第 4 章関数と平面図形 PC(EXCEL) を使った演習 (p.30) EXCEL を使ってつぎの関数のグラフを描け. () y 3x x 9, z 3x x 4 ( x 5,0.5 刻み ) () x y 4 ( x, y,0. 刻み ) () の解答 (a) x の値を入力する.- から 5 まで +0.5 刻みにするために,- の下に-0.5 を打つ. (b) (a) の黒い四角の右端を下に伸ばすと,+0.5 の数が表示される. (c) yの計算式を指定する.b 列 行目で, =-3*A*A+*A-9 enter キー. (d) yが計算される. 黒い四角の右端を下に伸ばすと, 全ての x に対してy が計算される. (e) zの計算式を C 列 行目で指定する. =3*A*A-*A-4. 右端を下に伸ばして, 全て計算する. (f) データの部分を全て選択し, 挿入, 散布図, 平滑線を選択すると,(g) のような図が表示される. (a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g) () の解答 式 x y 4 を変形すると, y 4 x となる. y の符号を分けて, y 4 x 4 x, y とする. (a) xの値は, x の範囲で,+0. 刻みで表示する. y+ の計算式をB 列 行に指定する.=SQRT(4-A*A). 根号 ( ルート ) はSQRT() である. (b) B 列 行の計算結果を選択し, 右端を下まで伸ばし, 全ての x に対する y+ を計算する. y-の計算式をc 列 行に =-SQRT(4-A*A) のように指定し, 全ての x に対して y-を計算する. (c) データを全て選択し, 散布図, 平滑線を指定すると, 中心座標 (0,0), 半径 の円を書くことができる. (a) (b)
(c)
第 5 章三角関数 ( その ) 5.3.3 項加法定理 (p.36) [ 正弦, 余弦の加法定理 ] まず, cos( ) を, の三角関数であらわすことを考える. y を座標の原点,A を座標 (,0) の点として,OA を始線とする 角 の動径と単位円との交点を P とすると,P の座標は cos, sin P だから,c=AP とおくと, c cos sin cos( ) - O α+β A x よって, cos( ) c つぎに,OA を始線とする角, の動径と単位円との交点を, それぞれ,Q,R とすると,OQ は OR を だけ回転したものに なるから, QR AP c - y Q そして,Q,R の座標は, それぞれ, Q ( cos, sin ),R ( cos, sin ) だから, 点間の距離の公式より, c QR (cos cos ) (sin sin ) cos cos cos cos sin (cos cos sin sin ) sin sin sin - O - α -β R A x これを に代入すると, つぎの等式が得られる. cos cos cos sin sin で, のかわりに とおくと, cos cos cos sin sin cos cos sin sin 3 3 で, のかわりに とおくと, cos cos cos sin sin ( ) だから, 上の式を書きなおすと, つぎの等式が得られる. sin( ) sin cos cos sin 4 4で, のかわりに とおくと, sin( ) sin cos cos sin 5,3,4,5 をまとめると, つぎのようになる.
正弦, 余弦の加法定理 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin [ 正接の加法定理 ] 正弦 余弦の加法定理を利用して, 正接の加法定理を導くことができる. sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin 分母, 分子を cos cos で割ると, tan sin sin cos cos sin sin cos cos tan tan tan tan 6 6で, のかわりに とおくと, tan tan tan tan tan tan tan tan tan 6,7 をまとめると, つぎのようになる. 7 正接の加法定理 tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan
第 5 章三角関数 ( その) 5.3.5 項積 和または差 (p.38) [ 式 (5.4) の証明 ] sin cos sin( ) sin( ) cos sin sin( ) sin( ) cos cos cos( ) cos( ) sin sin cos( ) cos( ) 4 3 の右辺に加法定理を適用すると, ( 右辺 ) sin( ) sin( ) sin cos ( 左辺 ) sin cos cos sin となる. したがって,が成り立つ. 同様にして,の右辺に加法定理を適用すると, ( 右辺 ) sin( ) sin( ) cos sin ( 左辺 ) sin cos cos sin となり,が成り立つ. 3の右辺に加法定理を適用すると, ( 右辺 ) cos( ) cos( ) cos cos ( 左辺 ) cos cos sin sin となり,3が成り立つ. 4の右辺に加法定理を適用すると, ( 右辺 ) cos( ) cos( ) sin sin s ( 左辺 ) となり,4 が成り立つ. cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin
第 6 章三角関数 ( その) PC(EXCEL) を使った演習 (p.47) () y sin x, y cos x ( 4.7 x 4.69, 0. 刻み ) のグラフを描け. () y cos x, y sin x.57 ( 4.7 x 4.69, 0. 刻み ) のグラフを描き, 二つが重なることを確認せよ. ただし, /. 57 とする. (3) y tan x のグラフを描け. ただし, tan x は, x /, (3 / ), (5 / ), で値を持たないので, たとえば, x の範囲は 4.64 x. 64,.5 x.5,.64 x 4.64, 0. 刻みとする. (4) 例題 6. でω= のとき,EXCEL を使って合成前と合成後のグラフ ( 0 t 0, 0. 5 刻み ) を描き, 二つが等しいことを確認せよ. () の解答 () の解答
(3) の解答 3 5 tan x は, x,,, で値をもたないので, x の範囲は 4.64 x.64,.5 x.5,.64 x 4.64, (0. 刻み ) とすると, 次のようになる.EXCEL のデータでは, x.64 と x. 5, x. 5 と x. 64 の 行は空欄とする.
