FdData 中間期末 : 中学数学 年 : 連立方程式計算 [ 元 1 次方程式 / 加減法 / 代入法 / 加減法と代入法 / 分数などのある連立方程式 / A=B=C, 元連立方程式 / 係数の決定 ] [ 数学 年 pdf ファイル一覧 ] 元 1 次方程式 次の方程式ア~カの中から, 元 1 次方程式をすべて選べ ア y = 6 イ x y = 5 ウ xy = 1 エ x + 5 = 9 オ x + 4y = カ x + y = [ 解答 ] イ, オ 元 1 次方程式 の 元とは未知数が つということで,1 次方程式とは 1 次式で構成された方程式ということである イとオが 元 1 次方程式である アとエは未知数が 1 つであるので 1 元方程式である ウとカは左辺が 次式なので 次方程式である 元 1 次方程式 x y = 4 の解を, 次の中からすべて選び, 記号で答えよ ア x =, y = 1 イ x = 1, y = 0 ウ x = 1, y = エ x =, y = 1 オ x =, y = [ 解答 ] ウ, オ x, y の値を 元 1 次方程式に代入して,( 左辺 )=( 右辺 ) が成り立つとき, その x, y は方程式 の解といえる ( 左辺 ) ( 右辺 )( 等しくない ) のときは解ではない ア x =, y = 1のとき,( 左辺 )= x y = ( ) ( 1) = 4 + 1 = ( 右辺 ) イ x = 1, y = 0 のとき,( 左辺 )= x y = ( 1) 0 = ( 右辺 ) ウ x = 1, y = のとき,( 左辺 )= x y = 1 ( ) = 4 =( 右辺 ) エ x =, y = 1のとき,( 左辺 )= x y = 1 = ( 右辺 ) オ x =, y = のとき,( 左辺 )= x y = = 4 =( 右辺 ) よって,( 左辺 )=( 右辺 ) が成り立ち, 解になるのはウとオ 1
次のア~エの中で, 元 1 次方程式 x + y = 9 を成り立たせる x, y の組はどれか ア x =, y = イ x = 4, 5 y = ウ x = 5, y = エ x = 7, y = 1 [ 解答 ] イ, エ ア x =, y = のとき,( 左辺 )= x + y = + = 8 ( 右辺 ) イ x = 4, 5 5 y = のとき,( 左辺 )= x + y = 4 + = 9 =( 右辺 ) ウ x = 5, y = のとき,( 左辺 )= x + y = 5 + = 1 ( 右辺 ) エ x = 7, y = 1のとき,( 左辺 )= x + y = 7 + 1 = 9 =( 右辺 ) よって, x + y = 9 が成り立つのはイ, エのとき 次の各問いに答えよ (1) 次の 元 1 次方程式が成り立つような x, y の値の組を求め, 表の空らんをうめよ ただ し, x, y は正の整数であるとし, 正の整数にならない場合は を入れよ ア x + y = 1 x 1 4 5 6 y イ x + y = x 1 4 5 6 y () (1) のア, イの表で共通な x, y の値の組を求めよ (1) ア x + y = 1 x 1 4 5 6 y イ x + y = x 1 4 5 6 y
() [ 解答 ](1) ア x + y = 1 x 1 4 5 6 y 10 8 6 4 0 イ x + y = x 1 4 5 6 y 8 5 () x =, y = 8 (1) ア x + y = 1 を y について解く x を右辺に移項して y = x + 1 x = 1のとき y = 1+ 1 = 10 x = のとき y = + 1 = 8 と代入していく イ x + y = を y について解く x を右辺に移項して y = x +, 両辺を でわると x + y = この式に x = 1,, を代入していく () 一般に 元 1 次方程式の解は無数にある 表で求めたそれぞれ 6 つの解は解の一部であ る しかし, 異なる つの 元 1 次方程式を同時に満たす解は原則として 1 個のみ ア, イ の表を見ると x =, y = 8 が共通する解になっている つの 元 1 次方程式を共通に満たす 解を 連立方程式の解 という 次の各問いに答えよ (1) 元 1 次方程式 x + y = 6 が成り立つような x, y の値を求めて, 次の表の空欄をうめよ x 0 1 4 5 y () 元 1 次方程式 x + y = 9 が成り立つような x, y の値を求めて, 次の表の空欄をうめよ x 0 1 4 5 y () (1),() をもとにして, 連立方程式 x + y = 6 x + y = 9 を解け
(1) x 0 1 4 5 y () x 0 1 4 5 y () [ 解答 ] (1) x 0 1 4 5 y 6 5 4 1 () x 0 1 4 5 y 9 7 5 1-1 () x =, y = (1) x + y = 6 を y について解くと, y = x + 6 この式に x = 0, 1, を代入する () x + y = 9 を y について解くと, y = x + 9 この式に x = 0, 1, を代入する x + y = 6 () 連立方程式 の解は, つの 元 1 次方程式 x + y = 6 と x + y = 9 を同時に満 x + y = 9 たす x, y の値である それぞれの 元 1 次方程式を満たす解は無数に存在するが, 同時に満 たす解は原則として 1 個だけである (1),() の表から x =, x + y = 6 y = が連立方程式 x + y = 9 の解になっていることがわかる 次の各問いに答えよ (1) 元 1 次方程式 x + y = の解をすべて求めよ ただし, 解は自然数である () 元 1 次方程式 x + y = 5 の解をすべて求めよ ただし, 解は自然数である x + y = () (1),() から連立方程式 の解を求めよ x + y = 5 (1) () () 4
[ 解答 ](1) ( x, y) = ( 1, ), (, 1) () ( x, y) = ( 1, ), (, 1) () ( x, y) = (, 1) (1) x + y = より y = x 解は自然数なので, x は 1 以上の整数 x = 1のとき, y = 1 = x = のとき, y = = 1 x = のとき, y = = 0 y は自然数なので不適 x 4 のとき y < 0 となるので不適 () x + y = 5 より y = 5 x 解は自然数なので, x は 1 以上の整数 x = 1のとき, y = 5 1 = x = のとき, y = 5 = 1 x のとき y < 0 となるので不適 x の解は ( x, y) = ( 1, ), (, 1) x + y の解は ( x, y) = ( 1, ), (, 1) + y = x + y = を両方とも満たすのは ( x, y) = (, 1) () (1) より, + y = () より, = 5 よって, x と 5 x + y = 17 を成り立たせる x, y の組み合わせの中で, x, y の値がともに自然数になる 組はいくつあるか [ 解答 ] 組 まず, x + y = 17 を y について解く x を右辺に移項すると, y = 17 x 17 x 両辺を で割ると, y = x は自然数なので, x 1 17 1 x =1のとき, y = = 7 適する 17 11 x = のとき, y = = = 5. 5 y は自然数なので不適 17 x = のとき, y = = 4 適する 5
