波数で k= c であり, k は真空における波数である ik ik ik ik ik ik e ik ep ep ep ep 第 項の微分は ep ep ep ep ik ik ik ik ik ik ik ik となる 第 項と合算して となる で割るととなり さらによりを真空中の波数としてここでとなる (5 ep ep ep ep ep ep( ep ik k i k i k ik k k ik ik ik ik ik k k k k k ik ik ik ik ik 幾何光学は 回折を無視するため λ k を (5 式に代入する 3

24 ep ik ep ik より となり grad となる 単位ベクトルである光線ベクトルsを用いて変形すると grad s (6 となる (6 式をアイコナール (eikoal の式と言う = の空気中の伝播において 光線ベクトル s は 波面 のグラディエントである 波面の傾きが光線ベクトル s=k/kに等しいとのことを意味しており 波面と光線は直交することを表す また 光が不均一の屈折率の媒質中を通過するさいに 屈折率の大きい方向にその光路が曲がる それは アイコナールの式より導出され (7 式のフレネー セレ (Freet-Serret の定理となる 光路の曲がり方を光線の経路の曲率半径 ρで表すと ds N ds ds ( N ds (7 ここで N は法線単位ベクトルである この (7 式の左辺は 屈折率 が正 曲率半径 ρが正より 従って右辺は正なので光路は屈折率 の値が増加する方向に光線が曲がることを表している 屈折率分布が 乗分布している平板マイクロレンズは 球面レンズと同様に焦点に集光作用に応用されている フォトリフラクティブ結晶に於いて 電気電界の方向にポッケルス効果により屈折率勾配が生じ 電気電界の方向に すなわち屈折率が増える方向にレーザービームが曲がっていく現象も フレネー セレの定理から説明できる また 太陽が地平線に沈むとき 地平線以下に沈んだ太陽も 大気の密度の濃く屈折率勾配の大きな方向に曲がり見ることが出来る これも (7 式により説明できる 3. フェルマー (Fermat の原理 図 55 に示すように s が光線ベクトルを表す屈折率分布 (s を持つ媒質中の 点 P から P への光の伝播の 光学的距離 L が P P L ( s ds mi. t L c P ( s ds mi. c P (8 4

25 最小となる光路を選択し伝わることになる ここで 光学的距離のことをアイコナールと言う (8 式は 変分量 L= と書いても同等である (8 式の別の解釈は 光学的距離を光速度で除した時間は 最小をとり最短時間の原理 (priciple of least time ともいわれ フェルマー (Fermat の原理と呼ばれる また 問題 3. のように 経路差は位相速度の比に等しいことになる 図 55 フェルマーの原理を示す光路図 問題 3. フェルマーの原理は 光線が光学的距離 L を最小となる光路を選択し伝わることを示している 図 3.3 の屈折率 の媒質中 S から B へ光路を形成し 屈折率 の媒質へ屈折し 経路 BP を形成する 光学的距離 L= SB+ BP を図 3.3 P の h,, b, a- を用いて記述し L ( s ds mi. dl d P より, を用いて屈折の法則 ( スネルの法則 を導きなさい 図 3.3 5

26 問題 3. 屈折率が増える方向に光が曲がっていく現象を説明する (7 式のフレネー セ レの定理は (8 式のフェルマーの原理を用いて説明できることを示しなさい 3.3 無収差レンズの設計点物体の点像を結像の誤差を表す収差なく結像するため フェルマーの原理を用いて レンズの形状を球面ではなく 非球面にすると無収差の結像関係になることを導出する 図 56 平凸レンズの焦点 F への集光図 56 の屈折率 の平凸レンズの結像は 左側から平行光が入射し焦点 F に光が収束するとする FP FH は FP= FH=f+(cos - f (9 である 図 56 の平凸レンズの左から平行光が入射しており フェルマーの原理により入射光は PF と HF までの伝搬は 同時刻であるので 無収差にするには FH=FP=にならなければならない を, で表すと cos ( となる (9 式に ( 式を代入し f cos f 6

27 f f = f + ( - f となる 両辺を平方し ( - で割ると ( f f f f f となる ここで ( 式を a, b, c の定数を用いて表わすと b a c の双曲線である ただし各定数 f c f b f a,, である よってレンズの形状が双曲線のとき 結像点が点像となっており 無収差レンズである 問題 3.3 フェルマーの原理を用いて 無収差の反射鏡は放物面鏡であることを証明しなさい 3.4 凸レンズの結像関係物距離を a, 像距離を b 焦点距離を f として 薄いレンズの結像関係式は ( f b a となる 幾何光学では 光軸を縦方向 光軸に垂直方向を横方向と言う 7

28 図 57 凸レンズの結像関係 図 58 ビーム エキスパンダの光学系 ( 式と対になるレンズ結像関係のレンズ製作者の公式 (lesmaker s formula は ( ( f r r (3 となる ここで は凸レンズの屈折率であり r,r はそれぞれ凸レンズ前面 後面の曲率半径を表す 図 57 の凸レンズの横倍率は 図の相似性を用い m=b/a となる 8

29 問題 3.4 図 57 の縦方向の物体の大きさと像の大きさを da db とする (5 式の微分を 用いて 縦倍率 m log を計算し m log = - m であることを示しなさい 図 58 は ビームエキスパンダの光学系を示す 焦点距離 f の対物レンズを用い焦点距離 f のコリメータ レンズを設置し 拡大平行光を実現するのに使用される 図 58 の二つのレンズの間隔を D とすると 二つのレンズの合成レンズの焦点距離 f は f f D ff f (4 となる 図 58 は D f f であり (7 式より f となり 平方光が拡大されて平行光になる f は焦点能 focal power と言い 図 58 のビーム エキスパンダのパワーは である 光軸の無限方向である図 57 の右側に星がある場合 星の像がコリメータレンズの焦点面に小さくが形成される 対物レンズは無収差であることが必要である 分解された星の像を接眼レンズで拡大して見ることになる 図 58 のビーム エキスパンダの光学系は 望遠鏡の光軸方向と逆方向に使用しているので 光軸方向と逆になり 逆望遠鏡 (iverse-telescope sstem と呼ばれる 3.4. シュミット (Schmidt カメラ 球面鏡の曲率中心に絞りを置き コマ収差 非点収差を除去し 残存の球面収差を補正板で除いた凹面鏡である 凹面鏡の像面は 凹面の曲率半径の半分を半径とする球面であり 像を記録する感光フィルムをこの球面に合わせて曲げて像面湾曲を除去している よって シュミットカメラは すべての収差を除去した反射凹面鏡である 顕微鏡対物レンズ 図 59 に示す顕微鏡は 対物レンズ L o と接眼レンズ (eepiecel e で構成される 生体試料や切削面を収差なく拡大結像する役目のレンズは 対物レンズである 対物レンズによる結像点は レンズの後ろ側焦点距離 f o と機械的筒長 D o のところに結像し D o =6 mm または 7 mm に設定している 対物レンズの倍率が高いものほど焦点距離は短くなっている 分解能は レンズの開口数 (Numerical perture; N..=siで決まり 分解能を高くするために 9

