1 cavity QED (a) circuit QED (b) : (a). (b). 3 :,.,. (a), (c), (b), (d)., (a), (b), (c), (d) (1).,. 1., (d). :, Wigner 8). (a) [(c)] g = 0,, 0 [Fock 1

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すずりきちや
5 years ago
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1 NTT LED,.,,.,,. cavity QED,,.,,. circuit QED, cavity QED. circuit QED,,,., cavity QED cavity ( ),, circuit QED,.,, 10%., circuit QED,.,, LC,., Rabi,.,,,, 130%. Rabi,. Rabi,.,,. Keywords cavity QED :. circuit QED : ( ). :,. :,,,. :,,. 1 Vol. 73, No. 1, 018

, ), 0.%.,, 100%... H 0 = 1 ħ σ z + ħω o (â â + 1 ) + ħgσ x(â + â ). (1) Rabi, -. 1 ħ :, ħω o : 1, 3 ħg:. ħgσ x (â + â ) = ħg(σ + + σ )(â + â ), σ + â, σ â. g, ω o *1, 6, 7).

2 1 cavity QED (a) circuit QED (b) : (a). (b). 3 :,.,. (a), (c), (b), (d)., (a), (b), (c), (d) (1).,. 1., (d). :, Wigner 8). (a) [(c)] g = 0,, 0 [Fock 1 ]. (b) [(d)] g/ω o > 1( ), (, ) ±α [ Fock ˆD(±α) 1 ] ),. 00 Keywords, 3), cavity QED, circuit QED., circuit QED, 5). circuit QED, cavity QED QED.,, 1, 3. circuit QED, cavity QED, cavity-qed,., ), 0.%.,, 100%... H 0 = 1 ħ σ z + ħω o (â â + 1 ) + ħgσ x(â + â ). (1) Rabi, -. 1 ħ :, ħω o : 1, 3 ħg:. ħgσ x (â + â ) = ħg(σ + + σ )(â + â ), σ + â, σ â. g, ω o *1, 6, 7). 1 H 0 = 1 [ ħ σ z +ħω o (â g g + σ x )(â + σ x ) + 1 ] ω o ω o g ωo, σ x, σ z g = ( + )/, e = ( )/., n Fock n,, g ω o, (, ) ( ˆD( α) n, ˆD(α) n ) ˆD(α) = exp(αâ α â), α = g/ω o 7) ( ). n = 0, ˆD(±α) 0 = ±α. α = (g/ω o ), (g ω o ), ,., ( ) (n + 1) 1/ n:. circuit QED 1, cavity QED 1 *1, (ħg) (ħγ, ħκ) g > Γ, κ, g, ω o., g, ω o., ω o Γ, κ,.

3 ,, 5)., circuit QED 1., circuit QED. LC, 1 Z c /R K, R K /Z c 9) Z c :, R K = h/e 5.8 kω: ).,., Z c = 50 Ω, Z c R K., 10), SQUID, 11).,,. 3.., 10% 1, 13)., 130%, 10)..,, LC, 10),, L J, I p, LC I zpf, L J I p I zpf *1 I zpf = ħω o / L + L J, ħω o = ħ/ L + L J C : 1, L: LC, C: LC. 1, L J I p I zpf = L ( ) 1 JI p C L J I p 1 = ħω o ħ L + L J ħzc ( 1 + L J ) 1 L () *1 Z c = L/C: LC. (...) 1/ 1 *. *1 LC (a), L 3J L J L 3J 10L J,. * L J /L = 10, 1/(1 + L J /L) 1/ 0.5. : (a) (X), LC L C, L J SQUID., LC.. LC (,, ). Si. (b) ( 10 µm). L J. (), 3. (i), *3., SQUID,. (ii), I p 100 na. (iii) * L C, Z c.. LC, (1) *5 H = 1 ħ( σ x + εσ z ) + ħω o (â â + 1 ) + ħgσ z(â + â ) (3) ħε,, 0,., (3). 10). *3,..,..,.. *,. *5 (3), σ z, (1) σ z σ x. 3 Vol. 73, No. 1, 018

0.0 0.5 6.35 01 0 1.0 13 03 0.0 (a) 0.5 circuit 1 3 5 1.0 6.5 ωp/π (GHz) 6.3.57 GHz 6.0 6.33 (b) 5.5 6.30 6. 6.3 6.5 5.79 GHz 5.7 0 5.71 5.70 5.0 (c) 5.63 GHz 6.

