【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(平行四辺形の性質/条件/等積変形)
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- そう わしあし
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1 FdData 中間期末 : 中学数学 2 年 : 四角形 [ 平行四辺形の性質 / 平行四辺形になることの証明 / 平行四辺形についての計算問題 / いろいろな四角形 / 平行線と面積 /FdData 中間期末製品版のご案内 ] [FdData 中間期末ホームページ ] 掲載の pdf ファイル ( サンプル ) 一覧 次のリンクは [Shift] キーをおしながら左クリックすると, 新規ウィンドウが開きます数学 :[ 数学 1 年 ],[ 数学 2 年 ],[ 数学 3 年 ] ([Shift]+ 左クリック ) 理科 :[ 理科 1 年 ],[ 理科 2 年 ],[ 理科 3 年 ] ([Shift]+ 左クリック ) 社会 :[ 社会地理 ],[ 社会歴史 ],[ 社会公民 ] ([Shift]+ 左クリック ) 全内容を掲載しておりますが, 印刷はできないように設定しております 平行四辺形の性質 右の図のように,AB // DC,AD // BC の平行四辺形がある (1) このとき, 平行四辺形の 2 組の向かい合う辺の長さは等しいことを証明せよ (2) (1) を使って, 平行四辺形の対角線は中点で交わることを証明せよ (1) 1
2 (2) [ 解答 ] (1) ABC と CDA で, 仮定より,AB // DC,AD // BC で, 平行線の錯角は等しいので, ACB= CAD 1 BAC= DCA 2 AC は共通 3 1,2,3から,1 組の辺とその両端の角が, それぞれ等しいので, ABC CDA 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, BC=DA,AB=CD よって, 平行四辺形の 2 組の向かい合う辺の長さは等しい (2) 対角線 AC と BD の交点を O とする AOD と COB で, 仮定より,AD // BC で, 平行線の錯角は等しいので, OAD= OCB 1 ODA= OBC 2 (1) より, 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので, AD=CB 3 1,2,3から,1 組の辺とその両端の角が, それぞれ等しいので, AOD COB 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, AO=CO,DO=BO よって, 平行四辺形の対角線は中点で交わる 2
3 次の各問いに答えよ (1) 平行四辺形の定義を書け (2) 平行四辺形の性質を 3 つ書け (1) (2) [ 解答 ](1) 2 組の向かいあう辺が, それぞれ平行な四角形 (2) 2 組の向かいあう辺は, それぞれ等しい 2 組の向かいあう角は, それぞれ等しい 対角線は, それぞれ中点で交わる 3
4 [ 問題 ](1 学期中間 ) 平行四辺形 ABCD の A,C から対角線 BD にひいた垂線と BD との交点をそれぞれ E,F とする このとき,AE=CF となることを次のように証明した ア~ウにあてはまるものを書け [ 証明 ] ABE と CDF で, 仮定より, AEB= CFD=90 1 平行四辺形の向かい合う辺は等しいから, AB=CD 2 また,AB // DC だから,( ア ) は等しいので, ABE= CDF 3 1,2,3から, 直角三角形の ( イ ) が, それぞれ等しいので, ABE CDF 合同な図形では,( ウ ) は等しいので, AE=CF アイウ [ 解答 ] ア平行線の錯角イ斜辺と 1 つの鋭角ウ対応する辺の長さ 4
5 [ 問題 ](2 学期期末 ) 右図は, 平行四辺形 ABCD の対角線 AC 上に AE= CF となる点 E, 点 F をとり,B と E,D と F を結んだものである このとき, BE=DF であることを証明せよ [ 解答 ] ABE と CDF で, 仮定より, AE=CF 1 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので, AB=CD 2 また,AB // CD で平行線の錯角は等しいので, BAE= DCF 3 1,2,3から,2 組の辺とその間の角が, それぞれ等しいので, ABE CDF 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, BE=DF 5
6 [ 問題 ](2 学期期末 ) 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とし,O を通る直線が AD,BC と交わる点を, 右の図のように E,F とする このとき,OE=OF となることを次のように証明した ア~オにあてはまるものを書け [ 証明 ] AEO と ( ア ) で, 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので, AO=( イ ) 1 平行線の錯角は等しいので, EAO= ( ウ ) 2 対頂角は等しいので, AOE= ( エ ) 3 1,2,3から,( オ ) が, それぞれ等しいので, AEO ( ア ) 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, OE=OF アイウ エ オ [ 解答 ] ア CFO イ CO ウ FCO エ COF オ 1 組の辺とその両端の角 6
7 右の図の平行四辺形 ABCD で,O は対角線の交点である 点 O を通る直線と辺 AD, 辺 BC との交点をそれぞれ E,F とする このとき,AE=CF となることを証明せよ [ 解答 ] AEO と CFO で, 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので, AO=CO 1 平行線の錯角は等しいので, EAO= FCO 2 対頂角は等しいので, AOE= COF 3 1,2,3から,1 組の辺とその両端の角が, それぞれ等しいので, AEO CFO 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, AE=CF 7
8 [ 問題 ](1 学期期末 ) 右の図の平行四辺形 ABCD で, 辺 BC の中点を M とし,DM の延長と AB の延長との交点を P とすれば,AB=BP となることを証明せよ [ 解答 ] BPM と CDM で, 仮定より, BM=CM 1 平行線の錯角は等しいので, PBM= DCM 2 対頂角は等しいので, BMP= CMD 3 1,2,3から,1 組の辺とその両端の角が, それぞれ等しいので, BPM CDM 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, BP=CD 4 平行四辺形の向かいあう辺の長さは等しいので,CD=AB 5 4,5より,AB=BP 8
9 [ 問題 ](2 学期期末 ) 右の図で,3 点 D,E,F はそれぞれ ABC の辺 BC, CA,AB 上の点で,FA=FC,AB // ED,AC // FD である このとき, AFE FCD となることを証明せよ [ 解答 ] AFE と FCD で, 仮定より, FA=CF 1 AC // FD で錯角は等しいので, CFD= FCA 2 また,1より, FAC は二等辺三角形なので, FCA= FAE 3 2,3より, FAE= CFD 4 AB // ED,AC // FD なので四角形 AEDF は平行四辺形なので, AE=FD 5 1,4,5から,2 組の辺とその間の角が, それぞれ等しいので, AFE FCD 9
10 平行四辺形になることの証明 [ 平行四辺形になるための条件 ] 2 組の向かいあう辺が, それぞれ平行な四角形を平行四辺形というが, これ以外に, 平行四辺形になるための条件を 4 つ書け [ 解答 ]2 組の向かい合った辺がそれぞれ等しい 2 組の向かい合った角がそれぞれ等しい 対角線がそれぞれの中点で交わる 1 組の向かい合う辺が平行で等しい 四角形 ABCD の対角線の交点を O とするとき, 次の条件のうちで, 四角形 ABCD が平行四辺形になるものには を, 平行四辺形になるとは限らないものには を書け (1) AD // BC,AB=DC (2) AD=BC, ADB= CBD (3) ABC ADC (4) AO=CO, DAO= BCO 10
11 (1) (2) (3) (4) [ 解答 ](1) (2) (3) (4) 次の四角形 ABCD は平行四辺形になるか なる場合はそのときあてはまる条件を, ならない場合は で答えよ (1) AD // BC,AD=5cm,BC=5cm (2) AB=6cm,BC=4cm,DC=4cn.AD=6cm, (1) (2) [ 解答 ](1) なる 1 組の辺が平行で等しい (2) 図のような四角形 ABCD に次の条件を加えるとき, 平行四辺形となるものには を, そうでないものには を書け (1) AD // BC, DAB+ CDA=180 (2) AC=BD,AC BD (3) AD // BC,AB=DC (4) AO=BO=DO=CO (1) (2) (3) (4) [ 解答 ](1) (2) (3) (4) (1) 右図で, EDC+ CDA=180 条件より, DAB+ CDA=180 よって, EDC+ CDA= DAB+ CDA なので, EDC= DAB となり, 同位角が等しいので AB // DC また, 条件より AD // BC なので, 向かい合う 2 つの辺が平行になる よって, 四角形 ABCD は平行四辺形になる 11
12 (2) 例えば, 右図のように,AC=BD,AC BDである四角形は平行四辺形ではない (3) 例えば, 右図のような四角形は AD // BC,AB=DC であるが, 平行四辺形ではない もし,AD // BC,AD=BC であるならば, 向かい合う 1 組の辺が平行で等しい ので平行四辺形になる (4) AO=BO=DO=CO なので, 対角線が中点で交わる したがって, 平行四辺形になる ( 正確には, 長方形になる 長方形は平行四辺形の一種である ) [ 平行四辺形になることの証明 ] 右の図で点 M,N は, 平行四辺形 ABCD の辺 AD,BC の中点である このとき, 四角形 MBND が平行四辺形であることを次のように証明した ( ) をうめよ [ 証明 ] 平行四辺形の向かい合う辺は等しいので, AD=( ア ) 1 点 M,N は, 辺 AD,BC の中点であるので, 1 1 MD= AD,BN= ( イ ) ,2より, MD=BN 3 平行四辺形の向かいあう辺は ( ウ ) なので, AD // ( エ ) よって,MD // BN 4 3,4から, 四角形 MBND は ( オ ) なので, 平行四辺形である アイウ エ オ [ 解答 ] ア BC イ BC ウ平行エ BC オ 1 組の向かい合う辺が, 等しくて平行 12