17 4 5 x = 4 のとき, y = = =. 5 y は自然数なので不適 17 5 x = 5 のとき, y = = 1 適する x 6 のとき, 17 x y = の分子 17 x < 0 となるので y < 0 したがって不適 以上より, 自然数の解は ( x, y )=(1,7),(,4),(5,1) の 組である 次の (1)~() にあてはまるものを下のア~オの中から選べ (1) 1 次方程式 4 x = 5 の解 () 元 1 次方程式 x + y = 1 の解の 1 つ x + y = 8 () 連立方程式 の解 x y = 5 ア x = 1 イ x = ウ x =, y = エ x =, y = 5 オ x =, y = 6 (1) () () [ 解答 ](1) イ () オ () ウ (1) 4 x = 5, 4 x = 8, x = よってイ () 元 1 次方程式 x + y = 1は, 方程式が 1 つで未知数が つなので解は無数にある ウ, エ, オをそれぞれ代入して ( 左辺 )=( 右辺 ) が成り立つか調べる ウ x =, y = のとき,( 左辺 )= x + y = + = 1 ( 右辺 ) エ x =, y = 5のとき,( 左辺 )= x + y = + 5 = 16 ( 右辺 ) オ x =, y = 6 のとき,( 左辺 )= x + y = + 6 = 1=( 右辺 ) よってオが解 ( の 1 つ ) になる () ウ, エ, オのそれぞれについて つの 元 1 次方程式 x + y = 8, x y = 5 に代入して ( 左辺 )=( 右辺 ) が成り立つか調べる つとも ( 左辺 )=( 右辺 ) が成り立つとき解になる ウ x =, y = のとき x + y = 8 について ( 左辺 )= x + y = + = 8 =( 右辺 ) x y = 5 について ( 左辺 )= x y = = 5 =( 右辺 ) よって x =, y = は x + y = 8, x y = 5 の両方を満たす よって解となる 連立方程式 の解は 1 つなので, エ, オは解ではない 6
次の式の中で, 元 1 次方程式には を, そうでない式には をつけよ 1 x + y = 5 x + = 5x x x + 4 y = 5 x + 5 6 x + 7y 1 4 5 [ 解答 ]1 4 5 元 1 次方程式 の 元とは未知数が つということで,1 次方程式とは 1 次式で構成された方程式ということである 1と4が 元 1 次方程式である は未知数が x 1 つであるので 1 元 1 次方程式である と5は等式の形になっておらず方程式ではない 次の各問いに答えよ (1) 式 x + y = 4 のように, 種類の文字についての 1 次方程式を何というか () x + y = 4, x + y = 7 の両方の式を成り立たせる x, y の値の組を求めよ (1) () [ 解答 ](1) 元 1 次方程式 () x =, y = 1 (1) 元 1 次方程式 の 元とは未知数が つということで,1 次方程式とは 1 次式で構成された方程式ということである x + y = 4 の未知数は x, y の つ () 代入法で解く x + y = 4 より x = y + 4 これを x + y = 7 に代入すると, ( + 4) + y = 7, 4y + 8 + y = 7, y = 1, y 1 y = y = 1を x = y + 4 に代入すると, x = 1+ 4 = ゆえに x =, y = 1 7
加減法 [ そのまま加減 ] x + y = 7 x y = 1 [ 解答 ] x = 4, y = x + y = 7 1 x y = 1 加減法で解く y を消去するために 1+ + ) x + y = 7 x y = 1 x = 8 ゆえに x = 8 = 4 x = 4 を1に代入すると, 4 + y = 7, y = よって, x = 4, y = x = 4 連立方程式の解の書き方は, x = 4, y =, y = では, x = 4, y = という書き方を使う, ( x, y) = ( 4, ) の 通りがあるが, 以下 [ 問題 ]( 学期期末 ) x + y = 5 x y = 1 [ 解答 ] x =, y = x + y = 5 1 x y = 1 加減法で解く y を消去するために1+で, 8
x + y = 5 + ) x y = 1 x = 6 ゆえに, x = 1に x = を代入すると, + y = 5, y = よって, x =, y = 4x + y = 14 x + y = 10 [ 解答 ] x =, y = 6 4x + y = 14 1 x + y = 10 加減法で解く y を消去するために1- ) 4x + y = 14 x + y = 10 ゆえに x = 4 = x = 4 x = をに代入すると, + y = 10, 4 + y = 10, y = 6 よって, x =, y = 6 x + y = 5x + y = 9 [ 解答 ] x =, y = 7 9
x + y = 1 5x + y = 9 加減法で解く y を消去するために1- ) x + y = 5x + y = 9 x = 6 ゆえに x = ( 6 ) ( ) = x = を1に代入すると, + y =, 9 + y =, y = 14, = 7 よって, x =, y = 7 [ 問題 ]( 学期中間 ) x + y = 5 x y = 7 [ 解答 ] x =, y = x + y = 5 1 x y = 7 加減法で解く y を消去するために1+ + ) x + y = 5 x y = 7 4x = 1 ゆえに x = 1 4 = x = を1に代入すると, + y = 5, 9 + y = 5, y = 4, y = よって, x =, y = x + 9y = 4 x 6y = 10
[ 解答 ] x = 7 y = x + 9y = 4 1 x 6y = 加減法で解く x を消去するために1+ x + 9y = 4 + ) x 6y = ゆえに y = 6 = y = 6 y = を1に代入すると, x + 9 = 4, x + 18 = 4, x = 14, x = 7 よって, x = 7, y = [1 つの式を何倍かして係数を合わせる ] x + y = 7 x + y = [ 解答 ] x = 1, y = x + y = 7 1 x + y = 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために x + y = 7 1 x + y = 6 y を消去するために1- x + y = 7 ) x + y = 6 ゆえに x = 1 x = 1 x = 1をに代入すると, 1 + y =, y = よって, x = 1, y = 11
1 [ 問題 ]( 学期期末 ) = + = + 4 5 y x y x [ 解答 ], = = y x = + = + 1 4 5 y x y x 加減法で解く x を消去するために 1-8 4 ) 5 = = + = + y y x y x ゆえに, = y に = y を代入すると, 4, 6 4, = = + = + x x x よって,, = = y x = + = + 4 8 7 6 y x y x [ 解答 ] 0, 4 = = y x = + = + 1 4 8 7 6 y x y x 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために = + = + 1 8 4 6 8 7 6 y x y x x を消去するために 1-0 8 4 6 ) 8 7 6 = = + = + y y x y x ゆえに 0 0 = = y
y = 0 をに代入すると, x + 0 = 4, x = 4 よって, x =, y = 0 4 x + y = 1 x + y = 8 [ 解答 ] x =, y = x + y = 1 1 x + y = 8 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために x + y = 1 1 4x + y = 16 y を消去するために1- x + y = 1 ) 4x + y = 16 ゆえに x = 15 5 = 5x = 15 x = を1に代入すると, + y = 1, y = 4, y = よって, x =, y = 6x y = 1 x y = 7 [ 解答 ] x = 1, y = 5 1
6x y = 1 1 x y = 7 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために1 1x y = 1 x y = 7 y を消去するために1-1x y = ) x y = 7 ゆえに x = 9 9 = 1 9x = 9 x = 1を1に代入すると, 6 1 y = 1, y = 5, y = 5 よって, x = 1, y = 5 [ 問題 ]( 学期中間 ) x + y = 5 x y = 4 [ 解答 ] x =, y = 1 x + y = 5 1 x y = 4 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために1 4x + y = 10 1 x y = 4 y を消去するために1 + + ) 4x + y = 10 x y = 4 7x = 14 ゆえに x = ( 14) 7 = x = を1に代入して, ( ) + y = 5, 4 + y = 5, y = 1 よって, x =, y = 1 14