5 (d) ωo /π 6.336 6.306 6.33 5.711 5.588 表 1 測定した結合回路のパラメータと von Neumann エントロピーの計算値. 図 5 のスペクトロスコピーと式 3 のハミルトニアンを用いたフィッティングから求めたパラメータ. /π, ωo /π, g/π の単位は GHz.

8 遷移と 13 遷移が消えている一方, 03 遷移は観測されてい 0 ε/π (GHz) 5 る*1. これは次のように, 結合回路の対称性と選択則により説明することができる.

e は circuit 5 の遷移スペクトルのみの (f) からフィッティング結果のスペクトルカーブを除いた図. フィッティングカーブのカラーは凡例の遷移を示す. 凡例の数字 ij は i j 遷移. 0, 1,..., は結合系の基底状態, 第 1 励起状態,..., 第励起状態. (a) (d) の左下, (f) の左上の数字はフィッティングから求められた結合の強さ g/π.

ここで, 量子ビットと光子の固有状態は, パリティ σz ( 1)a a と書ける固有状態でもある. 原子量子ビット項と調和振動子光子項の固有状態のパリティを表に示す. 全系の各固有状態も, 表に示した量子ビットと光子のつの状態の組み合わせで決まる, パリティ固有状態である. 次に, 結合がある場合を考える. ペクトロスコピーを行った.

プローブマイクここで, 図 6(a), (b) に, circuit 5 のパラメータから計算ロ波のエネルギーが結合回路の遷移エネルギーと一致すれした, 低い方からつのエネルギー準位と遷移エネルギーのば S1 が変化し, 一致しなければ S1 1 となる. 図 5 に g 依存性を示す.

4 (a) 0.5 circuit ωp/π (GHz) GHz (b) GHz (c) 5.63 GHz ε/π (GHz) g/ωo S circuit 5 のスペクトル図 5(e) の ε = 0 近傍では, 0 (f) 7.63 GHz g/π 対称性と選択則 5.5 (d) ωo /π 表 1 測定した結合回路のパラメータと von Neumann エントロピーの計算値. 図 5 のスペクトロスコピーと式 3 のハミルトニアンを用いたフィッティングから求めたパラメータ. /π, ωo /π, g/π の単位は GHz. von Neumann エントロピー S0 は, 量子ビット光子結合状態の密度行列から光子状態をトレースアウトした部分行列量子ビット部分の計算値熱励起による励起状態の占有がない場合. (e).9 GHz ωp/π (GHz) ωp/π (GHz) 6.31 /π 遷移と 13 遷移が消えている一方, 03 遷移は観測されてい 0 ε/π (GHz) 5 る*1. これは次のように, 結合回路の対称性と選択則により説明することができる. ε = 0 の時, 式 (3 は, Rabi モデルのハミルトニアン式図 5 深強結合回路の遷移スペクトル: 横軸磁束量子ビットの磁束バイアス, 縦軸プローブ周波数に対する透過係数測定データのカラープロットと Rabi モデルへのフィッティングカーブ. (a) (d), (f) はそれぞれ circuit 1, 5 のデータを示す. e は circuit 5 の遷移スペクトルのみの (f) からフィッティング結果のスペクトルカーブを除いた図. フィッティングカーブのカラーは凡例の遷移を示す. 凡例の数字 ij は i j 遷移. 0, 1,..., は結合系の基底状態, 第 1 励起状態,..., 第励起状態. (a) (d) の左下, (f) の左上の数字はフィッティングから求められた結合の強さ g/π. (e) の ε = 0 近傍では, 0 遷移と 13 遷移が消えている一方, 03 遷移は観測されている..1. 遷移エネルギー (1) と等価である. そこで Rabi モデルの対称性を考える. まず, 結合がない g = 0 場合を考える. 結合がないので全系のエネルギー固有状態は量子ビットの量子状態と光子の量子状態の積状態となる. ここで, 量子ビットと光子の固有状態は, パリティ σz ( 1)a a と書ける固有状態でもある. 原子量子ビット項と調和振動子光子項の固有状態のパリティを表に示す. 全系の各固有状態も, 表に示した量子ビットと光子のつの状態の組み合わせで決まる, パリティ固有状態である. 次に, 結合がある場合を考える. ペクトロスコピーを行った. 測定は, 微弱なプローブマイク σx = σ+ + σ とa + a がそれぞれパリティを反転させるため, 相互作用項 σx (a + a ) はパリティを変えない. したがっロ波を図の読み出し用導波路に送り, 透過するマイクロて結合の強さによらず, 結合系はパリティ固有状態となる. 波の相対強度 S1 を測ることで行った. プローブマイクここで, 図 6(a), (b) に, circuit 5 のパラメータから計算ロ波のエネルギーが結合回路の遷移エネルギーと一致すれした, 低い方からつのエネルギー準位と遷移エネルギーのば S1 が変化し, 一致しなければ S1 1 となる. 図 5 に g 依存性を示す. 遷移スペクトロスコピーでは, プローブマ測定した 5 つの回路 circuit 1 5 の遷移エネルギースペイクロ波 a + a がパリティを変えるので表, 始状態とクトルを示す. 測定されたスペクトルは, よく知られた強結終状態のパリティが異なる同じ時その遷移は許される合回路のスペクトルとは全く異なる. このスペクトルを, 禁じられる. したがって, 図 6(a) を見ると, g = 0 の時, 作製した結合回路を 0 mk に冷却し, 遷移エネルギース ) 式 3 のハミルトニアンを用いて解析した. 図 5 の実線が 0 = g0 1 = e0 は許容遷移, 0 = g0 3 = e1 フィッティングにより求められた遷移スペクトルを表す. 測は禁制遷移, というように選択則が理解できる. そして g が定結果と非常によく一致していることがわかる. また, この大きくなってもパリティは保存されるため, 同じ選択則がフィッティングにより, 結合回路のパラメータ, ωo, g が求 g/π = 5.63 GHz circuit 5 のパラメータ, 図 6(b) に黒のめられ, 求めたパラメータから, 基底状態のエンタングルメ点線で示すでも成り立つ. この時遷移は上から, 許容, 禁ント von Neumann エントロピー S0 を計算すること制, 禁制となっており, 図 5(e), (f) で観測された選択則と一ができる. 測定した 5 つの回路のパラメータと S0 の計算値致する. なお, 他の結合回路でも同様の選択則が観測されてを表 1 にまとめる. すべての回路で, g/ωo 1 最大 1.3 いる. となっており深強結合状態が実現されていること, そしてエンタングルメントは 90% 程度かそれ以上最大 99.88% であることがわかる. 最近の研究からこの選択則の観測は, 我々の結合系のモデルとして Rabi モデルを支持し, 結合回路が実際に, Rabi モデルの示すよ *1 1 3 遷移が全体に見えにくいのは, 初期状態 1 の占有率が少ないためである占有率は Boltzmann 分布に従う. 超伝導人工原子と電磁場の相互作用強結合のその先へ