30 は を大きくしなければならない そこで 高倍率と分解能を要求する場合 は 対物レンズと物体の間に高屈折率の油を挿入し を大きくする これを油 浸対物レンズという 無収差の顕微鏡対物レンズを使用し 物体がインコヒーレント光に照明されて いるとき 対物レンズの直径が D で 物側焦点距離を f とすると 対物レンズ の分解能は kd(re s. /.より f.6 Re s. N で与えられる 分解能は ページの 式で与えられる回折の広がりの直径 である 図 59 顕微鏡の光学系 透明物体を顕微拡大する際 物体の位相差のコントラストを強調し 透明物体を可視化するゼルニケ (Zerike の発明による位相差顕微鏡がある 4 干渉 4. 二光波干渉 波動は 二つまたはいくつかを重ね合わせると これらの波の位相差が の整数倍のとき強め合ったり の奇数倍の時打ち消し合ったりする現象を示す この現象を干渉 (iterferece と言う 3

31 単色平面波の電界は ( 式より (,t=re{e i(k-t+ }=cos(k-t+ (5 である ここで は振幅,は角周波数,k は波数でを波長とすると k / で表される は, t におけるこの光波の位相である 図 6 のt のとき 半透鏡により二つに分かれて位置ベクトル r ( i, の 点 Pi において二つの光波が位置ベクトル r の観測点 Q まで伝播したとし 真空の波数 k を用い (5 式より i r, t i cos t k r r i i ( (6 となる ここで r は r から r まで伝播距離である ここで r ri l は ri i 光学的距離であり光路長 (optical path legth; OPL と呼ぶ 光源から光路長が一定 の面は 等位相面を表す いま屈折率 を = とし 図 6 に示すように半透鏡 から分かれた 光束が観測点 l r r Q(r に達する二つの光波の光路長を l r r i, 図 6 二光束干渉 と記述される 干渉強度は l,l の光路上での偏光状態により異なる l,l の光路上での直線偏光の単位ベクトルの偏光ベクトルを p,p とすると I ( p. p cos( (7 3

32 である ここで, であるから 二光波の干渉強度は 二光波 がそれぞれ単独に観測点に到達したと考えたときの強度の和 のほかに 観測点における位相の差 によって正弦波的に変動する この位相差 をとして ( k l l ( (8 となる (7 式において p p とすると 干渉強度 I を位相差 に対し示すと図 6 のような正弦波的波形となる 干渉強度分布を干渉縞 (iterferece frige と呼び その直流成分 I + -6π -4π -π π 4π 6π 位相差 図 6 干渉縞の強度分布 は であり 交流成分の最大振幅は に等しい (7 式の cos 関数の 偏角が位相差 であり の整数倍のとき 干渉縞の強度は最大となり I ma 位相差 が の奇数倍のとき 干渉縞の明るさは最小 (9 I mi (3 となる 図 6 は位相差の変化による干渉強度の変化を表す この干渉縞の直流 成分 ( ma mi I I / に対する交流分 I I / の比 C を 干渉縞のコントラス ( ma mi ト (cotrast, または可視度 (visibilit と呼び (9,(3 式から C は C I I (3 I ma mi ma Imi となる (3 式の C の値は から まで変化する もし 両光波の振幅が等し 3

33 いときは を (3 式に代入し コントラスト C は最大値 C となる もし重ね合わせる一方の光波の振幅が他方の光波の振幅に対して非常に小さい場合は 干渉縞はその直流分に対して交流分が小さく コントラストはに近くなる 4. 振幅分割による干渉光源からの光を一つの境界面に入射させると 透過光と反射光に分かれる このとき入射光の振幅は 透過光の振幅と反射光の振幅に分割される 振幅分割された光波をふたたび重ね合わせれば, 干渉が生ずる 振幅分割干渉計として マイケルソンとモーレイが 図 6 の Michelso( マイケルソン 干渉計を用い エーテルと毎秒 3km の速さで動いている地球との相対速度が であることを実験的に証明した干渉計として有名である 図 6 のマイケルソン干渉計の広帯域光源は 低圧水銀灯を用いていた 光源の光をハーフミラーで : に振幅分割し 両ミラーの反射光が再びハーフミラーで重なり干渉が生ずる 5. 章で示した平行平面版の干渉において 図 6 に示す厚み d 屈折率 のガラス板があり の入射角で, 波長 λ, 単位振幅の平面波が入射する場合を考える 空気からガラス板への透過率, 反射率を t,r, 板から空気への透過率, 反射率を t ', r' とすると, 透過光 L の振幅は tt', 回の内面反射をともなう透過光 L の振幅はtt' ( r' となり, 光波の透過光の位相差 は (8 式からは k( l l d { d ta ' si } cos ' 図 6 ガラス板の両面による振幅分割干渉 33

