状態平均化法による矩形波 コンバータの動作特性解析

状態平均化法による矩形波 コンバータの動作特性解析 5 年 8 月 7 日群馬大学客員教授落合政司

内容. 状態方程式. 状態平均化法と状態平均化方程式 - コンバータ等のスイッチを含む回路は 非線形であるためにその動作解析は非常に困難で複雑になる しかし スイッチング周波数が十分に高いと電圧や電流の一周期間の平均値を変数にすることにより 線形的な取り扱いをすることができる このような線形解析を状態平均化法という ここでは状態平均化法によってコンバータの状態平均化方程式を求める Q + 図 5. 降圧形 - コンバータ Q

内容 3. - コンバータの静特性 定常状態 の求め方 4. - コンバータの動特性 動作状態 の求め方 5. - コンバータの状態平均化方程式 6. - コンバータの定常状態における静特性 7. - コンバータの動作状態における伝達関数 8. - コンバータの制御特性 8. レギュレーション機構と出力電圧 8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 8.4 出力インピーダンスの周波数特性 8.5 出力電圧の変動率 8.6 制御系の安定性 9. 参考 引用図書 3

. 状態方程式 一般に によって構成される回路を解析する一つの方法として 式. に示す一階微分方程式が使われる 式中のそれぞれは u が入力を表す列ベクトル y が出力を表す列ベクトル x が状態変数 状態ベクトル が定数行列 係数行列 を示している これを状態方程式というが 式. を解いて x を求めると 次に y も求めることができる dx d y x u x.. この二つの方程式を状態方程式という u: 入力を表す列ベクトル y: 出力を表す列ベクトル x: 状態変数 状態ベクトル : 定数行列 一階微分方程式である式. の解は以下のように求めることができる d : 積分定数 x u.3 このような手法で解析を行うのを状態変数解析という 例として図. 及び図. に示す回路の状態方程式を求めてみる 4

. 状態方程式 V + 図. による回路網例 V V V V d dv V V V d dv V V.4.5 に代入すると以下の状態方程式が得られる これを式が求められる より 式上図において次式が成立つ.4.5.6 xd u x 5

. 状態方程式 V V V d V V d V.3 を求めると以下となる 次に となる ただし となる したがって とするとでを代入する に式について求める 先ず u x u x 6.7.8

V d dv d d V d dv V V V d d V d d. に当てはめると次の状態方程式が求められる これらを式上図において次式が成り立つ. 状態方程式 V + 図. による回路網例.9.. 7 u x xd 別な回路網についても状態方程式を求めてみる 7

. 状態平均化法と状態平均化方程式 - コンバータ等のスイッチを含む回路は 非線形であるためにその動作解析は非常に困難で複雑になる しかし スイッチング周波数が十分に高い場合は 電圧や電流のスイッチング素子の一周期間の平均値を変数にすることにより線形的な取り扱いをすることができる このような - コンバータの線形近似による動作解析法として状態平均化法 Sa-Spac-vagg Mhd がある いま - コンバータのスイッチが図. のようにオン オフを繰り返したとき 各々の状態に応じた回路の電圧 電流を要素とする状態変数 状態ベクトル は次の状態方程式で表されることができる ここで 状態変数 x の各要素になるのはリアクトル電流や出力コンデンサ電圧などの連続量が選ばれる 尚 式中の は回路のパラメータによって決まる定数行列 係数行列 であり また は入力電圧を意味する 8

. 状態平均化法と状態平均化方程式 S x x x x k x k x k x x k k xk x k x k x x: 電圧 電流を要素とする状態変数 k k k 図. スイッチの状態とコンバータの状態変化 戻る 9

. 状態平均化法と状態平均化方程式 ここで 状態方程式を求める 状態 スイッチ オン期間 : 期間 入力 u は になる Q dx x k k. d y x. 状態 スイッチ オフ期間 : 期間 + 降圧形 - コンバータ dx x k k.3 d y x.4 次に - コンバータの一周期間の平均値を求め これを新たな状態変数として線形近似をしてみよう このとき 状態平均化法によって求められる状態平均化方程式は以下となる dx x d y x.6.5

x y x x d d.7.8 となる これらを式.5 式.6 に代入すると次の状態平均化方程式が得られる 式. 及び式. が - コンバータの動作解析を行う時の基本式になる. ここで式.5.6 の中の定数行列 及び は.9.. 状態平均化法と状態平均化方程式戻る

3.- コンバータの静特性 定常状態 の求め方 ここでは - コンバータの定常特性 静特性 の求め方を説明する 定常状態においてはリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧に変化はなく x は直流値 となる したがって 次式が成り立つ dx d x 3. 上式を用いれば 定常状態におけるリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧は次式で求められる 3. また コンバータの出力は式 3. より 以下となる Y 3.3 式 3. 式 3.3 よりコンバータの電圧変換率 負荷特性 リプル率などの静特性を求めることができる

4. - コンバータの動特性 動作状態 の求め方定常状態において 入力電圧 時比率 負荷抵抗などが微小変動したときの低周波小信号動特性は以下のように求められる 入力電圧 時比率 負荷抵抗 などに微小変動 Δ 時比率 Δ 負荷抵抗 Δ を与えると 状態変数に微小変動 Δ が生じる 3 x より得られる ~ 式の偏微分は式に対する定数行列ここで 時比率とすると次式が成り立つ に対し.9.7 Y Y Α Α Y Y y x d d 4. 4. 負荷抵抗が変化しても は変化しない δδ= 式.7~.9 注

d d d d d d Α Α Α Α Α 4. 4. 4.3 に代入し 次の微小項を無視し整理する と式を式式 4 4.3 4.4 4. - コンバータの動特性 動作状態 の求め方

