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さやみやくぼ
5 years ago
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1 数理ファイナンス入門理論と実務筬島靖文 BNP パリバ証券クオンツリサーチ部 009 年月 4 日京都大学グローバル OE 講演会 orporae orporae and Invesmen and Invesmen

2 Disclaimer 本講演の内容は私個人の意見であり BNP パリバ証券の意見を述べるものではありません orporae and Invesmen

3 賭けのビジネスモデル回の賭けでコインを投げて表が出れば 00 円の儲け裏が出れば 00 円の損ただし回の賭けで円の手数料をもらうことができるとする当然回の賭けではリスク損益の標準偏差が大きすぎビジネスとしては成立しない N 回の賭けを行った場合には損益の標準偏差は N で与えられる一方手数料は N 円すなわち N~ 万回以上のオーダーで行えばリスクに見合った手数料が得られるポイントは賭けの回数をできるだけ増やすこと N orporae and Invesmen 3

4 デリバティブ取引とはデリバティブは日本語では金融派生商品と呼ばれある原資産から派生した金融商品原資産とは株式為替金利債券原油等々市場で取引される基本的な商品のことであるデリバティブのキャッシュフローは原資産の将来の価格変動に応じて決まる orporae and Invesmen 4

5 デリバティブ取引の例フォワード取引あらかじめ定められた満期において契約時に定められた価格 F で原資産を買うもしくは売る取引先渡し取引とも言う時点における原資産の価格数キャッシュフローは V F F と書くと満期におけるペイオフ関原資産を買う場合原資産を売る場合例えば海外から仕入れた商品の支払いが 3 ヵ月後に米ドルで行われるとし 0 万米ドルを払わなければいけないとするもしももうこれ以上円高に行く可能性が低いと判断した場合現時点で 3 ヵ月後のドル円の交換レートを今決めた方がよいこのときにフォワード取引を使える orporae and Invesmen 5

6 デリバティブ取引の例オプション取引満期において契約時に定められた価格ストライクと呼ぶで原資産を買うもしくは売る権利それぞれコールオプションプットオプションと呼ぶ V コールオプションプットオプション例えば多くの日本のメーカーは円高になることを避けたい例えば高級車一台をアメリカで 0 万ドルで売ったとしても円高になると収益が落ちてしまう円高リスクをヘッジするために例えば満期年ストライク 80 円のプットオプションを購入する年後ドル円レートが 60 円に下落した場合車一台の売上げが 60 円 x0 万ドル 600 万円になるところをプットオプションを権利行使することにより 80 円 x0 万ドル 800 万円で売ることができるでは金融機関はこのプットオプションをいくらでメーカーに売ればよいか? orporae and Invesmen 6

7 オプション取引のペイオフ関数ストライク 00 円の為替のコールオプションの場合ペイオフコールオプションプットオプション満期の為替レート orporae and Invesmen 7

8 項モデル以下の単純なモデルのもとでコールオプションの価格を計算してみよう A 社の株価が現在 00 円年後に70% の確率で80 円 30% の確率で0 円になるとする株価が年後に 0 円になったら値上がり分の 0 円もらえ 80 円だと何ももらえない金融商品があったらその価格はいくらか? この金融商品はストライク 00 円のコールオプションで価格をオプションプレミアムと言う先の賭けのビジネスモデルで考えると 0 円 X30%0 円 X70%6 円 orporae and Invesmen しかしそれは間違い 8

9 複製戦略 A 社の株式が市場で売買可能であるのがポイント A 社の株式 x 単位と現金 y 円で年後のキャッシュフローを複製してみようこれを解くと x 0.5 y -40 よって時点 0 での価格は 00x 円となるもともとの確率など関係なくオプションプレミアムは決定された orporae and Invesmen 9