5 parity + qubit state g = + e = photon state even number odd number qubit operator σ z σ x = σ + + σ photon operator â â â + â 1 g = 0,,.,, σ x. g, e σ z.., Lamb, 0. ppm 1). 6., 1970.,,,. N 15). H N = 1 ħ N i=1 σ (i) x + ħω o (â â + 1 ) + ħg N σ (i) x,y,z i=1 σ (i) z (â + â ) (). S x,y,z = N i=1, S ( S = Sx + Sy + Sz = N/) ˆx = (â+â )/, ˆp = (â â )/i, (), 6 g : 1 circuit 5 (a) ( ) (b). (a) g = 0 0 = g0, 1 = e0, = g1, 3 = e1 g, e, 0, 1,, 0, 1 (Fock). (b), GHz, circuit Lamb, Lamb. Lamb,,., LC,, Lamb., 6(b), g 01 ( ).,,,, ħ, 7). circuit 5 g/π = 5.63 GHz, 01, 5(f) ω 01 (g = 0) = 1, ω 01 (g/π = 5.63 GHz)/ω 01 (g = 0) = 0.51/ , 01 87% x = gs z, x = g N gx/ ω o ω o 1 + (gx/ ) (5)., Ng /(ω o ) < 1 1 x = 0, Ng /(ω o ) > 1 3 x = 0 ( ), ± Ng g ω o 1 ( Ng ω o for Ng ω o 1). (), Ng ω o, Ng ω o = 1 (6), S z = 0 Sz ± N, +z z (,. () N = 1, (3). (g, ω o ) (6) > 1,. (),, â + â. â + â (A ),, A., N = 1. A c A, H = 1 ħ( σ x + εσ z ) + ħω o (â â + 1 ) + ħgσ z(â + â ) + c A ħg(â + â ) = 1 ħ( σ x + εσ z ) + ħω o(ˆb ˆb + 1 ) + ħg σ z (ˆb + ˆb ). (7) 5 Vol. 73, No. 1, 018