34 4d cos ' (3 となる したがって L と L の干渉波の複素振幅は r' r の関係を用い i4d cos ' t tt'{ r ep( } となり 干渉縞の強度は I 4 4d cos ' t ( tt' { r r cos( } t (33 となる ガラスの屈折率は.5 であり のフレネルの公式で記述したようガラスの振幅反射率は小さく r. 4 tt' r. 96 であり r 4,( tt' と近似できるので (33 式は 4d cos ' { r cos( } I t (34 となる この干渉縞は直流分が, 交流分が r で, r であるから図 63(a に示す低コントラストの干渉縞となる 反射の 光波の干渉は 図 6 に示す第 面からの反射光 L ' と第 面からの反 射光 L の重ね合わせと成る これらの振幅反射率は r,tt' r' で 光波の位相差 ' は 4 cos ' ( d k l l {( B BC F} となり L ' と ' の重ね合わせの光波は L 4d cos ' r r{ tt' ep( i } であり ガラス板の透過率 tt', ( tt' を用い干渉強度 I r は 4d cos ' 4d cos ' Ir r ( r { ( tt' tt' cos( } r { cos( } (35 となる (34 (35 式から r として I t +I r = が成立する 図 63(b に示すよ うに干渉縞の直流分 r は小さいが 交流分も同じ値であるので (3 式のコントラスト C は である また図 (a と (b を比較し 干渉縞の明が反転している 図 6の平板内を光が繰り返し干渉する 繰り返し反射干渉法 (multiple-beam iterferometr は 5に説明してある 34

35 (a I t r O (b I r r r O 図 63 振幅分割による平行平面板の透過光 (a と反射光 (b の干 渉強度分布 4.3 等傾角干渉 5. 章で記述した平行平面板の厚さ d が一定のとき 図 64 で示す面光源で照明すると 面光源の一点から見ると干渉縞の強度は cos ' に依存して変化する この干渉縞は屈折角 ' の等しい光の軌跡と考えられるから 等傾角干渉縞 または Haidiger( ハイディンガ の干渉縞と呼ぶ 図 64 で示す平行平面板に入射光が平行に入射するので 干渉縞は透過も反射も無限遠に形成され 光線の方向すなわち傾角の関数である 単色光源からの光で曇りガラスである拡散板を照射すると この面が面光源となる この面とレンズは焦点距離 f にあり面光源の各点からの光は種々の傾きの平行光となり 平行平面板に入射する 平行平面板を透過して無限遠に形成される等傾角干渉縞はレンズにより その焦点面に図 64 で示す同心円状の干渉縞となる (3 式の平行平面板の位相差が mm; 整数 のとき m 次の明るい縞を形成するので 次数 m と屈折角 m の関係は d cos m ' m (36 35

36 となる したがって 傾角の小さいほど次数は高く, 垂直入射光 (= に対して 最高の次数を示す m 図 64 等傾角干渉とその干渉縞 m =における最高次数 m ma は m ma =d/である 傾角 cos m ' m ' から (36 式は m m ' ' m は小さいとして と近似でき 入射角 m と (85 式の小角近似のスネルの法則 36

37 m mma{ ( m } (37 となる ここで は空気の屈折率である 図 64 で示す m 次の縞の半径を m ' レンズの焦点距離を f とすると f であるから 次数 m は である これを m m m m m ma{ ( } f (38 について解くと m m f mma m { } (39 ( m ma である m m は = から m までの干渉縞の本数であるから これを p とす ma ると (39 式は m ma =d/ を用いて m m f m ( (4 p d となる (4 式から中心から p 番目の干渉縞の半径 は m m pm に比例する 番目の外側の p 番目の干渉縞は m 次の干渉によるものであり 干渉縞の m 半径を とすると p と p 番目の間の面積は (4 式 p m- -p m = を用い て m m m p m f ( m m ( d (4 となり 次数 m に関係なく 二つの干渉縞の間の面積も一定である また 波長 や平面板の屈折率 が大きいほどこの面積が大きく縞の密度は粗になり 板の厚み d が大きいほどこの面積は小さく縞の密度は密になる 図 9 は 縦モードが 本ですなわち 波長で発振しているレーザーを用い レーザー光を拡散板に照射し発散球面波で平行平面板に入射し観察された等傾角干渉縞である 縞の間隔が m で 中心に行くに従い縞の次数 m が大きくなる 図 64 は 単一縦モードで発振しているレーザーによる 等傾角干渉縞である 4.4 等厚干渉板または空気層の厚さ d が一定でない場合 すなわち被検両面が平行ではな 37

38 く または凹凸があるときは 照明光の傾角 ' を º におき平行光入射にて干渉 縞を形成すれば 縞は厚さ d の等しいところの軌跡を与える この干渉縞を等 厚干渉縞 (friges of equal thickess という あるいは Fieau( フィゾー の干渉縞と 呼ぶ 図 65 のフィゾー干渉計に示すように ビームスプリッタ状に平行光に入射し 表面の形状に比例する光路差により干渉縞が生ずる この干渉縞を等厚干渉縞と言う 点光源から焦点距離 f に置かれたレンズの透過光は平行光で このレンズのことをコリメーターレンズ (collimator という 平面波を被検物体に垂直に入射させこれからの反射干渉光を点光源の像の位置に眼またはカメラをおき, 試料面に焦点を合わせて観測する. 干渉縞の強度分布は (35 式で与えられ m 次の暗い干渉縞の見えるところの厚さ d m は 4d m m より d m m / となる よって 干渉縞の次数は厚さに比例して増大する また干渉縞の暗線は, 厚さが 変化するごとにあらわれる 図 66 は 図 65 のフィゾー干渉計を用いて観察された明暗の干渉縞を記録した銀塩乾板の表面形状である 干渉縞の形状は この試料面を の高さごとに切った等高線をあらわすことになる 図 65 フィゾー干渉計 38

39 図 66 フィゾー干渉計を用いる干渉縞を記録した銀塩乾板の表面形状 R d 図 66 平面と球面による等厚干渉 図 67 ニュートンリング 図 66 の干渉に関与する二面のうち 一方の面が参照平面で 他方が曲率半径 R をもった球面のとき 図 67 に示す等高線を与える干渉縞は 多くの同心円からなりこれを Newto( ニュートン リングと言う 図 66 の両面の接触点から の距離での空気層の厚さ d は d R より d d R R であり これを (35 式に代入して干渉縞の強度分布は I r 4r si ( (4 R 39