13 次の図で, 平行四辺形 ABCD の辺 AD,BC 上に AE =CF となるような点 E,F をとる このとき, 四角形 EBFD は平行四辺形になることを証明せよ [ 解答 ] 四角形 EBFD で, 四角形 ABCD は平行四辺形なので, AD // BC よって,ED // BF 1 四角形 ABCD は平行四辺形なので, AD=BC 2 仮定より,AE=CF 3 ED=AD-AE 4 BF=BC-CF 5 2,3,4,5より, ED=BF 6 13
14 1,6 より,1 組の向かいあう辺が, 等しくて平行なので, 四角形 EBFD は平行四辺形になる 平行四辺形 ABCD で, BAD の二等分線と辺 BC との交点を E, BCD の二等分線と辺 AD との交点を F とする このとき, 平行四辺形 AECF が平行四辺形であることを次のように証明した ア~エにあてはまる記号やことばを答えよ [ 証明 ] 四角形 ABCD は平行四辺形だから, BAD= BCD 1 仮定から, 1 EAD= BAD BCF= ( ア ) 3 2 1,2,3から, EAD= ( イ ) 4 AD // BC から, BCF= CFD 5 4,5から, EAD= CFD 6 6から, AE // ( ウ ) 7 一方,AD // BC から,AF // EC 8 7,8から,2 組の向かい合う辺がそれぞれ ( エ ) なので, 四角形 AECF は平行四辺形である アイウエ [ 解答 ] ア BCD イ BCF ウ FC エ平行 14
15 右の図で, 四角形 ABCD, 四角形 BEFC がともに平行四辺形であるとき, 四角形 AEFD も平行四辺形であることを証明せよ [ 解答 ] 四角形 ABCD は平行四辺形なので, AD // BC,AD=BC 1 四角形 BEFC は平行四辺形なので, EF // BC,EF=BC 2 1,2より,AD // EF,AD=EF 1 組の向かい合う辺が, 等しくて平行なので, 四角形 AEFD は平行四辺形である 15
16 右の図で, 四角形 ABCD は平行四辺形で,E,F,G, H は各辺の中点である このとき, 四角形 AICJ は平行四辺形であることを証明せよ [ 解答 ] 四角形 AFCH で, 仮定より,AD // BC なので, AH // FC 1 また,AD=BC で,H,F はそれぞれ AD,BC の中点なので, AH=FC 2 1,2より,1 組の向かい合う辺が, 等しくて平行なので, 四角形 AFCH は平行四辺形になる よって, AI // JC 3 同様にして, 四角形 AECG も平行四辺形なので, AJ // IC 4 3,4より 2 組の向かい合った辺がそれぞれ平行なので, 四角形 AICJ は平行四辺形である 16
17 [ 三角形の合同を先に証明 ] [ 問題 ](1 学期中間 ) 平行四辺形 ABCD の BC の中点を M とし,AM の延長と DC の延長との交点を E とする このとき, 四角形 ABEC が平行四辺形になることを, 次のように証明した ア~カにあてはまる記号やことばを答えよ [ 証明 ] ABM と ( ア ) で, 仮定より, BM=( イ ) 1 対頂角は等しいので, AMB= ( ウ ) 2 仮定より AB // EC で平行線の錯角は等しいので, ABM= ( エ ) 3 1,2,3から,( オ ) が, それぞれ等しいので, ABM ( ア ) 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, AM=( カ ) 4 1,4より, 四角形 ABEC の対角線が, それぞれの中点で交わるので, 四角形 ABEC は平行四辺形になる アイウ エ オ カ [ 解答 ] ア ECM イ CM ウ EMC エ ECM オ 1 組の辺とその両端の角カ EM 17
18 右の図で,M は AC の中点で, DAM= BCM である このとき, 四角形 ABCD は平行四辺形であることを証明せよ ( ヒント : まず, ADM と CBM の合同を証明する ) [ 解答 ] ADM と CBM で, 仮定より, AM=CM 1 DAM= BCM 2 対頂角は等しいので, AMD= CMB 3 1,2,3から,1 組の辺とその両端の角が, それぞれ等しいので, ADM CBM 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, DM=BM 4 1,4より, 四角形 ABCD の対角線が, それぞれの中点で交わるので, 四角形 ABCD は平行四辺形になる 18
19 平行四辺形 ABCD で辺 AB,BC,CD,DA の中点をそれぞれ E,F,G,H とするとき, 四角形 EFGH は平行四辺形であることを証明せよ [ 解答 ] AEH と CGF で, 仮定より AB=CD, かつ E,G はそれぞれ辺 AB,CD の中点なので,AE=CG 1 同様にして,AH=CF 2 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, EAH= GCF 3 1,2,3から,2 組の辺とその間の角が, それぞれ等しいので, AEH CGF 合同な図形では, 対応する辺の長さは等しいので, EH=GF 4 同様にして, BEF DGH なので, EF=GH 5 4,5より向かい合う 2 組の辺の長さが等しいので, 四角形 EFGH は平行四辺形である 19
20 右の図のように平行四辺形 ABCD の頂点 A,C から対角線 BD に垂線をひき, 対角線との交点をそれぞれ E, F とする このとき四角形 AECF が平行四辺形であることを次のように証明した ( ) の中にあてはまるものを書き, 証明を完成せよ [ 証明 ] ABE と CDF で, 仮定より, AEB= CFD=90 1 平行四辺形の向かいあう辺の長さは等しいので, AB=( ア ) 2 AB // CD で, 平行線の錯角は等しいので, ABE= CDF 3 1,2,3から, 直角三角形の ( イ ) が, それぞれ等しいので, ABE CDF 従って,AE=( ウ ) 4 また, AEF= CFE=90 で錯角が等しいから, AE ( エ ) CF 5 4,5より, 四角形 AECF は, 平行四辺形になる ア ウ イ エ [ 解答 ] ア CD イ斜辺と 1 つの鋭角ウ CF エ // 20
21 [ 対角線に注目 ] 平行四辺形 ABCD で, 対角線 AC 上に, 点 E,F を, AE=CF となるようにとると, 四角形 BFDE は平行四辺形である このことを, 次のように証明した 空らんをうめて証明を完成せよ [ 証明 ] 四角形 ABCD は平行四辺形で, 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので, BO=( ア ) 1 AO=( イ ) 2 仮定より, AE=( ウ ) 3 2,3より, EO=( エ ) 4 1,4より, 対角線が ( オ ) ので, 四角形 BFDE は平行四辺形である アイウ エ オ [ 解答 ] ア DO イ CO ウ CF エ FO オそれぞれの中点で交わる 21
22 [ 問題 ]( 後期期末 ) 右の図のような平行四辺形 ABCD がある 対角線 AC 上に,2 点 P,Q を AP=CQ となるようにとる また, 対角線 BD 上に,2 点 R,S を BR=DS となるようにとる このとき, 四角形 PRQS が平行四辺形になることを証明せよ [ 解答 ] 平行四辺形の対角線は, それぞれの中点で交わるので, OA=OC 1 OB=OD 2 1と AP=CQ から, OP=OQ 3 2と BR=DS から, OR=OS 4 3,4から, 対角線が, それぞれの中点で交わるので, 四角形 PRQS は平行四辺形である 平行四辺形 ABCD の辺 BC,DC の延長上に, BC=CE,DC=CF となる点 E,F を右の図のようにとる (1) 平行四辺形が 3 つある すべて書け (2) (1) の平行四辺形の中で l 番大きい平行四辺形について, 平行四辺形であることを証明せよ 22
23 (1) (2) [ 解答 ] (1) 平行四辺形 BDEF, 平行四辺形 ACED, 平行四辺形 ABFC (2) 四角形 BDEF について, 仮定より,BC=CE,DC=CF なので, 対角線はそれぞれの中点で交わっている したがって, 四角形 BDEF は平行四辺形である [ その他 ] 四角形 ABCD において,AB // DC, A= C のとき, 四角形 ABCD は平行四辺形であることを証明せよ [ 解答 ] AB // DC なので C+ B=180 A+ D=180 仮定より A= C なので, B= D 23
24 よって向かい合う 2 組の角がそれぞれ等しいので, 四角形 ABCD は平行四辺形である 24
25 平行四辺形についての計算問題 右の平行四辺形 ABCD で, 次の (1)~(3) の長さや角の大きさを求めよ (1) AD (2) D (3) BCD (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 6cm (2) 75 (3) 105 (1) 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので,AD=BC=6cm (2) 平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので, D= B=75 (3) 四角形の内角の和は 180 (4-2)=360 なので A+ B+ C+ D=360 平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので, B= D=75, A= C ゆえに, C+75 + C+75 =360,2 C=210 ゆえに C=105 右の図の平行四辺形 ABCD で, 点 E は BAD の二等分線と辺 BC との交点である ABE=64,AB=5cm, BC=7cm のとき, 次の各問いに答えよ (1) AEB の大きさを求めよ (2) 線分 EC の長さを求めよ (1) (2) [ 解答 ](1) 58 (2) 2cm (1) 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のようにa の角をとる ABE で 三角形の内角の和は 180 なので, a+a+64 =180,2a=116 ゆえにa=58 (2) 2 角が等しい三角形は二等辺三角形である ので, BAE は二等辺三角形で BA=BE=5cm ゆえに,EC=BC- BE=7-5=2cm 25
