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1 5 特集 RANS RANS モデルの過去 現在 未来 * 東京理科大学工学部山本誠 Pas Presen and Fuure of RANS Model Maoo YAMAMOTO Faculy of Engneerng Toyo Unversy of Scence はじめに乱流を計算するために様々な計算手法が開発 利用されているが レイノルズ平均 ( あるいは時間平均 ) に基づくものを Reynolds-Averaged Naver-Soes Smulaon 略して RANS と呼ぶ.RANS では 平均流に対する乱れの効果であるレイノルズ応力を表現するために乱流モデルの導入が必須であり これを RANS モデルと呼んでいる. 本稿は RANS モデルの過去 現在 未来について概説したものとなっており RANS モデルの全体像を知るだけでなく 各種 RANS モデルの開発背景にある概念を理解し その将来像について考察する基礎知識となってくれることを期待して執筆した. 著者の独断と偏見に基づく部分も多々あると思われるが 乱流や RANS モデルに留まらず各種乱流モデルの研究に役立てていただければ幸いである. ) RANS 計算の支配方程式 RANS モデルの基本は時間平均の概念である. あ る物理量の瞬間値を f 時間平均値を f 変動値を f ' と表すと 以下の関係式が成り立つ. T f f f ' f fd f ' 0 T 0 () ここで は時間を表し T は乱れの特性時間に比べて十分長い時間である. これをレイノルズ分解 (Reynolds decomposon) と呼ぶ. 非圧縮性流体の場合 この関係を非圧縮性ナビエ ストークス方程式の各変数に適用し 方程式全体を時間平均して整理することにより 以下のような時間平均量に関する方程式が得られる. 0 () u u p u ' u ' () ここで はデカルト座標 u は速度ベクトル ρ は密度 p は圧力 νは動粘度 u ' u ' はレイノル ズ応力 ( 厳密には u ' u ' ) を表す. この方程式を レイノルズ平均ナビエ ストークス方程式 (Reynolds-averaged Naver-Soes equaon) と呼び RANS 計算の支配方程式として使用される. () 式の各項の物理的意味は 左辺第 項が時間変化 第 項が対流 ( あるいは移流 ) 右辺第 項が圧力勾配による力 第 項が分子粘性による粘性拡散 第 項が乱れによる乱流拡散である. 乱流拡散を担うレイノルズ応力は時間平均流速に対する乱れの効果を表しているが レイノルズ応力の出現によりレイノルズ平均ナビエ ストークス方程式は閉じた系になっておらず レイノルズ応力を評価するための補助式あるいは補助方程式が必要である. このように レイノルズ平均ナビエ ストークス方程式を解ける系に変換することを完結問題 (Closure problem) と呼んでいる. レイノルズ平均ナビエ ストークス方程式を閉じるために導入されるのが RANS モデルである. RANS モデルは レイノルズ応力の表現方法により 渦粘性概念を利用する渦粘性モデルと レイノルズ応力の輸送現象を直接取り扱う応力方程式モデルに分類できる. また 渦粘性モデルは 使用する偏微分輸送方程式の数に応じて 0 方程式モデル 方程式モデル 方程式モデル等に分類される. 圧縮性流体の場合には 速度 圧力だけでなく密度や温度などにも変動成分が現れるため 非圧縮性乱流において用いられるレイノルズ平均だけを圧縮性乱流の支配方程式に適用すると 速度変動によるレイノルズ応力だけではなく密度変動の含まれる相関項が多数現れ モデル化が困難となってしまう. 06 日本流体力学会

2 6 このため 密度変動が方程式中に陽に現れないファーブル平均 (Favre Average 密度加重平均 ) がレイノルズ平均と一緒に用いられる. ファーブル平均では 以下のように変数を平均値 f と変動値 f " とに分解する. f f f " f f f " 0 (4) これをファーブル分解 (Favre decomposon) と呼ぶ. ファーブル分解を速度 全エネルギー 温度に レイノルズ分解を密度 圧力 粘性応力 粘性係数 熱伝導率に適用し 連続の式 ナビエ ストークス方程式 エネルギー式に代入した上で方程式全体を時間平均して整理すると ファーブル平均成分に関する支配方程式を以下のように導くことができる. u 0 (5) u p " " u (6) e e u pu pu " T T" e " u " u" (7) 論を提案した 95 年に始まるが コンピュータの普及 高性能化に伴って 970 年代から爆発的に研究が進展した.RANS モデルのこれまでの開発の流れは 概略以下の経緯をたどっている. () 壁関数を使用した高レイノルズ数型標準モデル ( 基本モデル ) の構築 () 実験データや直感に依存した低レイノルズ数型モデルへの拡張 () 乱れの壁面漸近挙動を満たす高精度な低レイノルズ数型モデルへの改良 (4) 物理 数学理論に基づく基本モデルの再構築 拡張 ( 繰り込み群理論 (RNG) 非等方渦粘性表現 実現性 (Realzably) 急ひずみ理論 (RDT) 等の利用 ) (5) DNS に基づく低レイノルズ数型モデルの洗練 ( 乱れに関する輸送方程式の各項の収支等まで考慮 ) (6) 高次モデルの知見を活かした低次モデルの構築 (7) 壁からの距離や壁面法線ベクトルを用いない低レイノルズ数型モデルの構築これまでに膨大な数の RANS モデルが提案 検証されてきている. すべての RANS モデルを網羅することは限られた紙面では不可能だと思われるので 以下では ()()()(6) について 方程式モデルの代表である -ε モデルを例として説明する. その他の RANS モデルの過去や理論的背景の詳細について興味のある読者には 文献 (4) などを一読されることをお勧めする. ここで ρは密度 u は速度ベクトル p は静圧 は粘性応力 T は静温 e は全エネルギー κ は 熱伝導率を表す.(6) 式には密度変動を含む項が現れておらず 非圧縮性流体の場合と同様に レイノルズ応力を何らかの方法で評価すれば解析可能なことが明らかである ( もちろん エネルギー式に含まれる変動の相関項にも別途モデルが必要となる ). 乱れに対して圧縮性の効果が現れることが知られており 圧縮性モデルの研究も進められているが Morovn の仮説 ) 密度変動の乱れへの影響は 壁乱流でマッハ数 5 まで 自由乱流で.5 まで無視できる に基づいて 非圧縮性乱流に対して構築された RANS モデルが流用されるのが一般的である. 4) RANS モデルの過去. RANS モデル開発の流れレイノルズ応力を表現してレイノルズ平均された支配方程式系を閉じるために RANS モデルが利用される.RANS モデルの開発は Prandl が混合長理. 壁関数を使用した高レイノルズ数型モデル ( 基本モデル ) の構築 -εモデルは 乱流エネルギー とその散逸率 ε の偏微分輸送方程式からレイノルズ応力を評価するモデルであり 以下の一般形で表現される. u D (8) u C f uu C f E u u C f (9) (0) ここで とC はモデル定数 f は低レイノルズ 数効果を表す関数 D と E は補正項である. 高レイノルズ数型標準モデルである Launder-

3 7 Spaldng モデル 5) は 格子乱流 平板境界層 平面噴流などの実験データおよび試行計算による調節から 以下のモデル定数を用いている..0. C 44 C 9 C f f f.0 D E 0. 0 () また 十分発達した乱流状態を対象としているため 分子粘性 ν を省略するのが一般的である. 高レイノルズ数型 -ε モデルは 大きなはく離を伴わない乱流で良好な予測精度を示すことが知られている. また このモデルの特徴として 壁面上に境界条件を設定するのではなく 壁面から離れた第 格子点の値を壁関数によって与えるため 壁面近傍の物理量の急な勾配を空間分解する必要がなく 粗い格子で計算が実行できることが挙げられる. この特徴は -ε モデルの計算の安定性にも寄与している.. 実験データや直感に依存した低レイノルズ数型モデルへの拡張高レイノルズ数型モデルで使われる壁関数は発達した付着境界層でしか成り立たないため その適用可能範囲は狭く 例えば 剥離 再付着点付近や熱伝達など壁面近傍の現象が重要な乱流を計算する場合に予測精度が十分でない. このため 壁面まで計算できるモデルの開発が求められた. このようなモデルは 壁面付近の低レイノルズ数領域 すなわち R /( ) が低い領域 ある 乱流レイノルズ数 いは乱れが弱い領域を再現できるという意味から 低レイノルズ数型モデルと呼ばれる. 初期の低レイノルズ数型モデルとして代表的なモデルとして Launder-Sharma モデル 6) がある. このモデルでは 低レイノルズ数効果を再現するために 以下のモデル定数 関数を用いている..0. C. 44 C. 9 C f f.0 0. R.4 f ep R 50 U y ep D y E () ここで U は壁面に平行な平均流速 y は壁面の法線方向を表す. 低レイノルズ数型モデルでは壁面近 傍の物理量の急勾配を求めなければならないため 高レイノルズ数型モデルに比べると 格子数が圧倒的に多く必要であり 計算時間が 0 倍程度になる..4 乱れの壁面漸近挙動を満たす高精度な低レイノルズ数型モデルへの改良壁面近傍の乱れは壁の存在により強い非等方性を有しており 以下の関係を持つことが知られている. 0 y y uvy y f y () これらの比例関係を乱れの壁面漸近挙動という. 