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1 Time (s) 計測の基礎 東京電機大学金田豊 aeda@c.dedai.ac.jp インパルス信号と. インパルス信号信号処理の基礎. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類いろいろな測定信号 3.3. TSPの定義 3.3. TSPの - 特性 3.の高調波歪 3.4. Log-SSの定義 3.4. Log-SSの高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音誤差要因 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 測定の注意点 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 HRTF by MIT Media Lab., i Time (ms) 4 測定の研究の目標 Amplitude by TDU i 3 様々な測定環境において S 比がより高く (= 短 ) 不自然な測定誤差の少ない測定の実現 5. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 6

2 インパルス信号 δ(t) の定性的イメージ τ /τ τ 面積 ( 一定 ) 幅が で高さが 積分値が のパルス t t ( アナログ ) 面積を に保ちながら パルス幅 τ をゼロとする δ(t) = (t=) (t ) インパルス信号 ( デルタ関数 ) δ(t) の数学的定義 [.] 定義 ( t) f ( t) dt f () デルタ関数は ある関数 f(t) に掛けて積分するとその関数の t= の値を与える 汎関数 ( 超関数 ) 参考文献番号 ( 巻末 ) 7 8 定義 δ(t) の性質 ( t) f ( t) dt f () f ( t) ( ) ( ) t dt () t dt f 面積は j t f ( t) e ( t) e j t dt e j δ(t) のフーリエ変換は ( 白色スペクトル ) 9. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点. 線形系とは δ(t) t 線形時不変系 h(t) x (t) x (t) c x (t) 系 系 y (t) y (t) の時 以下が成立 c y (t) インパルス信号 δ(t) を入力したときの出力 h(t) で 線形時不変系 ( スピーカや室内音響系など ) においては 系の特性の全情報を含む 重要な物理量 定数倍 x (t)+x (t) 和 系 定数倍 y (t)+y (t) 和

3 時不変系とは 線形 時不変系の性質 () が経っても特性が変化しない系 x (t) 系 y (t) x (t -τ) 系 y (t -τ) 正弦波を入力した時には 同じの正弦波を出力する x (t) t 線形時不変系 証明は付録.- y (t) t t τ の後に 同じ入力を入れれば 同じ出力が出てくる系 その振幅と位相の変化を表したものが系の特性 H(ω) 3 4 特性 H(ω) の定義 特性 H(ω) の効果 入力 x(t) X(ω) 線形時不変系 H(ω) H ( ) Y ( ) X ( ) y(t) Y(ω) 出力 X(ω): 入力信号のスペクトル ( フーリエ変換 ) Y(ω): 出力信号の ( ) 入力 H ( ) x(t) X(ω) Y ( ) X ( ) 線形時不変系 H(ω) y(t) Y(ω) 出力 Y ( ) H ( ) X ( ) 入力の成分 X(ω) は H(ω) 倍される 線形系では H(ω) は X(ω) に依存しない 5 6 と特性 ( 入力がインパルス ) ( ) x(t)=δ(t) X(ω)= 線形時不変系 H(ω) y(t) Y(ω) Y ( ) H ( ) X ( ) H ( ) y(t) のフーリエ変換 Y(ω) は特性 H(ω) である 7 スピーカ と特性の測定例 測定 スピーカの マイク 相対音響出力 [db] h(t) x 4 H(f) [Hz] フーリエ変換 9 スピーカの伝達関数 ( 特性 ) 8 3

4 線形 時不変系の性質 () x(t) 線形時不変系 h(t) y(t) 系の出力 y(t) は 入力 x(t) と h(t) との ( 直線 ) たたみ込み演算の関係にある y ( t) h( ) x( t ) d たたみ込みの詳しい説明は省略 の有用性 特性 ( スピーカ 室内伝達特性 ) 室内音響評価量 [.3,.4] 残響 初期反射音評価量 (D 5,C 8, ) 3 シミュレーション ( 建築音響 立体音響 ) 4 制御系設計 [.] HRTF 音場制御 逆フィルタリング Y ( ) H ( ) X ( ) 領域の方が簡潔 9 非線形な系と時変系 非線形系入力の大きさによって出力が異なる 時変系特性を測定しても がたつと変化してしまう の利用が困難 代表的な音響系 室内音響系 スピーカなどの音響機器は ほぼ線形時不変系しかし 若干の非線形特性や時変性が含まれており 後述するように測定誤差が発生 時不変な非線形系の性質 正弦波を入力した時には 同じおよびその整数倍の成分 ( 高調波歪 ) を出力する *) 整数倍以外のは発生しない x (t) y (t) 出力は周期時不変な t t 非線形系 振幅 基本波応答 振 次歪幅 3 次歪 f f f 3f 証明 : 時不変系に周期入力 出力も周期 フーリエ級数 高調波歪 3 周期性の証明 時不変系に周期信号を入力したら 出力も周期信号 x(t) x(t-t) 時不変系 時不変系 y (t) y (t-t) 時不変性 T が入力信号の周期とすると x(t-t)= x(t) 同一入力の出力は等しいので y (t-t)=y (t) y(t) は周期 T の周期信号 4 4

5 線形 時不変系が前提 以下では 理論的な説明は 線形 時不変系 を前提 以下 線形系 と略称 非線形特性は 線形時不変系の微小誤差要因と考える 5. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 6 離散系のインパルス信号 離散信号とディジタル信号 ( インパルス信号 ) δ(t) アナログ ( 単位サンプル信号 ) δ() 離散 ( ディジタル ) 幅が で高さが 積分値が のパルス t で値 その他の点では値 の信号 t: 連続 : 離散 離散信号とは アナログ信号を標本化した実数値列 量子化する前のディジタル信号 測定時の雑音が 量子化雑音レベル以上であれば 両者は等しいとみなせる 以下では 離散信号 = ディジタル信号として説明する ( 大半の教科書が同様 ) 7 8 δ(t) と δ() δ(t) と δ() の等価性 () δ(t) δ() は δ(t) の物まねではない アナログ δ() t δ() と δ(t) は等価である 理想 LPF A/D ~fs/ fs: サンプリング ディジタル 9 3 5

6 δ(t) と δ() の等価性 () アナログ δ(t) 理想 LPF A/D fs ディジタル δ() ~fs/ sic 関数 単位サンプル信号 δ() t がの間隔で fs si(πfst) πfst 3 δ(t) と δ() の等価性 (3) アナログ δ(t) 理想 LPF A/D fs ディジタル δ() ~fs/ sic 関数 単位サンプル信号 δ() δ(t) を帯域制限して標本化したものが 単位サンプル信号 δ() δ() は インパルス信号 δ(t) と等価 3 ディジタル系における δ() D/A 系 A/D h() DA,AD や付属するフィルタなどの特性も含まれる PC 33 章インパルス信号と のまとめ インパルス信号 ( デルタ関数 ) ( t) f ( t) dt f () 白色性 インパルス信号を 線形 時不変系に入力したときの出力 特性 H(ω) は h(t) のフーリエ変換 等価量 離散系 ( ディジタル系 ) のインパルス信号 δ() は単位サンプル信号 [,,,,,,,, ] ディジタル系のには ADやDA などの特性が含まれる 34. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 35 一般に フーリエ変換 ( 級数 ) とは すべての信号は さまざまなの正弦波の和で出来ている f ( t) a a si( f t ) a a si( 3 f t ) 3 f 振幅は a + 3 f 振幅は a si( f t ) + 3 f 振幅は a

7 f (t) フーリエ逆変換 信号 信号の 分析 と 合成 分析 ( 分解 ) 合成 フーリエ変換 F( ) f ( t) e j t dt 振幅 正弦波 f f 3f 振幅 5Hz の正弦波 Hz の正弦波.5 5Hz の正弦波.3 Hz の正弦波.5 スペクトル正弦波の成分表 37 代表的な - 変換の分類 信号 スペクトル フーリエ変換 連続 連続 フーリエ級数 連続 離散 z 変換 離散 連続 DFT 離散 離散 DFT:Discrete Fourier Trasform ( 離散フーリエ変換 ) 38 離散信号の つの領域表現 DFT の () z 変換 x() X(z) z: 複素 x() は無限長を仮定 理論検討に使用 () DFT (Discrete Fourier Trasform) ( 離散フーリエ変換 = FFT ) 以下 x() X() : 番号 と略称 点の信号 x() から 点の離散でのスペクトルX() を計算 コンピュータで計算できる実用的フーリエ変換 z 変換はが連続なのでコンピュータでは計算できない 39 点 DFT で求められる離散の正弦波 fs/ に対応 周期 T= T= T= 3 T= 3 (/) = DFTのは ( ) =,,,,/ は厳密には番号 4 DFT の重要な性質 入出力関係 信号 スペクトル 離散周期 (z 変換 ) 周期離散 ( フーリエ級数 ) 離散 + 周期離散 + 周期 (DFT) DFT は 長さ の離散信号に対する変換だが 長さ の離散信号を周期化した信号のスペクトルと考えるのが適当 性質 :DFT は 信号の周期性を ( 暗黙に ) 仮定 4 z 変換 DFT X(z) x() X() x() H(z) h() H() h() 性質 :DFT の積は 信号の円状たたみ込みに対応 Y(z)=H(z) X(z) 積 y()=h()*x() ( 直線 ) たたみ込み Y()=H() X() 積 y()=h()*x() 円状たたみ込み x() を周期化した信号との直線たたみ込み 4 7

8 . インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 43 定義どおりの測定 ( パルス法 ) の問題点 インパルス信号 δ() 被測定系 h() 問題点 : パルス信号のエネルギーが小さいのでS 比が悪い 信号の振幅を大きくすると非線形誤差が発生解決策 : 継続を長くしてエネルギーを大きくした 測定信号 の利用が有効 44 測定系の表現 表現 表現 インパルス信号 δ() 被測定系 H(z) h() H(z) H(z) は h() と等価量 H(z) を得れば その逆 z 変換で h() は計算できる 以下 H(z) を求める問題として説明する 測定信号発生フィルタを用いた測定 インパルス信号 s() 測定出力 h() δ() 測定信号被測定系発生フィルタ逆フィルタ H(z) S(z) /S(z) S(z) H(z) S(z) H(z) 直列特性は S(z) H(z) /S(z)=H(z) 被測定系の前後に つのフィルタ フィルタを入れても結果は同じ 測定信号発生フィルタを用いた測定 インパルス信号 δ() 測定信号 s() 測定出力 h() 測定信号被測定系発生フィルタ逆フィルタ H(z) S(z) /S(z) S(z) H(z) S(z) H(z) 毎回同じ計算 47 あらかじめ合成した測定信号 S(z) 測定信号を用いた測定 測定信号 s() 被測定系 H(z) 測定出力 h() 逆フィルタ /S(z) S(z) H(z) S(z) H(z) 問題点 : 一般に 逆フィルタ特性 /S(z) は無限応答で 正確な逆フィルタ計算には無限が必要 ( また z 変換上の除算はコンピュータではできない ) 解決策 : DFT 逆フィルタの利用 48 8