5x 6y = 7 x y = 1 [ 解答 ] x = 1, y = 5x 6y = 7 1 x y = 1 加減法で解く y の係数の絶対値を 6 にそろえるために 5x 6y = 7 1 9x 6y = y を消去するために1-5x 6y = 7 ) 9x 6y = 4x = 4 ゆえに x = 4 ( 4) = 1 x = 1をに代入すると, ( 1) y = 1, y = 1, y = 4, y = よって, x = 1, y = [ 両方の式をそれぞれ何倍かして係数を合わせる ] [ 問題 ]( 学期期末 ) x = 9 x y = 4 [ 解答 ] x =, y = 1 x = 9 1 x y = 4 加減法で解く x を消去するために,1-15
6x + 15y = 7 ) 6x 4y = 8 19y = 19 よって y = 1 1に y = 1を代入すると, x + 5 1 = 9, x = 4, x = よって, x =, y = 1 7x 5y = 17 8x + y = 6 [ 解答 ] x = 6, y = 5 7x 5y = 17 1 8x + y = 6 加減法で解く y の係数の絶対値を15 にそろえるために1, 5 1x 15y = 51 1 40x + 15y = 15 y を消去するために1 + 1x 15y = 51 + ) 40x + 15y = 15 ゆえに x = 66 61 = 6 61x = 66 x = 6 をに代入すると, 8 6 + y = 6, 48 + y = 6, y = 15, y = 5 よって, x = 6, y = 5 [ 問題 ]( 学期中間 ) 4x 7y = 6 6x + y = 9 16
[ 解答 ] x =, y = 0 4x 7 y = 6 1 6x + y = 9 加減法で解く y の係数の絶対値を14 にそろえるために1, 7 8x 14y = 1 1 4x + 14y = 6 y を消去するために1 + + ) 8x 14y = 1 4x + 14y = 6 50x = 75 75 ゆえに x = 75 50 = = 50 x = をに代入すると, 6 + y = 9, 9 + y = 9, y = 0, y = 0 よって, x =, y = 0 4x + y = 5 7x + y = 1 [ 解答 ] x = 1, y = 4x + y = 5 1 7x + y = 1 加減法で解く y の係数の絶対値を 6 にそろえるために1, 8x + 6y = 10 1 1x + 6y = y を消去するために1-8x + 6y = 10 ) 1x + 6y = ゆえに x = ( 1 ) ( 1) = 1 1x = 1 x = 1をに代入すると, 7 1+ y = 1, 7 + y = 1, y = 6, y = よって, x = 1, y = 17
x 5y = 9 x 4y = 10 [ 解答 ] x =, y = 1 x 5y = 9 1 x 4y = 10 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1, 6x 15y = 7 1 6x 8y = 0 x を消去するために1 - ) 6x 15y = 7 6x 8y = 0 7y = 7 ゆえに y = 7 ( 7) = 1 y = 1を1に代入すると, x 5 ( 1) = 9, x + 5 = 9, x = 4, x = よって, x =, y = 1 6x = 8 4x + y = 1 1 [ 解答 ] x =, y = 1 6x = 8 1 4x + y = 1 加減法で解く x の係数の絶対値を 1 にそろえるために 1, 18
1x + 10y = 16 1 1x + 9y = x を消去するために1 + + ) 1x + 10y = 16 1x + 9y = 19y = 19 ゆえに y = 19 19 = 1 1 y = 1をに代入すると, 4x + 1 = 1, 4x + = 1, 4x =, x = = 4 1 よって, x =, y = 1 x 4y = 15 x + y = 7 [ 解答 ] x = 1, y = x 4y = 15 1 x + y = 7 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1, 6x 8y = 0 1 6x + 9y = 1 x を消去するために1 - ) 6x 8y = 0 6x + 9y = 1 17 y = 51 ゆえに y = ( 51 ) ( 17) = y = をに代入すると, x + = 7, x + 9 = 7, x =, x = 1 よって, x = 1, y = 19
5x 4y = 0 x + y + 7 = 0 [ 解答 ] x = 1, y = 5x 4y = 0 1 x + y + 7 = 0 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) y の係数の絶対値を 4 にそろえるために 5x 4y = 0 1 6x + 4y + 14 = 0 y を消去するために1+ + ) 5x 4y = 0 6x + 4y + 14 = 0 11x + 11 = 0 x = 1をに代入すると, 11x = 11, x = 1 ( 1) + y + 7 = 0, + y + 7 = 0, y = 4, = y よって, x = 1, y = [ 加減法全般 ] x + y = 1 (1) x y = 5 () 6x + y = 4 x + y = 15 x () 5x + y = + 4y = 1 (1) () () (4) (4) 7x 5y = 5x + 4y = 9 [ 解答 ](1) x =, y = () x =, y = () x =, y = 7 (4) x = 1, y = 1 0
x + y = 1 1 (1) x y = 5 加減法で解く y を消去するために1+ + ) x + y = 1 x y = 5 x = 4 ゆえに x = 4 = x = を1に代入すると, + y = 1, y = よって, x =, y = 6x + y = 4 1 () x + y = 15 加減法で解く y を消去するために1-6x + y = 4 ) x + y = 15 ゆえに x = 9 = x = 9 x = をに代入すると, + y = 15, 9 + y = 15, y = 6, y = よって, x =, y = x + y = 1 () 5x + 4y = 1 加減法で解く y の係数の絶対値を 4 にあわせるために1 4 1x + 4y = 8 1 5x + 4y = 1 y を消去するために1-1x + 4y = 8 ) 5x + 4y = 1 ゆえに x = 1 7 = 7x = 1 x = を1に代入すると, + y =, 9 + y =, y = 7 よって, x =, y = 7 7x 5y = 1 (4) 5x + 4y = 9 加減法で解く y の係数の絶対値を 0 にそろえるために1 4, 5 1
8x 0y = 8 1 5x + 0y = 45 y を消去するために1 + + ) 8x 0y = 8 5x + 0y = 45 5x = 5 ゆえに x = 5 5 = 1 x = 1をに代入すると, 5 ( 1) + 4y = 9, 5 + 4y = 9, 4y = 4, y = 1 よって, x = 1, y = 1 x + y = 1 (1) x + y = () 4x 5y = 6 x y = 8x () x y = + 4y = 11 (1) () () [ 解答 ](1) x =, y = 5 () x = 4, y = () x = 1, y = x + y = 1 1 (1) x + y = x + y = 1 加減法で解く y を消去するために1-で, ) x + y = x = x = をに代入すると, + y =, y = +, y = 5 よって, x =, y = 5 4x 5y = 6 1 () x y = 加減法で解く x の係数を 4 にそろえるために で, 4x 5y = 6 1' 4x 6y = 4 '
