07 年度大学入試センター試験解説 数学 Ⅰ A 第 問 9 のとき, 9 アイ 0 より, 0 であるから, 次に, 解答記号ウを含む等式の右辺を a とおくと, a a a 8 a a a 8 a これが 8 と等しいとき,( 部 ) 0 より, a 0 よって, a ウ ( 注 ) このとき, 8 9 (, より ) 7 エ, オカ また,より, これより, 9 であるから, 6 8 8 すなわち, 8 6 7 キク ( 注 ) 乗の和の因数分解 p q p qp pq q を用いると, 8 これより, a ウ - -
より, p: q: または p: q: かつ () q pは偽 ( 反例は ), p qは真であるから, q は p であるための 必要条件だが十分条件でない 0 p qは偽 ( 反例は 0 ), q pは偽 ( 反例は ) であるから, p は q であるための 必要条件でも十分条件でもない または : である または は偽 ( 反例は 0 ), q pまたは q pまたは qは q であるための 必要条件でも十分条件でもない かつ : である かつ は真, q pかつ qは偽 ( 反例は ) であるから, pかつ qは q であるための 十分条件だが必要条件でない p q p q q p q p q q は偽 ( 反例は ) であるから, ケ コ サ シ () r: 0 A pかつ q: であるから, pかつ q rは真 B q rは偽 ( 反例は ) C q pは真 以上より, 正しいものは A は真,B は偽,C は真 ス - -
g a 5a 8a 0a 9a 6 a 5a a 5a 8a 0a 9a 6 a 5a 9a 0a 5a 8a 0a 9a 6 a 5a 9a a 6 よって, y gのグラフの頂点は, a 5a, 9a a 6 セ~ト a a 5 a a 5 a 5 5 a 5 5 6 6 6 より,a が実数全体を動くとき, 頂点の 座標の最小値は 5 5 a のとき 6 ナニ, ヌネ 次に, t a とおくと, 頂点の y 座標は, a a t t t 9 6 9 6 と表せる a が実数全体を動くとき, t 0 であるから, このとき t このとき の最小値は, 6 ( 最小値を与えるのは, t 0 すなわち a 0 のとき ) ノハ - -
第 問 () 余弦定理より, AC =AB +BC AB BC cos ABC = U - A 6 よって, AC= 6 B 60, U + C ア ABC の外接円の半径を R とすると, 正弦定理より, AC R = sin ABC よって, 6 R イ ふたたび, 正弦定理より, BC R = sin BAC であるから, BC 6 sin BAC R ウ, エ, オ () ABD AB ADsin BAC AB AD 6 であるから, この値が 6 であるとき, 8 AB AD 6 6 B A D C カ, キ, ク, ケ - -
よって, AD コ, サ AB - 5 -
() 0, X と V の間には, 相関は認められないが, X と Y の間には正の相関が認められる 0 は正しくない は正しい, V が最大のジャンプは, X でも Y でも最大ではない も も正しくない Y が最小のジャンプは X では最小ではない は正しい 5 X が 80 以上のジャンプの中には, V が 9 よりも小さいものもある 5 は正しくない 6 Y が 55 以上かつ V が9 以上のジャンプは存在しない 6 は正しい 以上より, 正しいものは,, 6 シ, ス, セ () X. 80D- 5. 0 60. 0. 80 D- 65. 0 より, X X (. 80 D 65.)- 0. 80 D 65. 0. 80 D D ア よって, X の分散 s X は, D の分散 s D の.. 80 ( 倍 ) になる ソ ( 注 ) 分散 s n n 次に, アより ( X - X)( Y- Y). 80 ( D- D)( Y- Y) であるから, X と Y の共分散 sxy は, D と Y の共分散 sdy の.80 倍である ( 注 ) と y の共分散 s ( )( y y) ( )( y y) ( )( y y) y n n n タ sxy さらに, X と Y の相関係数 s s は, D と Y の相関係数 sdy s s との比を求めると, sxy sdy. 80 sdy sdy : : : sxsy sds Y. 80 s s sdsy X D Y Y となるから, X と Y の相関係数は, D と Y の相関係数の 倍である D Y チ () 回目の X Y の最小値は 08.0 であるから, ヒストグラムは図 のA が, 箱ひげ図は図 のa が 回目のものである ( X Y の最小値は, 図 のB では05 未満, 図 のb では05 未満である ) よって, 回目の X Y の値について, ヒストグラムと箱ひげ図との組合せとして正しいものは 0 ツ - 6 -
また, 図 から, 0 四分位範囲は 回目が 回目よりも小さい 0 は正しくない 中央値は 回目が 回目よりも大きい は正しい 最大値は 回目が 回目よりも大きい は正しくない 最小値は 回目が 回目よりも大きい は正しくない 以上より, 正しいものは テ - 7 -