(4) の解答 0 t 0 (+0.5 刻み ), y sin t, y 3 cost, y y, z sint 3 とし, z y y となることを次のように確認する.
第 7 章指数関数と対数関数 PC(EXCEL) を使った演習 (p.55) () つぎの三つの関数のグラフを等間隔の目盛りで描け. ただし, 4 x 4 の範囲とする. x y, y x, y x 3 4 () y x, y x, y x の三つの関数を, 等間隔の目盛りのグラフと両対数グラフに描け. (3) y x, y 0x, y x の三つの関数を, 等間隔の目盛りのグラフと両対数グラフに描け. 0 () の解答 x x x は 4 x 4 の範囲で,0.5 刻みとしたとき, 次のようになる. ここで, y と y は 等しく, グラフは完全に一致する. 次の例では, 赤い線と黄緑の線が重なっている. () の解答軸の目盛を対数にするには, 軸の目盛を選択し, 右クリックして 軸の書式設定 を指定し, 対数目盛を表示する にチェックを入れる. 両対数にするには, 縦軸と横軸の両方を対数目盛にする. 軸の書式設定では, その他にも最大値や最小値, 縦軸と横軸の交点などを指定することができる.
縦軸の書式設定の例 横軸の書式設定の例
(3) の解答 () と同様に軸の目盛を選択し, 右クリックして 軸の書式設定 を指定し, 対数目盛を表示する にチェックを入れる. 結果は次の通りである. 縦軸の書式設定の例 横軸の書式設定の例
第 章微分計算法. 節微分の計算規則 (p.96). 式 (.9) の証明 f( x) g( x) ' lim h0 f ( xh) g( xh) f( x) g( x) h f ( xh) g( xh) f( x) g( xh) f( x) g( xh) f( x) g( x) lim h0 h h f ( xh) f( x) g( xh) g( x) lim lim gx ( h) f( x) lim h0 h h0 h0 h f '( x) g( x) f( x) g'( x). 式 (.0) と式 (.) の証明 式 (.9) における g x ' ( ) を gx ( ) とおき, 式 (.9) を適用すると, f( x) f '( x) f( x) gx ( ) gx ( ) gx ( ) ここで, ' gx ( h) gx ( ) gx ( h) gx ( ) lim lim lim gx h h gxhgx ( ) h0 h0 h0 ( ) ( ) よって, ' g' ( x) g'( x) gx ( ) gx ( ) f ( x) g'( x) f'( xgx ) ( ) f( xg ) '( x) f '( x) f( x) gx ( ) gx ( ) gx ( ) { gx ( )} また, f( x) とおくと以下のようになり, 式 (.) が得られる. ' ' 0 gx ( ) g'( x) g'( x) gx ( ) { gx ( )} { gx ( )} 3. 式 (.) の証明 n n ' { f ( xh)} { f( x)} { f( x)} lim h0 h lim h0 n n n f ( xh) f( x) { f( xh)} { f( xh)} f( x) h
n n n3 { f( x h)} f( x) f( x h) f( x) f( x) f( xh) f( x) n n lim lim { f ( xh)} { f( xh)} f( x) h0 h h0 n n3 { f( x h)} f( x) f( x h) f( x) f( x) n n n3 f '( x) { f( x)} { f( x)} f( x) { f( x)} f( x) n n f( x) f( x) f( x) f x n f x n f x f x n n '( ) { ( )} { ( )} '( ) n { ( )} n n f xh { f( x)} の展開には, 次式の公式を利用. a b a b a a b a b a b ab b n n n n n 3 n 3 n n ( )( )
第 5 章偏微分とその応用 PC(EXCEL) を使った演習 (p.3) 抵抗値が未知の抵抗を用いて, 図 のような計測回路を作成した. 電源電圧 E を変えて電流 I を測定したとこ ろ, 表 のような結果が得られた. 直線近似による最小二乗法を用いて, 抵抗値を算出せよ. ここでは, 電圧, 電 E 流, 抵抗はオームの法則 ( I ) に従い, 近似直線の切片は b 0 として計算する ( I ae E ). なお, 測 R R 定器の内部抵抗は無視できるものとする. 電源 V 電圧計 E[V] 図 : 計測回路 A 電流計 I[A] 抵抗 表 : 測定データ E[V] I[A].0 0.0.5 0.03.04 0.0393.48 0.048.99 0.06 3.53 0.07 4.0 0.0785 4.57 0.0894 5.0 0.0997 解 ()EXCEL に測定データを入力する. 図 に示すように, 行方向に 列 ( 例として,A 列に電源電圧 E,B 列に電流 I とする ) に入力する. 図 : EXCEL での入力 () 次に,EXCEL のグラフ ( 散布図 ) を作成する. 図 3 のように横軸には電圧 (A 列 ), 縦軸には電流 (B 列 ) をとり, さらに各軸の名称を記入するとよい.