4x 5y = 6 1 - で x を消去する ) 4x 6y = 4 y = y = をに代入すると, x =, x 6 =, x = + 6, x = 8, x = 4 よって, x = 4, y = () 8x y = 1 x + 4y = 11 加減法で解く y の係数を 1 にそろえるために,1 4, x 1y = 8 1' 9x + 1y = ' 1 + で y を消去すると, + ) x 1y = 8 9x + 1y = 41x = 41 よって, x = 41 41 = 1 x = 1をに代入すると, 1+ 4y = 11, 4y = 11, 4y = 8, y = よって, x = 1, y = [ 問題 ]( 学期中間 ) x + y = 5 (1) x y = 18 (1) () () x + y = x + 8y = 17 [ 解答 ](1) x = 4, y = () x =, y = 1 x + y = 5 1 (1) x y = 18 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために1 4x + y = 10 1 x y = 18 y を消去するために1 + + ) 4x + y = 10 x y = 18 7x = 8 ゆえに x = 8 7 = 4 x = 4 を1に代入すると, 4 + y = 5, 8 + y = 5, y = よって, x = 4, y =
() x + y = 1 x + 8y = 17 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1, 6x + 9y = 9 1 6x + 16y = 4 y を消去するために1 + 6x + 9y = 9 + ) 6x + 16y = 4 5y = 5 ゆえに y = ( 5) 5 = 1 y = 1を1に代入すると, x + ( 1) =, x =, x = 6, x = よって, x =, y = 1 4
代入法 y = x 1 4x y = 1 [ 解答 ] x =, y = 0 y = x 1 4x y = 代入法で解く ( 1 1 の y を の y に代入すると, ( x 1) y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 4 x =, 4x x + 1 =, x = 1, x = 1 1 1 x = を1に代入すると, y = 1 = 0 よって, x =, y = 0 1 y = x 5x 4y = 6 [ 解答 ] x =, y = 1 y = x 1 5x 4y = 6 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 1の y をの y に代入すると, 5 x 4( x ) = 6, 5x 8x + 1 = 6, x = 6, x = x = を1に代入すると, y = = 1 よって, x =, y = 1 5
[ 問題 ]( 学期中間 ) y = 5 + x 5x y = [ 解答 ] x = 4, y = 9 y = 5 + x 1 5x y = 代入法で解く 1の y をの y に代入すると, ( 5 + x) =, 5x 10 x =, x = 1, x 4 5 x = x = 4 を1に代入すると, y = 6 + 4 = 9 よって, x = 4, y = 9 y = x + 6 x y = 9 [ 解答 ] x = 5, y = 1 y = x + 6 1 x y = 9 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 1 の y を の y に代入すると, ( x + 6) = 9, x + x 6 = 9, x = 15, x 5 x = x = 5 を1に代入すると, y = 5 + 6 = 1 よって, x = 5, y = 1 6
x + y = 8 x = y + [ 解答 ] x = 5, y = x + y = 8 1 x = y + 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) の x を 1 に代入すると, ( y + ) + y = 8, y = 6, y = y = をに代入すると, x = + = 5 よって, x = 5, y = x = y 4x = y + 8 [ 解答 ] x = 5 y = 4 x = y 4x = y + 8 代入法で解く ( 1 1 の x を の x に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) ( y ) = y + 8, 8y 1 = y + 8, 5y = 0, y 4 4 = y = 4 を1に代入すると, x = 4 = 5 よって, x = 5, y = 4 7
x = y 1 y + x = 5 [ 解答 ] x = 1, y = 1 x = y 1 y + x = 5 代入法で解く ( 1 y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) y + y y y y y 1の x をの x に代入すると, ( 1) = 5, + 4 = 5, 7 = 7, = 1 y = 1を1に代入すると, x = 1 1 = 1 よって, x = 1, y = 1 x 4y = 17 x = y + 1 [ 解答 ] x =, y = x 4y = 17 1 x = y + 1 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) の x を1の x に代入すると, ( y + 1) 4y = 17, 6y + 4y = 17, 10y = 0, y = y = をに代入すると, x = + 1 = よって, x =, y = 8
[ 問題 ]( 学期期末 ) x + y = 11 y = x 1 [ 解答 ] x = 5, y = x + y = 11 y = x 1 代入法で解く ( 1 の y を 1 の y に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) ( x 1) = 11, x + 9x 9 = 11, 10x = 50, 5 x + x = x = 5 をに代入すると, y = 5 1 = よって, x = 5, y = y = x 8 y = x + 7 [ 解答 ] x =, y = y = x 8 1 y = x + 7 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 1 の y を の y に代入すると, x 8 = x + 7, 5x = 15, x = x = を1に代入すると, y = 8 = よって, x =, y = 9
x y = 1 y = x 8 [ 解答 ] x =, y = x y = 1 1 y = x 8 代入法で解く の y を1の y に代入すると, ( x 8) = 1, x x + 8 = 1, x = 4, x x = x = をに代入すると, y = 8, y = 6, y = よって, x =, y = x = 15 x = y [ 解答 ] x = 5 y = 6 x = 15 1 x = y x が共通にあることに注目して代入法で解く ( 加減法も可 ) の x を1の x に代入すると, y = 15, y = 18, y = 6 y = 6 をに代入すると, x = ( 6), x = 15, x = 5 よって, x = 5, y = 6 0
x + y = 11 x + y = x y + 7 [ 解答 ] x =, y = 1 x + y = 11 1 x + y = x y + 7 まず の式を整理する x + y = x y + 7, x + y x + y = 7, x + 4y = 7 代入法で解く ( 加減法でも可 ) より, x = 7 4y これを 1 の x に代入すると, ( 7 4y ) + y = 11, 1 1y + y = 11, 10y = 10, y 1 = y = 1を に代入すると, x = 7 4 1 = よって, x =, y = 1 1