9 測定信号 ( 長さ ) s() 点 DFT DFT 領域で考える 物理系 被測定系 h() H() 測定出力 y() コンピュータ 逆フィルタ /S() h() 逆 DFT ( 長さ ) /S() S() Y()=H() S() H() 測定信号 ( 長さ ) s() 点 DFT DFT 演算の注意点 物理系 ( 直線たたみ込み ) 被測定系 h() H() 測定出力 ( 長さ) y() コンピュータ h() 不一致 逆フィルタ /S() 逆 DFT ( 長さ ) /S() S() Y()=H() S() H() h() の長さ H(): h() の 点 DFT : h() の長さ H(): h() の 点 DFT : DFT 領域の積は領域の円状たたみ込みに対応 49 しかし物理系では直線たたみ込み 5 ( 直線 ) たたみ込みと円状たたみ込み ( 直線 ) たたみ込み音のひびきのようなもの ( 物理系 ) s() h() y() * 直線たたみ込み * = 円状たたみ込み ( 巡回たたみ込み ) 直線たたみ込みで 点からはみ出た部分を 前方から回り込んで加算 s() h() y() = 厳密には- 円状たたみ込み 長さ 長さ 5 測定信号 ( 長さ ) s() 点 DFT DFT 演算の解決策 物理系 ( 直線たたみ込み ) 被測定系 h() H() 測定出力 ( 長さ) y() コンピュータ h() 逆フィルタ /S() 逆 DFT ( 長さ ) /S() S() Y()=H() S() H() h() の長さ H(): h() の 点 DFT : 解決策 : 物理系で円状たたみ込みを実行 不一致 DFT 領域の積は領域の円状たたみ込みに対応 しかし物理系では直線たたみ込み 5 物理系での円状たたみ込みの実現 円状たたみ込みは入力信号を周期化することで実現できる s() s() * 直線たたみ込み 周期目 周期目 3 周期目 y() 周期目を切り出したものが円状たたみ込みになっている h() = 周期目からはみ出たものと同じ信号が 周期目からはみ出て加算される 53 測定信号 s() s() S() DFT 逆フィルタを用いた測定 物理系 ( 直線たたみ込み ) 被測定系 h() H() h() の長さ H(): h() の 点 DFT 測定出力 y() 点 DFT 周期目 Y() =H() S() コンピュータ逆フィルタ /S() /S() h() H() 周期再生して 周期目を切り出して DFT 逆 DFT 54 9

10 測定手順 測定手順 信号長 の決定 測定信号 s() の合成 の長さ Lh より長く定める必要 Lh の.5~ 倍以上にしておくのが無難 信号長 の決定 測定信号 s() の合成 各種測定信号の具体的合成方法は次章 (3 章 ) で述べる s() を 周期再生し録音信号の 周期目を切り出す 逆フィルタと逆 DFT の計算 Lh は予備測定や予測で得る は大きいほど S 比が向上するが 長すぎると 系の時変性が無視できなくなる場合がある ( 数分を越えるような測定 ) s() を 周期再生し録音信号の 周期目を切り出す 逆フィルタと逆 DFT の計算 被測定系との円状たたみ込みの実行注 ) 厳密には 周期 () ではなく +Lh 再生して 後部 点を切り出せばよい ( 次頁 ) の切出し の切出し 周期 に関する補足 測定手順 周期目 周期目 3 周期目 Lh Lh Lh 信号長 の決定 厳密には 長 Lh ( 周期からはみ出る応答の長さ ) がわかっていれば +Lh の長さ再生して Lh~Lh+- を切り出して利用すればよい 特に >> Lh の場合 57 測定信号 s() の合成 s() を 周期再生し録音信号の 周期目を切り出す 逆フィルタと逆 DFT の計算 の切出し 切り出された 点の信号を DFT したもの Y() に s() を DFT したもの S() を除算し それを逆 DFT することで h() が得られる 雑音のみの区間を切り捨てることでS 比を向上する (5 章 ) 58 周期再生で円状たたみ込みを実現する方法 周囲環境への影響 などの理由で 周期再生を行いたい場合方法 方法 系の応答を含めた長さがとなるように信号を設計 (SSのみ) 直線たたみ込みと円状たたみ込みの結果が一致するので DFT 逆フィルタが適用できる ( 留意 ) 信号の両端の収束性などが必要 周期目から利用するので 信号の立ち上がり部分に注意が必要 ( 後述 ) + 周期からはみ出た部分を切り出して 周期目に足し合わせることで 円状たたみ込みを計算で実現 ( 欠点 ) 周期目の雑音が加算されて雑音パワーが 倍になる もっと良い方法があるかもしれません ご意見ください 59 例外 : 円状たたみ込みを必要としない場合 鈴木 浅野の提案した ( 最適 )TSP 信号 [3.4-6] 長さの良好な近似逆フィルタが存在 逆フィルタが直線たたみ込みで実行できる 測定信号を 周期だけ再生してもが直線たたみ込みで得られるただし 再生は 周期でも録音は 周期 +長が必要 直線たたみ込みは演算量が多い ( 円状たたみ込みは DFT 成分の積で計算できる ) 6

11 章の測定原理 のまとめ DFT( 離散フーリエ変換 ) の積は 円状 ( 巡回 ) たたみ込みに対応 測定信号 S() を被測定系 H() に入力し 円状たたみ込みを行った出力 H()S() を 測定信号の逆特性 /S() に通すことで 測定系の特性 H() は得られる 測定信号 S() と H() の円状たたみ込みを行うためには 測定信号 s() を 周期入力して 周期目を切り出して DFTする 測定信号の 周期 または 周期 +αの再生で測定できる場合もある 6. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 6 理想的測定環境 実環境での測定 測定信号 s() S() 被測定系 H() 観測信号 h() 逆フィルタ H() S() /S() H() どのような測定信号 S() (S() ) を用いても 正確に H() を求めることができる 測定信号 s() S() 被測定系 H() 非線形 D() 雑音 () + + H() S() +D() D()/ S(): 非線形誤差 ()/ S(): 雑音性誤差 観測信号 H() S() +D() +() h() 逆フィルタ /S() と呼ぶことにする H() + + D() S() () S() 測定誤差 測定信号の特性 雑音性誤差 測定信号の特性 S() S()= S() e jφ() 振幅特性位相特性 複素数 65 測定信号 s() S() 被測定系 H() 非線形 D() 雑音 () + + H() S() +D() 雑音性誤差の大きさ () () S() = S() 観測信号 H() S() +D() +() h() 逆フィルタ /S() 測定信号の振幅特性に依存 H() + + D() S() () S() 測定誤差 位相特性には依存しない 測定信号が大きいほど雑音性誤差は小さい 66

12 測定信号 s() S() 被測定系 H() 非線形 D() 非線形誤差 雑音 () + + H() S() +D() 観測信号 H() S() +D() +() h() 逆フィルタ /S() D() の大きさは入力信号の大きさに依存正しくは D(S()) と表すべき H() + + D() S() () S() 測定誤差 一般に 測定信号波形の振幅を大きくすると非線形誤差は増加 測定信号と測定誤差 非線形誤差の現れ方は 測定信号 S() の位相特性に依存 雑音性誤差の大きさは S() の振幅特性に依存 測定誤差の性質や大きさは 測定信号の性質と密接に関連 非線形誤差の - 特性は特徴的であり S() の位相特性 ( 群遅延特性 ) の影響が重要 67 適切な測定誤差の選択が重要 68. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 69 測定信号の分類 () 波形 ( 位相特性 ) による分類 掃引正弦波 (SS:Swept Sie チャープ信号 ) とともにが上昇 ( 下降 ) する正弦波信号 の的変化特性により いくつかの種類 4 例 ) TSP Log-SS ( ピンク TSP) など 疑似雑音 (P:Pseud oise PR:Pseud Radom) ランダム雑音のような波形を持った周期信号 例 ) M 系列信号 有色疑似雑音など SS: 掃引正弦波 P: 疑似雑音 7 パワースペクトル ( 振幅特性 ) による分類 固定形 適応形 測定信号の分類 () パワースペクトル S() 例 白色 C TSP M 系列 /f ( ピンク ) 雑音白色化 (W) oise Whiteig 雑音最小化 (M) Miimum oise S 比一定 (CS) Costat S C / C 3 P () C 4 P () C 5 H() /P () Log-SS ( ピンク TSP) M-SS M-P CS-SS など C,C,C 3, : 定数, P (): 雑音のパワースペクトル, H() : 系の振幅応答 7 望ましい測定用信号の条件 ) 大きなエネルギを持つ信号 S 比向上 ) ただし ある特定のにエネルギが集中すると 系の非線形が発生するので ほぼ一定の振幅で持続する信号 3) 測定対象となる成分を 欠落無く含んでいる信号 4) 扱いやすく 性質の良い信号 SSやPはこれらの条件を満足 7