分以下の場合 小信号動特性が正確になります グ周波数よりも十分に低い場合 一般的には変動に着目するとコンバータの伝達関数が求められます なお 微小変動の周波数はスイッチンを代入し 出力電圧 これらの式に降圧形コンバータの各回路に対応する定数行列より以上をラプラス変換すれば 平均値の微小変動に対して以下の結果が得られる 4.7 4.6 4.5 Y Α Α Y Y Y Y 4. - コンバータの動特性 動作状態 の求め方 5

4.6 4.6 Α とすると 以下のように書き直すことができます は単位マトリックスをおよび式中のなお 式 4. - コンバータの動特性 動作状態 の求め方 6

5.- コンバータの状態平均化方程式 5. 降圧形 - コンバータの状態平均化方程式 Q + 図 5. 降圧形 - コンバータ 降圧形 - コンバータのスイッチ オン期間とスイッチ オフ期間の等価回路を図 5. に示す 7

5.- コンバータの状態平均化方程式 + + a 状態 スイッチ オン期間 : 期間 b 状態 スイッチ オフ期間 : 期間 : 出力電圧 : コイルを流れる電流 : スイッチ素子オン時の等価抵抗 入力電源の内部抵抗 スイッチ素子のオン抵抗 コイルの抵抗などの損失抵抗 : スイッチ素子オフ時の等価抵抗 タ イオート のオン抵抗 コイルの抵抗などの損失抵抗 図 5. 降圧形 - コンバータの各動作状態における等価回路 図 5. の等価回路より次式が成立つ 8

5.- コンバータの状態平均化方程式 動作状態 スイッチ オン期間 に対して d d d d d d d より 5. より 5. + 動作状態 スイッチ オフ期間 に対して d d d d d d d より 5.3 より 5.4 + 9

以上より 状態変数 を と の関数として係数行列を求めると以下となる スイッチ オン期間 : 期間スイッチ オフ期間 : 期間これより と を求めると次のようになる d d d d d d d d d d d d x Β x 5.5 5.6 5.7 5.- コンバータの状態平均化方程式 68 に戻る d d d d d d d d 5.35.4 5.5. 式式

d d d d d d x x したがって 最終的に式 5.9 が得られる これが降圧形 - コンバータの状態平均化方程式になる 5.9 5.- コンバータの状態平均化方程式 5.8

5.- コンバータの状態平均化方程式 5. 昇降圧形 -コンバータの状態平均化方程式 : Q 図 5.3 昇降圧形 - コンバータ 絶縁形 昇降圧形 - コンバータのスイッチ オン期間とスイッチ オフ期間の等価回路を図 5.4 に示す

5.- コンバータの状態平均化方程式 : a 状態 スイッチ オン期間 : 期間 b 状態 スイッチ オフ期間 : 期間 : c 状態 の二次換算等価回路 : 出力電圧 : 二次巻線 コイル を流れる電流 : スイッチ素子オン時の等価抵抗 入力電源の内部抵抗 スイッチ素子のオン抵抗 一次巻線の抵抗などの損失抵抗 : スイッチ素子オフ時の等価抵抗 二次巻線の抵抗 タ イオート のオン抵抗などの損失抵抗 図 5.4 昇降圧形 - コンバータの各動作状態における等価回路 図 5.4 の等価回路より次式が成立つ 3

5.- コンバータの状態平均化方程式 動作状態 に対して d d d d d d より d d 5. より 5. : 動作状態 に対して d d d d d d d より 5. より 5.3 戻る 4

5.- コンバータの状態平均化方程式 動作状態 の二次換算等価回路に対して d より d d d d d より 5. 5. : 動作状態 に対して一次等価回路 二次等価回路のどちらでも同じ結果が得られる 5

6 d d d d d d d d d d d d x Β x 以上より 状態変数 を と の関数として係数行列を求めると以下となる スイッチ オン期間 : 期間スイッチ オフ期間 : 期間これより と を求めると次のようになる 5.4 5.5 5.6 5.- コンバータの状態平均化方程式戻る d d d d d d d d 式 5.5. 式 5.5.3

d d d d d d x x したがって 最終的に式 5.8 が得られる これが昇降圧形 - コンバータの状態平均化方程式になる 5.8 5.- コンバータの状態平均化方程式 5.7 7

5 章演習問題 5. 降圧形 - コンバータ及び昇降圧形 - コンバータの状態平均化方程式を示せ また それを以下の形に展開せよ d d d d 8 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d x x x x 昇降圧形降圧形

9 a c b d bc ad bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d d c b a d d 注逆行列の逆行列であり以下のようになる はここで が求められる より x x x ここでは昇降圧形 - コンバータを例にして静特性を求める 定常状態では式 3. に示すようにが になる d dx 6. 6.- コンバータの定常状態における静特性 実際の

これを平均損失抵抗という ただし 直流値直流値 : : 3 次に について求める 6. 6.3 6.4 二次側換算値 二次側換算値 変化がないため は直流値になる 6.- コンバータの定常状態における静特性

が求められる より上式と式先ず 図. より以下の等式が成立つ は直線的に近似する と尚 次にコイル電流と出力電圧のリプル率を求める は次のように定義される ただし 出力インピーダンスを求めると以下となる また 電圧の昇降圧比をかけた値に等しくなる にを求めると以下となり コイル電流出力電流 k d d k k 5. x x x 3 6.5 6.6 6.7 6.8 図. x を代入する 式 6.3 Q 6.- コンバータの定常状態における静特性