10 デリバティブのビジネスモデル金融機関はこの例のコールオプションを顧客に手数料円を取って円で売ったとしよう金融機関が何もしなければ年後に 30% の確率で 0 円を払わなければならず賭けのビジネスモデルと同じになる時点 0 において金融機関はオプションプレミアム 0 円と銀行から 40 円借りて金融機関なら市場から調達 A 社の株式を 0.5 単位購入年後 A 株式が 0 円に値上がりしたら 0.5 単位を売却して 60 円を得て 40 円を銀行に返済し残りの 0 円を顧客に支払う逆に 80 円に値下がりしたら 0.5 単位を売却して 40 円を得てその 40 円を銀行に返済し顧客に支払う必要はないからこれで終了以上により円の手数料を確実に利益として得ることができるので賭けのビジネスモデルとは異なるただしモデルこの場合年後の株価が 0 円または 80 円になるという仮定が間違っていれば利益を確実に得ることはできずモデルがどれだけマーケットに合っているかがポイントになる orporae and Invesmen 0

11 期間モデルもう少し複雑に期間の項モデルを考えてストライク 80 円のコールオプションをプライシングしてみよう orporae and Invesmen

12 期間モデルの解き方オプション満期のキャッシュフローは確定しているから後ろから順に複数の期間モデルを解いていけばよい orporae and Invesmen

13 期間モデルの解き方最後に 0 時点を求める実は各格子の値が分岐したつの格子の値の平均になっていることがわかるがこれは偶然ではなく元の原資産価格がマルチンゲールになるような確率のもとでコールオプション価格は期待値と表されるという性質による orporae and Invesmen 3

530 円追加購入このように株価の変化に合わせてポートフォリオをダイナミックに変化させていくので

14 期間の複製戦略 5 円のオプション料と 50 円を銀行から借り入れ 75 円で株を 0.75 単位購入株が半年後 0 円に値上がりしたらさらに 30 円を銀行から借り入れ株を 0.5 株 0X0.530 円追加購入このように株価の変化に合わせてポートフォリオをダイナミックに変化させていくのでダイナミックヘッジという orporae and Invesmen もちろん市場は時々刻々変化していくので期間モデルでも到底マーケットを表すことはできない 4

15 ブラウン運動連続時間のモデルを考えるために先の項モデルの時間間隔を後に/の確率で上下に動く確率過程を考えよう ± Δ Δ とし Δ W 数学的にはブラウン運動はこれだけでは足りないが連続な確率過程 W 0 0 orporae and Invesmen 3 時点の値 W の分布は正規分布 N 0, に従う W W W 4 はと独立で分布は N 0, に従う s s s 5

16 ブラウン運動のサンプルパスブラウン運動のサンプルパス 00 本は以下のようになる赤線は標準偏差 ± の線を表す orporae and Invesmen 6

17 正規分布中心 0 分散の正規分布とは密度関数が φ x π に従うような確率分布のこと exp x 密度関数 orporae and Invesmen 7

18 確率微分方程式ほとんどの金融モデルは確率微分方程式を用いて記述される直感的な意味としては微少時間 Δ の間の変分が平均分散 σ X dx σ X, dw μ X, d, Δ μ の正規分布となるような確率過程を表す X Δ X σ X, ΔW μ X, Δ X, Δ 例えばという確率微分方程式の解はで与えられる dx X σ dw μ d x σ W μ 0 orporae and Invesmen 8

19 伊藤の公式 f, 関数に対して確率過程 X f, W とすると以下の確率微分方程式を満たす dx f [ 0, R f x, W f, W d, W dw x 例 d W W dw d 例 X exp σ W μ とすると伊藤微分は dx で与えられる X σ dw μ σ d orporae and Invesmen 9

20 ブラックショールズモデルブラックショールズモデルとは時点の株価が以下の確率過程に従うとしたモデルここでσはボラティリティ変動率 μはドリフト rは短期金利や無リスク金利と呼ばれるはマネーマーケットアカウント銀行預金等と呼ばれる伊藤の公式から確率微分方程式を解くことができ解はで与えられる d σ dw μ d db rb d B 0 exp σw μ σ orporae and Invesmen 0