13 . インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 73 (Hz).5.5 x 4 TSP (Time Stretched Pulse)[3.3-6] 白色スペクトルの掃引正弦波信号 ( 秒 ) (up-tsp) 74 引き伸ばし (Time Strech) のイメージ 時刻 に集中していたエネルギーを軸上に引き伸ばす ( 分散させる ) (up-tsp) (dow-tsp) Up & Dow TSP (Hz).5.5 x ( 秒 ) t t (Hz).5.5 x ( 秒 ) 76 TSP の定義式 (DFT スペクトル ) TSP 信号の MATLAB プログラム 点の DFT 成分が次式で定義される up_tsp() = exp(- j πj (/) ) =,,,/ up_tsp(-) * =/+,,/ J: 実効長 ( 偶数 ) * : 複素共役 dow_tsp()= exp(+ j πj (/) ) =,,,/ dow_tsp(-) * =/+,,/ 離散 (/) の二乗に比例した位相成分 波形は これを逆 DFT して得られる 点の信号 77 up_tsp() = exp(- j πj (/) ) =,,,/ up_tsp(-) * =/+,,/ = ^6; J= /; = : /; up_tsp=zeros(,); up_tsp(:/+) = exp(-j**pi*j*(/).^); up_tsp(/+:) = coj( up_tsp(/: - :) ); up_tsp = real( ifft(up_tsp) ); j j 振幅は白色 exp( j ) e, e 波形振幅は (/J) 振幅を As とするには スペクトルを As/ (/J) 倍 ( 証明 付録 3.3-) 78 3

14 TSP の逆関数 TSP の逆関数は 逆 TSP(ITSP: Iverse TSP) と呼ばれる up_tsp() = exp(-jπj (/) ) と dow_tsp() = exp(+jπj (/) ) を乗算すると となる 実効長 J= / J 実効長 J e-jπj (/)^ 実効長 J= J - - up-tsp と dow-tsp は お互いに逆関数の関係 = dow_tsp() up_tsp() (sample) (sample) 79 8 実効長の定め方 実効長 J= / J 実効長 J= (sample) (sample) 雑音抑圧量は J に比例 (J ) ( 詳細後述 ) ただし J= とすると 最大 最小の重なり 一周期の切り出し時の端点雑音の影響 ( 後述 ) J=(3/4)~(/) 程度とすることが多い J J が偶数であることの必要性 =/( 上限 ) で e-jπj (/)^ J が偶数ならスペクトルは実数 実効長 J (a) TSP 信号 (J が偶数 ) ほぼゼロ e-jπj / Jが偶数でない場合スペクトルは複素数 強制的実数化が必要 実効長 J (c) TSP 信号 (J が非偶数 ) 実効長を超えた成分が発生 ( サンプル ) ( サンプル ) 8 TSP の立ち上がり 円状シフト.5.5 TSP 波形 ( 実効長 J= / ).5 TSP 波形 ( 実効長 J= / ) J -J.5 (-J)/ TSP 波形 J (-J)/ TSP 波形 ( 先頭部分 ) [ サンプル ] [ サンプル ] [ サンプル ] [ サンプル ] x 4 t= で不連続 DA 後は不自然な音 波形 ( 周期目以降は連続だが ) 円状シフトの適正量は?

15 TSP の短パワー分布 [3.4] 円状シフト 実効長 J (a) TSP 信号 (J が偶数 ) 短パワー [db] (b) 図 (a) の - パワー分布 J -J TSP 波形 ( 実効長 J= / ) J -J.5 (-J)/ TSP 波形 J (-J)/ ( サンプル ) ( サンプル ) J [ サンプル ] [ サンプル ] (-J)/ 付近でパワー最小 円状シフトの適正量は (-J)/ *) J=/ の場合 インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 87 f DFT 信号の - 特性 f (t) t f 測定の理解に大変有効 F(, t) w( t) f ( ) e j d t と ω の関数 時刻ごとの信号の成分を表す 実用的には左図のように 信号を短ごとに切り出して DFTを行い 各時刻ごとの成分 ( パワースペクトル ) を 次元表示するスペクトログラムと呼ばれる 88 ー特性を数式で求める TSP の特性 位相特性 φ() e-jπj (/)^ 群遅延特性 τ() φ()=- πj(/) τ()=- d φ() d Ω Ω=π(/) 89 Ω=π(/) TSP の群遅延 群遅延特性 τ() τ()=d φ() =- dω π =- π = J dω=π(d /) d d φ() d d (- πj(/) ) 9 5

16 TSP のー特性 掃引正弦波の - 特性は 群遅延特性に対して をの関数として表す ことで求められる 群遅延特性 τ() = J τ - 特性 = J 最高 / 周波 数 実効長が J = で = =J で =/ J 信号長 9 +jπj e (/)^ / -J dow-tsp 位相が正 進み特性 [ サンプル ] 逆 DFT 結果 DFT( 離散 ) 信号は周期性 周期は 9 フィルタの群遅延特性による信号の - 特性の変化 - 特性で見た up-tsp とその逆フィルタ 信号の - 特性 up-tsp フィルタの群遅延特性 信号の各成分に対して与える遅延量 フィルタ 群遅延 93 信号の波形 - 特性 フィルタの群遅延特性 インパルス 3 up-tsp 5 インパルス up-tsp 特性を持ったフィルタ 4 逆フィルタ ( 逆 up-tsp) 群遅延 94 - 特性上の逆フィルタ効果 - 特性で見た TSP 測定原理 up-tsp 逆フィルタ 信号の波形 up-tsp 3 TSP 応答 5 - 特性 各成分 に対する 応答 dow-tsp 逆フィルタ 被測定系 4 逆フィルタ ( 逆 up-tsp) 95 逆フィルタの効果 TSP 応答からを得る 96 6

17 . インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 97 TSP s() S() 被測定系の非線形による誤差 被測定系 線形系 H() + 微小な時不変非線形特性 非線形 D() 線形応答 + 非線形歪 H() S()+D() 高調波歪 98 非線形を含む系への正弦波入力に対する応答 振幅 振幅 基本波応答 次歪 3 次歪 f f 3f f f 3f TSP 応答と高調波歪 up-tsp 応答 f f 3 次歪 次歪基本波応答 *) 4 次以上の歪は省略 *) 応答 歪の方向の広がりは省略 99 up-tsp 測定における非線形誤差 up-tsp 応答 3 次歪 次歪 =c p p: 歪次数 基本波応答 逆フィルタ 3 次歪による誤差 次歪による誤差 =c (p/(-p)) 非因果性の誤差 ( 負の時刻に誤差が発生 ) dow-tsp 測定における非線形誤差 up-tsp に現れる非線形誤差 ( 実測例 ) dow-tsp 応答 3 次歪 次歪 基本波応答 3 次歪による誤差 次歪による誤差 逆フィルタ 正の時刻に誤差が発生 Frequecy (Hz) up-tsp 応答 次歪 次歪 Time (s) 基本波応答 逆フィルタ Frequecy (Hz) Time (s) 誤差 ( 非因果な応答に見える ) 7

18 波形に現れる誤差 波形に現れる誤差 非因果な応答に見える x -4 4 波形 (up) 非因果な応答に見える x -4 4 波形 (up) up-tsp up-tsp Time [ms] dow-tsp Time [ms] x -4 波形 (dow) Time (s) dow-tsp に現れる非線形誤差 ( 実測例 ) dow-tsp 応答 次歪 3 次歪 基本波応答 6 6 TSP を用いた測定結果に現れる非線形誤差 ( - 特性 ) 6 5 up-tsp 6 5 dow-tsp Frequecy (Hz) 逆フィルタ Frequecy (Hz) Frequecy (Hz) 4 3 Frequecy (Hz) Time (s) Time (s) 誤差 ( に重なる ) Time (s) 誤差 ( 非因果な応答に見える ) Time (s) 誤差 ( に重なる ) 6 TSP を用いた測定結果に現れる非線形誤差 ( 波形 ) 非因果な応答に見える up-tsp dow-tsp x -4 x -4 4 波形 (up) Time [ms] 波形 (dow) 誤差は応答に埋もれている ( 後半 : 応答のように見える スイープ音 誤残響曲線 ) 7 TSP と非線形誤差 up-tsp 短所 : の負の方向に非線形誤差が出現するので 測定信号レベルを小さくして非線形誤差を小さくしないと不自然長所 : 本体には高調波歪の影響なし dow-tsp では 短所 : の中に高調波歪の影響が含まれ 目立たないが 残響曲線などには悪影響長所 : の立ち上がりが明確これらの誤差を許容するかどうかは 用途による 8 8

19 .5 x x 4. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 9 大長所 相対振幅 [Hz] Log-SS ( ピンク TSP) [3.7-] [ 秒 ] x [ 秒 ] 低周波域の S 比改善効果 高調波歪の分離測定 除去 対数 がに比例 はの指数関数 f=e αt log(f) = αt 低周波域の掃引が長い エネルギ大 Log _ SS ( ) a Log-SS の定義 Log-SS の DFT は 次式で定義される exp ja log( ) * Log _ SS ( ) J J : 整数 / log log は自然対数 / *: 複素共役 藤本の定義 [3.8] に基づくが up-ss ( 位相部分が負 ) である点が異なる up の方が高調波歪成分の分離が良い ( 後述 ) ピンク雑音と同様に 成分が -3dB/oct で低下しているので藤本はピンク-TSPと名づけた Log-SS とも呼ばれる -3dB/oct の振幅特性 Log-SS 定義式の説明 振幅 パワーがの逆数に比例いわゆる /f 特性 位相 e-j a log() Jπ a= (/) log(/) =/ で位相項を π の J( 整数 ) 倍とするための定数 微分したら log()+ 群遅延が log() 特性 ( 後述 ) exp 逆 Log-SS 逆 Log-SS ( ILog-SS ) のDFT は I Log _ SS ( ) Log _ SS ( ) 逆 Log-SS 波形 ja log( ) / Log-SS TSP と違って up-log-ss の逆特性 dow-log-ss 軸を反転しても逆関数とはならない ( 振幅特性が違う ) 3 - 特性の計算 d d ( ) ( ) a log( ) d d a log J d d log( ) log( ) J dω=π(d /) log( ) log - /e J/log(/) / J +J/log(/) 4 9

20 =/ ( 上限 ) Log-SS の - 特性 - /e J/log(/) / J +J/log(/) 5 = = J/log(/) J J+(J/log(/)) J ( ) log e log( ) log( / ) J 指数関数 *J は =~/ までの * =/e 以下のは軸上で多重に折り返しされる (=64, J=3 の例 ) 5 超低周波成分の多重折り返し Frequecy Time スピーカの帯域外なので通常測定時は影響は小さい (?) 6. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 7 Log-SS に現れる非線形誤差 ( 高調波歪 ) [Hz] 6 主応答主応答 次歪 次歪 [s] * 入力信号と同じの応答 * または 基本波応答 ( 線形応答 : 不適切?) p 次歪の - 特性は 主応答と同一形状 次頁 指数関数の性質 次歪 a e 主応答 a e 指数関数を p 倍した曲線は 左に log(p)/a 平行移動した信号 e e log e a log a( ) a 左に log()/a シフト 9 主応答 p 次歪 p 高調波歪の特性 a log( / ) a pe e J e e p 主応答を e e J log(p) log(/) log( / ) J log( p) J log( / ) 左に平行移動した信号 log p a( ) a