6. 6. 6.9 6.8 5. 5. 5. d d d d d d d d を代入する と式ここに 式を求めると以下のようになる これらより コイル電流のリプル率は以下となる から と式また 式を代入する ここに 式 3 6.9 =k の 次ページ参照 =k の 次ページ参照 6. 6.- コンバータの定常状態における静特性

6. 33 6.- コンバータの定常状態における静特性

6.- コンバータの定常状態における静特性 k k k k k 図 6. コイル電流と出力電圧の説明図 34

d d d d d d d d d d d 5.3 5. + これを代入する が得られ より及び式となる 式 - よりは平滑コンデンサのリプル電流を求めると次のようになる 出力電圧のリプル率 6. 35 式 5.5.3 ここに式 6. を代入する + - 6. 6.- コンバータの定常状態における静特性

36 結果を表として次ページに示す 同様にして降圧形コンバータ昇圧形コンバータについても求めることができる は以下となる を代入するとここで式を求める 次に電力効率は以下となる を代入するとさらに式 6.6 6.5 ' ' ' 6.4 6.3 トランスの鉄損やスイッチ素子のスイッチング損失 ダイオードのりカバリー損失等をゼロとしたときの電力効率を意味する 6.- コンバータの定常状態における静特性

6.- コンバータの定常状態における静特性 表 6. -コンバータの静特性 定常状態 降圧形昇圧形昇降圧形 7 章に戻る 昇降圧比 平均損失抵抗 = = 出力インピーダンス = 出力電圧のリプル率 γ 8 コイル電流のリプル率 γ 平滑コンデンサのリプル電流 Δc 電力効率 η = = = 37

6.- コンバータの定常状態における静特性 Q + Q + Q a 降圧形コンバータ d 昇降圧形コンバータ 絶縁形 + Q Q : Q Q b 昇圧形コンバータ スイッチ オン期間 + Q c 昇降圧形コンバータ 非絶縁形 図 6. 抵抗 の説明図 スイッチ オフ期間 38

6.- コンバータの定常状態における静特性 それぞれの方式の昇降圧 と出力インピーダンスは以下のように求めることができる 降圧形は一周期間に渡って出力電流が流れ 昇圧形と昇降圧形はオフ期間にしか出力電流が流れないために出力インピーダンスは異なってくる 降圧形コンバータ O 入力電圧 + 出力電圧 注 無負荷時の出力電圧 : 図 6.3 降圧形 buck 形 コンバータと動作波形 次ページ : スイッチのオン時間 : スイッチのオン期間における等価抵抗 スイッチ素子やコイルの抵抗等 : スイッチのオフ期間における等価抵抗 ダイオードのオン抵抗やコイルの抵抗等 : 入力電圧 : 出力電圧 : オフ期間にコイルに発生する逆起電力 : コイルに流れる電流の平均値 : スイッチのオフ時間 : 無負荷時の出力電圧 : 出力電流 : 出力インピーダンス 39

6.- コンバータの定常状態における静特性 V V Q VQ V V : スイッチオン期間 : スイッチオフ期間 Q Q Q 4

4 6.6 6.5 6.5 V V が求められる の等式に代入し整理するとを次に式上式よりを代入する ここで 等しく次式が成り立つ オン期間にコイルに蓄えられるエネルギーはオフ期間に放出されるエネルギーに 6.- コンバータの定常状態における静特性

6.- コンバータの定常状態における静特性 昇圧形コンバータ V V Q V Q + Q V Q 図 6.4 昇圧形 b 形 コンバータと動作波形 Q Q : スイッチオン期間 : スイッチオフ期間 4

6.8 6.7 6.7 V V V の等式に代入する を次に式が求められる これよりが求められこれを代入する よりここで 降圧形と同様に求めることができます 43 6.- コンバータの定常状態における静特性

6.- コンバータの定常状態における静特性 昇降圧形コンバータ 非絶縁形 V Q + V Q V Q V Q 図 6.5 昇降圧形 buck-b 形 コンバータと動作波形 Q Q : スイッチオン期間 : スイッチオフ期間 44

昇降圧形 6. 6.9 V を求める となり これを代入しよりここで 45 6.- コンバータの定常状態における静特性

46 また 昇降圧比 は無負荷時の昇降圧比 各部品が抵抗分のない理想的な状態のときの昇降圧比 から求めることができる 各コンバータにおける は以下のようになる となる これよりオフ期間に負荷に放出されるエネルギーに無負荷時の出力電圧とすると オン期間にコイルに流入するエネルギーはを流れる電流 コイル一周期間オフ期間オン期間降圧形コンバータ 6. 等しく次の式が成立つ : : : : : buck cv a となる はこれよりエネルギーにオン期間にコイルに蓄えられるエネルギーはオフ期間に負荷に放出される昇圧形コンバータ 6. 等しく次の式が成立つ b cv b 6.- コンバータの定常状態における静特性

6.- コンバータの定常状態における静特性 c 昇降圧形コンバータ 一次巻線に流れる電流を エネルギーは により逆バイアスされており 二次巻線には電流は流れない スイッチ素子のオフ 期間は整流ダイオードは順バイアスされており 二次巻線電流 エネルギー buck - b cv とすると オン期間にトランスの一次巻線に蓄えられる となる このとき 整流ダイオードは二次巻線に発生する電圧 が放出される したがって 次の式が成立つ これより が流れ負荷に 6.3 となる : + Q 図 6.6 昇降圧形 buck-b 形 コンバータの動作 47