26 右の図の平行四辺形 ABCD で, BAD の二等分線と辺 BC の交点を E とするとき, 次の各問いに答えよ (1) ABE はどんな三角形か (2) ADC の大きさを求めよ (3) AD の長さを求めよ (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 二等辺三角形 (2) 56 (3) 9cm (1) 平行線では錯角は等しい 性質を使って, 図のように 62 の角を移す 2 角が等しい三角形は二等辺三角形である ので, ABE は二等辺三角形になる (2) ABE で, 三角形の内角の和は 180 なので, B =180, B=56 平行四辺形の向かい合う角は等しい ので, D= B ゆえに D=56 (3) 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい ので,AB=CD=6cm ABE は二等辺三角形なので,AB=BE ゆえに BE=6cm BC=BE+EC=6+3=9cm 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい ので,AD=BC=9cm 次の図の平行四辺形 ABCD で,EF // GC, DC=8cm のとき次の各問いに答えよ 1 x の値を求めよ 2 y の角の大きさを求めよ 1 2 [ 解答 ] EG // FC,EF // GC なので, 四角形 EFCG は平行四辺形 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい ので,EG=FC=2cm また,AB=DC=8cm 26
27 AE+EG+GB=AB,2+2+ x =8 ゆえに x =4 2 平行線では同位角は等しい 性質を使って, 図のように 88 の角を移す 平行四辺形の向かい合う角は等しい ので, y +88 =130 ゆえに y =42 右の図の平行四辺形 ABCD で, AD // EF,AB // GH である このとき, x, y の 値, a, b の大きさをそれぞれ求めよ x = y = a = b = [ 解答 ] x =3cm, y =4cm, a =110, b =70 四角形 ABHG は仮定より向かい合う 2 組の辺が平行なので平行四辺形である 平行四辺形の向かい合う角は等しいので, a =110 同様にして, 四角形 GDFI も平行四辺形で,b = DGI=180 - a = =70 また, 平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので, x =CF=7-4=3cm, y =AG=10-6=4cm 平行四辺形 ABCD の A の二等分線が辺 BC と交わる点を E, 辺 DC の延長と交わる点を F とする これについて, 次の各問いに答えよ (1) F=65 のとき, B, AEC の大きさを求めよ (2) AB=5cm,AD=9cm のとき,CF の長さを求めよ (1) B= AEC= (2) 27
28 [ 解答 ](1) B=50 AEC=115 (2) 4cm (1) 仮定より CFE=65 で, 平行線の錯角は等しいので, BAE= CFE よって BAE=65 また, 仮定より DAE= BAE なので, DAE=65 よって, BAD= BAE+ DAE = =130 平行線の錯角は等しいので, GBA= BAD よって GBA=130 ゆえに, B= =50 次に AEC について平行線の錯角は等しいので, BEA= DAE よって BEA=65 AEC=180 - BEA= =115 (2) (1) より BAE= BEA なので, BAE は二等辺三角形で,BA=BE BA=5cm なので,BE=5cm また,BC=AD=9cm よって,CE=BC-BE=9-5=4(cm) 対頂角は等しいので, CEF= AEB=65 よって, CEF= CFE なので, CEF は二等辺三角形で CF=CE ゆえに,CF=4cm [ 問題 ](2 学期期末 ) 次の図で, x の大きさを求めよ [ 解答 ]70 28
29 平行線では錯角は等しい, 対頂角は等しい の性質を使って, 図のように の角を移す は 35 で, BEF で, 三角形の外角は, それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい ので, x = = 70 29
30 いろいろな四角形 (1) ひし形の定義は 4 つの ( ) が等しい四角形である (2) 長方形の定義は 4 つの ( ) が等しい四角形である (3) 平行四辺形の定義は 2 組の向かい合う ( 1 ) がそれぞれ ( 2 ) な四角形である (1) (2) (3)1 2 [ 解答 ](1) 辺 (2) 角 (3)1 辺 2 平行 ひし形, 長方形, 正方形は平行四辺形の特殊な場合である ひし形 : 定義 4 つの辺が等しい四角形 長方形 : 定義 4 つの角が等しい四角形 正方形 : 定義 4 つの角が等しく,4 つの辺が等しい四角形 平行四辺形 ABCD が次の条件を持つとき, それぞれどのような四角形になるか答えよ (1) AB=BC (2) A= B (3) AB=BC, B=90 (1) (2) (3) [ 解答 ](1) ひし形 (2) 長方形 (3) 正方形 (1) 平行四辺形なので向かい合う辺の長さが等しく,AB=CD,AD=BC である これに AB =BC の条件が付け加わると,AB=BC=CD=AD で 4 つの辺の長さが等しくなり, ひし形になる (2) 平行四辺形なので向かい合う角の大きさが等しく, A= C, B= D である これに A= B の条件が付け加わると, A= B= C= D で 4 つの角が等しくなり, 長方形になる (3) AB=BC なので (1) と同様にして 4 辺が等しくなる また B=90 なので, 他の 3 つの角もすべて 90 になり, A= B= C= D となる 4 つの角が等しく,4 つの辺が等しい四角形なので正方形になる 30
31 平行四辺形 ABCD に次の条件が加わると, どんな四角形になるか答えよ ただし,O は対角線の交点とする (1) AB=AD (2) AC=BD (3) AOB=90, ABC=90 (1) (2) (3) [ 解答 ](1) ひし形 (2) 長方形 (3) 正方形 ひし形, 長方形, 正方形は平行四辺形の特殊な場合である ひし形 : 定義 4 つの辺が等しい四角形, 性質 対角線が垂直に交わる 長方形 : 定義 4 つの角が等しい四角形, 性質 対角線の長さが等しい 正方形 : 定義 4 つの角が等しく,4 つの辺が等しい四角形 性質 対角線の長さが等しく垂直に交わる (1) 平行四辺形なので向かい合う辺の長さが等しく,AB=CD,AD=BC である これに AB =AD の条件が付け加わると,AB=BC=CD=AD で 4 つの辺の長さが等しくなり, ひし形になる (2) 対角線が等しい平行四辺形は長方形である (3) AOB=90 より対角線が垂直に交わる 対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である ABC=90 より他の 3 つの内角もすべて 90 になる 4 つの角が等しい四角形は長方形である ひし形と長方形の性質を同時にもつのは正方形である 下の四角形ア~オのうち,(1)~(4) の条件を常に満たすものをすべて選び, 記号で答えよ ア : 平行四辺形イ : 正方形ウ : 台形エ : 長方形オ : ひし形 (1) 内角の和が 360 である (2) 2 つの対角線が中点で交わる (3) 4 つの辺の長さがすべて等しい (4) 2 つの対角線の長さが等しい (1) (2) (3) (4) 31
32 [ 解答 ](1) アイウエオ (2) アイエオ (3) イオ (4) イエ (1) 内角の和が 360 である多角形は四角形である ア~オはすべて四角形 (2) 2 つの対角線が中点で交わる四角形は平行四辺形である 正方形, 長方形, ひし形は平行四辺形の一種である (3) 4 つの辺の長さがすべて等しい四角形はひし形である 正方形はひし形の一種である (4) 2 つの対角線の長さが等しい四角形は長方形である 正方形は長方形の一種である 次の各問いに答えよ (1) 平行四辺形 ABCD で AC BD である 四角形 ABCD はどんな四角形か (2) (1) の条件にさらに A= B を加えるとどんな四角形になるか (1) (2) [ 解答 ](1) ひし形 (2) 正方形 (1) AC BD より対角線が垂直に交わる 対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である (2) 平行四辺形なので向かい合う角の大きさが等しく, A= C, B= D である これに A= B の条件が付け加わると, A= B= C= D で 4 つの角が等しくなり, 長方形になる (1) の性質も満たすので, ひし形でもある ひし形と長方形の性質を同時にもつのは正方形である [ 問題 ](2 学期期末 ) 下は, 二等辺三角形, 正三角形, 平行四辺形の定義と定理である 空欄にあてはまる言葉を選択欄から選び記号で答えよ ただし, 同じ記号を何度使ってもよい ( 1 ) が等しい三角形を二等辺三角形という ( 定義 ) 二等辺三角形の( 2 ) は等しい ( 定理 ) 二等辺三角形の( 3 ) の二等分線は ( 4 ) を垂直に二等分する ( 定理 ) ( 5 ) が等しい三角形を正三角形という ( 定義 ) 正三角形の 3 つの ( 6 ) は等しい ( 定理 ) 2 組の ( 7 ) が, それぞれ ( 8 ) な四角形を平行四辺形という ( 定義 ) 平行四辺形の対角線は, それぞれの ( 9 ) で交わる ( 定理 ) [ 選択欄 ] ア : 内角, イ : 外角, ウ : 同位角, エ : 底角, オ : 錯角, カ : 同位角キ : 直角, ク : 鋭角, ケ : 鈍角, コ : 頂角, サ : 対辺, シ : 底辺, ス : 平行, セ :1 辺, ソ :2 辺, 夕 :3 辺, チ : 中点 32
33 [ 解答 ]1 ソ 2 エ 3 コ 4 シ 5 タ 6 ア 7 サ 8 ス 9 チ 33
34 平行線と面積 [ 面積が等しい三角形をさがす ] 右の図は AD // BC の台形である ABC と面積の等しい三角形を記号で表せ [ 解答 ] DBC ABC と DBC で, 図のように P,Q をとる それぞれの底辺を BC とすると, 底辺は共通 AD // BC なので AP=DQ で, それぞれの三角形の高さも等しい よって 2 つの三角形の面積は等しい 右の図は,AD // BC の台形 ABCD で, 対角線 AC と BD の交点を O とする このとき, 次の各問いに答えよ (1) ABD と面積が等しい三角形はどれか (2) ABO と面積が等しい三角形はどれか (1) (2) [ 解答 ](1) ACD (2) DCO 34
35 平行四辺形 ABCD の対角線 AC に平行な直線が辺 AD,CD と交わる点を, それぞれ E,F とする このとき, ABE と面積が等しい三角形を 3 つ答えよ [ 解答 ] ACE, ACF, BCF 右の図 1 のように, ABE の AE を底辺とすると,BC は底辺に平行なので, ACE は ABE と底辺が共通で高さが同じになる したがって, ACE と ABE は面積が等しくなる 次に, ACE と面積が等しい三角形をさがす 図 2 で, ACE と底辺 AC を同じにする ACF は,EF が底辺と平行なので, 面積が同じになる 同様にして, 図 3 で ACF と BCF は面積が同じになる 平行四辺形 ABCD の対角線 BD に平行な直線が辺 AD,AB と交わる点をそれぞれ E,F とする このとき, BCF と面積が等しい三角形を 3 つあげよ [ 解答 ] BDF, BDE, CDE 35