6 , ˆb+ˆb ω = o ω o (â+â ), ˆb ˆb = ω o ω (â â ), ω o o = ω o + c A gω o, g = ω o ω g 16)., c o A > g/ g ω < o, (No-go ). (3) (7), A (7), ω o, g, (3), ω o, g, A, g ω > o., g ω > o, c A < g/.,,. N = 1, N > 1. N > 1, ( 1, σ 1 σ ) 17) 15),., N > 1,. 7.,. Rabi, 0,,.,, 18),.,,,..,, Qatar Environment and Energy Research Institute Sahel Ashhab,, NTT.,,, Irinel Chiorescu,, William J. Munro,., JSPS S JP50601 JST,CREST,JPMJCR1775. QuTiP 19). 1) Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin and J. S. Tsai, Nature 398, 786 (1999). ) A. Wallraff, D. I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.- S. Huang, J. Majer, S. Kumar, S. M. Girvin and R. J. Schoelkopf, Nature 31, 16 (00). 3) I. Chiorescu, P. Bertet, K. Semba, Y. Nakamura, C. J. P. M. Harmans and J. E. Mooij, Nature 31, 159 (00). ),,,, 6, 37 (009). 5), 66, 39 (011). 6) J. Casanova, G. Romero, I. Lizuain, J. J. Garcia-Ripoll, and E. Solano, Phys. Rev. Lett. 105, (010). 7) S. Ashhab and F. Nori, Phys. Rev. A 81, 0311 (010). 8) S. Haroche and J.-M. Raimond, Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, And Photons, Oxford Univ Press (006). 9) M. Devoret, S. Girvin, and R. Schoelkopf, Ann. Phys. (Leipzig) 16, 767 (007). 10) F. Yoshihara, T. Fuse, S. Ashhab, K. Kakuyanagi, S. Saito and K. Semba, Nature Physics 13, (017). 11) A. Stockklauser, P. Scarlino, J. V. Koski, S. Gasparinetti, C. K. Andersen, C. Reichl, W. Wegscheider, T. Ihn, K. Ensslin, and A. Wallraff, Phys. Rev. X 7, (017). 1) T. Niemczyk, F. Deppe, H. Huebl, E. P. Menzel, F. Hocke, M. J. Schwarz, J. J. Garcia-Ripoll, D. Zueco, T. Hümmer, E. Solano, A. Marx and R. Gross, Nature Physics 6, 77 (010). 13) P. Forn-Diaz, J. Lisenfeld, D. Marcos, J. J. Garcia-Ripoll, E. Solano, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij, Phys. Rev. Lett. 105, (010). 1) F. Yoshihara, T. Fuse, S. Ashhab, K. Kakuyanagi, S. Saito and K. Semba, arxiv: quant-ph. 15) S. Ashhab and K. Semba, Phys. Rev. A 95, (017). 16) J. J. Hopfield, Phys. Rev. 11, 1555 (1958). 17) T. Jaako, Z.-L. Xiang, J. J. Garcia-Ripoll, and P. Rabl, Phys. Rev. A 9, (016). 18) P. Forn-Diaz, J. J. Garcia-Ripoll, B. Peropadre, J.-L. Orgiazzi, M. A. Yurtalan, R. Belyansky, C. M. Wilson and A. Lupascu, Nature Physics 13 (017) ) J. R. Johansson, P.D. Nation, and F. Nori, Comp. Phys. Comm. 18, 13 (013). ( ) Interaction between an artificial atom and an electromagnetic field Beyond the strong coupling Tomoko Fuse, Fumiki Yoshihara, Kosuke Kakuyanagi, and Kouichi Semba abstract: We have observed extremely strong coupling between a superconducting flux qubit and a microwave LC resonator. The coupling energy is larger than the energies of the bare qubit and photons. The observed energy spectra are well described by the Rabi model, and they agree with selection rules that reflect the symmetry of the circuits. All our observations indicate the realization of an entangled ground state. Finally, the relation with the superradiant quantum phase transition is discussed. 6

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Microsoft Word - note02.doc 年度物理化学 Ⅱ 講義ノート. 二原子分子の振動. 調和振動子近似モデル分子 = 理想的なバネでつながった原子 r : 核間距離, r e : 平衡核間距離, : 変位 ( = r r e ), k f : 力の定数ポテンシャルエネルギー ( ) k V = f (.) 古典運動方程式 [ 振動数 ] 3.3 d kf (.) dt μ : 換算質量 (m, m : 原子, の質量 ) mm