6.- コンバータの定常状態における静特性 5 昇圧形 昇降圧形 4 3 降圧形..4.5.6.8 図 6.7 各方式におけるデューティレシオと昇降圧比 無負荷時 48

6.- コンバータの定常状態における静特性 負荷電流が流れると出力インピーダンスの電圧降下により出力電圧が下がり 昇降圧比 が小さくなる このときの は下図から求めることができる : 無負荷時の出力電圧 : 負荷がある時の出力電圧 図 6.8 出力回路の等価回路 6.4 式 6.4 に式 6.~ 式 6.3 で与えられるそれぞれの方式の を代入すると表 6.の昇降圧比 が求められる 49

6.- コンバータの定常状態における静特性..8.6.4...4.6.8. 図 6.9 と 比 表へ 5

となる が求められる これよりよりダイオードを流れる電流の電荷は出力電流の電荷に等しく オフ期間より出力インピーダンスは次のようになる 6. 昇圧形 - コンバータの出力インピーダンスが式 6.7 で与えられることを証明せよ 5 6 章演習問題 Q Q + Q

から出力インピーダンスが以下のように求められる と以上で求めたとなる これよりを代入すると以下が求められる となる ここによりスイッチ素子を流れる電流の電荷は入力電流の電荷に等しく オン期間 5 6.- コンバータの静特性

先ず伝達関数について説明する 一般に入力信号 と出力信号 Y の間には信号伝達特性がある この信号伝達特性 は入力信号 により変化するために =Y という形で一義的に表現することはできない しかし 入力信号と出力信号をラプラス変換し に対する Y の比を求めると入力信号 に関係なく信号伝達特性を表現することができる このときの に対する Y の比を伝達関数 という の初期値ただし 入力信号のラプラス変換出力信号のラプラス変換伝達関数 Y 図 7. 回路図 7. ブロック線図は異なってくる となり の時 の時 53 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

それぞれの伝達関数を求める ここでは 入力電圧 時比率及び負荷抵抗が微小変動した時の小信号動特性 つまりを簡単に求めることができる ラス変換すれば出力を逆ラプで与えられ はが分かれば出力といい 関数に対する比を伝達のに関係なく等しくなる このはとなり の時 の時 Y Y Y Y 54 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

をラプラス変換をすると次のようになる 次に式について求める 先ずここで で与えられここから伝達関数を求めることができる 変動は式 が微小変動したときの状態変数の平均値の微小入力電圧負荷抵抗時比率 5.9 5.9 4.6 4.6 d d d d d d x x Α 55 7. 降圧形 - コンバータの伝達関数 64 へ戻る式 5.9 は降圧形 - コンバータの状態平均化方程式を示したものである 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d c b a d c b a d c b a この式を展開する と置き整理する 上式を書き直し 56 式 7. へ 7. 節へ 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d c b a は以下のようになる 以上より一方ラプラス変換後の状態平均化方程式を展開すると以下となる 57 a b d c d c b a d c b a - 注 前頁の等式 7.- コンバータの動作状態における伝達関数 57

を求める 次には以下となる 以上の結果より 7. 58 a c b d bc ad bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d d c b a 注逆行列 = 7.- コンバータの動作状態における伝達関数 58

59 7. は以下となる とコンバータの以上より降圧形 7.3 ω 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

Α Β Α Β のようになる について求めると以下 次に 6 7.4 7.5 7.6 式 5.4~5.6 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

これらを代入する が求められ よりが ここで Α 4.6 3 7.7 7.8 6 以上の結果をもとに降圧形コンバータの伝達関数を求める - - 式 5.8 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7.5 7.4 7. を代入する ここに式 6 - - - - 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

63 7.9 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

Α を求めると以下となる 次に 7. 64 3 - - 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

昇降圧形の場合注 v v d d vv v v さらにこれらの結果は以下の形に整理できる 65 7. 64 に戻る 78 に戻る 77 に戻る 8 章に戻る次にそれぞれを求める 79 に戻る 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

vv v v vv v v 7. 7.3 7.4 66 式 7.7 式 7. は以下のように求められる 及びとより及び式式式式 v v d d v vv V 7. 7. 7.9 7.7 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d d d d d は以下となる これを代入するとただし の中を整理する ここで 67 7.5 式 7.9 式 7. 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

68 d d よりは となる はまた 7.7 7.8 7.6 を代入する 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

69 v v v v 7.9 7. 7. 式 7. 式 7. 降圧形 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

すると次のようになる をラプラス変換をコンバータの状態平均化方程式である式昇降圧形について求める 先ずここで で与えられここから伝達関数を求めることができる 変動は式 が微小変動したときの状態変数の平均値の微小入力電圧負荷抵抗時比率 5.8 5.8 4.6 4.6 d d d d d d x x Α 7 7. 昇降圧形 - コンバータの伝達関数 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d c b a d c b a d c b a 一方 ラプラス変換後の状態平均化方程式を展開すると以下となる と置く 上式を書き直し 7 7.- コンバータの動作状態における伝達関数 7

c b d c b a 以上より は以下のようになる 整理すると以下となる 7 7. a d d c b a d c b a 注 前頁の等式 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

について求める 次に 73 a c b d bc ad bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d d c b a 注逆行列を代入する を掛ける 次に分母と分子に 昇降圧形 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7.3 74 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7.3 Α Β のようになる について求めると以下 次にのそれぞれは以下となる ただし 式 7.4 7.5 75 式 5.4~5.5 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