加減法と代入法 [ 問題 ]( 学期期末 ) (1) x 7y = 9 x y = 5 (1) () [ 解答 ](1) x = 1, y = 1 () x = 1, y = 1 () y = x x y = 4 (1) x 7y = 9 1 x y = 5 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1, 6x 1y = 7 1 6x 4y = 10 y を消去するために1 - ) 6x 1y = 7 6x 4y = 10 17y = 17 ゆえに y = 17 ( 17) = 1 y = 1を1に代入すると, x 7 ( 1) = 9, x + 7 = 9, x =, x = 1 よって, x = 1, y = 1 y = x () x y = 4 代入法で解く ( 1 1 の y を の y に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) ( x ) = 4, x 6x + 9 = 4, 5x = 5, x 1 x = x = 1を1に代入すると, y = 1 = 1 よって, x = 1, y = 1
(1) x 4y = 10 x + y = 1 () 6x = 8 4x + y = 1 () 5x + y = 4 x = y + 5 (1) () () (4) (4) x = y + 1 x y = 1 [ 解答 ](1) x =, y = () x =, y = 1 () x =, y = (4) x = 7, y = (1) x 4y = 10 1 x + y = 1 加減法で解く x の係数の絶対値を にそろえるために 1 x 8y = 0 1 x + y = 1 x を消去するために1 - x 8y = 0 ) x + y = 1 11y = ゆえに y = ( ) ( 11) = y = を1に代入すると, x 4 = 10, x 1 = 10, x = よって, x =, y = () 6x = 8 1 4x + y = 1 加減法で解く x の係数の絶対値を 1 にそろえるために 1, 1x + 10y = 16 1 1x + 9y = x を消去するために1 + + ) 1x + 10y = 16 1x + 9y = 19y = 19 ゆえに y = 19 19 = 1
1 y = 1をに代入すると, 4x + 1 = 1, 4x =, x = 1 よって, x =, y = 1 5x + y = () x = y + 5 代入法で解く ( 4 1 の x を 1 の x に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) ( y + 5) + y = 4, 5y + 5 + y = 4, 7 y = 1, y = 5 y = をに代入すると, x = + 5 = よって, x =, y = x = y + 1 (4) x y = 代入法で解く ( 1 1 の x を の x に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) ( y + 1) y =, y + 1 y =, y = y = を1に代入すると, x = + 1 = 7 よって, x = 7, y = [ 問題 ](1 学期中間 ) x + y = (1) 5x + y = 9 () y = x 5x 4y = 6 () 7x y = 9 x + y = 10 (4) x 4y = 15 x + y = 7 5x + y = 4 (5) x = y + 5 (1) () () (4) (6) x y = 1 y = x 8 (5) (6) 4
[ 解答 ](1) x =, y = 7 () x =, y = 1 () x =, y = 4 (4) x = 1, y = (5) x =, y = (6) x = y = x + y = 1 (1) 5x + y = 9 加減法で解く y を消去するために1- x + y = ) 5x + y = 9 x = 6 ゆえに x = ( 6 ) ( ) = x = を1に代入すると, + y =, 9 + y =, y = 14, y = 7 よって, x =, y = 7 y = x 1 () 5x 4y = 6 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 1の y をの y に代入すると, 5 x 4( x ) = 6, 5x 8x + 1 = 6, x = 6, x = x = を1に代入すると, y = = 1 よって, x =, y = 1 7x y = 9 1 () x + y = 10 加減法で解く y の係数の絶対値を にそろえるために 7x y = 9 1 4x + y = 0 y を消去するために1+ 7x y = 9 + ) 4x + y = 0 x = 9 ゆえに x = 9 = x = をに代入すると, + y = 10, 6 + y = 10, y = 4 よって x =, y = 4 x 4y = 15 1 (4) x + y = 7 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために1, 5
6x 8y = 0 1 6x + 9y = 1 x を消去するために1-6x 8y = 0 ) 6x + 9y = 1 17 y = 51 ゆえに y = ( 51 ) ( 17) = y = をに代入すると, x + = 7, x + 9 = 7, x =, x = 1 よって, x = 1, y = 5x + y = 4 1 (5) x = y + 5 代入法で解く ( y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) の x を1の x に代入すると, 5( y + 5) + y = 4, 5y + 5 + y = 4, 7y = 1, y = y = をに代入すると, x = + 5 = よって, x =, y = x y = 1 1 (6) y = x 8 代入法で解く の y を1の y に代入すると, x x 8 = 1, x x + 8 = 1, x = 4, x = x = をに代入すると, y = 8, y = 6, y = よって, x =, y = ( ) 6
(1) x + y = 10 x y = () x + y = 1 5x + y = 1 () x y = 4 x + 7y = 1 (4) x + y = 4 4x + 9y = 8 (5) 7x + 4y = 0 5x + y = (6) x 5y = 4 x 4y = 10 (7) 7x y = 9 y = x (8) 7x 4y = 9 4y = x + 15 (1) () () (4) (5) (6) (7) (8) [ 解答 ](1) x = 4, y = 6 () x =, y = () x = 4, y = 0 (4) x = 5, y = (5) x =, y = 4 (6) x =, y = 4 (7) x =, y = 6 (8) x =, y = x + y = 10 1 (1) x y = 加減法で解く y を消去するために1+ + ) x + y = 10 x y = ゆえに x = 8 = 4 x = 8 x = 4 を1に代入すると, 4 + y = 10, y = 10 4 = 6 よって, x = 4, y = 6 x + y = 1 1 () 5x + y = 1 加減法で解く y を消去するために1-7
x + y = 1 ) 5x + y = 1 x = 9 ゆえに x = ( 9 ) ( ) = x = を1に代入すると, + y = 1, y = 1 6, y = 6, y = よって, x =, y = x y = 4 1 () x + 7 y = 1 加減法で解く x の係数を にそろえるために1 x y = 1 1 x + 7y = 1 1 -で x を消去する x y = 1 ) x + 7y = 1 ゆえに y = 0 ( 10) = 0 10y = 0 y = 0 を1に代入すると, x 0 = 4, x = 4 よって, x = 4, y = 0 x + y = 4 1 (4) 4x + 9y = 8 加減法で解く x の係数の絶対値を 4 にそろえるために1 4x + 6y = 8 1 4x + 9y = 8 1 +で x を消去する 4x + 6y = 8 + ) 4x + 9y = 8 ゆえに y = 0 15 = 15y = 0 y = を1に代入すると, x + = 4, x = 4 6, x = 10, x = 5 よって, x = 5, y = 7x + 4y = 0 1 (5) 5x + y = 加減法で解く y の係数を1 にそろえるために1, 4 1x + 1y = 90 1 0x + 1y = 88 1 - で y を消去する 8