36 次の平行四辺形 ABCD で,BC // EF であるとき, FCB と面積が等しい三角形を 2 つ書け [ 解答 ] FCA, BEF 図 1 のように, FCB の底辺を FC とすると,AB は底辺 FC に平行なので, FCA は FCB と底辺が共通で高さが同じになる したがって, FCA は FCB と面積が同じになる 次に, 図 2 の FCB と BEF で, FCB の底辺を CB, BEF の底辺を EF とする 四角形 BCEF は平行四辺形になるので,CB=EF となる したがって,2 つの三角形の底辺の長さが等しくなる ( 共通ではない ) また,BC // EF なので,2 つの三角形の高さは等しくなる よって, FCB と BEF は面積が等しくなる 右の図の平行四辺形 ABCD で,M は辺 AD の中点である このとき, 次の各問いに答えよ (1) ABC と面積の等しい三角形を 2 つあげよ (2) ABM と面積の等しい三角形を 2 つあげよ (1) (2) [ 解答 ](1) BMC, ACD (2) ACM, MCD (1) 図 1 のように, ABC と MBC で,BC を共通の底辺とすると, AM // BC なので, ABC と MBC の高さは等しくなる したがって, 36
37 ABC と MBC は面積が等しい 次に, 図 2 の ABC と ACD は, 底辺と高さがそれぞれ等しいので, 面積も等しくなる (2) 図 3 のように, ABM と ACM で,AM を共通の底辺とすると, AM // BC なので, ABM と ACM の高さは等しくなる したがって, ABM と ACM は面積が等しい 次に, 図 4 の ACM と MCD は, 底辺と高さがそれぞれ等しいので, 面積も等しくなる [ 面積を求める ] 次の図で, 斜線部分の面積を求めよ ただし, 平行四辺形 ABCD の面積は 120cm 2 とする 1 2 [ 解答 ]1 30cm cm 2 1 平行四辺形の対角線で分けられる 2 つの三角形は合同である したがって, 右図の ABD と CBD は面積が等しい また, BAC と DAC も面積が等しい さらに, 平行四辺形の 2 つの対角線で分けられる 4 つの三角形 ( 右図の ABO, BCO, CDO, ADO) はすべて面積が等しい 例えば, 右図の ABO と BCO で,AO,CO をそれぞれの三角形の底辺とする 平行四辺形の対角線は中点で交わるので,AO=CO となる また,2 つの三角形の高さ BH は共通である したがって, ABO と BCO の面積は等しくなる 同様にして, BCO と CDO, CDO と ADO も面積が等しくなる よって, 問題図の図の斜線部分の面積は,120(cm 2 ) 4=30(cm 2 ) となる 37
38 2 右図の ADE と ADC の共通の底辺を AD とすると,CE // AD なので,2 つの三角形の高さは等しくなる したがって, ADE と ADC の面積は等しい 平行四辺形 ABCD の面積は 120cm 2 なので, ADC の面積は,120(cm 2 ) 2=60(cm 2 ) となる したがって, ADE の面積も 60(cm 2 ) となる 面積が 40cm 2 の平行四辺形 ABCD で, 点 P を次のようにとるとき, 以下の各問いに答えよ (1) ABP+ CDP の面積を求めよ (2) ADP の面積を求めよ (CP=DP) (3) 点 Q が線分 DP の中点であるときの APQ の面積を求めよ (1) (2) (3) [ 解答 ](1) 20cm 2 (2) 10cm 2 (3) 10cm 2 (1) 右図のように線分 AC をひく ABP と ACP について, AP を共通の底辺とすると,QD // BC なので, BQ=CR となり,2 つの三角形の高さも等しくなり, ABP= ACP と 2 つの三角形の面積は等しくなる よって, ABP+ CDP= ACP+ CDP= ACD 1 1 ACD の面積は平行四辺形 ABCD ので, 40 = 20 (cm 2 ) となる
39 (2) 右図のように AD,BC に平行な線分 PQ をひく 明らかに,4 つの三角形 ( ADP, PQA, PQB, CBP) はすべて面積が等しい よって,( ADP の面積 )=40 4=10cm 2 (3) 右図のように底辺と高さをとると, ( 平行四辺形 ABCD の面積 )=( 底辺 AD) ( 高さ BH) 1 ( APD の面積 )= ( 底辺 AD) ( 高さ BH) 2 よって, APD の面積は平行四辺形 ABCD の面積の半分で,40 2=20(cm 2 ) 次に, APQ と ADQ について, 点 Q が線分 DP の中点であるので,( 底辺 PQ)=( 底辺 DQ) 高さ AR は共通 よって, APQ と ADQ の面積は等しく, APQ の面積は APD の半分になる ゆえに,( APQ の面積 )=20 2=10(cm 2 ) 平行四辺形 ABCD で対角線の交点 O を通る直線をひき, 辺 AD,BC との交点をそれぞれ P,Q とする BQ:QC =3:2, OCQ=10cm 2 であるとき, OAB の面積を求めよ [ 解答 ]25(cm 2 ) OBQ と OCQ で, 底辺をそれぞれ BQ,CQ とすると高さは共通なので,2 つの三角形の面積比は底辺の長さの比になる よって, OBQ: OCQ=BQ:CQ=3:2 OCQ=10cm 2 なので, 3 OBQ=10 =15(cm 2 ) 2 よって, OCB= OBQ+ OCQ=15+10=25(cm 2 ) ところで, 平行四辺形の対角線は中点で交わるので,OA=OC OAB と OCB の底辺をそれぞれ OA,OC とすると, 高さは共通で等しい 高さと底辺の長さが等しいので, OAB= OCB=25(cm 2 ) 39
40 [ 等積変形 ] 右の図で,DE // AC のとき, 四角形 ABCD の面積 と ABE の面積が等しくなることを ( ) を埋めて証 明せよ ( 仮定 ) ( ア ) ( 結論 ) ( イ ) ( 証明 ) 四角形 ABCD= ABC+ ( ウ ) また,DE // AC より, ( ウ )= ( エ ) 四角形 ABCD= ABC+ ( ウ ) = ABC+ ( エ )= ABE ア ウ イ エ [ 解答 ] ア DE // AC イ四角形 ABCD の面積と ABE の面積が等しいウ ACD エ ACE ACD と ACE において, AC を共通の底辺とすると,DE // AC なので, 右図のように,DP=EQ で高さが等しい よって,2 つの三角形の面積は等しく, ACD= ACE 四角形 ABCD= ABC+ ACD = ABC+ ACE= ABE 右の図の四角形 ABCD は AD // BC の台形である AB // ED となるように点 E を BC 上にとったとき, DBC = 四角形 AECD であることを, 次のように証明した ( ) にあてはまるものを入れよ [ 証明 ] DBE と DAE は, 底辺 ( ア ), を共通とし, AB // ( イ ) よって, DBE= DAE 1 40
41 また, DBC= DBE+ DEC 2 四角形 AECD= DAE+( ウ ) 3 1,2,3から DBC= 四角形 AECD アイウ [ 解答 ] ア DE イ DE ウ DEC 次の図を参照 [ 等積変形の作図 ] 右のような四角形 ABCD がある BC の延長線上に点 E をとり, ABE の面積と四角形 ABCD の面積が等しくなるようにしたい 点 E を作図せよ [ 解答 ] 41
42 まず, 上図 1のように BC の延長線上に, 四角形 ABCD と ABE の面積がおおよそ等しくなるような点 E をとってみる 四角形 ABCD と ABE の面積が等しいとき, ADP と CEP の面積が等しくなる そこで, 図 2のように A と C を結ぶ ADP と CEP の面積が等しいとき, ACD と ACE の面積は等しくなる AC を共通な底辺と考えると, 図 3 のように,DE は底辺 AC に平行になる 右の図において, 折れ線 ABC を境界線とする P と Q の 2 つの土地がある この 2 つの土地の面積を変えずに 2 つとも四角形になるように, 図の点 A を通る線分に境界線を改めたい この条件に合うように, 境界線 AD を作図せよ ただし, 平行な線は記号であらわすこと [ 解答 ] 42
43 まず, 上図 1のように, 境界線変更前と変更後の面積がおおよそ等しくなるように AD を引く Q についていえば, ABE が減少する部分で, EDC が増加する部分である この 2 つの三角形の面積が同じになればよい 次に図 2のように A と C を結ぶ ABE と EDC の面積が等しいとき, ABC と ADC の面積は等しくなる AC を共通な底辺と考えると, 図 3のように,BD は底辺 AC に平行になる ABC において, 辺 BC の中点を M, 辺 AC 上の点を P とする 辺 BC 上に点 Q をとって, ABC の面積を 2 等分するような線分 PQ を作図せよ ( ただし作図跡は残すこと ) [ 解答 ] 43
44 M は BC の中点なので, ABM と ACM は面積が等しい したがって, ACM は ABC の半分の面積である PQ が ABC の面積を二等分するとき, PQC の面積は ACM の面積と等しくなる 上図 1のように, PQC と ACM の面積がおおよそ等しくなるように点 Q をとる このとき, APR と QMR の面積は等しい 次に図 2のように P と M を結ぶ APR と QMR の面積が等しいとき, AMP と QMP の面積は等しくなる MP を共通な底辺と考えると, 図 3のように,AQ は底辺 MP に平行になる 右の図のように, ABC の頂点 A を通る直線 l と, 辺 BC 上に点 P がある l 上に点 Q をとり, 四角形 ABPQ が ABC の面積と等しくなるようにする 点 Q を作図せよ [ 解答 ] 44
45 次の図で, 直線 CD 上に点 P,Q をとり, 六角形 ABCDEF と面積の等しい四角形 APQF をかけ [ 解答 ] AC // BP となるように P をとれば, ABC の面積と APC の面積は等しくなる FD // EQ となるように Q をとれば, FED の面積と FQD の面積は等しくなる 45