4.6 Α Α Β が得られる 各微小変動に対するコンバータの伝達関数以上で求めた結果を下式に代入すれば 76 7.7 7.6 式 5.5~5.8 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

代入する 次に式 を 7.37.57.6 7.9 6.5 Α に代入する 求められこれらを式がよりが よりここで 式 77 4.6 7.8 3 7.9 5.8 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7.- コンバータの動作状態における伝達関数 と置く b a 78 - - - -

a a を代入する を代入する について整理する 79 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

b b は以下となる 以上よりを代入について整理する 7.3 8 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7.- コンバータの動作状態における伝達関数 さらに これらの結果は以下の形に整理できる となる を求めると式次に 7.9 Α 8 7. 3 Α 式 7.7 を代入する - -

8 v vv v vv v v v vv v 7.8 7. は以下のように求められる より 及び式式 7.3 7.33 7.34 式 7.8 式 7. 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

から求められる と式も式 7.3 7. d d 83 式 7.3 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

84 を掛ける 分子と分母に を掛ける 分子と分母に 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d d 85 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d d d d は以次のようになる 以上から 86 7.35 7.36 7.37 7.38 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

v v v v v v 7.3 7. が求められる から及び式同様に式 87 7.39 7.4 7.4 式 7.3 昇降圧形同様に昇圧形 - コンバータについても微小変動が起きた時の小信号動特性を求めることができる 表 7. 表 7. に降圧形 昇圧形 及び昇降圧 - コンバータに対する式 7. に示す伝達関数の各パラメータを示す 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

降圧形昇圧形昇降圧形表 7. - コンバータの伝達関数における各パラメータ v d v = = = = = 補足説明へ補足説明へ補足説明へ 88 57 へ 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

89 降圧形昇圧形昇降圧形表 7. - コンバータの伝達関数における各パラメータ vv v v d = = = = に等しい 補足説明へ補足説明へ 33 へ 57 へ演習問題へ 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

は等しくなる また が小さくなる 降圧形と比べ 昇圧形 昇降圧形の方がが大きく 降圧形の δ 降圧形の ω 9 7.44 また 式 7.4 で与えられる昇圧形 昇降圧形 - コンバータの δ と ω をさらに展開し 降圧形 - コンバータの δ 及び ω と比較すると以下のようになる 降圧形の δ 降圧形の ω 戻る演習問題に戻る 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

vv vv v vv vv vv v vv 昇圧形昇降圧形も同様になる 降圧形 9 7.45 7.46 表 7. の v は vv から以下のように求めることもできる Q 図 7. コイル電流の説明図 戻る = O 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

昇圧形 昇降圧形については求めてみてください 降圧形 v 9 戻る 7.47 図 6.5 出力回路の等価回路 : : 負荷がある時の出力電圧無負荷時の出力電圧 は以下のように求めることもできる 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

昇圧形 昇降圧形については求めてみてください 降圧形 戻る 93 を代入する 7.48 表 7. の は以下のように求めることもできる u u v uv u v 微分の公式を使う 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

d d d d 94 5. 降圧形 昇圧形 昇降圧形 7.49 図 6.5 出力回路の等価回路 v は以下のように求めることもできる 負荷がある時の出力電圧無負荷時の出力電圧 : : 戻る 7.- コンバータの動作状態における伝達関数

7 章演習問題 7. 表 7. の δ と ω は何を意味していますか? また それらは降圧形 - コンバータと昇圧形 - コンバータではどのような違いがあるか説明せよ 7. 降圧形 - コンバータの d を から求めよ 95 d d 79 95

8.- コンバータの制御特性 本章ではレギュレーション機構を表したブロック線図を示し スイッチングコンータの制御特性を表す基本式を導く 8. レギュレーション機構と出力電圧 8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 8.4 出力インピーダンスの周波数特性 8.5 出力電圧の変動率 8.6 制御系の安定性 96

8. レギュレーション機構と出力電圧 先ず 7 章の式 7. より 出力電圧 の微小変動に関して以下の伝達関数が得られる vv v vv v v - コンバータ 8. 57 へ 次にレギュレーション特性を示す基本式について求める - コンバータの実際の構成は図 8. のようになっており 出力電圧が一定になるように動作する 時比率制御回路 V-W 変換器 発振器 誤差 電圧 誤差増幅器 比較回路 基準電圧 図 8. パルス幅制御 WM 方式 - コンバータの構成 97

8. レギュレーション機構と出力電圧 コンバータの出力電圧を検出し 基準電圧と比較し その誤差を増幅し 時比率制御回路を通してスイッチのオン オフ期間を制御することにより 出力電圧が一定になるように調整する そのレギュレーション機構を式 8. の伝達関数を用いてブロック線図で表すと下図のようになる v v vv + WM mp. K 図 8. レギュレーション機構を表したブロック線図 K: 帰還ループの帰還率 98

8. レギュレーション機構と出力電圧 図 8.においてWM 回路を含む帰還ループが帰還率 Kの理想的な増幅器であるとすると K 8. となり以下の簡易等価回路が得られる Δ vv Δ v + Δ -K K 図 8.3 簡易化したブロック線図上図において 入力電圧が微小変動したときの出力電圧の微小変動が以下のように求められる vv 99