初期の低レイノルズ数型モデルでは壁面漸近挙動に考慮が払われることはなかったが 壁面近傍の乱流現象を正確に予測するために 上記の関係を満たすモデルの方が望ましいことは明らかである. 安倍 - 長野 - 近藤 7) は 乱れの壁面漸近挙動を満たしつつ 壁面近傍の低レイノルズ数効果をより普遍的に表すために コルモゴロフ マイクロスケール ηに基づく新たなパラメータ y * を導入したモデル 化を提案した. このパラメータ y * は y y y * (4) / 4 と定義される. 散逸スケールに基づくこのパラメータは 乱れのエネルギー散逸が卓越している壁面のごく近傍における低レイノルズ数効果をより自然に表すことが期待できる. 使用されるモデル定数等は 以下の通りである C. 5 C.9 C f. 0 y * R f ep 0.ep. 6.5 * y 5 R f ep ep / 4 4 R 00 D E 0.0 (5) このモデルは 壁面漸近挙動を満たすだけでなく 剥離 再付着を伴うバックステップ流や正負の圧力勾配を受ける流れに対しても高精度な予測が可能であることが明らかとなっている.

4 8.5 高次モデルの知見を活かしたモデルの開発レイノルズ応力を つの偏微分輸送方程式から求めるタイプのモデルを 方程式モデルと呼ぶ. 解くべき方程式の数が少ないため 方程式モデルよりも計算負荷が小さくて済むことが利点となる. Mener 8) は 方程式モデルに基づいて 方程式モデルを構築し 方程式モデルと同様の結果を得ることに成功している. 渦粘性の実質微分は以下のように分解できる. D C C D D D D D D D (6) この関係に 方程式 (8) およびε 方程式 (9) を代入して整理すると 高レイノルズ数型 方程式モデルを導くことができる. さらに モデル定数に低レイノルズ数効果を導入して 以下のような渦粘性 に関 する低レイノルズ数型 方程式モデルが構成されている. CD S CE (7) D D ep A D E E C E anh BB CE E S S BB E BB u S (8) モデル定数には 以下の値が推奨されている. C 0.44 C. 86 C 7 A 0. 4 (9) このモデルは 噴流 後流 混合層 圧力勾配を伴う境界層 バックステップ流などの乱流に対して検証計算が行われ 方程式モデルでありながら - ε モデルと同等の予測性能を持つことが示されている..6 非等方渦粘性モデル以上で紹介してきた 方程式モデルではブシネスク近似 ((0) 式参照 ) が用いられていた. この近似 は 等方的な渦粘性を介してレイノルズ応力が平均ひずみ速度と線形に関係付けられており この近似がモデルの普遍性を劣化させているということが古くから指摘されていた. 例えば 旋回流 衝突流 第 種 次流れなどは等方的なブシネスク近似を用いると再現できないことが分かっている. この欠点を克服するため レイノルズ応力を平均ひずみ速度等の 次項 次項まで加えた形で表現し 非線形化する研究が行われた. このようなレイノルズ応力の表現方法を用いるモデルのことを非等方渦粘性モデル (ansoropc eddy vscosy model) あるいは非線形渦粘性モデル (non-lnear eddy vscosy model) と呼んでいる. Nshzma- Yoshzawa 9) は 以下に示すレイノルズ応力の非等方表現を提案した. uu S C SS S C S S S C l Sl C C l (0) C C 0.40 C () このモデルは S と の 次項まで含んだ形式と なっており 第 種 次流れの予測を改善することが報告されている. また 応力方程式モデルの知見を活かして 様々な非等方 -ε モデルが構築されている.Craf- Launder-Suga 0) は Cubc タイプの応力方程式モデ ルを利用して レイノルズ応力の第 不変量 A A u u () a a の偏微分輸送方程式を解く -ε- A モデルを提案し た. モデルの詳細は割愛するが このモデルは遷移を含む多くの壁乱流で乱れの非等方性を含めて良好な予測精度を有することが示されている. 4 RANS モデルの現在 970 年から 000 年にかけては RANS モデルの構 l

5 9 築 提案や改良が大きな研究テーマとなっていたが 現在は 新たな提案がほとんど行われなくなっている.99 年に開催された第 5 回数値流体力学シンポジウム ( 旧日本数値流体力学会 ) では RANS モデルに関する新たな提案として 9 件の講演があったが 05 年の第 9 回数値流体力学シンポジウム ( 日本流体力学会 ) では RANS に関する提案は 件もなかった. このような講演数の変化は RANS モデルに関する研究動向を如実に反映していると考えられる. RANS モデルの新規提案が出にくくなった理由は 新しいアイデアが出尽くした感があること 単純なモデル化では改善効果が得られにくくなっていること 検証ケースが増えすぎたために検証に時間がかかるようになったこと などによるものと思われる. 