21 高調波歪の - 特性 次歪 3 次歪 4 次歪 J log(4)/log(/) Log-SS による高調波歪の分離測定 次歪 3 次歪 4 次歪 次歪 3 次歪 4 次歪 4 J log(3)/log(/) J log()/log(/) 主応答 4 主応答 log-ss の逆特性 逆特性 J log()/log(/) J log(3)/log(/) J log(4)/log(/) 高調波歪も特定のに集中! 測定例 : 高調波歪の分離測定 高調波歪の特性測定の例 振幅 主応答 ( ) 5 x 高調波歪 次歪 次歪 時刻 [ 秒 ] Log-SS を使うと 高調波歪成分を分離できる 高調波歪成分の除去 高調波歪成分の特性計算 振幅 5 x 時刻 [ 秒 ] 測定信号長を系の応答より十分に長く取れば 各歪の間隔が空くので 各歪を個別に切り出すことができる 主応答 次歪 次歪 高調波歪の特性 次歪 主応答 主応答 次歪 3 次歪 / /3 5 5 (Hz) 切り出した各高調波歪波形を DFT することで 歪の特性が得られる ただし p 次歪の横軸 ( 軸 ) は /p に圧縮して表示する必要がある 4 次歪の 4Hz 成分は 主応答 Hz の 倍音である 3 次歪の 4Hz 成分は 主応答 8Hz の 3 倍音である 5 高調波歪の測定結果の評価 正弦波法との比較 次歪 3 次歪 黒線 : 正弦波法赤線 : Log-SS 法 おおむね一致 低域でやや差 スピーカの時変性も要考慮 黒線 : 正弦波法緑線 : Log-SS 法 切り出しの際の誤差に注意 ( 長さ 端点 ) 高調波以外の歪に注意 6

22 高調波歪の分離に必要な信号長の例 歪応答の間隔 (ms) 3 信号長 高調波次数 ms p 次歪の位置 = J log(p)/log(/) より計算 標本化 fs=48hz, 信号長, 実効長 J=/, 歪応答長が ms の場合 次の高調波歪まで分離するためには 信号長が 8 以上必要 ( 約 5.5 秒 ) 7 ( 藤本の ) 標準型 Log-SS の課題 Frequecy Time 測定対象外の成分の掃引が長い ( 特にが大きい場合 ) J は = すなわち fs/ [Hz] から fs/ [Hz] までの長さ fs= 48Hz = 6 の場合.7Hz~4Hzまでの掃引 開始 - 終了を指定した掃引全長の約 / が Hz 以下 若干の補足 ( 詳細は今回省略 ) から まで 実効長 J での掃引正弦波 LogSS ( ) exp log( ) b C a * LogSS ( ) a log *) 両端の処理が必要 LogSS() J ( ) b log( ) for C は =/ で π の整数倍とするための定数 L w 軸での設計もできる L w for / for / 9. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 3 M 系列 (MLS:Maximum legth sequece) 周期 M - の と のランダム系列 (M: 整数 ) 例 : {,,,,,,,,,,,, } M 系列信号 ( 通常 略して M 系列 と呼ぶ ) M 系列の と を に - にそれぞれ対応づけた信号 m i+m z - M 系列の作り方 M 次の M 系列 m i := M - の周期を持つ と のランダム系列 a M 生成式 m i =or i: m i+m- z - m i+ z - a M- M- m i+m = a q m i+q q= a m i+ z - a 排他的論理和 (modの和) a j =or(a =, a M =) a j :M 次の原始多項式 f ( x) M j a j x m i a = = = = j の係数 3

23 原始多項式 原始多項式は とその式でしか割り切れない多項式 3 の場合 x x x x を含む63 種類 代表例はサンプルプログラムや ネットで見てください 33 M 系列作成の具体例 4 例 ) 4 次の原始多項式 f ( x) x x a4, a3, a, a, a z - z - z - z - 発生する系列は 周期は 5 = 4-34 M 系列作成の具体例 z - z - z - z - z - z - z - z - z - z - z - z - 発生する系列は 35 M 系列信号の性質 周期化 M 系列信号 m p () の自己相関の 周期分は M ( ) m ( i) m ( i ) M p p i M ( ) -/( M -) /( M -) の直流成分を付加すれば インパルス信号 周期分をDFTすれば ( 直流を除いて ) 白色信号直流成分はほぼゼロ 36 M 系列信号を用いた測定 M 系列信号 周期物理系 m() m() ( 直線たたみ込み ) 被測定系 h() = M- h() の長さ DFT で逆フィルタを行う時には直流成分に注意 測定出力 y() 周期目 コンピュータ M 系列変換 ( 逆フィルタ ) h() y() と周期化 M 系列信号 m p () との相関関数 = m p (-) とのたたみ込み = m(-) との円状たたみ込み の高速演算 ( アダマール変換などを利用 )[3.-6] M 系列信号の特徴 DFT スペクトルが ( 直流を除き ) 白色 ハードウェア ( シフトレジスタ ) での発生が容易 *) 逆フィルタが加減算のみで行える低演算量のアルゴリズム *) がある ( アダマール変換 ) M- 点 DFT でも逆フィルタ実行可能 DFT の方が早い? 低波高率 ( クレストファクタ ) *) * コンピュータの能力が低かった時代の利点 * 現在の DA(ΣΔ 方式 ) では成立しない ( 次頁 ) m() と m(-) とは 円状たたみ込みにおいて ( 直流を除いて ) 逆関数

24 帯域制限された M 系列信号 ディジタル値では ± の M 系列信号であっても DA して ( 低域通過フィルタを通して ) アナログ信号にすると 振幅は ± を超える 低波高率信号ではない ディジタル値を小さくしておかないと DA 時にクリップ ( 後述 ) M 系列の - 特性 (Hz).5.5 x 4 M 系列 (s) - 成分の関係はランダム 全帯に多数の成分がランダムに生起 インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 4 パワー [db] 一般的な室内騒音 低周波成分が大きいため TSP や M 系列による測定では 低周波での S 比が劣化 推定結果 正解 3 [Hz] 正解の伝達関数推定した伝達関数推定値に含まれる雑音成分 雑音 低周波のパワーが大きい測定信号を使えば良い 4 Log -SS 信号 適応形スペクトルを持つ測定信号 相対振幅 低周波のパワーが大きい 低周波の S 比を改善 測定環境に存在する雑音のスペクトルを事前測定し それに適応したスペクトルを持つ測定信号の利用 [Hz] [ 秒 ] x [ 秒 ] 高周波のパワーが小さく 高周波成分の S 比が低下 低周波以外にも大きな雑音成分を持つ雑音には不適 いろいろな種類の雑音に対して理論的な裏付けのある測定信号が望ましい 43 低域の強い雑音 高域の強い雑音 など 雑音のスペクトルに応じた 適切な雑音低減効果 44 4

25 雑音白色化 W: oise Whiteig 雑音最小化 M: Miimum oise S 比一定 CS: Costat S 適応形スペクトルの例 測定信号のパワースペクトル S() C 3 P () C 4 P () C 5 H() ^ /P () 測定信号の例 M-SS M-P CS-SS など 雑音は定常雑音を仮定 C,C, : 定数 P () は雑音のスペクトル ( 数秒程度のデータを事前測定 ) H() ^ は系の振幅応答の推定値 M と CS は筆者らの提案 ( 宣伝活動になる?) 雑音白色化信号 (W: oise Whiteig )[3.9] 雑音の大きな帯域は 測定信号のパワーを大きくして雑音成分を低減 雑音のパワースペクトル P () に比例したパワースペクトルを持つ測定信号 S() = 測定信号のパワースペクトル C P () 雑音のパワースペクトル C : 定数 46 測定信号 s() S() 雑音性誤差のパワースペクトル 被測定系 H() 雑音 () + + H() S() E = 観測信号 H() S() +() () S() h() 逆フィルタ /S() 雑音性誤差のパワースペクトル P () P () = E () S() = P () S() H() + () S() 雑音性誤差 雑音白色化信号の効果 雑音性誤差のパワースペクトル P () P ()= S() = P () S() C 3 P () P = () C3 P () = C 3 誤差のスペクトルは によらない 白色化 E : 期待値 P () : 観測時の雑音のパワースペクトル シミュレーションの例 3.6. 雑音最小化信号 (M: Miimum oise)[3.] 騒音環境での特性測定 TSP( 白色 ) Power (db) 正解 測定結果 (Hz) 雑音 雑音白色化信号 雑音が低下 雑音 雑音が増加 実は 雑音の合計は減っていない - Σ = P () 49 < 拘束条件 > 直感ではなく定量的最適化信号エネルギー ( 各成分のパワーの総和 ) E S - E S() S = Σ = 一定波形の実効値と = 継続が一定 < 評価量 > 雑音性誤差のエネルギー E ( 各のパワーの総和 ) - - P () E = Σ P () = Σ = = S() を最小化する測定信号のパワー S() を求める < 最小化信号 > S() = C 4 P () C 4 : 定数 ( 証明は文献 [3.]) 5 5