46 FdData 中間期末製品版のご案内 詳細は,[FdData 中間期末ホームページ ] に掲載 ([Shift]+ 左クリック 新規ウィンドウ ) 印刷 編集この PDF ファイルは,FdData 中間期末を PDF 形式に変換したサンプルで, 印刷はできないように設定しております 製品版の FdData 中間期末は Windows パソコン用のマイクロソフト Word(Office) の文書ファイルで, 印刷 編集を自由に行うことができます FdData 中間期末の特徴中間期末試験で成績を上げる秘訣は過去問を数多く解くことです FdData 中間期末は, 実際に全国の中学校で出題された試験問題をワープロデータ (Word 文書 ) にした過去問集です 各教科 ( 社会 理科 数学 ) 約 1800~2100 ページと豊富な問題を収録しているため, 出題傾向の 90% 以上を網羅しております FdData 中間期末を購入いただいたお客様からは, 市販の問題集とは比べものにならない質の高さですね 子どもが受けた今回の期末試験では, ほとんど同じような問題が出て今までにないような成績をとることができました, 製品の質の高さと豊富な問題量に感謝します 試験対策として, 塾の生徒に FdData の膨大な問題を解かせたところ, 成績が大幅に伸び過去最高の得点を取れました などの感想をいただいております サンプル版と製品版の違いホームページ上に掲載しておりますサンプルは, 印刷はできませんが, 製品の全内容を掲載しており, どなたでも自由に閲覧できます 問題を 目で解く だけでもある程度の効果をあげることができます しかし,FdData 中間期末がその本来の力を発揮するのは印刷ができる製品版においてです 印刷した問題を, 鉛筆を使って一問一問解き進むことで, 大きな学習効果を得ることができます さらに, 製品版は, すぐ印刷して使える 問題解答分離形式, 編集に適した 問題解答一体形式, 暗記分野で効果を発揮する 一問一答形式 ( 理科と社会 ) の 3 形式を含んでいますので, 目的に応じて活用することができます FdData 中間期末の特徴 (QandA 方式 ) ([Shift]+ 左クリック 新規ウィンドウ ) FdData 中間期末製品版 (Word 版 ) の価格 ( 消費税込み ) 以下のリンクは [Shift] キーをおしながら左クリックすると, 新規ウィンドウが開きます数学 1 年, 数学 2 年, 数学 3 年 : 各 7,800 円 ( 統合版は 18,900 円 ) ([Shift]+ 左クリック ) 理科 1 年, 理科 2 年, 理科 3 年 : 各 7,800 円 ( 統合版は 18,900 円 ) ([Shift]+ 左クリック ) 社会地理, 社会歴史, 社会公民 : 各 7,800 円 ( 統合版は 18,900 円 ) ([Shift]+ 左クリック ) Windows パソコンにマイクロソフト Word がインストールされていることが必要です (Mac の場合はお電話でお問い合わせください ) ご注文は, メール (info2@fdtext.com), または電話 ( ) で承っております 注文 インストール 編集 印刷の流れ, 注文メール記入例 ([Shift]+ 左クリック ) Fd 教材開発 Mail: info2@fdtext.com Tel :
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三角形 四角形 二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形 二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理 二等辺三角形の底角は等しい 定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は 底辺を直角に2 等分する 正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で 同じ印をつけた辺や角が等しいとき の大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)
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NAVI 2 MAP 3 ABCD EFGH D F ABCD EFGH CD EH A ABC A BC AD ABC DBA BC//DE x 4 a //b // c x BC//DE EC AD//EF//BC x y AD DB AE EC DE//BC 5 D E AB AC BC 12cm DE 10 AP=PB=BR AQ=CQ BS CS 11 ABCD 1 C AB M BD P
FdData中間期末数学1年
中学中間 期末試験問題集 ( 過去問 ): 数学 年 四則をふくむ式の計算 http://www.fdtext.com/dat/ [ 加減と乗除が混じった計算 ] [ 問題 ]( 前期中間 ) 9+8 (-) [ 解答 ]-7 加減と乗除が混じった式では, 乗除を先に計算する ( +-の順で計算) 9+8 (-) では,8 (-) の部分を先に計算 9+8 (-)9--7 [ 問題 ]( 学期期末
丛觙形ㆮ隢穓ㆮ亄ç�›å‹ƒç·ı
三角形の面積は == 三角形の面積の二等分線 == ( 面積 )=( 底辺 ) ( 高さ ) 2 の公式で求められます. 次の図のように, ABC の頂点 A から対辺 BC の中点 ( 真ん中の点,1 対 1 に内分する点 ) D に線分 AD をひくと, ABD と DCA とは, 底辺が等しく, 高さが共通になるから, これら 2 つの三角形の面積は等しくなります.( 高さは底辺と垂直 ( 直角
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年天体 [ 日食 月食 ] パソコン タブレット版へ移動 [ 太陽と月の見かけの大きさ ] [ 問題 ](1 学期期末 ) 太陽と月を地球から見たとき, 見かけ上の大きさを比較するとどうなるか 次の [ ] から 1 つ選べ [ 太陽が大きい月が大きいほぼ同じである ] [ 解答 ] ほぼ同じである [ 解説 ] 太陽の直径は月の約 400 倍である また,
4STEP 数学 B( 新課程 ) を解いてみた 平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 59 A 2 B 2 = AB 2 - AA æ 1 2 ö = AB1 + AC1 - ç AA1 + AB1 3 3 è 3 3 ø 1
平面上のベクトル 6 ベクトルと図形 A B AB AA AB + AC AA + AB AA AB + AC AB AB + AC + AC AB これと A B ¹, AB ¹ より, A B // AB \A B //AB A C A B A B B C 6 解法 AB b, AC とすると, QR AR AQ b QP AP AQ AB + BC b b + ( b ) b b b QR よって,P,
中２テスト０６
中学校第 学年単元別確認テスト 6 単元名 : 一次関数と方程式 ( 啓林館 ) 次関数と方程式 ( 東京書籍 ) 年 ( ) 組 ( ) 番名前 ( ) ~6 7~9 得点 ( /) ( /) ( /) ( /9) 知識 理解技能見方や考え方 χ+=6 のグラフは ( 0,( ア ) ),( ( イ ),0) の 点を通る直線である ( ア ),( イ ) にあてはまる数を書きなさい ( ア )
隢穓æ¯fl
面積の比 つの三角形の高さが等しいときは, 面積の比は底辺の長さの比に等しい. 三角形の面積は ( 底辺 ) ( 高さ ) で求められる. 右図の ABC と ABD の面積は各々 ABC ABD BC h BD h ここで BC:BDa:b ならば 辺 BC の長さを BC と書く. 文字式の計算として B と C を掛けているわけではない.BD も辺の長さを表す記号. 式の中で ABC と書いたときは
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合
平成 3 0 年度前期選抜学力検査 数学 ( 1 0 時 ~ 1 0 時 4 5 分, 4 5 分間 ) 問題用紙 注 意 1. 開始 の合図があるまで開いてはいけません 2. 答えは, すべて解答用紙に書きなさい 3. 問題は, からまでで, 6 ページにわたって印刷してあります 4. 開始 の合図で, 解答用紙の決められた欄に受検番号を書きなさい 5. 問題を読むとき, 声を出してはいけません
1 次の (1) から (4) までの各問いに答えなさい (1) ' を計算しなさい (2)2#(-5 2 ) を計算しなさい 中数 A 1
平成 26 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
テレビ講座追加資料1105
数学類題にチャレンジ 問題編 類題 1 下の図のように,1 辺の長さが 8cm の正方形 を, 頂点, がそれぞれ頂点, に重なるように折り, を折り目とします さらに, 頂点 が線分 上に重なるように を折り目として折り曲げ, 頂点 と線分 が重なった点を とします このとき, 次の各問に答えなさい (1) の長さを求めなさい () の面積を求めなさい 類題 縦と横の辺の長さの比が :1 である長方形
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 線分 は の二等分線であるから :=:=:=: よって = = = 線分 は の外角の二等分線であるから :=:=:=: よって :=: したがって == 以上から =+=+= 右の図において, 点 は の外心である α,βを求めよ α β 70
Math-quarium 練習問題 + 図形の性質 図形の性質 線分 に対して, 次の点を図示せよ () : に内分する点 () : に外分する点 Q () 7: に外分する点 R () 中点 M () M () Q () () R 右の図において, 線分の長さ を求めよ ただし,R//Q,R//,Q=,=6 とする Q R 6 Q から,:=:6=: より :=: これから,R:=: より :6=:
平成25年度全国学力・学習状況調査：調査問題の内容/中学校/数学Ａ｜国立教育政策研究所 National Institute for Educational Policy Research
平成 25 年度全国学力 学習状況調査 中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 30 ページまであります すべ 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は,
問 題
数学 出題のねらい 数と式, 図形, 関数, 資料の活用 の 4 領域について, 基礎的な概念や原理 法則の理解と, それらに基づき, 数学的に考察したり, 表現したり, 処理したりする力をみることをねらいとした () 数と式 では, 数の概念についての理解の程度, 文字を用いた式を処理したり, 文字を用いて式に表現したりする力, 目的に応じて式を変形する力をみるものとした () 図形 では, 平面図形や空間図形についての理解の程度,
PowerPoint プレゼンテーション
平成 28 年度全国学力 学習状況調査 中学校数学 2 特徴的な問題 A 問題より A B C 垂線の作図方法について理解しているかどうか 3 関連問題 問題番号 問題の概要 全国正答率 三重県 公立 正答率 H24A 4 (1) 角の二等分線の作図の方法で作図された直線がもつ性質として, 正しい記述を選ぶ 58.2% 56.9% H26A 4 (2) 線分の垂直二等分線の作図の方法で作図される直線について,
( )
18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................