一方で 既存の RANS モデルを産業問題 特に設計開発問題に応用することが盛んになっている. 産業応用では 標準型となっている高レイノルズ数型モデルを中心に多くのバージョンが利用されており 市販ソフトにも複数の RANS モデルが導入されている. インターネットで検索してみると 例えば PHOENICS(CHAM 社 ) では高レイノルズ数型 -ε モデル 低レイノルズ数型 -ε モデル RNG -ε モデル レイノルズ応力モデルなどが SCRYU/Tera ( ソフトウェアクレイドル社 ) では高レイノルズ数型 -ε モデル RNG -ε モデル 線形低レイノルズ数 -ε モデル (Abe-Kondo- Nagano) 非線形低レイノルズ数 -ε モデル Realzable -ε モデル SST -ω モデル Spalar-Allmaras 方程式モデル -L-ω 方程式モデルなどが ANSYS CFD( サイバネット社 ) では -ε モデル SST -ω モデル 0 方程式モデルなどが RANS モデルとして組み込まれていることが分かる. 他の CFD ソフトも概ね同様であり -ε モデルや SST -ω モデルなどが RANS モデルの定番になっているように感じる. また RANS モデルが利用されている計算対象としては 自動車 航空機 ロケット 船舶 ガスタービンや風力タービンなどのターボ機械 パソコンなどの電子機器や家電製品 スポーツ用品 高層ビルや室内空調などの土木建築関係 原子炉 撹拌槽や化学反応塔など RANS モデルを用いた CFD が行われていない分野や機器 製品を見つける方が難しいのが現状である. それだけ RANS モデルに関する技術が確立し 実用段階に達しているとも言えよう. 利用形態も多岐にわたっており はく離のチェックなど単純にフローパターンを評価するものから 流速 圧力 温度などの物理量分布の評価 圧力損失や流体力の評価 機械の全体性能の推算 形状の最適化 混相乱流や乱流燃焼のような複雑流動の解析 流体構造連成や流体熱連成といったマルチフィジックス問題への適用など RANS モデルの応用範囲は広がる一方である. 5 RANS モデルの未来最後に RANS モデルの未来について考える. 非定常乱れを再現可能な LES(Large Eddy Smulaon) や DNS(Drec Numercal Smulaon) が汎用的かつ日常的に設計開発業務で利用されるようになるには コンピュータの処理性能のさらなる向上やメモリ容量の大幅な増加が必要であり 産業界では当分の間は現状のような RANS モデルを駆使した設計開発が続けられると思われる. また 計算効率あるいはコストパフォーマンスの点で非定常計算を必要としない場合も多いことや 非定常流に基づく機械等の設計方法が存在しないこと ( 結局 非定常計算から平均速度や平均圧力を計算して設計している ) などを考えると RANS モデルがまったく利用されなくなるのは遠い未来であろう. したがって 当分は (0 年くらいか?)RANS モデルの特性 各モデルが得意 不得意な流れを十分理解して より効果的に設計開発に RANS モデルを利用していくことが求められるのではないだろうか. 以下では 具体的に RANS モデルの未来について予想してみたいと思う. もちろん 異論は多々あることと思われるが 著者の私見であり ご容赦いただきたい. まず RANS モデルの新規開発について考えてみる.000 年以前に比べると 現在はほとんど新たな提案が行われなくなっている RANS モデルであるが 相当数の乱流モデラーと呼ばれる研究者が世界中で研究を続けている.04 年にスペインで開催された 0h Inernaonal ERCOFTAC Symposum on Engneerng Turbulence Modellng and Measuremens(ETMM0) では 粗面壁に対する SST -ωモデルの改良 粘弾性流体に対する非線形 -εモデルの提案 Realzable 陽的代数応力方程式モデルの検証 固気混相乱流の RANS モデル化の提案など 0 件を越える研究報告がなされている. 地道な努力ではあるが RANS モデルの予測精度の改善に向けた取り組みが着実に続けられて 今後も改善されていくものと考えられる. また 夢物語かもしれないが 膨大になりすぎた乱流に関する実験データや DNS データ 様々なモデル化に関する知識などをビッグデータとして用い 深層学習 ( ディープラーニング ) を利用して 人間がこれまで気付かなかった新たなモデル化や法則性を発見できるかもしれない. 今後 急速に進展している人工知能技術が乱流モデルや乱流そのものの研究に利用されることを期待している. 産業応用に関しては つの分野で RANS モデルが利用され続けると思う. 一方は形状の最適化計算であり 他方はマルチフィジックス計算である.