が求められる となる これよりを代入するとここで K K K K vv vv 8.3 K K K K K v vv v vv v v は次のようになる 両者を加えてより また負荷が微小変動したときの出力電圧の微小変動が以下のように求められる 8.- コンバータの動特性 8. レギュレーション機構と出力電圧

v v vv v v vv v v vv v v vv v v vv v vv K K K K K K K K K K K K K K K K 式 8.3 に式 8. を代入し整理する を代入する 次に =ω =δ =ω 8. レギュレーション機構と出力電圧

8. レギュレーション機構と出力電圧 K vv v v 8.4 となる ただし ω は以下で与えられる ω ω K K ω K ω 8.5 式 8.4 がスイッチングコンバータのレギュレーション特性を表す基本式 になる 入力電圧又は負荷抵抗が変動した時の出力電圧のレギュレーション特性を表す基本式になる

8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数ここで 入力電圧がステップ変動したときの出力電圧の変化を求めその応答速度について確認してみましょう 求められます が求められますが の大きさによりつの解がここで逆ラプラス変換すると 3 8.6 vv vv vv vv vv vv 3

8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数 8.8 a 8.7 c vv vv vv vv vv vv の場合 の場合 ただし の場合 の場合 4

8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数 vv vv vv vv ah 8.9 h h h ch 3 ただし の場合 の場合 式 8.6~ 式 8.9 において δ は減衰係数 制動係数 で そのときの減衰時定数 τ は τ =δ ω となります ここで 減衰時定数 τ を求めると以下となります 5

8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数 8. ω ω ω ω ω ω これより 降圧形 - コンバータにおいて入力電圧がステップ変化したときの出力電圧の変化の減衰時定数は =μh =Ω=μF =V=6Ω とすると 98.5μ となり シリーズレギュレータより応答が遅いことになります なお 動作周波数を上げるとコイルのインダクタンスが小さくなるために時定数は小さくなり 応答性を改善することができます 98.5 98.5 5.3788 75.76. 6 6 3 5 6 6 6

7 8. 出力電圧の微小変動と減衰時定数減衰時定数 τ 降圧形昇圧形昇降圧形 表 8. コンバータの減衰時定数

となり 入力電圧に対する出力電圧の比 mjω の周波数応答が求められる 式 8. から入力電圧と出力電圧の比の絶対値 利得及び位相は以下となる 式 8.3 の利得は共振特性を持っている 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 a vv vv vv j m K j j j m m j K j j j m j K m に置き換えればを上式において 8 8. 8.3 ここでは 入力電圧に対する出力電圧の特性を求める 式 8.4 から入出力特性が以下のように求められる 8 8.4

9 4 8 3 3 vv vv K K d dm d dm が得られる ただし よりと置くと 8.5 式 8.5 の角周波数が共振周波数であり この周波数で利得が最大になる つまり 入力電圧にこの周波数成分が重畳されると 出力電圧に大きな変動が現れる 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 このときの利得のピーク値 Mは式 8.5 を式 8.3 に代入することにより求められる vv M K vv K 4 4 4 8 4 vv K 8.6 式 8.5 において δ が十分に小さい時は M ω ω vv K K 8.7 が成立ち M は式 8.5 を代入し整理すると以下となる vv K K 式 8.5 を代入する Kω ω K vv K ω ω 8.8 以上の簡易式から以下のことが言える 帰還ループの帰還率 K を増やすと共振周波数は上昇する

ここで 昇降圧形コンバータを例にして入出力特性 利得と位相の特性 を求める なお 回路のパラメータは以下とする 8.. 降圧モード.5.3..8.3.5 5 S S F H khz V となる はのときのこれより のようになる は図を与えたときの昇降圧より 式を求める と先ず とする.55.475.8333 8.4 6.6.5 4 V 6.6 但し注 + Q : 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性.5.774.5.833.5.475.4.5.6.7.8 図 8.4 時比率 と昇降圧比

K K ω ω ad ω ad vv 36.5.455.88.99383 5.475.5.55.455 5.456.55 5.93.55 36.5.93.99383 4..93.5.756.45 4..93.5.756.65.35 4..93.5.756.5.55.645.475.55.475.876.93.55.475.5.33.55.475.33.975.645.645.65.38.5.55.8.475 3 4 6 3 3 6 3 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 3

が最大になる共振周波数について求めると表 8. になる 及びの場合のが先ず 帰還ループの帰還率.5..5. 36.5.556.343 36.5.88.455 36.5.343.343.74.547.9 5.5.545 5.33.55.456 4 3 3 6 6 3 j m K K K K K K ω ω K 4 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 4

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 表 8. 帰還ループの利得 K と ω δ 及び共振周波数 K..5..5. ω ω.455 K 3 36.5 K 3 ad.455 4.6 5.94 6.47 7.73 K ω K ω.343 K.556 36.5 K.343.578.869.43. 共振周波数 khz.367.649.839.993.6 以上をもとに周波数が変化したときの入力電圧に対する出力電圧の比 つまり利得を計算した結果を図 8.5 に また 周波数に対する位相を図 8.6 に示す m m j m j a j j vv K 8.4 8.3 5 5

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 7 に戻る 3.d4.53 倍 に戻る m m j K=. j j d - Hz K=.5 K=. K=.5 - K=. -3-4 d 倍 -d.36 倍 -d. 倍 -5-6 -7 図 8.5 昇降圧形コンバータにおける入出力電圧比 利得 の周波数特性 6

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 m j - -4-6 -8 Hz K=. K=.5 K=. k=.5 k=. - - -4-6 -8 - 図 8.6 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性 7 7