FdData中間期末数学3年
中学中間 期末試験問題集( 過去問 ): 数学 3 年 http://www.fdtext.com/dat/ 相似比と面積比 [ 相似比と面積比 1] [ 問題 ](3 学期 ) 右の図の 2 つの円 A,B について, 次の各問いに答えよ (1) A,B の円の相似比を求めよ (2) A,B の円の面積をそれぞれ求めよ (3) 面積の比を求めよ (1) (2)A B (3) [ 解答 ](1) 7:10
数論入門
数学のかたち 共線問題と共点問題 Masashi Sanae 1 テーマ メネラウスの定理 チェバの定理から 共線問題と共点問題について考える 共線 点が同一直線上に存在 共点 直線が 1 点で交わる 2 内容 I. メネラウスの定理 1. メネラウスの定理とその証明 2. メネラウスの定理の応用 II. 3. チェバの定理とその証明 メネラウスの定理 チェバの定理の逆 1. メネラウスの定理の逆
" 01 JJM 予選 4 番 # 四角形 の辺 上に点 があり, 直線 と は平行である.=,=, =5,=,= のとき, を求めよ. ただし,XY で線分 XY の長さを表すものとする. 辺 と辺 の延長線の交点を, 辺 と辺 の延長線の交点を G とする. 5 四角形 は直線 に関して線対称な
1 " 数学発想ゼミナール # ( 改題 ) 直径を とする半円周上に一定の長さの弦がある. この弦の中点と, 弦の両端の各点から直径 への垂線の足は三角形をつくる. この三角形は二等辺三角形であり, かつその三角形は弦の位置にかかわらず相似であることを示せ. ( 証明 ) 弦の両端を X,Y とし,M を線分 XY の中点,, をそれぞれ X,Y から直径 への垂線の足とする. また,M の直径
立体切断⑹-２回切り
2 回切り問題のポイント 1. 交線を作図する 2つの平面が交わると 必ず直線ができます この直線のことを 交線 ( こうせん ) といいます 2. 体積を求める方法は次の 3 通りのどれか! 1 柱の体積 = 底面積 高さ 1 2 すいの体積 = 底面積 高さ 3 3 柱の斜め切り= 底面積 高さの平均 ただし 高さの平均が使えるのは 底面が円 三角形 正方形 長方形 ひし形 平行四辺形 正偶数角形のときだけ
平成２４年度高知県算数・数学
平成 4 年度高知県算数 数学思考オリンピック ( 中学校 ) 解答例 問題 1 (1) 1 L 字型の縦の和と横の和を求めると, 左の図のように, アからケまでのうちオだけが 回足したことになる オ =5 なので, ( 縦の和 )+( 横の和 )=1++3+4+5+6+7+8+9+5 =50 縦の和は,50 =5 とわかる アからオのうちア, イ, オが 1,9,5 のときだから, ウ + エ =5-(1+9+5)
【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(連立方程式計算/加減法/代入法/係数決定)
FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 連立方程式計算 [ 元 1 次方程式 / 加減法 / 代入法 / 加減法と代入法 / 分数などのある連立方程式 / A=B=C, 元連立方程式 / 係数の決定 ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 元 1 次方程式 次の方程式ア~カの中から, 元 1 次方程式をすべて選べ ア y = 6 イ x y = 5 ウ xy = 1 エ x + 5 = 9
EBC= ABC これと ( ) より BFC= A.. ある人が0 段の階段を以下の条件を満たして登る登り方は何通りあるか 条件 : 一歩につき 段までとばして登ることができる 解説問題と同じ条件で k 段を登る場合の数を f(k) と表すことにする 一般に n 段の階段を登ることを考える 最初に
JFMO 解答 解説. 台形 ABCD において AD//BC, BC=AD が成り立っている 辺 AB の中点を点 E とし 線分 CE 上に点 F を ADE= FDE となるようにとると ADE= FBC が成り立つ 台形 ABCD の面積は であり AB=α,CE=β とするとき 三角形 FBC の面積をα,βを用いて表せ 解説直線 BF と AD の交点を G とする AD//BC より
Microsoft Word - スーパーナビ 第６回 数学.docx
1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 答え 2 15x 2 y 5xy 2 3 答え 2 次の各問いに答えなさい レベル 9 10 (1)
埼玉県学力 学習状況調査 ( 中学校 ) 復習シート第 3 学年数学 組 番 号 名 前 ( 数と式 を問う問題 ) 1 次の計算をしなさい レベル 6~8 1 (27x-36y+18) (-9) 2 15x 2 y 5xy 2 3 2 次の各問いになさい レベル 9 10 (1) 次の等式を の中の文字について解きなさい c=5(a+b) a a= (2) 次の連立方程式を解きなさい 3x 5y
<8D828D5A838A817C A77425F91E6318FCD2E6D6364>
4 1 平面上のベクトル 1 ベクトルとその演算 例題 1 ベクトルの相等 次の問いに答えよ. ⑴ 右の図 1 は平行四辺形 である., と等しいベクトルをいえ. ⑵ 右の図 2 の中で互いに等しいベクトルをいえ. ただし, すべてのマス目は正方形である. 解 ⑴,= より, =,= より, = ⑵ 大きさと向きの等しいものを調べる. a =d, c = f d e f 1 右の図の長方形 において,
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年 : 仕事 [ 仕事の原理 : 斜面 ] [ 仕事の原理 引く力 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 図のような斜面を使って質量 35kg の物体を 3m の高さまで引き上げた ただし, ひもの重さ, 斜面や滑車の摩擦はないものとする また,100g の物体を引き上げるのに必要な力を 1N とする (1) このとき, 物体がされた仕事はいくらか (2) 図のとき,
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 2 個 固定固定固定 固定 2 個 2 個 固定 固定 3 個 3 個 固定 3 個 4 個 4 個
紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 個 固定固定固定 固定 個 個 固定 固定 個 個 固定 個 4 個 4 個 * 隣り合う辺を結んで折るとき 最大 個 * 向かい合う辺を結んで折るとき 最大 4 個 < 問題 > 固定される場合 その位置はどこか? そのときの相似比はいくらか? 返上を移動する場合 その範囲はどうか? 合同になるときはあるか? それはどんなときか?
全都道府県 公立高校入試 数学 単元別
学習塾 家庭教師の先生方へ よく受ける質問内容をもとに この教材の効果的な使い方をお伝えいたします 特に中学 3 年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります 中学 1 2 年生の学年では 1 年間で数学の教科書 1 冊を終えればよいのですが 3 年生の場合はそういうわけにはいきません 3 年生の 1 年間で 3 年生の教科書 1 冊と受験対策 (1 年 ~3 年
( 表紙 )
( 表紙 ) 1 次の各問いに答えなさい. 解答用紙には答えのみ記入すること. ( 48 点 ) (1) U108 -U8 %5U6 + 7 U を計算しなさい. () 15a 7 b 8 &0-5a b 1& - 8 9 ab を計算しなさい. () + y - -5y 6 を計算しなさい. (4) 1 4 5 の 5 枚のカードから 枚を選び, 横に並べて 桁の数を作 るとき, それが の倍数になる確率を求めなさい.
二次関数 1 二次関数とは ともなって変化する 2 つの数 ( 変数 ) x, y があります x y つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また,2 つの変数を式に表すと, 2 y x となりま
二次関数 二次関数とは ともなって変化する つの数 ( 変数 ) x, y があります y 0 9 6 5 つの変数 x, y が, 表のように変化するとき y は x の二次関数 といいます また, つの変数を式に表すと, x となります < 二次関数の例 > x y 0 7 8 75 x ( 表の上の数 ) を 乗して 倍すると, y ( 表の下の数 ) になります x y 0 - -8-8 -
< D8C6082CC90AB8EBF816989A B A>
数 Ⅰ 図形の性質 ( 黄色チャート ) () () () 点 は辺 を : に外分するから :=: :=: であるから :=: == () 点 は辺 を : に内分するから :=:=: = + %= また, 点 は辺 を : に外分するから :=:=: == =+=+= 直線 は の二等分線であるから :=: 直線 は の二等分線であるから :=: 一方, であるから, から, から :=: :=:
平成 31 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) 3 (-2 2 ) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問
平成 1 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の ~(7) の問いに答えなさい (- ) を計算しなさい 表合計 次の ~(6) の問いに答えなさい 合計 関数 y = x のグラフについて正しいものを, 次のア ~ エからすべて選んで記号を書きなさい アイウエ グラフは原点を通る
2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l
ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE
平成 25 年度京都数学オリンピック道場 ( 第 1 回 ) H 正三角形 ABC の外接円の,A を含まない弧 BC 上に点 P をとる. このとき, AP = BP + CP となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4APC = 4ABC = 60, であるから, 図のよ
1 正三角形 の外接円の, を含まない弧 上に点 をとる. このとき, = + となることを示せ. 解説円周角の定理より, 4 = 4 = 60, であるから, 図のように直線 上に点 を, 三角形 が正三角形となるようにとることができる. 三角形 と三角形 において, =, = であり, 4 = 4 = 60, - 4 であるから, 辺とその間の角がそれぞれ等しく, 三角形 と三角形 は合同である.