6 0 形状の最適化計算では 現状 勾配法や遺伝的アルゴリズム ( 進化計算 ) などが用いられているが 特に遺伝的アルゴリズムを用いた多目的最適化計算では数百から千を越える異なる形状に対する計算を実行しなければならないこともあり 計算負荷が非常に高く また目的関数に非定常性を加味することも難しい. したがって 当面は RANS モデルを使わざるを得ない状況が続くであろうと思われる. 一方 マルチフィジックス計算では 流体計算にその他の物理現象をカップルさせて解く必要があり やはり計算負荷が高い. 強連成を使うべきである流体 / 構造連成問題はもちろんであるが 弱連成を用いることができる問題においても相当回数の繰り返しが必要であり 非定常性まで考慮することは現状では困難である. 著者の研究室で行っているジェットエンジンの着氷 サンドエロージョン 粒子付着 電気化学加工などのマルチフィジックス計算 -4) では弱連成を用いているが 流体計算を数回から 00 回程度繰り返す必要がある. 例えば 着氷計算においては 流体計算 過冷却液滴の軌道計算 着氷量評価のための熱力学計算 格子の再構成という 4 種類の計算を最低でも 0 回は繰り返して 時々刻々と変化する流れ場と氷層の成長を予測している ( 図 参照 ). このような計算では 高レイノルズ数型 -ε モデルを用いても 6 コアのパソコンで 週間から ヶ月程度の計算時間がかかるのが普通である ( 計算時間はトータルの暴露時間に依存する ). 問題の性質にもよると思うが 流体計算部分を LES 等で置き換えることは 現状 難しいと考えている. 6 おわりに本稿で解説してきたように RANS モデルは 970 年代から約 0 年に渡って精力的に研究開発が進め Sar Turbulen Flow Compuaon Drople Traecory Thermodynamcs Remeshng Termnaon? End 図 着氷計算のフローチャート られ 現在は様々な産業分野で日々活用される円熟した状況になっている. しばらくはこの状況が続くと思われるが 単純な計算は徐々に LES や DNS に置き換わって行くものと予想される. 一方で 形状最適化やマルチフィジックス問題などについては RANS モデルを利用せざるを得ない状況が続くと予想されるため RANS モデルが消滅するのはまだ遠い未来であろう. RANS モデルの開発経緯やその背景 各種モデルの予測特性を知り 効率的かつ有効に計算結果を生み出していくことがあらゆる産業界にとって必要である. したがって RANS モデルの開発 検証 応用に関する研究が 様々な分野において 今後も継続されることを期待してやまない. 引用文献 ) 数値流体力学シリーズ 乱流解析 数値流体力学編集委員会編 東京大学出版会 (995)-0 ) 数値流体力学ハンドブック 小林敏雄 池川昌弘ほか編 丸善 (00)6-69 ) SoR.M.C GasT.B. and SommerT.P. AIAA J. 6-9(998) ) 計算力学ハンドブック ( 第 II 巻 差分法 有限体積法 熱流体編 ) 日本機械学会編 丸善 (006) ) LaunderB.E. and SpaldngD.B. Comp. Meh. n Appled Mechancs and Engneerng (974) ) LaunderB.E. and SharmaB. Leers n Hea and Mass Transfer (974) -8 7) 安倍賢一 長野靖尚 近藤継男 日本機械学会論文集 B 編 (99) ) MenerF.R. Trans. ASME J. Fluds Eng. 9 (997) ) NshmaS. and YoshzawaA. AIAA J. 5- (987) ) CrafT.J. LaunderB.E. and SugaK. In. J. Hea Flud Flow 7 (996) 08-5 ) 林亮介 山本誠 日本機械学会論文集 CM009(04)- ) 鈴木正也 山本誠 日本機械学会論文集 B 編 (00) ) SuzuM. and YamamooM. J.Flud Scence Technology 6- (0) 98-4) NaamooS. and YamamooM. Turbulence Hea and Mass Transfer 8 (05) 69-6