図 3: EXCEL でのグラフの作成 (3)EXCEL のレイアウト 近似曲線 線形近似曲線を選択すると, 図 4 のように近似直線が表示される. 図 4: 線形近似曲線 (4) 次に, 図 4 上の近似直線上を右クリックして近似曲線のオプションを選択する. オプションの設定におい て, 以下の設定を行う ( 図 5 を参照 ). グラフに数式を表示する にチェック 近似直線式が表示される 切片 にチェックを入れ,0.0 を指定する 近似直線が y ax に固定される. 3 前方補外 と 後方補外 を 0 以上にする ( ここでは ) 近似直線の両端を延長する ( 数値を大きくす ることで両端はより長くなる ). 設定の結果, グラフは図 6 のように更新され, 近似直線が得られる.
図 5: 近似曲線の書式設定 図 6: EXCEL でのグラフの完成 (5) 最後に, 抵抗値を求める. 3 前記から近似直線は ImA ( ) 9.75 EV ( ). すなわち, I( A) 9.750 E( V ). 一方, 近似直線は I 3 E であるから, 9.75 0. R R したがって, 抵抗値は 50.63[ ] となる.
第 章ベクトル算法.6 外積 (p.89). スカラー積の分配法則 A( BC) ABAC( 式 (.)) を証明する. 与式の左辺は, 直交座標成分による表現を用いて, 以下のように展開できる. A( BC) ( ia ja ka ) i( B C ) j( B C ) k( B C ) x y z x x y y y y A ( B C ) A ( B C ) A ( B C x x x y y y z z z 一方, 与式の右辺は, 直交座標成分による表現を用いて, 以下のように展開できる. Ax Bx AyBy AzBz AC x x AyCy AC z z ABAC A ( B C ) A ( B C ) A ( B C ) x x x y y y z z z よって, 与式の左辺と右辺は一致するで, A( BC) ABACが成り立つ. ). 式 (.7) を証明する. C AB( ia ja ka ) ( ib jb k B ) x y z x y z この式の右辺は, 式 (.) と式 (.3) の分配法則と式 (.4) のスカラー倍の性質を利用して次のように展開できる., AB( ii) AB( ij) AB( ik) AB( ji) AB( jj) AB( jk) x x x y x z y x y y y z AB( ki) AB ( kj) AB( kk) z x z y z z ここで, 式 (.5) と式 (.6) の単位ベクトル ijk,, 相互の外積の性質を使用すると, さらに次のように計算できる. C0A B ka B ( j) A B ( k) A B 0A B ia B x x x y x z y x y y y z ja B ( i) A B 0A B z x z y z z すなわち, i( A B A B ) j( A B A B ) k ( A B A B y z z y z x x z x y y x C AB ( A B A B, A B A B, A B A B ) が成り立つ. y z z y z x x z x y y x )
3. 式 (.9) が成り立つことを示す. 式 (.9) の右辺の行列式は, 次式のように展開することができる (9.5 節サラスの方法を参照 ). i j k 右辺 Ax Ay Az iab y z jab z x kab x y kab y x jab x z iab z y B B B x y z i( A B A B ) j( A B A B ) k ( A B A B ) y z z y z x x z x y y x ( AB AB, AB AB, AB AB) AB C 左辺 y z z y z x x z x y y x よって, 右辺と左辺が一致することから式 (.9) が成り立つ.