40 となる (4 式の正弦波形強度の位相は 中心からの距離 の 乗に比例して大きくなり 干渉縞は, 外側に向かうに従って間隔がせまくなる = の中心から m の距離に m 番目の円状の暗い干渉縞があるとする (4 式から m R より m m R m からレンズの曲率半径を求めることができる ここで m およびは m は大きな 値ではないが 波長 がこれらにくらべて極めて小さい値を持つので 大きな曲率半径 Rの測定に有効である 図 67 のニュートンリングの中心 = は (4 式から I r = となり暗縞であるが ガラスと平板に空気層があり位相が付き 明るい縞を示している 4.5 マイケルソン干渉計を用いる移動物体鏡のスピード測定法 図 68のマイケルソン干渉計で 一方の鏡が速度 vで移動しているとする その移動のスピードvの測定について記述する レーザー光の一周期 T 中の鏡の光路差は vtであり 一周期 Tあたりの光路差 v [m/sec] となる 鏡の移動による周波数のシフト量は 一波長 で除算しv /となる 鏡が移動することから ドップラー効果によりビート周波数が発生する v ビート周波数 は kv H となる CCD 面の受光干渉信号から周波数カウンターにより測定されたビート周波数 Hが MHと測定されたとする レーザーの波長 =.6 m とすると上式からスピードvは v=3 m/s=8 km/hとなる 図 68 レーザー CCD 速度 v で移動する物体鏡によるマイケルソン干渉計 4

41 Referece Mirror Laser Diode LD Les /4 Plate l/ Object Waveform Geerator TC PBS aler Les Mirror Image Photodetector トワイマン グリーン干渉計 トワイマン グリーン干渉計 4

42 5 回折 (Diffractio 回折は 光波が通過する開口 (perture の縁で曲がる現象を表し 携帯電話の 電磁波や音波などすべての波動に共通する現象である それは 開口の直径を dとし 波長をλとすると 回折角 θは θ~λ/d となり 開口から離れれば離れほどその伝播距離を とすると 回折による広がりの径は増加し d ~λ/d となる この広がりは 図 4. のレンズの焦点面でのスポット径の広がりと同等で ~ /d となる ここで はレンズの焦点距離としている この値は 円形開口 ( 直径 d の回折パターンの振幅分布が 次の Bessel 関数で記述でき そのファーストゼロの値 (.π からスポット径の広がりの半径 rは r=.λ/d となる この回折 d 現象の応用では 光ディスク (Optical disc の情報密度を増やすためピット (pit の径を小さくする必要がある そのため高 N の対物レンズと短波長の光源 を用い集光スポットの径を小さくしている そこで 例えば青色半導体レーザーのレーザーを使用し 回折による光波の曲がりの影響を小さくしている 回折によりスポットの広がりが最小となる限界図 4. 回折によるレンズの焦を回折限界 (Diffractio limit と呼んでいる 点面でのスポット径の広がり回折の影響を無視するためには 伝搬距離 をゼロにして開口の近くで光を受け取れば 回折の影響はなくなる 開口近傍の光は. 章で説明したエバネッセント (evaescet 波を用いる この分野の光学を近接場光学という また 物体の角スペクトル (gular spectrum の帯域を制限するのが開口であり 物体の周波数成分を表すのに回折を用いる 5. フレネル キルヒホッフ (Fresel-Kirchhoff 回折の定式化 5.. ホイヘンス (Huges-フレネル(Fresel の原理ホイヘンスは 波面上の各点は微小球面波としての 次波を発生する中心で ある経過した時刻での波面は これら微小波面の包絡面であると述べた フレネルは このホイヘンスの波面形成に 次波が互いに干渉することを付加して 4

43 回折を説明した この回折現象の説明をホイヘンス-フレネルの原理と呼ぶ フレネルは 回折積分を行う際 半径が/ の等差級数をなす多数の同心の球面との交わる輪帯 (oe plate に分け 輪帯からの光の和として回折計算を行う この輪帯をフレネルの輪帯という ホイヘンス-フレネルの原理をキルヒホッフ (Kirchhoff によって数学的基礎を与え 偏光を考慮しないスカラー波の回折現象を正確に説明することができる 以下は フレネル キルヒホッフ回折積分を詳述している 5.. フレネル キルヒホッフ (Fresel-Kirchhoff 回折積分観察点 U の複素振幅分布の計算は,( 式の数学公式のグリーン (Gree の定理を用いて行える. G U U G G U dv U G ds ( S=S +S P P 点光源 r Σ P S r P S S - 図. 平面スクリーン Σ による回折 ここで,S(=S +S は体積 V を囲む閉曲面を表し, 微分は法線方向 ( の微分を示し, 図 に示す,G は点 P を起点に発散する単位振幅の球面波を表す これをグリーン関数と呼ぶ. よって,P から P までのグリーン関数は, ep ikr G( P ( r となる.S=S +S であり S は 開口 面上の表面を表す ( 式のグリーン関数の P での不連続を除外するため,P 中心に半径 εの小 43

44 さな球面 S ε を考え,S と S ε との間にある体積 v 上にグリーンの定理を適用する. U U 複素振幅 U と G は, ヘルムホルツ (Helmholt の方程式, k を満 G G 足し,( 式の左辺は, G U U G G U dv' U G ds'... ds... ds S S (3 となる. ここで,S は S =S+S ε となる.( 式の G/ は,( 式を代入し, G( P G r r ep( ikr r r ( ik r (4 となり,r /= cos r で は外向き法線を示しとなる. さらに,S ε 上の r / は,r を小さな球の半径 の置き換えが内向き法線となり, r /=- となる.εは十分小さいので(«,S ε 上の P が P の近づき (P P,(3 式は ds=ε dωの立体角 Ωを導入し, ep( ik U( P ep( { o ik U( Po ( ik} ds {...} d 4U ( Po S S S ( (5 となる. よって (5 式から左辺の S 上 ( 図 では S を表す. の光振幅分布 U(P が分かれば閉曲面上の任意の点の振幅分布 U(P が (6 式により求まる U P o 4 S ep r ikr U ( P ikr ep U ( P r ds (6 ここで 被積分関数の U は S 上 実際は開口 Σ 上の光電界 U(P を表す (6 式の被積分関数の第 項の微分を行い 44