21 コールオプションのプライシング株価過程と銀行預金が取引可能資産とするコールオプションの時点における価値は株価の関数として書けるとする満期においてはを満たす伊藤の公式から B, d, μ σ d dw σ, orporae and Invesmen を満たす dw ここでの確率変動項を消すために株の株式を保有するポートフォリオΠを考えると時点の価値はで与えられる Π,

22 orporae and Invesmen ブラックショールズの偏微分方程式このポートフォリオの Δ 期間中のポートフォリオの変化を考えると確率変動項が存在しないためポートフォリオのリターンは無リスク金利 r に等しくなければならない以上を整理するとブラックショールズの偏微分方程式が得られる Δ Δ Δ ΔΠ σ r r Δ ΠΔ ΔΠ, 0 r r σ

23 3 orporae and Invesmen ブラックショールズ式この方程式は解くことができて解はにより与えられるただしこの解をブラックショールズ式と呼ぶ d d r d d e d r Φ Φ σ σ σ / log, exp, x x dz z x x Φ π φ φ

24 オプション価格の変化株価の変化によるコールオプションプットオプションの価値の変化は以下のように与えられるオプション価格スポット価格コールプット orporae and Invesmen 4

25 リスクヘッジ例えば顧客にコールオプションを売った場合オプション満期までどうすればいいのだろうか? 最初に項モデルで説明したようにコールオプションのペイオフを原資産の株を用いて複製戦略を組む複製戦略を組むためにはコールオプションのリスク指標を計算する必要があるトレーダーはこのリスク指標を随時把握しながらリスクヘッジを行っているこのリスク指標を正確に求めることもクォンツの役割 orporae and Invesmen 5

26 リスク指標デルタ : オプション価値の原資産価格に対する変化量ガンマ : デルタの原資産価格に対する変化量ベガ : オプション価値のボラティリティに対する変化量 σ セータ : オプション価値の時間に対する変化量その他にもいろいろなリスク指標がある Volga: ボラティリティについての階微分 σ Vanna: ボラティリティと原資産についての階微分 σ これらの指標を安定的に算出することがリスクマネージメント上は重要である orporae and Invesmen 6

27 デルタデルタは原資産価格に対して以下のように変化するオプションがインザマネーの状態では原資産と同様の動きをしアウトオブザマネーになるほど 0 に近づく満期が近づくにつれてヘビサイド関数に収束するデルタがに近いとコールオプションは原資産とほぼ同じ動きをする. 満期までの期間の変化によるデルタの変化オプション価格 Y 4Y 3Y Y Y 0.Y orporae and Invesmen スポット価格 7

28 インプライドボラティリティ多くの原資産でコールプットオプションは頻繁にマーケットで取引されるオプションの取引はその価格ではなくインプライドボラティリティで行われる与えられた満期ストライクのコールオプション価格対してブラックショールズ式と書くときティ σ B d d B,, σ log d 0 σ / r 0 Φ d σ e r Φ d σ,, σ B,, を満たすボラティリをインプライドボラティリティと言う B,, に orporae and Invesmen 8

29 ボラティリティスマイルの存在もしもブラックショールズモデルが正しいならばインプライドボラティリティは当然ストライクによらず一定値を取るはずしかし多くの市場でインプライドボラティリティは下のような形をしておりボラティリティスマイルと呼ばれるこれにキャリブレーションできるモデルを作ることが大きな問題のひとつである 5.00% 0.00% インプライドボラティリティ 5.00% 0.00% 5.00% orporae and Invesmen 0.00% ストライク 9