26 インゲ雑音最小化信号の - 特性の例 雑音最小化信号の効果 パワー [db] 雑音スペクトルの推定結果 雑音スペクトル パワ - TSP( 白色 ) 測定結果 雑音最小化信号 [Hz] 5 線形軸周 正解 雑音 雑音が低下 8 雑音 (Hz) Hz 付近の掃引が長い (s) 雑音抑圧量の計算例 [4.] Hoth 騒音 A 騒音 B 騒音 C 白色の結果を基準 (db) 白色 (TSP) [db] 雑音白色化 (W) は 雑音白色化 白色 (TSP) と同じ /f (log-ss) log-ssは 雑音最小 雑音最小化 化に近い場合もある ( 理由 ) 騒音スペクトルが P () =/ の時 雑音最小化信号のパワースペクトルは / S() = 4 P () =C 4 / 振幅スペクトルは 室内騒音 S() = C 4 / には / と log-ss と一致する特性の騒音も多い Log-SS はパワーが / 特性の雑音を最小化 53 H 雑音最小化の効果と課題 TSP 信号 雑音最小化信号 S() = C S() =C 4 P () 系の 低 S S 改善 特性 雑音性誤差 S インゲ雑音性誤差 低 S 雑音が大きい部分は低減されるが 系の応答が小さい部分の低 S 比は改善されない 54 S 改善 ゲイン S 比を一定とした測定 S 改善 雑音性誤差 S 改善 雑音最小化信号 S() =C 4 P () 雑音性誤差 低 S S 改善 S 比を一定とすれば 広い帯域で一定品質の測定結果 過剰な高 S 比を避けることで測定を短縮 ゲイン 55 測定結果 S 比 = S 比を一定とする測定信号 (CS: Costat S) [3.] H() + () S() H() E () / S() = H() S() P () これより P () S() =C 4 H() とすれば S 比 = C 4 によらない一定値ただし H() は未知なので 繰り返し測定による推定値を利用 56 6

27 S 比を一定とするための測定手順 スピーカ + 室内応答の測定例 未知系の特性推定値 H() ^ は 測定値をフィードバック 初期値 ˆ H 雑音推定 P () 雑音 TSP Power (db) 雑音白色化 3 Power (db) - - 信号合成 P () C4 H() ^ 最終測定結果 不良 良 測定 未知系 H S 比の一定性評価 逆フィルタ Ĥ Frequecy (Hz) CS S 比一定 (db) による結果 Power (db) Frequecy (Hz) Frequecy (Hz) 58 瞬時パワー 残響測定に対する CS 信号のメリット [3.4] に基づく残響測定 の帯域別瞬時パワー 45dB 以上 最大値 雑音レベル 各帯域において雑音レベルがの最大値に対して -45dB 以上小さくなくてはならない ( 測定時,ISO338) 59 相対パワー (db) 相対パワー (db) 測定信号とオクターブバンド雑音レベル (s) TSP CS-SS 5Hz 5Hz Hz.5.5 (s) 相対パワー (db) Log-SS.5.5 (s) TSPやLog-SSでは 帯域ごとに雑音レベルが大きく異なる従って 全帯域で雑音レベルを -45dB 以下にするために さらに信号長を増大する必要がある 6 CS 信号による測定信号の短縮 所望雑音レベル TSP Log-SS -75 CS-SS (Hz) 4 対象とする帯域で所望雑音レベル以下としたときの帯域別雑音レベル 雑音レベル (d B ) CS では帯域によらず雑音レベルが一定 CS 以外で -45dB 以下を確保しようとすると 不必要な雑音レベルの低下 = 信号長の増大 所望雑音レベルを満足する必要信号長 測定信号必要信号長信号長比 CS-SS.7s ( 基準 ) TSP 6s Log-SS.6s 4. CS-SS 信号は従来信号に比べて短での測定が可能 6. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 6 7

28 所望のパワースペクトルを持った信号の合成方法 雑音白色化 W: oise Whiteig 雑音最小化 M: Miimum oise S 比一定 CS: Costat S 測定信号のパワースペクトル S() C 3 P () C 4 P () C 5 H() /P () これらのパワースペクトルを持つ SS 信号 P 信号の合成方法 63 一定振幅 SS 信号のエネルギー分布 f up-tsp どのも一定出力される どのもエネルギー均一 f Log-SS 低いが長出力される 低成分のエネルギーが大きい 各の持つエネルギーは各の出力持続に比例, f は連続量で表示 64 Δτ パワースペクトルと群遅延 Δf 群遅延 τ(f) f 単位あたりの出力持続 Δτ/Δf は群遅延特性 τ(f) の傾き 各あたりのエネルギー (= パワースペクトル P(f) ) は 傾きを表す 微分に比例 (= ー特性の逆転表示 ) d P( f ) ( f ) d f 一定振幅掃引正弦波の場合 65 一定振幅掃引正弦波におけるパワースペクトル 群遅延 位相特性の関係 パワースペクトル 積分 P f 群遅延 ( f ) 積分 位相特性 ( f ) 微分 ( に比例 ) 微分 (ω で ) A 振幅特性 f P( f ) パワースペクトル P() を持った掃引正弦波 SS() の特性は SS()= P() e jφ() 振幅特性 位相特性 66 DFT における合成 [3.] 所望のパワースペクトルを持った P 信号 群遅延 τ はパワースペクトル P の積分に比例するので ( 積分は離散量としてはΣに対応 ) ( ) C P( i) C i ただし C は比例定数 C は積分定数である τ()= の条件より C =-P() / τ(/)=j ( 実効長 ) の条件より C J P( i) P() i 位相特性 φ は群遅延 τの Ω(=π/) に関する積分なので / / ( ) C3 ( i) C roud ( i) ( i i i i 3 ) ただし C 3 は φ(/) を π の整数倍とするための に近い数 67 P()= P() e jφ() 振幅特性 位相特性 P 信号 ( 疑似雑音 ) は φ() を [-π, π] の一様乱数で与えれば良い P 信号の問題点波高率 (Crest Factor) が大きい 68 8

29 波高率 (Crest Factor) 振幅最大値波高率 = 実効値 (= パワー) 代表的な波高率 正弦波 :.4 M 系列 : 約.5.5 機器やDA 変換器の入出力の許容レベルにより 最大値が制限される場合がある 許容最大値実効値実効値 実効値 波高率小 実効値が大きい 波高率大 実効値が小さい 振幅最大値が制限される場合 波高率が小さいほうが パワーが大きい より高い S 比の測定ができる 69 注 :M 系列の波高率は と記された文献もあるが DA 出力された M 系列の波高率は約.5 波高率はディジタル値ではなく アナログで評価すべき 7 波高率の低減処理 [3.] 波高率低減処理の例 疑似雑音の波高率は高い (3 とか 4 とか ) 場合が多いが これを低減することができる 波高率 Hoth (.3) 雑音 A (.7) 雑音 B (.9) 雑音 C (.6) 3 繰り返し回数 振幅 振幅 波高率 = (s) 波高率 = (s) 回程度の繰り返し演算で 正弦波よりも小さい波高率を実現できる 7 7. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 73 ( もう一つの雑音低減方法 ) 複数回の測定結果を 同期して平均 同期 h() + () h() + () h() + () 雑音成分が毎回無相関なら 雑音パワーは / になる Σ h() +Σ i () i= = h() + Σ i () i= 雑音成分 74 9

30 証明 雑音成分は毎回無相関各回の雑音パワーは同じ値 P ただし E[ ] は期待値と仮定すると 雑音成分のパワー P は P E E i i i ( ) E i i i ( ) E i ( ) j ( ) P P i j E E i ( ) j( ) i j ( ) P for all i i ( ) i j i i ( ) j ( ) 同期加算の S 比改善効果 回の平均で S 比を log () [db] 改善 例 ) = log ()= db 改善 = log ()= db 改善 = log ()= 3 db 改善 回測定の雑音パワー P の / に減少 同期加算の注意事項 時変性のある系に対して 多数回 ( 長 ) の平均は誤差要因となる ( 雑音低減効果とのトレードオフ ) スピーカはウォームアップをしたほうがベター ( 時変性回避 ) 短い測定信号を使って多数回の同期加算することと 長い測定信号で 回測定することとの 是非 (?) 時不変な非線形誤差の低減には効果がない (P 信号で位相を変化させて行う場合を除く ) AD と DA の同期が確保されない場合は 回の測定を 回のデータで行うことが必要 ( 下図 ) ではなく 測定結果を分割して同期加算 77 3 章代表的測定信号 のまとめ 主な測定誤差として非線形誤差と雑音性誤差 測定信号は 位相特性で 掃引正弦波 (SS) と疑似雑音 (P) に分類でき 信号のパワースペクトルで 白色 /f 適応形などに分類できる 信号の位相特性は 非線形誤差の現れ方に パワースペクトルは雑音抑圧量に影響する 主な信号として TSP Log-SS( ピンクTSP) M 系列雑音白色化 雑音最小化 S 比を一定とする信号 スペクトル固定形ではLog-SSが 適応形では雑音最小化やS 比一定信号が望ましく思える 後 者は 整備中である 78. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 79 定常雑音暗騒音 電気的雑音 など 非定常雑音ドアの開閉音 音声 など 3 非線形性 ( 時不変 ) スピーカや音響機器への過大入力による非線形歪 4 時変性室温の変化 風の影響 機器の温度特性など 8 3

31 . インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 8 4. 定常雑音 一般的に 定常雑音は定常誤差となる 誤差レベル 誤差スペクトルは 測定信号の振幅スペクトル S() に依存する定量的検討は 5 章 () 円状たたみ込みのための切り出しへの影響 () 直線たたみ込みによる雑音性誤差の非定常化 8 () 円状たたみ込みのための切り出しへの影響 雑音の影響による切り出し部の誤差 系の応答 雑音 雑音の加わった系の応答 周期目 周期目 雑音が無ければ 周期目の最初と最後は連続 周期目の最初と最後の部分 雑音は不連続 雑音が加わった応答 周期目の最初と最後は不連続 83 不連続誤差 up-tsp 応答 周期目の切り出しの両端が不連続な場合 - 特性上にパルス性の誤差が発生 逆特性 不連続誤差 逆特性をかけることで 斜めの - 特性の誤差が発生 84 周期目雑音の加わった系の応答 単純な窓かけでは不十分 周期目 雑音 巡回的クロスフェード接続 [4.3] 切り出しの両端を窓かけ 切り出し部分が消去 TSP 応答 逆特性 ゼロとなる部分 85 a に含まれる信号成分と b に含まれる信号成分は同一 b+a a+b で信号は一定値になる 雑音はクロスフェードで連続的に接続される 86 3