45 ep ikr r cos( r ik ep( ikr ep( ikr ik cos( r r (7 r r となり k»(/r を用いている 図 の開口 Σの光波の複素振幅 U(P は 振幅 の点光源 P からの球面波により照明されているので ep ikr U ( P (8 r と記述できる (8 式を (6 式の被積分関数の第 項に代入すると U ( P ep( ikr ep( ikr cos( r ik ik cos( r r r r (9 となる (6 式の閉局面 S は S=S (=Σ+S であるので S 上の積分は ゾンマーフェルドの輻射条件 (Sommerfeld radiatio coditio によりとなる この条件を用い (7,(9 式を (6 式に代入すると U P i ik 4 ep ik r r r ep ik r r r r r cosr cosr cosr cosr ds ds ep ik r r i rr cos r ds ( となる ここで P が光軸上にあることを仮定しており cos(,r =- を用いて いる さらに 傾斜因子 cosr Fresel-Kirchhoff 回折積分は /=K とおくと (8 式を用い ( 式の 45

46 U K i P U P ep ikr ds r ( となる.( 式により振幅が Huges( ホイヘンス の原理から開口 Σ 上の 次光源から放出される波面の方向が K に依存し 波長 (λ に反比例することを表し 位相が i(=/ だけ遅れることを示している ( 式により回折振幅分布を計算する際 積分範囲が開口上であり U(P に光が通る形を表す開口関数を入れることが必要である ( 式の Fresel-Kirchhoff 回折積分は 単一波長 のコヒーレントな光の回折場を計算できる上に 電界の偏りのないスカラー回折理論である. P Σ 開口 r. P 観察面 - 図. 回折 : 開口と観察面 ( 式の指数関数の r は 項展開を使用して ( ( ( r となり ( 式に代入すると 46

47 U (, ep( ik i ep( ik ep( ik i U (, ( ep ik U (, ep( ik ( dd ( ep i (3 dd となる.(3 式は フーリエ変換の演算記号 F を用いて回折場の振幅 U は U (, F U (, ep( ik (4 と書ける.(4 式は コンボルーション演算 ( 記号 * を用いて U (, F U (, F ep( ik (4- と変形できる (4 式において (5 の近似が成立するとすると 開口関数 Uのフーリエ変換 (Fourier Trasformatio は回折の振幅分布となる.(5 式が成り立つ領域をフランホーファ回折 (Frauhofer Diffractio と呼び それ以外の領域をフレネル回折 (Fresel Diffractio の領域と呼ぶ 開口の直径を d とすると (d / となり d= mm,m とすると m がフランホーファ回折領域となる.(5 式の 条件を用いると Frauhofer 回折の振幅は ( U (, U (, ep[ i ] dd ep( ik となる ここで ep( ik i である (6 47

48 問題 ( 式の Fresel-Kirchhoff 回折積分は K epikr U P U P ds である 図 の開口に 収束球面波が当たり収束球面 i r 波の焦点 P で回折強度分布が Frauhofer 回折になることを示しなさい に対して張る微小立体角 dを用いて 式を記述しなさい この dを積分変数とする回折積分を Debe 積分という 問題 問題 と同様に 図 の開口に 収束球面波が当たり収束球面波の焦点 P に対して張る微小立体角 dを用いて 式を記述しなさい この dを積分変数とする回折積分を Debe 積分という 参考書 Bor & Wolf, Priciples of Optics 8.8., Pergamo Press, 光学の原理 東海大学出版会 ( 日本語訳 問題 3 S 上の積分は ゾンマーフェルドの輻射条件 (Sommerfeld radiatio coditio によりとなることを示しなさい 問題 4 (4- 式を導出する際使用している 積のフーリエ変換は各々のフーリエ変化のコンボルーション積分でかけることを示しなさい 問題 5 問題 4 の結果を用いて (4 式から (4- 式を導出しなさい 5. 矩形開口によるフランフォーファ (Frauhofer 回折 図 3(a で示す 方向 方向の辺の長さが a, a である矩形開口が を中心として配置されている. 矩形の開口関数は U (, rect( rect( (7 a a で与えられる. ここで関数 rect( t a はt が a から a の範囲で その外側で 48

49 は である矩形関数をあらわしている. このとき Frauhofer 回折像の複素振幅 は (6 式より (, rect( rect( ep( i a a U ( d d a a sic( sic( (8 で与えられる. ただし sic( si( である. したがってこの回折像の強度分布は I(, となる a a U (, sic ( sic ( (9 a (a a (b 図 3 矩形開口 (a とその Frauhofer 回折像 (b 49

50 図 4 剃刀の開口の Frauhofer 回折像 5.3 円形開口の回折像 図 4の光学系で 直径 l の開口に平行光が入射したとき 伝播した面 (f,f での回折像の振幅分布を求める 今 開口の振幅透過率 g(, のフーリエ変換は G f f g(, ep if f, dd ( から 図 4に従い デカルト座標を極座標に変形し dd=rdrdを用い G, d rdrgrep ir cos d ( となる ここで 開口関数は中心対称 (circular smmetric と仮定している 次の Bessel 関数 J (a の関係式 J a ep ia cos d ( を使用して ( 式は, a r と置いて G rgrj r dr (3 5

51 となる 極座標 φ は Bessel 関数 J に含まれている (3 式は ( 式のフーリ エ変換の極座標表式で Fourier-Bessel 変換 (Fourier-Bessel trasform と呼ぶ (3 式の結果を利用して 図 4の円形開口の振幅透過率 t は t( r し, サークル関数を呼び r circ l r l otherwise r circ で表 / l である よって 円形開口の半径 r は -l/r l/ となる 回折像の振幅分布 G( は (3 式に t(r を代入して r (4 式に r ', l r dr (4 G r circ( J r l r ' lr と置き換える ' r l l ' r と置き換え さらに G l l l l l ' ' r J lr dr l J d (5 となる Bessel 関数の恒等式 J d J を(5 式に適用し (5 式は G l l l J d J l l ( l l J l l l l l ( r 5

52 となる Frauhofer 回折パターンの振幅 U(r は (6 式を用い (6 ep( ik kr l J U ( r i ep( i l kr kl J klr ik i / ep( ep( i8 klr l kr l J klr / r ep( ik ep( i i (7 klr となる よって 強度分布 I(r は kl ( ( J I r (8 8 klr klr / となる (8 式の強度分布は ir のパターンと呼ばれ 極大 極小が繰り返すパターンとなる また 円形開口のフーリエ変換は ベッセル関数となる (8 式の Bessel 関数の第一ゼロの値は.πとなり ir パターンの第一ゼロの半径は klr /(=.と置いて r. (9 l となる 因みに (8 式の円形開口の回折パターンは コーヒーカップの縁に衝撃を与えた液面の振動パターンの式と同じである 即ち 円形の固定端の固有振動モードは (8 式の Bessel 関数を与える 5