第 3 章確率 PC(EXCEL) を使った演習 (p.97) 枚の硬貨を 3 回投げるとき, 表の出る回数をXとする.Xの分散を EXCEL を用いて求めよ. 解 硬貨を 3 回投げるので表裏の出方はの 3 =8 通り. 表の出る回数が 0 回と 3 回の出方は 通りであるから確率は /8, 回と 回の出方はそれぞれ 3 通りあるから確率は 3/8 となり, 確率分布は表 のようになる. 表 : 確率分布 X 0 3 P 8 3 8 3 8 8 ()EXCEL に確率分布のデータを入力する. 図 に示すように, 確率分布を行方向に 列 ( 例として,A 列に X, B 列に P とする ) に入力する. さらに,C 列の各行に式 (3.7) の x k p k を計算する. 図 に示す 行 C 列の例では, x 0 p 0 を計算するために,A(A 列 行 ) と B(B 列 行 ) を掛け算している. 図 : EXCEL でのデータ入力 () 式 (3.7) の x k p k の総和を計算するため,C 列の和を求める. 図 に示すように,EXCEL の SUM 関数を用いる. この結果から, 平均は.5 となる. k 図 : EXCEL での平均値の計算 (3)D 列の各行に式 (3.9) の( x m) p を計算する. 図 3 に示す 行 D 列の例では, ( x m) p を計算 k 0 0 するために,A(A 列 行 ) と平均値 m の結果が計算されている C6( 絶対セルとして扱うため $C$6 と表記する ) との差の二乗を計算し, さらに B(B 列 行 ) と掛け算している.
図 3: EXCEL での計算過程 (4) 式 (3.9) の( x m) p の総和を計算するため,D 列の和を求める. 図 4 に示すように,EXCEL の SUM k k 関数を用いる. この結果から, 分散は 0.75 となる. 図 4: EXCEL での分散の計算 以上より,EXCEL を用いて X の分散を計算した結果は,0.75 になった.
第 4 章統計 PC(EXCEL) を使った演習 (p.06) () 次の 5 個のデータの平均 x, 分散 σ, 標準偏差 σ を EXCEL を用いて求めよ. { 7, 49, 8, 55, 6 } 解 ()EXCEL にデータを入力する. 図 に示すように,5 個のデータを行方向に入力する ( 次例では, データは B 列に入力した ). 図 : EXCEL でのデータ入力 () さらに,7 行目には平均を計算する関数 AVERAGE を用い, =AVERAGE(B:B5) を入力すると, 自動的に平 均値が 4 と計算される. 図 : EXCEL での平均値の計算 (3) 同様に,8 行目には分散を計算する関数 VARP を用い, =VARP(B:B5) を入力すると, 自動的に分散値 が 76 と計算される.
図 3: EXCEL での分散の計算 (4) 同様に,9 行目には標準偏差を計算する関数 STDEVP を用い, =STDEVP(B:B5) を入力すると, 自動的 に標準偏差が 6.635 と計算される. 図 4: EXCEL での標準偏差の計算 () 例題 4. のコンビニ店の 30 日分の 日の売り上げのデータについて,EXCEL を用いてヒストグラムを描 け. 解 ()EXCEL に 30 日分の売り上げデータを入力する. 図 5 に示すように, 売り上げデータを行方向に 30 個入力 する.
() 売り上げデータの最小値は 0 台, 最大値は 60 台であるので, 図 6 のようにヒスト グラムの区間を B 列の 行目から 0,30,40,50,60 と入力する. 図 6: EXCEL でのヒストグラム区間の値の入力 (3)FREQUENCY( データ範囲, データ区間 ) 関数を用いて各区間の頻度計算する. まず, 行 D 列に =FREQUENCY(A:A30,B:B6) と入力する. 次にD~D6のセル範囲を選択し,Fキーを押し,CtrlキーとShiftキーを押しながらEnterキーを押すことで図 6のように計算される. なお, 操作手順は増えるが,IF 文とCOUNT 文の組み合わせでも可能である. 図 7: EXCELでの度数の計算図 7のD 列の意味は, 以下の通りである. 行目 :0.00 以下の数が 0 個 行目 :0(0.00は含まない) から30.00 以下までの数が 3 個 3 行目 :30(30.00は含まない) から40.00 以下までの数が 8 個 4 行目 :40(40.00は含まない) から50.00 以下までの数が 個 5 行目 :50(50.00は含まない) から60.00 以下までの数が 7 個 6 行目 :60(60.00は含まない) を超える数が 個 図 5: EXCEL でのデータ入力 (4) 前記 D 列の数値の意味から,C 列にデータ範囲の代表値を記述する. 例えば, 行目の0から30.00 以下までが範囲の場合は5が代表値,3 行目の30から40.00 以下までが範囲の場合は35が代表値になるように, 図 8に示すような数値を C 列に記述する. 今回の場合, セルBに0を代入し, セルC~C6はセルB ~B6に5を加える式を代入すれば良い ( 例えば,C=B+5).
図 8: EXCEL での代表値の計算 (5)D 軸のデータに対してEXCELの縦棒グラフを描くことによって, 図 9に示すようにヒストグラムを作成できる. また,C 列を横軸,D 列を縦軸とした散布図 ( 折れ線タイプ ) を描くことによって, 度数折れ線も作成できる. 図 9: EXCEL でのヒストグラムの作成
演習問題回答 5.8 (p.0). (p.3).3 (p.3)
.6 (p.3).9 (p.3) 台形法 シンプソン法. (p.3)