32 x x x 4 x 4 Frequecy (Hz) Frequecy (Hz) Time (s) 両端窓かけ x 不連続誤差 x Time (s) シミュレーション例 Frequecy (Hz).5.5 クロスフェード x Time (s) 補足 : 主応答が周期の境にかからなければには影響しないが 雑音性誤差に非定常成分が含まれる 87 Frequecy () 直線たたみ込みによる雑音性誤差の非定常化 録音された TSP 応答 逆特性を 直線たた み込み Time x 4 データのない部分 非定常な雑音 振幅 成分 Frequecy Time x 4 帯域ごとに雑音の長さも異なる Frequecy 円状たたみ込みとの違い Time x ( 参考 ) 円状たたみ込みの場合は はみ出た部分は回り込むので 雑音性誤差の定常性が確保される 〇直線たたみ込みを利用する場合の対策 : 測定信号を長めに設定し この部分を切り出して使用する 89. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 9 非定常 ( 突発性 ) 雑音の影響 () 非定常 ( 突発性 ) 雑音の影響 () x 4 SS 信号による測定 3 - P( 疑似雑音 ) による測定 x Frequecy 逆特性 -4 Frequecy Frequecy 逆特性 -4 Frequecy Time Time x Time Time x 4 - 測定中に突発音 その他 ドアの開閉音や衝撃音 突発性雑音は 測定結果に致命傷 9 測定中に突発音 その他 ドアの開閉音や衝撃音 Pの逆特性は位相をランダム化するので集中した雑音は全区間に分散される 9 3

33 Time SS Frequecy Frequecy 非定常 ( 突発性 ) 雑音の影響 ( まとめ ) x Time x 4 P( 疑似雑音 ) x Frequecy Frequecy 突発性雑音に対し Time Time ては x Pが有利 (?) インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 94 Log-SS による高調波歪の分離除去 振幅 5 x -3 4 非線形誤差 3 ( 高調波歪 ) 時刻 [ 秒 ] この線から左を切り捨てることで 高調波歪の成分を 除去できる しかし 非線形特性の影響による誤差は 主応答にも含まれる 注 : 高調波歪を分離できる信号は Log-TSP 以外にも合成可 [4.9] - 上で 高調波歪が方向に離れるように設計 95 x (t) 振幅 非線形特性の影響 t 非線形系 y (t) 基本波応答振 次歪幅 3 次歪 f f f 3f t 高調波歪 高調波が発生するだけでなく 基本波応答の大きさ ( や位相 ) も変化する 非線形の影響は高調波歪だけではない! 96 測定例 [4.8] - -5 基本波応答の誤差主応答誤差第 次高調波歪 - 第 3 次高調波歪 次歪 次歪 音圧レベル (db) 基本波応答誤差と高調波歪 (db) 主応答の誤差 ( 変化 ) は 高調波歪のような違和感はない しかし 波形利用の場合には考慮が必要 定格入力 45W [db] 正解 誤推定 [Hz] 3 定格入力では 主応答誤差が -3dB 振幅特性に最大 db 程度の誤差があった 97 [Hz] 次歪 次歪 [s] 線形応答 という呼び名 主応答 振幅 基本波応答 ( 線形応答 ) とも呼ばれる 主応答にも 非線形誤差 ( 成分 ) が含まれる 線形応答と呼びたくない理由 5 x 時刻 [ 秒 ] 98 33

34 振幅 f f x (t) 混変調歪 非線形系 混変調歪 複数の成分 (f,f ) を持つ信号を非線形系に入力すると 高調波 ( 倍周波 ) 成分以外に 和と差の成分 f ±m f (, m: 整数 ) が発生 振幅 y (t) f f f f f -f f +f の右側にも発生するので Log-SS でも除去できない SS 信号が複数となる場合の例 DA 変換器の非線形 (6 章 ) 電源雑音の付加 99 相対振幅 相対振幅 例 : 電源雑音 [4.] 低レベルの電源雑音でも歪が大きいと混変調を発生.4 3 次歪 次歪. (a) 入力 4W 主応答 (s) (b) 入力 43W (s) 図 (b) のスぺクトログラム (s) (Hz) 混変調歪は分離困難 対策 : 原因雑音の除去 5 誤差誤差 (db) P 信号に対する非線形誤差の例 (M 系列 ) 雑音性の誤差成分が発生 同じ長さの異なった P 信号を用いた測定結果を 同期加算することで低減できる. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 測定信号 s() S() 雑音性誤差と非線形誤差 被測定系 H() 非線形 D() 雑音 () + + H() S() +D() 観測信号 H() S() +D() +() 雑音性誤差は S() が大きいほど小さい h() 逆フィルタ /S() H() + + D() S() 非線形誤差 非線形誤差は S() が大きいと大きくなる ( 一般的に ) ( S() の増加より D() の増加が大きい ) () S() 雑音性誤差 測定誤差のトレードオフ関係 同一の測定信号で 信号レベルを変化させた場合 大 測定誤差 小 雑音性誤差 非線形誤差 小測定信号レベル (db) 大

35 大 測定誤測定信号差スペクトルの最適化小 各雑音の低減方法 雑音性誤差 非線形誤差 同期加算小測定信号レベル (db) 大 SS 高調波歪除去 P 同期加算 5 測定信号の大きさと測定誤差 大測定誤差小 雑音による誤差 小測定信号レベル [db] 大 非線形による誤差 誤差を低減したのち 目的に応じた適切な信号レベルに設定 6. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 7 短時変性 ( 風 ) の影響 SS 信号 up-tsp 応答 逆特性風の影響 ( 測定例 [4.3]) 遅れは平均.3μs 標準偏差.7μs 誤差は5Hz 以上で -3~-dB 程度 8 風による誤差 ( 実測例 ) [4.3] スピーカの特性変化 ( 時変系 ) (Hz) SS.5.5 x 4 誤差成分の - 特性.5..5 (s) (Hz) P.5.5 x (s) SS の場合 自体に誤差が集中 ( 波形誤差か 特性の方向の微小なずれ ) 疑似雑音では 誤差は全区間に分散 どちらが良いかは用途による 振幅 [db] 分間隔 初回最終回 定格入力 [Hz] 振幅 [db] db -87 振幅平均値の変化 測定回数 [ 回 ] 5 ( 分 ) 時変特性は スピーカの機種や再生音圧にもよるが ある程度のウォーミングアップはしたほうが良い 例えば -3 分理想は 一度 特性測定 35

36 4 章測定の誤差要因 のまとめ 定常雑音定常な測定誤差測定信号の周期切り出し端点の不連続対策直線たたみ込みによる非定常化 非定常 ( 突発性 ) 雑音 SS 信号は苦手 P が better? 非線形性高調波歪はLog-SSなどで除去可 Pでは異信号同期加算で低減化高調波歪以外にも 主応答の歪なども存在 雑音性誤差と非線形誤差の間のトレードオフ関係 時変性誤差スピーカなどのウォーミングアップ. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 p S 波形における雑音抑圧効果 インパルス信号 δ() 測定信号 s() J 系 系 定常雑音 () + 定常雑音 () + 逆フィルタ p S : 測定信号 s() のパワー ( 実効値の 乗 ) ( 測定結果 ) 雑音抑圧効果 RP (oise Reductio Performace): インパルス入力時と 測定信号 s() を用いた場合の雑音性誤差のパワー比 p /p パワー p 雑音性誤差 p p,p は雑音性誤差のパワー 3 雑音抑圧効果の定式化 ただし P^ () S^() は P () および S() を それぞれの平均値 ( 平均的大きさ ) で正規化したものである P () および S() の ( 大きさを除いた ) 形状を反映 Pˆ ( ) p RP p P P ( ) P ( ) Sˆ( ) J p ( ) E : 期待値 ( ) E S Pˆ ( ) Sˆ( ) S( ) S( ) 証明は付録 p S s() J 雑音抑圧効果の説明 RP J p 実効長に比例 信号エネルギーを表す項 振幅 に比例 S Pˆ ( ) Sˆ( ) 大きさで正規化されており信号と雑音のパワースペクトル形状に依存する項 振幅と実効長の雑音抑圧効果の例 ( 測定信号 ) ( 測定結果 ) J 雑音性誤差 s() A 振幅 倍 A 実効長 倍 A J J 誤差パワーは /4 誤差振幅は / 誤差パワーは / 誤差振幅は / 5 雑音抑圧効果は測定信号のエネルギーに比例 注 ) には依存しない 6 36

37 振幅と実効長の雑音抑圧効果の例 ( つづき ) ( 測定信号 ) ( 測定結果 ) J 雑音性誤差 s() A 実効長 倍 A J 実効長と信号長 倍 J A 誤差パワーは / A と J が同じ (= 測定信号エネルギーが同じ ) なら誤差パワーは同じ ( 雑音抑圧効果は同じ ) 誤差パワーは / 7 測定信号のスペクトルによる雑音抑圧効果 () 白色信号 (TSP M 系列など ) S( ) C S ˆ( ) RP J 雑音白色化信号 p S 雑音の種類によらず雑音抑圧効果は一定 J p S S ) C P ( ) Sˆ( ) Pˆ ( ) ( RP J p S 雑音白色化信号の雑音抑圧効果は白色信号の雑音抑圧効果に等しい RP J p Sˆ( ) 注 : S Pˆ Pˆ ( ) Sˆ( ) S( ) S( ) ( ) 8 測定信号のスペクトルによる雑音抑圧効果 () 3 雑音最小化信号 M S( ) C3 P ( ) RP J ps P P ( ) P ( ) 証明は付録 5.- エネルギの偏り P ( ) の 乗平均平均の 乗 + 分散 = ( ) の平均の 乗平均の 乗 雑音スペクトルの分散が大きいほど雑音抑圧効果は大きい 9 ( 再 ) 雑音抑圧量の計算例 / Hoth 白色 (TSP) [db] 雑音白色化 /f (log-ss) 雑音最小化 白色の結果を基準 (db) 騒音 A 騒音 B 騒音 C 雑音白色化 (W) は白色 (TSP) と同じ log-ss は 雑音最小化に近い場合もある ( 理由 ) 騒音スペクトルが P () =/ の時 雑音最小化信号のパワースペクトルは S() = 4 P () =C 4 / 振幅スペクトルは 室内騒音 S() = C 4 / には / と log-ss と一致する特性の騒音も多い Log-SS はパワーが / 特性の雑音を最小化 不適切な測定信号 測定信号のスペクトルと雑音抑圧効果 ( まとめ ) RP p p J p S Pˆ ( ) Sˆ( ) S( ) S( ) exp( j( )) 測定信号の スペクトル 振幅スペクトル 位相スペクトル 不適切な信号スペクトル S^() は RPを減少させるある帯域の S^() が小 P^ () / S^() 大 RP < J p S (= 白色のRP) 例えば Log-SS で S^() の小さい高域で 雑音成分 P^ () が大きい場合に発生 RPが雑音に依存しない TSP は 大きな誤り がない 適応形測定信号は 常に最適 ( 少し手間がかかるが ) 雑音性誤差に関与非線形誤差に関与 エネルギー J ps S( ) / 雑音抑圧効果 ( 誤差パワーの低減量 ) に比例 スペクトル形状 誤差パワーを増減 P () が最適 S( ), S(), S(), 37