53 図 4 円形開口と回折像面の座標系 図 5 円形開口の回折像 (ir Patter (9 式の Bessel 関数 J ( は 中心付近を除いて極値の間隔が等間隔となり 以下の sie 関数に近似できる ( J si( 4 で計算すると分かりやすくなる 53

54 図 5 回折エアリーディスク (ir Disc ベッセル (Bessel 関数問題 6 (3 式か (4 式を用いて 振幅透過率 t(, ={+mcos(f } の回折像振幅分布を求めなさい その後強度分布を求めなさい ここで m が余弦干渉縞の可視度 f が空間周波数を表す 5.4 バビネ (Babiet の定理開口 t の回折像とその相補的な開口 -t の回折像は F[-t]=F[]-F[t]=(r F[t(r ] となり 回折像の中心部分 (r を除いて強度分布 F[t(r ] F[ t(r ] は となる よって開口の回折像の強度分布と開口を塞 いだ外側からの回折像の強度分布は回折像の中心部分を除いて等しい これをバビネの定理という ここで F[ ] は フーリエ変換すなわちフランホーファ回折を表す 6.5 レンズを用いるフーリエ変換 - 節で述べたようにフラウンホーファ領域回折像は開口関数 U(, のフー 54

55 リエ変換で与えられる 光の回折現象を利用してフーリエ変換を求めることができる しかし この方法は入力像から出力衝立までの距離が非常に長くなる 一方 フレネル回折像は入力関数のフーリエ変換ではなく (4 式に示したように位相 ( フレネル項と呼ぶ の因子との積 U (, ep( ik のフーリエ変換で与えられる このフレネル項である位相因子をキャンセルするため ep( ik のような位相分布をもつ光を照明光として用いればよい 凸レンズや凹面鏡のように 一点に収れんする光はこの位相分布をもっている. 図 5 に示すレンズによる収れん光の位相分布を調べる. 図 5 の点 P と原点 O との位相を比べると 点 P の位相のほうが P O f 図 5 レンズのフーリエ変換 k( 3 f f k [ rad] ( f 55

56 だけ進んでいることがわかる. ここで f>> を仮定している. したがって 原点 O の位相を基準にとれば点 P(, の入射光は (, ep( ik ( f となる. (, ( i, i (, f f 図 6 入力開口関数 U(, をレンズの前焦点面においた場合レンズの直後に入力像 U(, を置いて その回折像 U(, を後焦点面上で観測するとすれば ( 式 (4 式の を f と代えて U (, [ep( ik U (, ep( ik ] ( f f となり U (, [ U (, ] f, f (3 f f ep( ik ここで ep( ik であり i フーリエ変換を得ることかできる. ここで 入力像は必ずしもレンズに密着する必要はない. レンズとその焦点の間ならばどこでもよい. 焦点からレンズのほうに向かって d の距離の点に入力像を移したときも同じ収れん波で照射され 56

57 ているから上式と同じ方法で計算ができる. 収れん波中に入力像を置けば その収れん点を含む面上に入力像のフーリエ変換像が得られる. ただ (3 式で示すフーリエ変換には (6 式の (, の位相の因子がかかっている. この位相は強度を求める場合は となるが 複素振幅を扱うときは 不必要な因子となる さて 図 6 に示すように 入力像を前焦点面に置きフーリエ変換面を後焦点面に置く. 入力 U(, が前焦点面からレンズまで伝搬したときのフレネル回折像は (4 式から (, U(, f (, (4 i i i i i i ここで f(, は (3 式のフレネル項 ep[{ ik( } ] を示し (, はコンボルーション (covolutio ( はコンボルーション記号 で表される.(. 式の (, の代わりに (4 式の (, を使用して ( 式に代入すると U (, { U (, f (, } f, f f f フーリエ変換を実行すれば U (, [ U (, ] [ f (, ] (5 f f f f となる. ここで [ f (, ] ep( ikf ep( i (6 f f f を用いると (5 式は (6 式を用いて U (, ep( ikf ep( i i f f [ U ( f, f ]ep( ikf ep( i f ep( ikf [ U (, ] (7 i f f f となりフレネル項の位相因子 を含まないフーリエ変換が行える 57

58 5.6 角スペクトルの伝播図 7 角スペクトルの伝播図 7 に示す = での振幅 g の角スペクトル (gular spectrumg は ep,,,, d d i g G (8 で記述できる だけ伝播した振幅 g( は角スペクトル G( のフーリエ変換で書ける 以下の g( をヘルムホルツ波動方程式に代入し g k g ( (,, 4,, ep ( ( ep,,,, d d G G i g k g d d i G g (9 となる (9 式の被積分項の微分方程式の解は ep(,,,, i G G (3 58

59 となる (3 式は 角スペクトルの伝播を表す式である (3 式を (9 式の前式 に代入すると g( の振幅は 初期の角スペクトル G( を用いて (3 式の逆フ ーリエ変換で記述できる g (3,, G,,ep( i epi d( d( 問題 7 単位振幅の平面波が以下の開口に垂直に入射したとする (8 式の角スペクトルを以下の (i,(ii について計算しなさい (i 直径 d の円形開口 (ii 直径 d の不透明な円形開口 光情報処理 f 光学系の光学素子の配置と実際 図 のf 光学系を用いる物体 フィルターとフィルター処理像の光学調整方法は 以下の通りの実験を行う事が必要である 3の凸レンズの焦点面 が光情報処理を行うフィルターの位置である オートコリメーションに従い の後方 の位置に鏡を置き 6のピンホールの位置にピンホールの反射像を結ぶようにの凸レンズを前後して動かしの凸レンズを固定する 33の凸レンズを外し の凸レンズの焦点位置である処理像の位置 4を固定する 4 4の像の位置を固定し 5の位置に物体 (trasparec を置き 5の物体の位置を前後し 4の位置で空間像をルーペで観察し物体のピントが合った5の位置が物体の位置である 5の物体の位置と4の処理像の位置は結像関係にある 図 5. の物体を5の位置に置く OPTICS の物体は 僅かに傾きが異なる回折格子から成る白抜きの OPTICS の文字である の位置でのスペクトルの観察像を図 5. に示す 図 5.3 は 図 5. のスペクトルにおいて垂直方向の右隣のスペクトルを除去し T の文字が消えた OPTICS の文字の処理像である 59