熊本県数学問題正解
00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (
2014年度 センター試験・数学ⅡB
第 問 解答解説のページへ [] O を原点とする座標平面において, 点 P(, q) を中心とする円 C が, 方程式 y 4 x で表される直線 l に接しているとする () 円 C の半径 r を求めよう 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y - ア ( x- ) + qなので, P イ から l に引いた垂線と l の交点 Q の座標は ( ( ウ + エ q ), 4 (
20～22.prt
[ 三クリア W] 辺が等しいことの証明 ( 円周角と弦の関係利用 ) の の二等分線がこの三角形の外接円と交わる点をそれぞれ とするとき 60 ならば であることを証明せよ 60 + + 0 + 0 80-60 60 から ゆえに 等しい長さの弧に対する弦の長さは等しいから [ 三クリア ] 方べきの定理 接線と弦のなす角と円周角を利用 線分 を直径とする円 があり 右の図のように の延長上の点
3 次のにあてはまる数を書きましょう レベル 5 6 (H23 埼玉県小 中学校学習状況調査 3(3)) 下の数直線で アのめもりが表す分数は, ア です イまた イのめもりが表す分数は, です ア イ 4 次の問題を読み 問いになさい レベル 5 6 だいきさんは, の計算をするのに
埼玉県学力 学習状況調査 ( 小学校 ) 復習シート第 5 学年算数 組 番 号 名 前 ( 数と計算 を問う問題) 1 次の計算をしなさい (H27 埼玉県学力 学習状況調査 1 H24 埼玉県小 中学校学習状況調査 1) (1) 3.5+4.9 レベル2~4 (2) 8-2.7 レベル2~4 (3) + (4) 57.6 16 レベル 2~4 レベル 5 6 (5) 8.3 25 レベル 5 6
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(負の数/数直線/絶対値/数の大小)
FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 正負の数 [ 正の数 負の数 / 数直線 / 正の数 負の数で量を表す / 絶対値 / 数の大小 / 数直線を使って ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 正の数 負の数 [ 負の数 ] 次の文章中の ( ) に適語を入れよ () +5 や+8 のような 0 より大きい数を ( ) という () - や-7 のような 0 より小さい数を ( ) という
2015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名
015 年度新中学 3 年数学 春休みの課題 3 年組番氏名 正負の数 (1) 6-1 4 3 を計算しなさい () 6-4 ( -3) を計算しなさい (3) 4+5 ( -6) を計算しなさい 正負の数指数を含む計算 (4) 3-3 - 3 1 を計算しなさい 1 1 3 (5) ( 3- ) + - 4 を計算しなさい (6) 9 5 3 1 - - 3 6 を計算しなさい 3 (7) { (
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 平面のベクトル 例題 1 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んで
平面のベクトル 例題 つなぐ, 伸ばす / 正多角形正 n 角形問題を解くとき注目すべき主な点 角 図形点について頂点, 辺の中点, 外接円の中心角について円周角, 中心角図形について頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) または三角形頂点, 外接円の中心, 辺の中点を頂点とする直角三角形別解頂点を結んでできる平行四辺形 ( ひし形 ) と三角形に注目して解く A B E F C D 図より,
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次
![夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次](/thumbs/88/115011777.jpg "夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 [] 人の生徒に数学のテストを行った 次の表 は, その結果である ただし, 表 の数値はすべて正確な値であるとして解答せよ 表 数学のテストの得点 次")
夏期講習高 センター数学 ⅠA テキスト第 講 第 講 三角比 データの分析 ABC は AB=,BC=,AC= を満たす ⑴ cos B= アイ である 辺 BC 上に点 D を取り, ABD の外接円の半径を R とするとき, AD R = ウであり, 点 D を点 B から点 C まで移動させるとき,R の最小値はエである ただし, 点 D は点 B とは異なる点とする ⑵ ABD の外接円の中心が辺
【FdData中間期末過去問題】中学数学3年(二次方程式応用/係数/数/面積･体積/動点)
FdData 中間期末 : 中学数学 3 年 : 二次方程式応用 [ 係数の決定 / 整数の問題 / 面積 体積の問題 / 動点の問題 ] [ 数学 3 年 pdf ファイル一覧 ] 係数の決定 [ 係数 a を求める ] 二次方程式 + a = 0 の 1 つの解が 3 であるとき, a の値を求めよ また, もう 1 つの解を求めよ a = = a = 3 = 1 + a = 0 1の解の 1
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長
STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp 図形と計量 三角形の面積 三角形の面積 の面積を S とすると, S in in in 解説 から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in より, S H in H STEP 数学 Ⅰ を解いてみた http://toitemit.ku.ne.jp から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in(
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 3 年 [ 仕事の原理 : 斜面 ] パソコン タブレット版へ移動 [ 仕事の原理 引く力 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 次の図のような斜面を使って質量 35kg の物体を 3m の高さまで引き上げた ただし, ひもの重さ, 斜面や滑車の摩擦はないものとする また,100g の物体にはたらく重力を 1N とする (1) このとき, 物体がされた仕事はいくらか
2016年度 九州大・理系数学
0 九州大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 座標平面上の曲線 C, C をそれぞれ C : y logx ( x > 0), C : y ( x-)( x- a) とする ただし, a は実数である を自然数とするとき, 曲線 C, C が 点 P, Q で交わり, P, Q の x 座標はそれぞれ, + となっている また, 曲線 C と直線 PQ で囲まれた領域の面積を S,
PSCHG000.PS
b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bc bf cd de ef b c d e f bcd bcf bef cde def b c d e f bcd
untitled
( )!? 1 1. 0 1 ..1 6. 3 10 ffi 3 3 360 3.3 F E V F E + V = x x E E =5x 1 = 5 x 4 360 3 V V =5x 1 3 = 5 3 x F = x; E = 5 x; V = 5 3 x x 5 x + 5 3 x = x =1 1 30 0 1 x x E E =4x 1 =x 3 V V =4x 1 3 = 4 3 x
ピタゴラスの定理の証明４
[ 証明 ] この証明を論理的に厳密に行うには 何回か三角形 四角形の合同を証明しなくてはなりません 以下では 直感的な分かりやすさを重視して この証明を行いません 三角形 において であるとする 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 を三角形 の外側につくる 辺 を一辺とする正方形 Fを三角形 の外側につくる 直線 と直線 との交点を J とし 直線 と直線 F
Math-Aquarium 例題 図形と計量 図形と計量 1 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする A 地点の目の位置 A' から 木の先端への仰角が 30,A から 7m 離れた AQB=90 と なる B 地点の目の位置 B' から木の先端への仰角が 45 であ るとき,
図形と計量 直角三角形と三角比 P 木の先端を P, 根元を Q とする 地点の目の位置 ' から 木の先端への仰角が 0, から 7m 離れた Q=90 と なる 地点の目の位置 ' から木の先端への仰角が であ るとき, 木の高さを求めよ ただし, 目の高さを.m とし, Q' を右の図のように定める ' 0 Q' '.m Q 7m 要点 PQ PQ PQ' =x とおき,' Q',' Q' を
1999年度 センター試験・数学ⅡＢ
99 センター試験数学 Ⅱ 数学 B 問題 第 問 ( 必答問題 ) [] 関数 y cos3x の周期のうち正で最小のものはアイウ 解答解説のページへ 0 x 360 のとき, 関数 y cos3x において, y となる x はエ個, y となる x はオ 個ある また, y sin x と y cos3x のグラフより, 方程式 sin x cos3x は 0 x 360のときカ個の解をもつことがわかる
解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 29 年 12 月 17 日実施 ) 数 学 数学 2= 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 1 整理して (60 分 100 点 ) (2 3+ 2)(
解答例 ( 河合塾グループ株式会社 KEI アドバンスが作成しました ) 特別奨学生試験 ( 平成 9 年 月 7 日実施 ) 数 学 数学 = 工 経営情報 国際関係 人文 応用生物 生命健康科 現代教育学部 整理して (60 分 00 点 ) 3+ ( 3+ )( 6 ) ( 与式 ) = = 6 + + 6 (3 + ) すなわち 5 6 (5 6 )(3+ ) = = 3 9 8 = 4 6
相加平均 相乗平均 調和平均が表す比 台形 の上底 下底 の長さをそれぞれ, とするとき 各平均により 台形の高さ はどのように比に分けられるだろうか 相乗平均は 相似な つの台形になるから台形の高さ を : の 比に分ける また 相加平均は は : の比に分けます 調和平均は 対角線 と の交点を
台形に潜むいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 台形に調和平均 相加平均をみる 右図の台形 において = = とする の長さを, を用いて表してみよう = x = y = c とすると であることから : = : より c y = x + y であることから : = : より c x = x + y を辺々加えると x + y c + = より + = x + y c となる ここで = = c =
IMO 1 n, 21n n (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a
1 40 (1959 1999 ) (IMO) 41 (2000 ) WEB 1 1959 1 IMO 1 n, 21n + 4 13n + 3 2 (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a = 4, b =
数学 19 1 平面図形立体 6 1 解答解説 ライブ授業 ( 第 1 部 ) 授業内小テスト 1 (1) ( ) 1 ( 12) ( ) 1 ( 12) を計算せよ ( ) 12 = = 2 (3-2 2
ライブ授業 ( 第 部 ) 授業内小テスト () ( ) ( ) 6-8 ( ) ( ) 6 を計算せよ ( ) 6 (- )- -8 () 二次方程式 (-)(+)(-) + を解け ± (-)(+) (-) + -- -++ -6-8 0 ± () n -6n+が素数になるような自然数 nをすべて求めよ n,9 素数になる n-8 と n-8 がともに負の数の場合 n
() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =
図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7
FdText理科1年
中学理科 2 年 : オームの法則 [ http://www.fdtext.com/dat/ ] オームの法則 [ 要点 ] 電流: 電圧に比例 ( 電圧を 2 倍にすると電流は 2 倍になる ) ていこう : 抵抗の大きさに反比例 ( 抵抗を 2 倍にすると電流は半分になる ) 公式: 電流 (A)= 電圧 (V) 抵抗 (Ω) 抵抗 (Ω)= 電圧 (V) 電流 (A) 電圧 (V)= 抵抗 (Ω)
平成 27 年度 中学校第 3 学年 数学 B 注意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1ページから 12 ページまであります 3 解答は, 全て解答用紙 ( 解答冊子の 数学 B ) に記入してください 4 解答は,HBまたはBの黒鉛筆( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗り潰してください
a (a + ), a + a > (a + ), a + 4 a < a 4 a,,, y y = + a y = + a, y = a y = ( + a) ( x) + ( a) x, x y,y a y y y ( + a : a ) ( a : a > ) y = (a + ) y = a