38 . インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 3 測定信号 s() A 信号長 (J と ) 倍 雑音 A 雑音 全長における S 比 J J 信号長を 倍にして 信号のエネルギーを 倍にしても 録音される雑音のエネルギーも 倍になるので S 比は不変 ( 測定結果 ) 雑音性誤差 誤差パワー大 全区間での S 比は同じ 誤差パワー小 雑音誤差パワーが/になっても 区間が 倍なので 誤差エネルギーは不変 S 比不変 4 測定信号 s() A 信号長 (J と ) 倍 雑音 A 注意事項 : 誤差パワーと S 比 J J ( 測定結果 ) 雑音性誤差 全区間での S 比は同じ誤差パワー小 雑音 誤差パワー の大小と 測定結果全区間の S 比 の大小は 異なるので注意! を DFT して算出する特性の S 比は DFT 区間での S 比に依存! 誤差パワー大 5 の S 比の改善 の軸上での切り出し L h p p の切り出しを行うことで S 比が改善される 切り出し区間 Lh 内では 誤差パワー p が小さいほど S 比が大きくなる ( 再 ) 切り出しを行わない状態だと S 比は改善していない! 応答計算前に切り出すことを忘れない! 6 特性 H() の測定 ( 重要 ) の切り出し 測定信号 s() S() s() 被測定系 h() H() 測定出力切り出しによるS 比改善 y() h() h~() 周期目逆フィルタ逆 DFT 点 DFT /S() Y() /S() =H() S() H() H~() 切り出し時刻 ( と雑音のパワーレベルが等しくなる付近 ) 振幅 雑音 通常 は十分な長さをとって測定 IR の後半部分はほぼ雑音区間 特性としてこれを使ってはいけない S 比が改善されていない S 比を改善した特性

39 波形切り出しの問題点 検討中の手法 ( 帯域別切り出し )[5.][5.]. 切り出し時刻 Frequecy x 4 切り捨てられる IRの部分 Time 通常 雑音のパワー = 信号のパワーとなる時刻で切り出す 低周波成分の大きな室内騒音下では 切り出し時刻が 低周波騒音の大きさで決まってしまい S 比の高い高成分が切り捨てられる 9 振幅 (ms) IR S T F T (OK?) STFT: 短フーリエ変換 IR IR IR 振幅 IR (ms) 切り出し 切り出し 切り出し 切り出し 逆 S T F T IR 3 (Hz) 帯域別 ( サブバンド ) 切り出しの効果 5 5 通常の波形切り出し (ms) 5 5 帯域別切り出し (ms) (db) ( 参考 ) 古典的な SS による特性測定との比較 アナログ特性測定 f f 掃引正弦波応答 トラッキングフィルタ 測定 切り出し ( 全帯域一定 ) 逆特性 波形切り出しで切り捨てられていた部分が 帯域別切り出し法では保存されている *) 測定信号長 を決める際も - 特性で帯域ごとにの長さを見て決める 3 f から f の成分がこのに出力されるその大きさを f の振幅特性とする 掃引速度によらず 正確に振幅 位相特性が得られる点は 本質的な相違点であるが 切り出しがトラッキングフィルタに対応 3 5 章測定信号による雑音抑圧効果 のまとめ 測定信号と雑音抑圧効果を表す式 白色信号 (TSP M 系列 ) 雑音白色化信号の雑音抑圧効果は 信号エネルギーに比例 付加雑音のスペクトルの偏りが大きいほど 雑音最小化信号の効果は大きい (~db) 測定結果 ( 波形 ) のS 比は 波形切り出しを行うことで 改善する 特性を求めるときは 必ず切り出しを行う 波形切り出しを軸上で行う場合は 高 S 比の帯域成分の切り捨てに注意 - 特性でチェック 帯域別切り出しが有効 33. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 34 39

40 6. 録音時の雑音 騒音アナログディジタル音 A/D マイクロホンコンピュータ音 D/A スピーカ 35 気をつけたほうがよい雑音と注意 聞こえない雑音 低周波騒音 電気的雑音 ( ハムなど ) 混変調歪の要因にも 固体伝播音 ( 機材の振動など ) 突発性雑音 ( 瞬間的な音 ガタッ カチッ ) 背景雑音を録音しておくこと ( 再生音の最初または最後に数秒の無音再生を行い その時に背景騒音を録音する ) 参考 : 実験時の写真を撮っておく ( 機器配置 ボリュームなど ) 36. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 AD DA などの注意点 ( PC サウンドデバイス OS ドライバ などのソフト ハードウェア環境に依存するので 共通するものではありませんが ) 6.. PC の設定 6.. AD と DA のクリッピング 6..3 AD と DA の折り返し現象 6..4 AD と DA の直流除去 HPF 6..5 AD と DA の同期 サンプリング PC の設定 PC: 常駐ソフトはできるだけ外す ( ウィルス対策ソフトなど ) できれば計測ソフトの優先度をあげる AIF ドライバ : Widows XP のドライバは勧められない (AD DA の同期性に問題 ) ASIO は良 (MATLAB pa_wavplayrecord) AD データ損失特に 多チャンネル 長録音時 ( 検出プログラムの利用 ) 不案内なので 調査ください例えば 文献 [.] AD と DA のクリッピング 大きな非線形誤差要因 AD 入力オーバーによるクリッピング 必ずしも最大値 (± ±^5) ではないことがある マイクアンプでのクリッピング WiXP ドライバ [6.5] 波形表示 - 表示によるチェック DA 出力時のクリッピング ΣΔ 方式 DA の場合 次頁 クリッピングクリッピングレベル t 4 4

41 DA で発生するクリッピング () DA で発生するクリッピング () 合成した測定信号 s() なるべく大きな振幅 = 量子化誤差 DA 電気雑音の影響小 s() の最大値を ディジタル最大値 ( ± or ± 5 ) (DA できる最大値 ) に正規化 DA 出力 この正規化は クリッピングが発生する可能性あり 4 4 クリッピングの原因 防止方法 旧来型の DA ± の M 系列信号 最大値.5 補間 最近のオーバサンプリング型の DA 補間 ±.4 の M 系列信号 補間後の最大値がディジタル最大値を越えないように正規化すればよい 特に P 信号で注意 43 詳細は [6.3] 44 i out 6..3 AD と DA の折り返し現象 LPF HPF LPF HPF AIF AD DA 録音 再生 PC 標本化定理 ( サンプリング定理 ) アナログ信号を標本化してディジタル化するとき 信号の帯域幅 ( ~ fmax ) 標本化 fs fmax < fs/ LPF: 折り返し歪防止 HPF: 直流成分カット この条件を満たせば 原信号を再現できる

42 ゲイン ゲイン 標本化定理が満たされないと 折り返し歪み ( エリアシング ) が発生 パワーパワー 標本化定理が満たされない例 折り返し歪み ( エリアシング ) が発生 パワー例 : fs=48hz パワー 信号のパワースペクトル f fs f fs fs 以上のが含まれると ~ fs の区間に折り返される 不自然な雑音になる 47 信号のパワースペクトル 4 34 f 4 34Hz のアナログ正弦波を AD すると ディジタル信号としては 4Hz の正弦波と一致する f 48 入力 ゲイン 折り返し防止フィルタ 折り返し防止 ( 低域通過 ) フィルタ fs/ A/D A/D 変換器の前に (fs/) 以上の成分を除去する 折り返し防止フィルタ を設置 49 折り返し歪防止用 LPF の設計方針 従来の方針通過遷移帯域帯域 fs/ 遮断帯域 f fs/ 以上を遮断帯域 折り返しは発生しない fs/ 付近は特性低下 ゲイン最近の AIF の方針 通過帯域 折り返し歪 fs/ 遷移帯域 遮断帯域 f fs/ 以下を通過帯域 fs/ まで特性は平坦 折り返しが発生 5 オーディオインタフェースの AD 付属の折り返し防止フィルタ特性の測定例 [6.] 通過域平坦特性を狙うため fs/ でも減衰が小さく fs/ の % 程度で 折り返しが発生 従来の方針通過遷移帯域帯域 折り返しを許容する理由 遮断通過帯域帯域折り返し歪 f fs/ fs/ どちらも 上限 % くらいは使えないのは同じ 聴覚上は 4KHz 付近の折り返し歪は影響しないゲイン最近の AIF の方針 遷移帯域 遮断帯域 f [fs/] 5 しかし 計測上は 無い と 汚れた では大きな違い 5 4

43 Log-SS fs/ AD の折り返しによる誤差 次歪 3 次歪 次歪 3 次歪高調波歪の折り返し AD 変換器による高調波歪の折り返しの例 3 次歪 次歪 6 主応答主応答 5 高調波歪は fs/ 以上の成分を持つので 折り返し歪が発生 主応答 逆特性 高調波間のすきまが埋まって切り出しが難しくなる の先頭があいまいになる [Hz] [s] オーディオインタフェースの DA 付属のローパスフィルタ特性の測定例 [fs/] UA-EX の DA 系のLPFの振幅特性 AD のフィルタと同様に 通過域平坦特性を狙うため fs/ でも減衰が小さく fs/ の % 程度で 逆折り返し ( fs/ 以上の成分 ) が発生 55 ディジタル正弦波 DA の逆折り返し 例 ) fs = 48Hz fs/ =4Hz 3Hz の正弦波を PC から出力 離散信号のスペクトル 周期スペクトル fs AIF (DA+LPF) f AIF 出力は 3Hz の正弦波 + 5Hz の正弦波 3 5 [fs/] db -db 56 fs/ f 逆折り返しの影響の例 [4.] fs/ 以上の成分が発生 up-tsp t fs/ f 混変調歪 ( 差の ) が発生 up-tsp t 雑音の平坦性に影響 57 AIF フィルタの影響回避策 必須ではありませんが 折り返しの影響が無視できない場合は DA の逆折り返し対策自作の逆折り返し防止フィルタを測定信号に適用 ( 例えば fs/ の9% をカットオフ % までを遷移域とするLPF) ディジタルフィルタとするか 信号の設計段階で 振幅成分を減衰させておく AD の折り返し対策別途 上記仕様のアナログLPFを ADの前段に設置関連 測定信号の一周期目立ち上がりと最後部に傾斜窓をかけて急激な変化を回避 録音信号に低周波騒音が強い場合は低域除去フィルタ (HPF) の利用が有効 58 43