8.. 昇圧モード 8 75.9.356.98458.43.356.5.9.347.43.356.5.9.5.497.43.356.5.9.5.3.7.7.3.7.3.774.356.3.7.5.789.3.7.789.9.7.7.5.56.5.3.8.7.3.774.774 8.4.5 4.3.7.5.8 5 vv S V F H khz V となる が求められよりとすると図 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性

K K K K K ω ω K K K ω ω ad ω ad 75.9 9.8.594 75.9 6.39.539 75.9.594.594.984.586.94 5.5.3 5.789.3.47 75.9.539 6.39.98458 5.7.5.3.539.53886 5.47.3 5.356.3 3 3 3 6 6 3 3 3 6 3 4 4 3 6 9 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 表 8.3 帰還ループの利得 K と ω δ 及び共振周波数 K..5..5. ω ω.539 K 3 75.9 K 3 ad.539 3.37 4.5 5.46 6.9 K ω K ω.594 9.8 K 75.9 K.594.593 -.3 -.53 -.38 共振周波数 khz.343.5347.789.874.8847 以上をもとに周波数が変化したときの入力電圧に対する出力電圧の比 つまり利得を計算した結果を図 8.7 に また 周波数に対する位相を図 8.7 に示す m m j m j a j vv j K 8.4 8.3

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 m m j j j d - - Hz K=. K=.5 K=. K=.5 K=. -3-4 -5-6 -7 図 8.7 昇降圧形コンバータにおける入出力電圧比 利得 の周波数特性

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 Hz - -4-6 m j -8 - - -4-6 -8 - K=. K=.5 K=. K=.5 K=. 図 8.8 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性

と同じになる は式であり無駄時間を考慮してもここでると周波数に対する特性を得ることが出来る にを上式においては以下のようになる 考慮した入力電圧に対する出力電圧の比である式になる したがって無駄時間をは昇降圧形コンバータにおいては無駄時間を無駄時間という 伝達関数は以下となります このときの遅れている と同一波形であるが一定時間は入力信号出力信号 8.3 c c 8. 8. 8. 8.9 j m m j j K j m j K m Y x y x y j j j vv vv 置き換え昇降圧コンバータではスイッチがオンしている期間にコイル トランス にエネルギーを蓄積し スイッチがオフした後に出力コンデンサにこのエネルギーを放出する これが出力電圧になります このために 電力の伝達に時間遅れが発生します この無駄時間によって 利得がしないのに位相だけがおくれる現象が発生します 無駄時間を考慮して再計算してみます 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 3

になります となりこれらから遅れ時間を考慮した位相を求めると図はここでと合算すると遅れ位相角は以下となります もともとの位相だけさらに遅れることになります に相当する分しかし位相は 8.9 7.7 8.3 a a 8. a 8.3 6 6 j m K j j j m m j vv 8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 4

8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性 -5 - m j -5.7 スイッチング周波数 KHz Hz K=. K=.5 K=. K=.5 K=. - -5-3 図 8.9 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性 5

8.6 8.5 8.4 z z となる これより 出力インピーダンスは以下となる これにラプラス変換を施して整理するとときの出力電圧 出力電流の微小変化として次式が求められる で与えられ 負荷抵抗を微小変化させたと定義される 一方 出力電圧はスイッチングコンバータの出力インピーダンスは微小項を無視 6 8.4 出力インピーダンスの周波数特性両辺を Δ で割る = を代入し を消去する を分子と分母に掛ける

K K K K K ω ω K K z K ω ω K K ω ω K K K z K v v v v v v v v v v v v v v v 8.5 8 6 8.4 を代入する のここに 式に代入する の. これを前式は以下となる より式 7 v v vv K 注 式 8.4 - コンバータのレギュレーション特性を表す基本式 ω ω δ 8.4 出力インピーダンスの周波数特性

v v v z v z z z z z z v v v v v v v v v v v v v v v K ω ω K K K z K K ω ω K K ω ω K K z は以下で与えられる とただし 8.7 8.8 8 v v v v v v v z K ω ω K K ω ω K K 8.4 出力インピーダンスの周波数特性

9 次に式 8.7 から出力インピーダンスの周波数特性を求めると以下となる v z z z z z z v z z z z z z v v z z z v v z z z z z z v v v z z z v v v z z z v v v j z j K j j K j z K j z z j j K j z a 8.9 8.3 また z の周波数に対する位相角は式 8.3 になる 8.4 出力インピーダンスの周波数特性

8.4 出力インピーダンスの周波数特性 ここで 昇降圧形コンバータを例にして 周波数を変化させたときの出力インピーダンスの大きさと位相について求める 計算した結果を図 8.と図 8.に示す.33.436 v.34.5.33.5.93 v z z K.455 K.55.33 6 5 3.844 v.455 36.5 K.85 ω K 3 ad 3.455 ω v v 3.5.34.455.844 36.5 K.85 v 36.5 K 3.5.34.95 36.5 K 3.343 K 36.5.455.88 36.5 K.85 3.343.556 K.85.95 36.5 K 表 8.4 帰還ループの利得 K と ωz δz.65.556 K.95 36.5 K K..5..5.95 36.5 K 3 ad.348 4.6 5.5 6. z.455 4 z.65.556 K.95 36.5 K.73..496. 3

8.4 出力インピーダンスの周波数特性 3.9d4.95 倍 z z j d K= K=.5 mjω へ - Hz K=. K=.5 - -3-4 図 8. 昇降圧形コンバータにおける出力インピーダンスの周波数特性 3