60 6 図 5. 光情報処理に用いる f フィルタリング光学系 図 5. OPTICS 文字の Frauhofer 回折像 図 5.3 4f 光学系を使用し 図 5. のスペクトルにおいて垂直方向の右隣のスペクトルを除去して 結像した OPTICS の文字の像 6

61 参考図書 村田和美 光学 サイエンス社 (995 mo Yariv Optical lectroics Holt-Sauders (985 ( 日本語訳が丸善から出版 多田邦男 神谷武志訳 997 年版からタイトルが Optical lectroics i Moder Commuicatios と変更されている 吉村武晃 光情報工学の基礎 コロナ ( 土方克法 オックスフォード物理学シリーズ3 輻射と量子物理 丸善 (977 霜田光一 レーザー物理入門 岩波書店 (983 大坪順次 光入門 コロナ社 ( R. W. Bod Noliear optics, cademic Press, (99 Y. Ishii: Laser-Diode Iterferometr, Progress i Optics,. Wolf d., Vol.46, lsevier Sciece (4 J. W. Goodma Itroductio to Fourier Optics McGraw-Hill New York (968 黒田和男 非線形光学 コロナ社 8. Hecht, Schaum s Outlie of Theor ad Problem of Optics, McGraw-Hill New York, (975. Hecht, Optics, d. ditio, ddiso-wesl, Readig Massachusetts (987 Ma Bor ad mil Wolf Priciple of Optics, d d., Pergamo, Oford (964 ( 現在は 7 th d. が出版中 6

62 解答 問題. =kc/ より kc/(= となる kc d d( より d c k d c d, ck( d dk d c dk d これより d c v g dk d d c g となる ここで c d d を用いており g は群屈折率である 問題.3 (6 式の c は光の速度 は試料自身の屈折率で定数であることから d 光の群速度の制御は分散を変化させる Slow light の生成ならば d d ( ( >> d d Fast light の生成ならば ( ( << といった群屈折率を制御することで d 光の位相速度より速い群速度 遅い群速度を生成することが可能である 問題. 図. のコンデンサーの極板間 d の電位差を V として 生ずる電界 は V d Q Cd である ここで 極板に帯電している電荷量 Q であり C が極板間の静電容量 (capacitace を表す 静電容量 C は 極板の面積を として C=/d となりこれを代入して となる 変位電流 J D は Q Cd Q Idt 6

63 t I となり 電流密度の次元となる 図. コンデンサー極板間の空間 ( 面積 間隔 d 誘電率 の絶縁体で満たされている に流れる電流 問題. 演算子法で d D とおき ( 式は (D +k (= となる D=±ik であるから解は ( 式と d なる 問題.3 63

64 ik B ik e e B R, k とすると与式は i i e Re となる そこで電界の振幅 e i R cos ir - cos i si R cos ir si R cos ir -si R cos ir - R cos R - R R Re B i と表される ここでオイラーの恒等式を用いて 式変換すると Rcos となる よって電界の振幅 si si R cos si となる さらに倍角の公式を用いると cos k となる よって最大値はcos k B cosk は B はR, 最小値はcos k si k より の最大値と最小値は式 ( のcosの項で決まり cos k の取り得る値の範囲は の時になるのでそれぞれ式 ( に代入すると 最大値 最小値 MX mi B B B B B B B R B R ( ( 3 となる しかし R は 粗 (ε から密 (ε の反射 (ε <ε で負 (- であるので ( 式が最小値 (3 式が最大値を表す 式 ( と式 (3 にそれぞれ R を代入すると 64

65 3, となり 伝搬定数 k はk 3 周期で最大値, なる また R における電界の振幅 MX R 5 cosk 4 mi ( 4 R とあらわされるので 最小値を持つ定在波となる は R は 3/ λ/ 媒質 Ⅰ / 媒質 Ⅱ Z 図. 境界に入射する波動 ( 電磁波 の透過と反射 問題.4 a [ Sc]=[Farad/m][volt/m] m [m/sec]=[farad/sec][volt] =[coul/(volt sec][volt] =watt 65

66 b P Sc S Z S c b から電界振幅は 6 9 PZ 3 V / m S 5 問題 3. 熱平衡状態において電磁波のエネルギーは離散的な値しかとれず そのエネルギーは であり Caoical 分布に従う平均エネルギーは W th ep k BT ep k BT ( となる ( 式の分母は 公比 r= ep /(k T 分子は B を有する無限等比級数となる r r r r r ( r ( であるので ( 式は W th ep k BT となる 問題 4. t / ie e( t e e 66

67 として そのフーリエ変換は ( ( ( i dt e t e t i パワースペクトルは * ( ( ( ( ( i i となる 問題 4. (36 式の - を - = と置き は u= M k B T を用いて M k B T l となる T=3K B k ~ [J/deg] を代入して 3.5 GH となる. 問題 4.3 準位モデルにおける各準位の原子密度の時間変化は以下の式で表せる ( ( 3 N N KIB N N N R dt dn ( 3 ( N N N KIB N dt dn ( ( N N N R dt dn (3. を行い時間 t で積分する (3 ( ( 67

68 dn dn dn 3 dt dt dt dn dn dn 3 dt cost dt dt dt N N N3 cost よって N N N3 cost であることを利用して 定常状態で かつ光強度 I 件を求めよ ( 3 より (,(5 より の場合について 反転分布が形成されるための条 R( N N 3 N N 3 R N R N N R N R R N R 3 反転分布の条件は N N N 3 であるため R ( R 定常状態で かつ光強度 I を求めよ ( 3,(5 より の場合について 反転分布の大きさ N N N N N R kib R kib R kib R kib N N R N R N N N N とすると (4,(8 より 68