44 6..4 AD と DA の直流除去 HPF HPF 応答特性 [6.] AIF 長継続する応答 i out LPF HPF LPF HPF AD DA PC LPF: 折り返し歪防止 HPF: 直流成分カット 信号波形の立ち上がりが不連続だと しばらく影響 立ち上がりをゆるやかにする意味 59 6 波形の立ち上がり等に影響 6..5 DA と AD の同期性.6 Respose DA: インパルス信号 立ち上がりのレベルが変動 一周期目を使いたくない理由 Time [s] 方形波が変形 6 AD: 同期遅れ進み DA と AD の同期がとれていない 進みに見える 遅れに見える さらに 測定回ごとに軸が不一致だと同期加算ができない 6 DA と AD の同期性が無いと 同期加算 応答の絶対が得られない 安定した群遅延 PC の状態や DA AD データ数によって遅れは異なることがある 入力 (DA) AD の遅れは問題となる DA-AD を直結して パルス音を発生させて遅延 ( 進み ) を測定 把握する ( 見本プログラム : DA_AD_syc_.m) 同期加算は 回分の測定を単一データで行う 63 系の応答 (AD) AD の開始が遅れた場合 この部分を失う 3 周期出力して 周期目を取り出す 左図で失われた部分も回復される AD の遅延がほぼ一定の場合は DA データの先頭にゼロを付加して調整する事も可能 64 44

45 台の PC で測定する場合 サンプリングの違いの影響 i 録音 out 再生 AD DA 録音用 PC 再生用 PC 未検討 SSの場合の例? up-tsp 応答 fs/ 逆特性 再生場所と録音場所が離れている場合 PC の DA と PC の AD との同期問題に加えてサンプリングが微妙に違う場合がある P の場合の例雑音の増加? サンプリングの違いへの対策 未検討 ズレの計測と補正? 正弦波 + うなり正弦波 + 位相特性正弦波 + 測定 補正はリサンプル? 67. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 68 測定直後に 測定したの質の評価 ( 良 不良のチェック ) を行うと良い SS の場合 系の応答 ( 観測信号 ) と - 特性の表示が有効 高調波歪 非定常雑音 などの不良現象が検出できる Frequecy Time スピーカにもよるが 意外と低い再生レベルで非線形が発生 低レベルの高調波はあまり気にしなくても良いかも 69 測定結果の評価 波形の観察 聴覚的に気にならない低周波雑音が大きく含まれている場合 ( - 特性では見づらい ) は 録音後にフィルタで低域カットするのが良い P 信号は 非線形誤差と雑音性誤差の区別がしづらい M 系列信号などでは 非線形が発生したら後半にパルス状の雑音 7 45

46 その他の評価方法 3 異なる測定信号での測定結果との比較 SS は次数を変え P は位相を変える つの測定結果の差が誤差成分 4 測定したを測定信号とたたみ込んで観測信号と比較 ( 波形精度が必要な場合 ) 測定信号 s() 細かい評価は目的に依存 被測定系 H() たたみ込み h() 観測信号 + - h() 逆フィルタ /S() 誤差 7 6 章測定時の注意点 のまとめ 聞こえない雑音に注意 AD のクリッピング DA のクリッピングに注意 DA は P 信号の場合 AD の折り返し歪 DA の逆折り返し歪に注意 特に ΣΔ 型の AD/DA では ほぼ発生するので 自分の測定の目的に影響が小さいことを確認 対策は 折り返し防止 LPF を自分で用意 DA と AD の同期性の不良も誤差の原因となる特に AD の遅れ サンプリングの不一致 測定結果の品質をチェックして 評価しておく SS の場合 周 - 波数表示 ( スペクトログラム ) 7. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 73 測定用入力信号 測定信号が利用できない場合 被測定系 PC 出力信号 測定用入力信号を利用できる場合 SS P 入力信号出力信号被測定系 PC 測定用入力信号を利用できない場合 最小二乗法 適応フィルタ クロススペクトル 74 入力信号 x() 最小二乗法 被測定系 g() FIR フィルタ h() 出力信号 y() + - 誤差 e() 入力信号 x() と出力 y() は観測できる この時 誤差 e() の二乗和を最小にするような FIR フィルタを求める FIR フィルタの係数が 被測定系の g() の近似値となる 75 行列算法 ( たたみ込み行列 X) 信号 [x(), x(), x(), x(3),, x(-), x()] を縦ベクトルとして 段ずつずらして並べた行列 X x() x() x() x(3) x( ) x() x() x() x( ) x( ) x() x() x( ) x( ) x( ) x() x() x( ) : 信号長 76 46

47 X + +L x() x() x() x( ) たたみ込み行列演算 x() x() x( ) 行列は 縦長行列 L+ x() x( ) h() h() h() x() h( L) x( ) フィルタベクトル h = [h(),h(),h(),, h(l) ] との積はたたみ込みになっている L+ L: フィルタ長 > 予想される長 例えば 3 行目 =x()h()+ x()h()+x()h() 77 たたみ込みを表す行列方程式 y() x() y() x() y() x() x( ) y( L) y()=x()*h() ( 出力 ) ( 入力 ) ( フィルタ ) y = X h x() x() x( ) x() x( ) x と y が与えられた時 方程式を満たすような未知数 h を求める L+ h() h() h() x() h( L) x( ) 78 最小 乗原理に基づく計算法 y = X h h X が縦長行列なので この方程式を満たす解 h は存在しないが (y-xh) の 乗誤差を最小にする h は 次式で求められる T T X X X y T: 転置 (X T X) - の逆行列演算の悪条件を避けるために 対角成分に微小量を加算すると良い 想定されるの長さ L が大きすぎる場合 逆行列演算が実行できない場合がある ( 対策 ) 共役勾配法などの逐次近似演算 ( 対策 ) 適応フィルタの利用 79 適応フィルタの利用 [7.] [7.] 入力信号 x() 被測定系 g() 適応フィルタ h() 出力信号 y() + - 誤差 e() 適応フィルタの係数が 被測定系の g() の近似値となる 8 適応アルゴリズム クロススペクトル法 [7.3] x() =[x(), x(-), x(-),..., x(-l)] T e()=y()-h() T x() 3 h(+)=h()+ α e() x() x() T x() +β 学習同定法 α: ステップサイズ (<α ) β: 微少量 誤差が十分に小さくなるまで 同一入出力信号を利用してアルゴリズムを繰り返す その際 α を少しずつ小さくするとよい 8 入力信号 x() i 被測定系 g() 出力信号 y() 入力自己相関関数入出力関係 xx( ) lim x( i) x( i ) y( ) x( j) g( j ) 入出力相互相関関数 xy ( ) lim x( i) y( i ) i ( ) xy j 入出力相互相関 (y 代入 ) xx j ( j) g( j) φ xy は φ xx と g との畳み込み 8 47

48 クロススペクトル法 φ xy は φ xx と g との畳み込み これをフーリエ変換して Φ xy ()= Φ xx () G() これより 被測定系の特性が Φ xy () G()= Φxx () と 求まる Φ xy () は x() と y() のクロススペクトルと呼ばれる Φ xy () 有限長の相互相関の DFT で近似 Φ xx () ペリオドグラム有限長の自己相関の ( 平均スペクトル ) DFT で近似として求める方法もある 83 7 章測定信号が利用できない場合の測定 のまとめ 最小二乗法正確だが 演算量が必要 適応フィルタもっとも簡単 クロススペクトル法 84. インパルス信号と. インパルス信号. と線形系.3 離散系の. の測定原理. DFT の性質. 測定信号を用いた測定 3. 測定信号と測定誤差 3. 測定信号の分類 3.3. TSP の定義 3.3. TSP の - 特性 3. の高調波歪 3.4. Log-SS の定義 3.4. Log-SS の高調波歪 3.6. 雑音白色化信号 3.6. 雑音最小化信号 S 比を一定とする信号 4. 定常雑音 4. 非定常雑音 5. 雑音抑圧効果 5. の切り出し 6. 録音時の雑音 6. AD DA などの注意点 85 目的 環境 むすび () 測定信号の選択や評価は 目的や環境に依存する 欲しいのはか 特性か エネルギ曲線がわかれば良い ( 残響など ) 波形を正確に測定したい ( 許容誤差 ) 非線形特性が含まれても良い 困る 雑音区間の情報を利用するか? ( 残響 雑音低減 ) 測定に要するはできるだけ短くか こだわらないか S 比は低い 比較的高い 高い スピーカの非線形の大小 非定常雑音有無 風の影響有無 は長い 短い 86 むすび () 測定信号の選択や評価は 目的や環境に依存する 例えば 非定常雑音が存在 P が適風 時変の影響 P は雑音レベルが上昇 残響には不適 波形精度は SS より P が上など 詳細な指針は今後の課題 87 むすび (3) 一般的には Log-SS の利用が望ましいと思える 平均的な室内騒音に対して 最適 ( 雑音最小 ) に近い 高調波歪の影響を取り除きやすい 測定結果は - 特性 (MATLAB= spectrogram ) で確認を! ( 解決困難な誤差はご相談ください ) ( 私の ) 今後の課題 測定技術の情報の集積と整備 ( 原理 ノウハウ ) 要求に応じた 測定信号選択フローの作成 要求条件 測定上の問題点 の収集 ( ご協力依頼 )( 情報提供 Web ページ ) 88 48