[] a x f(x) = ( + a)( x) + ( a)x f(x) = ( a + ) x + a + () x f(x) a a + a > a + () x f(x) a (a + ) a x 4 f (x) = ( + a) ( x) + ( a) x = ( a + a) x + a + = ( a + ) x + a +, () a + a f(x) f(x) = f() = a
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 )
中学校第 3 学年 数学 A 注 意 1 先生の合図があるまで, 冊子を開かないでください 2 調査問題は,1 ページから 34 ページまであります 3 解答は, すべて解答用紙 ( 解答冊子の 数学 A ) に記入してください 4 解答は,HB または B の黒鉛筆 ( シャープペンシルも可 ) を使い, 濃く, はっきりと書いてください 5 解答を選択肢から選ぶ問題は, 解答用紙のマーク欄を黒く塗りつぶしてください
Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf
塾 TV(05 年 4 月版) 一問一答 i-0 式の計算 次の計算をしなさい () xy x y 4 (4) a a 4 ( () ab a b a aaaa aaa a a (7) a a aa a 6a ) ( () x y 4 x y ab 4 x5 y 5 (5) 6 xy 6 xy (6) a b a b 4 6xy 6xy (8) 4 x y xy 4 xxyyy xy (4) ( x
<4D F736F F D F90948A F835A E815B8E8E8CB189F090E05F81798D5A97B98CE38F4390B A2E646F63>
07 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅰ A 第 問 9 のとき, 9 アイ 0 より, 0 であるから, 次に, 解答記号ウを含む等式の右辺を a とおくと, a a a 8 a a a 8 a これが 8 と等しいとき,( 部 ) 0 より, a 0 よって, a ウ ( 注 ) このとき, 8 9 (, より ) 7 エ, オカ また,より, これより, 9 であるから, 6 8 8 すなわち,
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0y) 4 ()(-9χ-y) χ+5y -χ -4y ()(-6a-9ab) (4)(5χ +5χ-0) (-5) -a- a-ab ab -χ -χ+6 次の計算をしなさい ()(χ+4y)+(χ-4y) ()(4a-b)+6
年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + y - χ - y ab-a - χ - y 6 次の計算をしなさい - ()(χ+y)+( 4χ +y) ()(χ y)+(χ +5y) - - χ + y 5χ + y ()(4χ-y)-(5χ-y) (4)(-χ-8+y)+(χ+5y)
比例・反比例 例題編 問題・解答
中学数学比例 反比例の問題 関数 ( 移行措置による追加 ) 比例 変域 座標 比例のグラフ 比例の式 比例の文章問題 座標と変域 反比例とグラフ 反比例の式 反比例の文章問題 比例と反比例のグラフ * ページ表示 を 見開き でご覧いただきますと 問題とその 答えが見やすくなります * このテキストは家庭学習の補助教材としてのみご利用いただけま す その他 ( 問題の改変 商用など ) の利用はご遠慮くださいま
木村の理論化学小ネタ 体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1
体心立方構造 面心立方構造 六方最密構造 剛球の並べ方と最密構造剛球を平面上に の向きに整列させるのに次の 2 つの方法がある 図より,B の方が A より密であることがわかる A B 1 体心立方構造 A を土台に剛球を積み重ねる 1 段目 2 2 段目 3 3 段目 他と色で区別した部分は上から見た最小繰り返し単位構造 ( 体心立方構造 ) 4 つまり,1 段目,2 段目,3 段目と順に重ねることにより,
< BD96CA E B816989A B A>
数 Ⅱ 平面ベクトル ( 黄色チャート ) () () ~ () " 図 # () () () - - () - () - - () % から %- から - -,- 略 () 求めるベクトルを とする S であるから,k となる実数 k がある このとき k k, であるから k すなわち k$, 求めるベクトルは --,- - -7- - -, から また ',' 7 (),,-,, -, -,
< 中 3 分野例題付き公式集 > (1)2 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は偶数 ( 例題 )1~5 までの 5 つの数字を使って 3 ケタの数をつくるとき 2 の倍数は何通りできるか (2)5 の倍数の判定法は 1 の位が 0 又は 5 ( 例題 )1~9 までの 9 個の数字を使って 3
() の倍数の判定法は の位が 0 又は偶数 ~ までの つの数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は の位が 0 又は ~9 までの 9 個の数字を使って ケタの数をつくるとき の倍数は何通りできるか () の倍数の判定法は 下 ケタが 00 又は の倍数 ケタの数 8 が の倍数となるときの 最小の ケタの数は ( 解 ) 一の位の数は の 通り 十の位は一の位の数以外の
<4D F736F F D F90948A F835A E815B8E8E8CB189F090E05F8E6C8D5A>
06 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅱ B 第 問 () 8 より, 5 5 5 6 6 8 ア, イ また, 底の変換公式を用いると, log 7 log log 9 9 log 7 log ウエ, オ (), のグラフは, それぞれ = 89 = 右図のようになり, この つのグラフは 軸に関して対称 ここで, 0, のとき, と log カ のグラフが直線 に関して対称 であることから,
1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C
0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,
HITACHI 液晶プロジェクター CP-AX3505J/CP-AW3005J 取扱説明書 -詳細版- 【技術情報編】
B A C E D 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 4 6 8 10 12 14 16 18 H G I F J M N L K Y CB/PB CR/PR COMPONENT VIDEO OUT RS-232C LAN RS-232C LAN LAN BE EF 03 06 00 2A D3 01 00 00 60 00 00 BE EF 03 06 00 BA D2 01
2015年度 岡山大・理系数学
5 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を 以上の自然数とし, から までの自然数 k に対して, 番号 k をつけたカードをそれぞれ k 枚用意する これらすべてを箱に入れ, 箱の中から 枚のカードを同時に引くとき, 次の問いに答えよ () 用意したカードは全部で何枚か答えよ () 引いたカード 枚の番号が両方とも k である確率を と k の式で表せ () 引いたカード 枚の番号が一致する確率を
取扱説明書 -詳細版- 液晶プロジェクター CP-AW3019WNJ
B A C D E F K I M L J H G N O Q P Y CB/PB CR/PR COMPONENT VIDEO OUT RS-232C LAN RS-232C LAN LAN BE EF 03 06 00 2A D3 01 00 00 60 00 00 BE EF 03 06 00 BA D2 01 00 00 60 01 00 BE EF 03 06 00 19 D3 02 00
第１部 たし算・ひき算
算数の基礎的な内容を反復練習によって確実に定着させるための復習用ドリルです 短い時間でも扱いやすいように 枚あたり 分間程度を想定して作成しています 直前に学習した内容の確認のため 忘却防止のため 学び直しの機会を設けるためなど お子様の実態に合わせてご使用ください ドリル, 各シートのしくみ シート番号もくじではのように示されます シートタイトル問題の分野や内容を示します 学年表示,// など一番左が平成
05 年度センター試験数学 ⅡB () において,cos q 0 であるから,P ( cos q, sin q) より, 直線 OP を表す方程式は y sin q sin q x cos q cos q x すなわち, (sin q) x - (cos q) y 0 ( ) ク 点 O,P,Q が
05 年度大学入試センター試験解説 数学 ⅡB 第 問 []() 点間の距離の公式から, OP ( cos q ) + ( sin q ) ( cos q + sin q ) ア PQ { ( cos q + cos 7q ) - cos q } + { ( sin q + sin 7q ) - sin q } cos q + sin q 7 7 イ である また, OQ ( cos q + cos
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10 平面図形 3 図形の性質 図形の辺の長さや角の大きさ, 図形どうしの関係などを調べましょう 6 6 6 1 5 1 1 1 4 5 1 2 2 [ 青森県立三本木高等学校付属中学校改 ] わかっている角を見つける 角度を求める問題を解く場合, 正三角形の 3 つの角や正三角形を正方形と組み合 わせるなど, 決まっている角の大きさを利用することがあります 右の図のように正三角形は,3 つの角の大きさがすべて等しい三角形です
. 角の二等分線と調和平均 平面上に点 を端点とする線分 と を重ならないようにとる, とし とする の二等分線が線分 と交わる点を とし 点 から に垂直に引いた直線が線分 と交わる点 とする 線分 の長さを求めてみよう 点 から に垂直な直線と および との交点をそれぞれ, Dとする つの直角三
角の二等分線で開くいろいろな平均 札幌旭丘高校中村文則 0. 数直線上に現れるいろいろな平均下図は 数 (, ) の調和平均 相乗平均 相加平均 二乗平均を数直線上に置いたものである, とし 直径 中心 である円を用いていろいろな平均の大小関係を表現するもっとも美しい配置方法であり その証明も容易である Q D E F < 相加平均 > (0), ( ), ( とすると 線分 ) の中点 の座標はである
FdData理科3年
FdData 中間期末 : 中学理科 1 年 : 化学 [ 溶解度 飽和水溶液 ] [ 問題 ](2 学期期末 ) 以下の各問いに答えよ (1) 一定量の水にとける物質の量は水の何によって変化するか (2) 物質がそれ以上とけることのできない水溶液を何というか (3) 固体の物質を水にとかしたのち, 再び固体として取り出すことを何というか [ 解答 ](1) 温度 (2) 飽和水溶液 (3) 再結晶
2 2.1 ( ) ( 1) 1 ( ) C: y = ax 2 k : x = p P C P l P l h h k m m p 2 l( 2) y = ax 2 y = 2ax P(p, ap 2 ) l y = 2ap(x p) + ap 2 y = 2apx ap 2 p 0 h y =
2008, Vol.7, 48-59 2 1 2 2008 8 1 ( ) 1 1 3 y = ax 2 I 2 2 C 2 2 ([1],[2]) ( ) 2 ( ) 2 [3] () 2.3 1 2 48 2 2.1 ( ) ( 1) 1 ( ) C: y = ax 2 k : x = p P C P l P l h h k m m p 2 l( 2) y = ax 2 y = 2ax P(p,
【FdData中間期末過去問題】中学数学1年(文字式の決まり/式の値)
FdData 中間期末 : 中学数学 1 年 : 文字式 [ 文字式のきまり / 文字を使った数量の表し方 : 代金 / 割合 / 速さ 時間 道のり / 長さ 面積 体積 / その他 / 全般 / 式の意味 / 式の値 /FdData 中間期末製品版のご案内 ] [FdData 中間期末ホームページ ] 掲載の pdf ファイル ( サンプル ) 一覧 次のリンクは [Shift] キーをおしながら左クリックすると,
課題 次の つの図形が相似であるとき角の大きさや対応する 辺の長さはどのような関係があるかを調べなさい A D B C E F 角の大きさについて 辺の長さについて 対応する角の大きさが等しい 対応する線分の長さの比が全て等しい 相似な図形の性質 まとめ 相似な図形では 相似な図形では 対応する線分
目標相似とは何かが説明でき性質を利用して問題が解ける あるキャラクターを町で見つけ写真を撮りましたすると とても小さくて見づらく写ってしまいました 課題 見やすくする方法を考えよう 僕が誰だか分かるかな? どんな方法があるだろう ( メモ欄 ) 虫 メガネで見る コピー木幾で拡大する など 倍に拡大 _ 誥に縮小 相似 について まとめ 拡大形を変えずに, 一定の割合で大きくすること 縮小 " 小さくすること
Taro-3.jtd
演習問題集応用編 6 年上 第 3 回のくわしい解説 問題 ページ 応用問題 A 1(1) 2 (2) 4 (3) 5 2(1) 7 (2) 9 3(1) 10 (2) 12 4(1) 14 (2) 15 (3) 16 5(1) 17 (2) 19 (3) 20 応用問題 B 1(1) 22 (2) 24 2(1) 26 (2) 30 3 34 4(1) 36 (2) 38 すぐる学習会 - 1 -
2015－2017年度 ２次数学セレクション（複素数）解答解説
05 次数学セレクション解答解説 [ 筑波大 ] ( + より, 0 となり, + から, ( (,, よって, の描く図形 C は, 点 を中心とし半径が の円である すなわち, 原 点を通る円となる ( は虚数, は正の実数より, である さて, w ( ( とおくと, ( ( ( w ( ( ( ここで, w は純虚数より, は純虚数となる すると, の描く図形 L は, 点 を通り, 点 と点