) 1x + 1y = 90 0x + 1y = 88 x = x = をに代入すると, 5 + y =, y = 10, y = 1, y = 4 よって, x =, y = 4 (6) x 5y = 4 1 x 4y = 10 加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1, 6x 15y = 7 1 6x 8y = 0 1 + で x を消去する + ) 6x 15y = 7 6x 8y = 0 y = 9 ゆえに y = 9 ( ) = 4 y = 4 をに代入すると, x 4 ( 4) = 10, x + 16 = 10, x = 6, x = ゆえに x =, y = 4 7x y = (7) y = x 代入法で解く ( 9 1 の y を 1 の y に代入すると, y = ~, x = ~ という式があるときは代入法が計算しやすい ) 7 x x = 9, 7x 4x = 9, x = 9, x = x = をに代入すると, y = = 6 よって, x =, y = 6 7x 4y = 9 7x 4y = 9 1 (8) の式を整理して 4y = x + 15 x + 4y = 15 y を消去するために1+ 7x 4y = 9 + ) x + 4y = 15 ゆえに x = 4 8 = 8x = 4 x = をに代入すると, + 4y = 15, 4y = 15, 4y = 1, y = よって, x =, y = 9
分数などのある連立方程式 [ かっこがある場合 ] 9x 5 ( x + y) x 4y = = [ 解答 ] x =, y = 1 9x 5 ( x + y) x 4y = = 1 ( ) がある場合は, まず ( ) を展開して式を整理 1より, 9x 5x 5y =, 4x 5y = 4x 5y = 1' x 4y = 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) x の係数の絶対値を 1 にそろえるために 1, 4 1x 15y = 9 1 1x 16y = 8 x を消去するために1-1x 15y = 9 ) 1x 16y = 8 y = 1 y = 1をに代入すると, x 4 ( 1) =, x + 4 =, x = 6, x = よって, x =, y = 1 x = 18 5x ( x y) = 10 [ 解答 ] x = 1, y = 4 40
x = 18 1 5x ( x y) = 10 ( ) がある場合は, まず ( ) を展開して式を整理する より, 5x x + y = 10, x + y = 10 x = 18 1 x + y = 10 加減法で解く ( 代入法も可 ) x を消去するために1- x = 18 ) x + y = 10 ゆえに y = 8 = 4 y = 8 y = 4 を1に代入すると, x + 5 ( 4) = 18, x 0 = 18, x =, x = 1 よって, x = 1, y = 4 ( x y) = 4x ( x y) = 8 [ 解答 ] x =, y = 4 ( x y) = 1 4x ( x y) = 8 ( ) のある式では, まず ( ) を展開して式を整理する 1より, x 6y =, x y = 1 より, 4 x 6x + y = 8, x + y = 8 加減法で解く ( 代入法も可 ) y の係数の絶対値を にあわせるために1 9x y = 6 1 x + y = 8 y を消去するために1 + 9x y = 6 + ) x + y = 8 ゆえに x = 14 7 = 7x = 14 x = を1 に代入すると, y =, 6 y =, y = 4, y = 4 よって, x =, y = 4 41
4 x ( x + y) = y = ( x y) 5 + 7 [ 解答 ] x =, y = 1 4 x ( x + y) = y = ( x y) 5 1 + 7 ( ) がある場合は, まず ( ) を展開して式を整理する 1より, 4x + 4y = y 5, 4x + y = 5 より, x = x y + 7, x + y = 7 4x + y = 5 1 x + y = 7 加減法で解く ( 代入法も可 ) y を消去するために1-4x + y = 5 ) x + y = 7 6x = 1 ゆえに x = 1 6 = x = を に代入すると, ( ) + y = 7, 4 + y = 7, y =, y = 1 よって, x =, y = 1 [ 問題 ]( 学期期末 ) ( x + y) ( x y) = 4 ( x + y) + ( x y) = 1 1 5 [ 解答 ] x =, y = 9 9 ( x + y) ( x y) = 4 1 ( x + y) + ( x y) = 1 1を整理すると, x + 4y x + y = 4, x + 7y = 4 1 4
を整理すると, x + 6y + x y = 1, 6x + y = 1 代入法で解く ( 加減法も可 ) 1 より, x = 4 7y, x = 4 + 7y 1 1 を に代入すると, 6 ( 4 + 7y ) + y = 1, 4 + 4y + y = 1, 45y = 5 5 y = 5 45 = = 45 5 9 5 5 5 6 5 1 y = を1 に代入すると, x = 4 + 7 = 4 + = + = 9 9 9 9 9 9 1 5 よって, x =, y = 9 9 [ 分数がある場合 ] x + y = 4 1 x + 1 y = 1 [ 解答 ] x =, y = 6 x + y = 4 1 x + 1 1 y = 1 係数が分数の場合はまず分母を払う の両辺に 6 をかけると, x + y = 4 1 x + y = 6 加減法で解く ( 代入法でも可 ) y の係数の絶対値を にそろえるために1 x + y = 8 1 x + y = 6 y を消去するために1 - x + y = 8 ) x + y = 6 ゆえに x = x = x = を1に代入すると, + y = 4, y = 6 よって, x =, y = 6 4
[ 問題 ]( 学期期末 ) x y = 8 x y = 1 4 [ 解答 ] x = 6, y = 4 x y = 8 1 x y = 1 4 係数に分数があるときは分母を払う の両辺に 1 をかけると, x y 1 1 = 1 1, 4x y = 1 4 x y = 8 1 4x y = 1 加減法で解く ( 代入法も可 ) y の係数の絶対値を にそろえるために1 6x y = 4 1 4x y = 1 y を消去するために1 - ) 6x y = 4 4x y = 1 x = 1 x = 6 を1に代入すると, ゆえに x = 1 = 6 6 y = 8, 1 y = 8, y = 4, y = 4 よって, x = 6, y = 4 4x + y = 1 1 x 1 y = 44
[ 解答 ] x =, y = 4x + y = 1 1 1 x 1 y = 係数に分数があるときはまず分母を払う の両辺に 6 をかけると, 1 1 x 6 y 6 = 6, x y = 1 4x + y = 1 1 x y = 1 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) y の係数の絶対値を 6 にそろえるために1, 8x + 6y = 1 9x 6y = 6 y を消去するために,1 + + ) 8x + 6y = 9x 6y = 6 17x = 4 x = を1に代入して, ゆえに x = 4 17 = 4 + y = 1, 8 + y = 1, y = 9, y = よって, x =, y = x = 5 1 x y = 4 5 4 [ 解答 ] x = 5, y = 4 x = 5 1 1 x y = 4 5 4 係数が分数の場合は, まず分母を払う の両辺に 0 をかけると, 45