30 ローカルボラティリティモデルボラティリティスマイルにキャリブレーションできるモデルとして最も有名なものが Dupireのローカルボラティリティモデルであるボラティリティが時間と株価に関するノンパラメトリックな確定的な関数 σ loc, を与え株価過程が以下の確率微分方程式に従うとする d rd σ, すべての満期すべてのストライクについてコールオプション価格が与えられた場合ローカルボラティリティ関数は以下を満たす dw, σ loc, r orporae and Invesmen 30

31 3 orporae and Invesmen ローカルボラティリティの導出ここでは r0 の場合に略証を与えよう伊藤の定理を拡張した田中の公式からが得られさらにコールオプション価格よりコールオプション価格のストライクに関する階微分から下記のように確率密度が得られる以上によりが得られる > loc d d 0 } { 0 } { 0, σ δ [ ] [ ] } { } {,,, loc loc E E δ σ σ δ [ ] } {, E δ [ ], E,,, loc σ

32 ローカルボラティリティ曲面ローカルボラティリティ曲面 σ loc, は以下のような形状をしている 35.00% 30.00% 5.00% 0.00% 5.00% 0.00% 5.00% 0.00% このモデルは非常にいいモデルであるが短所としてはコールオプション価格がすべての満期ストライクについて与えられることはないのでその間の補間に依存する点やフォワードスマイルが平坦になってしまう等のマーケットの動きとの違い等が挙げられる orporae and Invesmen 3

33 33 orporae and Invesmen ABR モデルと漸近展開ボラティリティスマイルを表現するモデルとして確率ボラティリティモデルがあるそのひとつが ABR モデルを確定的な関数として以下のモデルを考えるこのモデルではコールオプションの価格を解析式で求めることができないためインプライドボラティリティの漸近展開式が使われる d W W d dw d dw d ρ α ν α α, x x dx av av av B / / ln, 0 ε ν ρ ρναγ α γ γ ζ ζ α σ ρ ζ ρ ζ ρζ ζ α ν ζ γ γ log,,,, 0 0 x av av av av av av

34 ABR モデルの精度 ABR の公式はオプション期間が短期の場合には非常に正確でかつ下のグラフに示すようにマーケットにもよく合うことから市場参加者で使っている人も多い 0% 8% 6% 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% Implied Volailiy ABR このインプライドボラティリティの漸近展開はリーマン多様体上の熱核展開もしくは Malliavin 解析の漸近展開渡辺楠岡 -roock の漸近展開と非常に密接な関係がある orporae and Invesmen 34

35 大偏差原理 ABRモデルのボラティリティを考えよう d ε dα ε εα ρdw εν α dw ε オーダーとしを 0 に近づけたときの極限を ε ρ dw リーマン計量を以下で定義 g g y x g g ρνy x ρνy x ν y 確率密度関数をら以下が導かれる lim ε log ε ε p ; y E[ δ y] p ε ; y で定義すると大偏差原理か ABR モデルに対してはこの右辺を求めることができそれが ABR の公式の第一項になるさらに精度を上げるためには高次の項を求める必要がある inf 0 g ij, z z& i z& j d orporae and Invesmen 現在微分幾何学を用いて熱核展開の高次の項を求める方法と楠岡 -roock によるマリアバン解析の展開方法が研究されている 35

36 エキゾッチクオプションの例バリアオプションより複雑なデリバティブをエキゾチックデリバティブと呼ぶ例えば現在の株価を 00 円としてストライク 00 円のコールオプションを購入するが値下がりリスクは低いと考えた場合オプション満期までの間に一度でも株価が 80 円以下に下がったらコールオプションが消滅するデリバティブを考えようこのような商品をバリアオプションここに挙げた例は特に DownAndOu allopion と呼ぶ消滅するリスクがある分だけ通常のコールオプションに比べて安くなるブラックショールズモデルの場合反射原理を用いて解析的に答えを求めることができるしかしスマイルに適合したモデルを用いる場合数値解析を用いる必要があるここではローカルボラティリティモデルの場合に説明しよう orporae and Invesmen 36