69 N R kib R kib N R R. よって反転分布の大きさ N N N は (8,(9 より N N N R kib kib R N kib R ( R N (3R ( kib R ( R 3. ( 問において 反転分布の大きさ N が光強度 I に依存する理由を述べよ 準位 にある原始は入射光の強度 I に比例して準位 に励起され 準位 にある原子は入射光の強度 I に比例して準位 に遷移する よって準位, 間の直接遷移が光強度 I に依存しているため 反転分布の大きさは DN は光強度 I に依存している 問題 4.4 ( 結晶端面で振幅反射率 r は 半導体レーザーの結晶鏡面の振幅反射率 rが r=( - /( + であり 結晶の屈折率 (=3.5 と空気の屈折率 (= より r=.56 > となる 振幅反射率が正である すなわち進行波と反射 ( 後退 波の位相が同相で強めあい定在波は結晶端面で腹になる ( 光波が共振器間隔 (d を往復する位相が波長 で変化し d の位相変化が に等しいことから 導出できる d d d d d d d からを導出し計算できる d/dの場合がの問いであり d/d が (3 69

70 の答えとなる 問題 5. レーザー出力ピーク値付近では si( となるので ( ( si ( si ] N t t N t t N e e I t N i t i となる ピークパワーは (N である 広帯域レーザーであり縦モード数 N を多くとることができ ピークパワーは上昇し短パルス化に向けられている 問題 すべての光波を合成すると以下のようになる } 4 ( cos{ } 3 ( cos{ } ( cos{ } ( cos{ } ( cos{ ( ( ( ( ( ( t t t t t t t t t t t Itesit Time[s]superpositioこの合成波は 題の合成波を再現できている ( とする 以下に示すように この合成波は [H](T=.[s] の超短パルスである 7

71 sitsuperpositiote6iime[s] T.6.8 問題 7 m から μm のスペクトルを下図のようなガウス型スペクトルとする 横軸は周波数 [/s] である 図. 光源のスペクトル図 のスペクトルを逆フーリエ変換したものが図 である 横軸単位は [s] 図. 超短パルス 7

72 問題 7. ( i ( t Re[ ( ep( it] ( t Re[ ( ep( it] を問題に与えられた電子の方程式に代入する 右左辺の計算から まとめれば 以下の変位 (ν を得る ( k m e e e ( ( ( m m m 4 i 4 4 i 4 ( i k ただし を用いた また 複素分極 P( -Ne( の関係を用いれば m Ne ( P( m 4 ( i が導かれる ( ii P( ( ( であるから P( ( ( これに先の ( i の解である P(ν を代入すれば は Ne P( m ( ( 4 ( i となる ( iii 電束密度 : D ( ( P( ( r に対し ( ii で用いた P( ( ( を代入すると D( r ( ( P( ( ( ( ( ( r ( 比誘電率はこの様に求まる ここで 屈折率と比誘電率の関係式 : r より 7

73 この導出された比誘電率を代入することによって r ( ( 屈折率と電気感受率との関係である ( iv まず ( ii ( iii の結果より ( 4 ( Ne m i 簡単のために σ= とすれば Ne m 4 ( ( a のとき は 必ず > となる ただし 共鳴点 で は発散する この点は含まない ( b のとき は 一定値 Ne m に収束するような振る舞いを示す 4 ( c のとき は近似的に Ne m と書ける この表式から の領域において は = 4 へと収束する関数を示す 以上のことから ( a のとき必ず > を示す減衰関数 ( b のとき Ne は 4 に収束する関数を示し ( c のとき = へ m と収束することになる 以上が の分散関係である 73

74 問題 8. レーザー光が伝播して 開口 a に照射し 回折角 は a である さらに θ は微小で としたとき a a si が成り立ち これらの式から a となる よって a となる ここで ka ka となる (78 式と同様にヘルムホルツの方程式よりと呼ぶ 近軸ヘルムホルツの式となる この式をまたは 上式の近似式を用いて (, equatio Helmholt paraial k i ik ike e ike e e e k e k ik ik ik ik ik ik ik 問題 非線形分極 P NL を誘発する 次の非線形電気感受率を とすると 光電界の方向を逆に にとると分極 P が反転する よって 非線形分極 は となる 中心対称性の物質であるので 電界の逆方向と正方向の 次の非線形分極は等しくなる よって より となり 中心対称性の誘電体物質では 次の非線形電気感受率 が である 74

75 問題 ブリュスタ角 B でガラス板へ入射しているので r p = である 一枚のガラス 板の強度反射率を r S であり 単位強度 の光が入射しており s 偏光の透過強度 は - r S 枚目のガラスの透過強度は (- r S - (- r S r S =(- r S となる よって 枚のガラスの透過強度は ( r S となる ブリュスタ窓つきガラス レーザー管の多数回の反射 透過により s 偏光の強度透過率 ( r S はほぼ となり p 偏光成分が取り出せることになる s 偏光の強度反射率は 一回の反射で r S 回の反射で ( r S r S 回の反射で ( r S - r S となる たとえば =5 で強度反射率は.78(r S =.5 図 36 参照 である ブリュスタ窓の採用は ( 式から 回ブリュスタ窓を透過した p 偏光の強度透過率は (t p t p =(- r p = (r p = であり となる p 偏光のレーザー光は反射ロスが で効率よく励振される 上述のように s 偏光の強度透過率は となっている p 偏光のガラスへの垂直入射の強度反射率を r p とすると 単位強度 がガラスに垂直入射すると強度透過率は t p t p =- r p =.96 (r p =.4 図 36 参照 で反射ロスが 4% 生じている 回の強度透過率は (t p t p =(- r p となり 例えば =5 で p 偏光の強度透過率は.8 となり 反射ロスは -(t p t p となり 8% となる レーザー光の励起が効率よく行えない (,(4 式を変形し si ta ta cos cos r s si ta ta cos cos を代入して, ta rs となる 問題. ( 式より より J( であり 方位角 は ta - ( / = となる ( 式の一定の位相項を無視して の位相板の移相子は i 4 R e i 4 e ( となる (3 式の T( を用いて T(R(/T(-J( が求める射出光の Joes ベクトルとなり 75

76 T( /4R( /T(-/4J( 問題 となる 右回りの円偏光を示している i 光学的距離 L は L h a ( b dl/d= より si = si が導出される 理科大応用物理学科石井行弘著 ( 無断転載を禁ずる 76