1 x 0 y 0 = 4 0, 4x 15y = 80 5 4 x = 5 1 4x 15y = 80 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) y の係数の絶対値を15 にそろえるために1 9x + 15y = 105 1 4x 15y = 80 y を消去するために1 + + ) 9x + 15y = 105 4x 15y = 80 5x = 5 x = 5 を1に代入すると, ゆえに x = 5 ( 5) = 5 5 = 5, 15 = 5, 5y = 0, y = 4 よって, x = 5, y = 4 [ 問題 ]( 学期中間 ) 1 1 x y = 1 5 x y = [ 解答 ] x =, y = 1 1 1 x y = 1 1 5 x y = 係数に分数があるときはまず分母を払う 1, x y = 1 1 x y = 5 代入法で解く ( 加減法も可 ) 1 より x y = 1, x = y 1 1 1 の x を の x に代入すると, 46
( y 1) y = 5, 9y y = 5, 8y = 8, y 1 = y = 1を1 に代入すると, x = 1 1 = よって, x =, y = 1 [ 問題 ]( 学期期末 ) x + y = x = y 4 [ 解答 ] x =, y = x + y = 1 x = y x 代入法で解く よりy = x, y = x, y = x x x を1に代入すると, + =, =, x = に x = を代入すると, よって, 4 x =, y = y = = 4 [ 小数がある場合 ] 0.8x 0.1y = 1 x 0.5y = [ 解答 ] x =, y = 14 47
0.8x 0.1y = 1 1 x 0.5y = 係数に小数がある場合は,10 倍,100 倍 して係数をすべて整数にする 1の両辺に10 をかけると, 8 x y = 10 1 の両辺に10 をかけると, 0 x 5y = 0, 6x y = 4 加減法で解く ( 代入法でも可 ) y を消去するために 1 - ) 8x y = 10 6x y = 4 ゆえに x = 6 = x = 6 x = を に代入すると, 6 y = 4, 18 y = 4, y = 14, y = 14 よって, x =, y = 14 [ 問題 ]( 学期中間 ) 0.4x 0.5y = 0.7 0.5x 0.6y = 0.9 [ 解答 ] x =, y = 1 0.4x 0.5y = 0.7 1 0.5x 0.6y = 0.9 係数に小数があるときは 10 倍,100 倍 して係数を整数にする 1 10, 10 4x 5y = 7 1 5x 6y = 9 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) x の係数の絶対値を 0 にそろえるために 1 5, 4 0x 5y = 5 1 0x 4y = 6 x を消去するために1 - ) 0x 5y = 5 0x 4y = 6 y = 1 ゆえに y = 1 ( 1) = 1 y = 1を1 に代入すると, 4 x 5 1 = 7, 4x = 1, x = よって, x =, y = 1 48
5x y = 4 x + 0.y = 0.1 [ 解答 ] x = 0.4, y = 1 5x y = 4 1 x + 0.y = 0.1 小数点がある場合はまず 10 倍,100 倍して係数を整数にする 10 で 5x y = 4 1 10x + y = 1 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) x の係数の絶対値を 10 にそろえるために 1 10x 4y = 8 1 10x + y = 1 x を消去するために1 - ) 10x 4y = 8 10x + y = 1 7 y = 7 ゆえに y = 7 ( 7) = 1 y = 1を1に代入すると, 5 x ( 1) = 4, 5x + = 4, 5x =, x = 0. 4 よって, x = 0.4, y = 1 [ 全般 ] x + 1 ( x y) y = 1 = y + 8 [ 解答 ] x =, y = 49
x + 1 ( x y) y = 1 1 = y + 8 係数に分数があるものは分母を払い,( ) があるものは ( ) を展開して式を整理する 1 1の両辺に 6 をかけて分母を払うと, x 6 + y 6 = 1 6, 4x + y = 6 1 より, x 4y + y = 8, x y = 8 4x + y = 6 1 x y = 8 加減法で解く ( 代入法でも可 ) y の係数の絶対値を にそろえるために 4x + y = 6 1 6x y = 4 y を消去するために1 + + ) 4x + y = 6 6x y = 4 10x = 0 ゆえに x = 0 10 = x = を1 に代入して, 4 + y = 6, 1 + y = 6, y = 6, y = よって, x =, y = ( x y) 5 x + = 1 y = 6 [ 解答 ] x = 5, y = 6 ( x y) 5 x + = 1 1 y = 6 まず, それぞれの式を整理する 1より, x y =, x + y = 1 の両辺に 10 をかけて分母を払う 50
1 x 10 + y 10 = 6 10, 6x = 60 5 1 と を加減法で解く x の係数の絶対値を 6 にそろえるために 1 6x + 4y = 6 1'' 6x = 60 x を消去するために1 + 6x + 4y = 6 + ) 6x = 60 9y = 54 ゆえに y = 54 9 = 6 y = 6 を1 に代入すると, x + ( 6) =, x 1 =, x = 15, x = 5 よって, x = 5, y = 6 [ 問題 ]( 学期期末 ) 0.x 1.4y = 5 1 x + y = 1 4 [ 解答 ] x = 4, y = 0.x 1.4y = 5 1 1 4 x + y = 1 1の係数の小数を整数にするために1 10 で, x 14y = 50, x 7 y = 5 1 の係数の分母をはらうために分母の最小公倍数 1 をかけて, 1 x 1 + y 1 = 1 1, x + 8y = 1 4 代入法で解く ( 加減法も可 ) 1 より, x = 5 + 7y 1 これを に代入すると, ( 5 + 7 y ) + 8y = 1, 75 + 1y + 8y = 1, 9y = 1 75, 9y = 87 y = 87 9, y = y = を1 に代入すると, x = 5 + 7 ( ), x = 4 よって, x = 4, y = 51
0.8x 0.y = 0.9 1 6 x + 1 y = [ 解答 ] x =, y = 5 0.8x 0.y = 0.9 1 1 6 x + 1 y = 係数に小数があるときは 10 倍,100 倍 して係数を整数にする また, 係数に分数がある ときは分母を払う 1 10, 6 8x y = 9 1 x + y = 1 加減法で解く ( 代入法も可 ) y を消去するために1 + 8x y = 9 + ) x + y = 1 7x = 1 ゆえに x = 1 7 = x = を に代入すると, + y = 1, y = 15, y = 5 よって, x =, y = 5 x ( x 7) = 7 (1) x y = () x y = 0 1 1 x + y = (1) () () () 0.8x 0.y = 0.9 x + y = 1 [ 解答 ](1) x = 14, y = 1 () x =, y = 5 () x =, y = 5
(1) x ( x 7) x y = = 7 1 ( ) がある場合は, まず ( ) を展開して式を整理する 1より, x x + 1 = 7, x = 8, x = 14 x = 14 をに代入すると, 14 y =, y = 1, y = 1 よって, x = 14, y = 1 0.8x 0.y = 0.9 1 () x + y = 1 係数に小数点がある場合は, まず10 倍,100 倍 して係数を整数にする 1 10 で, 8x y = 9 1 x + y = 1 加減法で解く y を消去するために1 + 8x y = 9 + ) x + y = 1 ゆえに x = 1 7 = 7x = 1 x = をに代入すると, + y = 1, y = 15, y = 5 よって, x =, y = 5 () x y = 0 1 1 1 x + y = 係数に分数がある場合は, まず分母を払う の両辺に 6 をかけると, 1 1 x 6 + y 6 = 6, x + y = 1 x y = 0 1 x + y = 1 加減法で解く ( 代入法も可 ) y を消去するために1+ x y = 0 + ) x + y = 1 6x = 1 ゆえに x = 1 6 = x = を1に代入すると, y = 0, 6 y = 0, y = 6, y = よって, x =, y = 5