37 数値計算方法 ~ ツリー偏微分方程式ひとつの方法はツリーを使う方法すなわち最初に説明した項モデルを時間間隔を短くしてかつローカルボラティリティモデルに適合した離散化ができる Derman-ani のインプライドツリーの方法 Derman 自身による自伝物理学者ウォール街を往くにそのモデルを考えた頃の話が載っているもうひとつの方法は偏微分方程式を用いる方法 σ, r r 0,, 0 0, 80 バリアオプションの場合上記のような境界条件つきの放物型偏微分方程式を解くことになるどちらもモデルが 4 ファクター以上になると難しい orporae and Invesmen 37

38 数値計算方法 ~ モンテカルロシミュレーション例えば以下のようにサンプルパスを多数発生させ 80 円以下になったらキャッシュフローを 0 としその他はコールオプションのペイオフを計算し最後に平均を取る 350 サンプルパス株価時点乱数列には low discrepancy 列などが使われる orporae and Invesmen 最近では楠岡近似という Lie 代数や Hopf 代数を用いた期待値計算の近似方法も研究されている 38

39 その他ディールあたり短時間で計算できなければいけない大量のディールの日々の時価やリスク指標数々のシミュレーションを行う必要があるためディールあたり時間も掛かると使い物にならないデリバティブの時価や主要なリスク指標をその金融機関が抱える全ポートフォリオに関して一晩で計算する必要があるさらにマーケットに正確にキャリブレートできている必要があるそうでないとミスプライスしてしまうさらに数多くのリスク指標を計算するためその精度も要求される数値計算結果で微分の精度を保つのは非常に難しい原資産株為替金利クレジットコモディティ等々によってそれぞれマーケットも異なるのでモデルも異なり商品性もそれぞれ異なる orporae and Invesmen 39

40 結論最も単純な項モデルを用いることによりデリバティブの価格と複製戦略の関係を述べた項モデルを連続時間モデルにすることによりブラウン運動を導入し確率微分方程式を用いてモデルを記述最もスタンダードなモデルであるブラックショールズモデルの場合に偏微分方程式との関係を述べブラックショールズ式を導いたしかし実際のマーケットにはボラティリティスマイルがあるため新たなモデルが必要でありその例としてローカルボラティリティモデルと確率ボラティリティモデルがあるインプライドボラティリティの漸近展開には微分幾何学やマリアバン解析との関係があり今でも研究が進んでいるエキゾチックオプションの場合には解析的な解が存在しないことから数値計算を用いる必要があり偏微分方程式やモンテカルロ法を用いるその他デリバティブの価格付けに伴ういろいろな困難を紹介 orporae and Invesmen 40

41 参考文献数理ファイナンスに関しては Baxer, Rennie: Financial alculus, ambridge hreve, : ochasic alculus for Finance I, II, pringer 関根順 : 数理ファイナンス培風館実務的に近い本として Gaheral J: he volailiy surface, Wiley Finance Brigo, Mercurio: Iners Rae models - heory and Pracice ローカルボラティリティモデルについて Dupire B: Pricing and Hedging wih mile, Mahemaics of Derivaive ecuriies, ambridge ABR モデルについて Hagan, umar, Lesniewski, Woodward: Managing smile risk, Wilmo magazine orporae and Invesmen 4

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Microsoft PowerPoint SIGAL.ppt アメリカンアジアンオプションの価格の近似に対する計算幾何的アプローチ渋谷彰信, 塩浦昭義, 徳山豪 ( 東北大学大学院情報科学研究科 ) 発表の概要アメリカンアジアンオプション金融派生商品の一つ価格付け ( 価格の計算 ) は重要な問題二項モデルにおける価格付けは計算困難な問題目的 : 近似精度保証をもつ近似アルゴリズムの提案アイディア : 区分線形関数を計算幾何手法により近似問題の説明