第 問 () 事象 E の余事象は, A,B がともにはずれくじを引く 事象である その確率は, 6 であるから, 事象 E の確率 P( E ) は 5 6 6 ア, イ () 事象 E は, A,B,C の 人のうち 人だけがはずれくじを引く 事象と同じであるから, その 人が誰であるかにより, と と 5 の和事象であると考えることができる 上のそれぞれの事象の確率は,,, 5 6 6 6 であり, これらの事象は排反であるから, 事象 E の確率 PEは, 6 6 6 ウ, エ, オ カ, キ () 事象 E が起こったときの事象 E が起こる条件付き確率 P Eは, P E E PE E P( E ) であるが, E E Eであるから, PE P E P( E) E 5 5 6 E ク, ケ () はずれくじは 本であるから,A がはずれくじを引けば, B とC の少なくとも一方はあたりくじを引くことになる また,A があたりくじを引いた場合は,B と C のいずれか一方だけがあたりくじを引かなければならない このとき,B と C のいずれか一方のみがはずれくじを引くことになる よって, 事象 E は,0 と と 5 の和事象と考えることができる コ, サ, シ 上のそれぞれの事象の確率は, 0,, 5 6 6 であり, これらの事象は排反であるから, 事象 E の確率 P( E ) は, 5 6 6 6 ス, セ - 8 -
一方, 事象 E の余事象は, A と C がともにはずれくじを引く ( このとき,B はあたりくじを引く ) 事象である その確率は, 6 であるから, 事象 E の確率 P( E ) は, 5 6 6 ソ, タ (5) () と同様に考えれば PE E PE PE E PE PE ( E), P E E P( E) P( E) P( E) P( E) であるから, P( E) P( E) P( E) 5 6 より, P ( E) P ( E) P ( E) よって E E E p p p となるから, 答えは 6 チ - 9 -
第 問 () 自然数が で割り切れるのは, その下 桁の数が で割り切れるときであるから, 桁の自然数 7a が で割り切れるような a を求めると, a =,6 ア, イ () 桁の自然数 7 b 5 c が で割り切れるとき, 下 桁の数 5c が で割り切れる c を求めると, c =,6 次に, 自然数が 9 で割り切れるのは, その各位の数の和が 9 で割り切れるときであるから, 7 b 5 c が 9 で割り切れるのは, 7 b 5 c b cが9 で割り切れるときである 0 b c 8より, b c 6,5 となるが, より, c のとき b, c 6 のとき b 0, 9 と決まるから, の 通りある b, c=,, 0, 6, 9, 6 ウ このとき, 上のそれぞれに対し, 7 b5 c 75, 7056, 7956 と決まるから, 最小の値は 7056 で, このとき b 0, c 6 エ, オ 最大の値は 7956 で, このとき b 9, c 6 カ, キ また, 7b5c 6n 6n となるとき, 上の つの数を 6 で割った商はそれぞれ 07, 96, となるが, このうち平方数 n は96 のみであるから, このとき, b 0, c 6, n ク, ケ, コサ () 88 であるから,88 の正の約数の個数は, 個 シス ( 注 ) このうち, の倍数の個数は,88 = より, 部の約数の個数を求めて, 6個 セソ の倍数の個数は, 88 より, 部の約数の個数を求めて, 8個 タ さらに,88 のすべての正の約数の積は と表せるが, l m n P (l,m,n は正の整数 ) P m n l より, これを 進法で表したとき末尾に続く 0 の個数は l 個である (*) - 0 -
したがって,P が で何回割り切れるかを求めればよい シス, セソより,88 の正の約数の中には の倍数が 6 個, の倍数が 8 個ある (8 以上の の累乗はない ) の倍数はそれぞれ で 回割り切れ, の倍数はそれぞれ でさらに 回割り切れるから,P が で割り切れる回数は 6 8 回 であるので, 求める答えは 個 チツ ( 注 ) 素因数分解した形が, l m n a b c (a,b,c は異なる素数 ) で表される自然数の正の約数の個数は, l m n ( 個 ) である ( 注 )(*) の箇所が分かり辛ければ,0 進法での表現に置き換えて考えるとよい 例えば,00000 は 00000 7 0 5 のように 0 で 5 回割り切れるから,0 進法で表したとき末尾に続く 0 の個数は 5 個である 進法で考えるときも同様に で割り切れる回数に着目することで, 末尾に続く 0 の個数を求めることができる - -
第 5 問 () ABC および点 D, ABD の外接円, さらに点 E を図示すると右のようになる F このとき, 方べきの定理より, であるから, CECB CDCA 7 8 アイ 8 7 CE BC ウ, エ 次に, ABC と直線 DE に関するメネラウスの定理より, BF AD CE FA DC EB B A D E 8 C であるから, 7 BF AF 7 8 よって, BF AF 9 7 7 このとき, AF : BA 7: 7 7: 5 であるから, 7 7 AF BA 5 5 5 オカ, キ クケ, コ () 余弦定理より, AB BC CA 8 7 cosabc ABBC 8 8 よって, ABC 60 サシ ABC ABBC sinabc 8 6 であり, ABC の内接円の半径を r とすると, ABC I BC ICA IAB r8 7 6 であるから, 6 r 8 7 8 ス, セ, ソ - -
ここで,I から辺 BC に垂線 I H を下ろすと, A I H は ABC の内接円の半径で, I また B I はABC の二等分線であるから, IBH 0 B H C よって, IBHは 辺の長さの比が IH:BI:BH : : の直角三角形であるから, BI IH タ, チ, ツ - -