8.4 出力インピーダンスの周波数特性 出力電流の位相は に対してこの分遅れることになる z j 8 6 4 - Hz K=. K=.5 K=. K=.5-4 -6-8 - - 図 8. 昇降圧形コンバータにおける出力インピーダンス位相の周波数特性 3

8.5 出力電圧の変動率 ここでは 入力電圧と負荷電流変化に対する出力電圧の安定時の変動率を求める 入力電圧にステップ変化 Δ をさせたときに 式 8. に示す入出力特性により m m 8.3 が得られる このときに ラプラス変換の極限値 最終値 に関する定理を用いることにより 出力電圧の変動率は以下となる lm lm lm m lm m 8.3 とする 注 ラプラス変換の極限値 最終値 に関する定理 lm 例 の場合 lm lm lm F lm F lm lm lm lm F さらに式 8.3 に式 8. を代入し整理すると入力電圧に対する変動率が得られる lm m ここに m vv K 8. を代入する 33 33

8.5 出力電圧の変動率 lm vv m lm K K vv 8.33 上式の右辺は入出力特性の直流利得である したがって 入出力特性の直流利得が出力電圧の変動率を表している 式 8. においてω=とおいても同じ式を得ることができる vv m j 8. K j とおくと vv m K となる 出力電流がステップ変化 Δ したときに 式 8.4 に示す出力インピーダンスを用いれば z z 8.34 が得られる 34 34

v v v v v K K z z lm lm lm lm lm とする このときに 同様にラプラス変換の極限値 最終値 に関する定理を用いることにより 出力電圧の変動率は以下となる ここに式 8.7 の z を代入し整理すると負荷電流変動に対する出力電圧の変動率として以下を得ることができる さらに式 8.33 及び式 8.36 に表 7. 及び表 7. に示す 降圧形 昇圧形 昇降圧形コンバータの動特性を代入すると それぞれのコンバータの変動率を求めることができる これを表 8.5 に示す 35 8.35 8.36 8.7 z z z v v v K z 注式 8.5 出力電圧の変動率

8.5 出力電圧の変動率 表 8.5 出力電圧の変動率 降圧形昇圧形昇降圧形 K K K K K K 注 vv K K v v 注 式 8.5 ω ω K 上表より 帰還ループの利得 Kを大きくすると入力電圧や出力電流の変動による出力電圧の変動率が小さく抑えられることが分かる また 式 8.5 で与えられる角周波数 ωも高くなるので 入力電圧や出力電流が変化した時の過渡応答が速くなり 動特性を改善することができる mjω 特性へ 36

変動率を少なくするためには帰還ループの帰還率 K をなるべく増やした方が良い しかし K を増やしていくと 何れは式 8.5 の分子が負になり δ も負になってしまう このとき 式 8.4 の特性方程式の根 実数部 が正になり 制御システムは不安定になり コンバータの出力電圧に低周波振動が現れたりする しかし 降圧形コンバータの場合は K の値によらず δ は常に正となり 制御システムは常に安定である しかし 利得 K はある値より大きくできない! v v vv K K ω ω K K ω K K ω ω K に関係なく正となる はで表 7. より降圧形コンバータの場合特性方程式 : 8.6 制御系の安定性 37 8.4 8.5 8.37 式 8.4: レギュレーション特性を表す基本式安定判別へ 4 特性方程式 : が負になると特性方程式の根の実数部が正になる

8.6 制御系の安定性 これに対し 昇圧形や昇降圧形コンバータの場合は不安定領域が存在する その不安定領域に入らないための安定限界は δ = で与えられ そのときの帰還ループの帰還率を Kl とすると 式 8.5 より以下となる ω Kl ω ω Kl 8.38 ω さらに式 8.38 に前章で求めた表 7. に記載の各パラメータを代入すると各コンバータの安定限界が求められる 表 8.6 帰還率の安定限界 降圧形昇圧形昇降圧形 K l 制限なし はKに関係なく 正となる = コンバータを安定に動作させるためには 帰還ループの帰還率を上表の限度値以下に抑える必要がある 演習問題へ 38

39 a a a K K j K K j K j K K K F j ja a a K j ja a a K K K j j j j K j K j K j K K K F a a a a F F j j c c c c の逆ラプラス変換を求めると次のようになる したがって を求めると以下となる ここでとしたときの根を意味している はただし として特性方程式の根を求め安定性について検証する 先ず式を部分分数に分解する をここで 注 特性方程式の根と安定性の判別特性方程式の根 実数部 が負の場合 8.6 制御系の安定性

8.6 制御系の安定性 つまり 特性方程式の根 実数部 が負であれば は時間とともに減少し安定することになる S 平面虚数部 j 安定領域 不安定領域 実数部 j 根が 平面の左半面にあるときはフィードバックループを持つ系は安定する 図 8. 特性方程式の根と安定領域及び不安定領域 戻る 4

8 章演習問題 8. 昇降圧形コンバータにおける帰還ループ利得の安定限界を求めよ また デューティレシオ が変化した場合に安定限界がどう変化するかを求めよ 4 Q + 5. 3.5.5 5.5.65.5.5.65.5.4.5.5.8.5.5.3..8.3.5 6 6 K K Q のとき F H V S 5.5..3.5.5 条件 : 4

8 章演習問題.35.3 K.5..5..5..4.6.8...3.4.5.6.7.8.9 K.385.34.765.46.5.76.365.94.485 4

9. 参考 引用図書. 原田耕介他 スイッチングコンバータの基礎 コロナ社 7 年. 落合政司 スイッチング電源の原理と設計 オーム社 5 年 43

N 44