A=B=C, 元連立方程式 [ 問題 ]( 前期期末 ) 太郎君は, 方程式 6 x = x + y = 9 を解くために 通りの連立方程式のつくりかたがあるのに気づいた (1) 通りの連立方程式をかけ () (1) の 1 つを解いて解を求めよ (1) () 6x = 9 6x = x + y 6x = x + y [ 解答 ](1),, x + y = 9 x + y = 9 6x = 9 () x = 1, y = A = C A = B A = B (1) A=B=C の方程式は,,, のいずれかの連立方程式として解くこ B = C B = C A = C とができる いずれの連立方程式で解いても答は同じになる () 6x = 9 1 の連立方程式を解いて, x, y を求めることにする x + y = 9 加減法で解く x を消去するために, の両辺を 倍して, 6x = 9 1 6x + 4y = 18 ' 1+ より, 9 y = 7, y = y = を1に代入して, 6x + 15 = 9, 6x = 6, x = 1 [ 問題 ]( 前期期末 ) 5 x y = x + y 1 = x + を満たす x, y を求めよ 9 [ 解答 ] x =, y = 7 5 x y = x + y 1 = x + を次の つの式に分けて, 連立方程式として解く 5x y = x + y 1 x + y 1 = x + 54
それぞれの式を整理して, 8x 5y = 1 1 4x + y = 4 加減法で解く y を消去するためにの式の両辺に をかけて, 8x 5y = 1 1 8x + 4y = 8 1+ より, y = 7 よって y = 7 y = 7 を1に代入すると, 8 x + 5 = 1, 8x = 6, x = 6 8 よって, 9 x = 次の連理方程式を解け x + y z = 6 x y = x = z 1 [ 解答 ] x = 4, y = 6, z = 4 を1に代入すると, x + y x = 6 となり, y = 6 に y = 6 を代入すると, x 6 = よって, x = 4 より z = 4 ゆえに, x = 4, y = 6, z = 4 [ 問題 ]( 学期期末 ) 次の つの方程式から, x, y, z の値を求めよ x + y = y z = 8 z + x = 5 [ 解答 ] x =, y = 5, z = 55
x + y = 1 y z = 8 z + x = 5 まず, z を消去する の x を右辺に移項すると, z = 5 x これを に代入すると, ( 5 x) = 8, y + 5 + x = 8, x y = 1 y 4 1と4の連立方程式を解く 4より, x = 1 + y 4 4 を 1 に代入すると, ( 1 + y ) + y =, 1 + y =, y = 15, y = 5 y = 5 を4 に代入すると, x = 1 + 5 = x = を に代入すると, z = 5 ( ) = 以上より, x =, y = 5, z = 56
係数の決定 [ 係数の決定 1] [ 問題 ]( 学期期末 ) 連立方程式 ax + by = 11 の解が x =, y = 4 になるという a, b の値を求めよ bx ay = [ 解答 ] a = 1, b = x + y = 1 例えば, 連立方程式 の解は x =, y = 7 であるので, 5x + y = 9 1,の式に x =, y = 7 を代入して ( 左辺 )=( 右辺 ) がなりたつ 1に x =, y = 7 を代入すると,( 左辺 )= + 7 = =( 右辺 ) がなりたつ に x =, y = 7 を代入すると,( 左辺 )= 5 + 7 = 9 =( 右辺 ) がなりたつ これは, 係数に a, b 等の文字が使われている場合も同様である この問題についていえば, 連立方程式 ax + by = 11 の解が x =, y = 4 であるので,,4 の式に x =, y = 4 bx ay = 4 を代入しても ( 左辺 )=( 右辺 ) がなりたつ x を代入すると, a + b ( 4) = 11, a 4b = 11 に =, y = 4 x を代入すると, b a ( 4) =, b + 4a = 4に =, y = 4 5 6 がそれぞれなりたつ 5,6 を同時に満たす a, b を求めるためには,5,6 を a, b についての連立方程式として解 けばよい a 4b = 11 5 4a + b = 6 加減法で解く b の係数を1 にそろえるために5,6 4 9a 1b = 5 16a + 1b = 8 6 b を消去するために5 +6 9a 1b = + ) 16a + 1b = 8 ゆえに a = 5 5 = 1 5a = 5 a = 1を6に代入すると, 4 1+ b =, b = 6, b = よって, a = 1, b = 57
連立方程式 ax by = 5 bx + ay = 8 の解が x = 1, y = であるとき, a, b の値を求めよ [ 解答 ] a =, b = ax by = 5 a 4b = 5 1 に x = 1, y = を代入すると, bx + ay = 8 b + a = 8 これを a, b についての連立方程式として代入法で解く 1より, a = 4b 5 1 1 を に代入すると, ( 4b 5) = 8, b + 8b 10 = 8, 9b = 18, b + b = b = を1 に代入すると, a = 4 5 = よって, a =, b = [ 問題 ]( 学期中間 ) ax + by = 11 x, y の二元一次連立方程式 bx + ay = 10 求めよ の解が x = 1, y = であるとき, a, b の値を [ 解答 ] a =, b = 4 ax + by = 11 a + b = 11 1 に x = 1, y = を代入すると, bx + ay = 10 b + a = 10 これを a, b についての連立方程式として代入法で解く 1より, a = b 11, a = b + 11 1 1 を に代入すると, ( b + 11) = 10, b + 4b + = 10, b = 1, b = 4 b + b = 4 を1 に代入すると, a = ( 4) + 11 = よって, a =, b = 4 58
[ 問題 ](1 学期中間 ) 連立方程式 ax by = 10 bx + ay = 5 の解が x =, y = 1であるとき, a, b の値を求めよ [ 解答 ] a =, b = 4 ax by = 10 a b = 10 1 に x =, y = 1を代入すると, bx + ay = 5 b + a = 5 これを a, b についての連立方程式として代入法で解く より a = b + 5 を 1 に代入すると, ( b + 5) b = 10, 4b + 10 b = 10, 5b = 0, b 4 = b = 4 を に代入すると, a = 4 + 5 = よって, a =, b = 4 x と y についての連立方程式よ ax + 4y = 17 x + by = 4 の解が x =, y = である a, b の値を求め [ 解答 ] a =, b = 5 x =, y = を連立方程式 1より, a = 9, a = より, b = 10, b = 5 よって, a =, b = 5 ax + 4y = 17 x + by = 4 に代入すると, a + 8 = 17 6 + b = 4 1 59
[ 係数の決定 ] [ 問題 ]( 学期中間 ) x + y = a 連立方程式 の解のうち, x の値は 5 である このとき y の値を求めよ 5x y = 4a [ 解答 ] y = 7 x + y = a 15 + y = a 1 に x = 5 を代入すると, 5x y = 4a 5 y = 4a これを, y, a についての連立方程式として解く 1+ より, 15 + y + 5 y = a + 4a, 40 = 5a, a = 8 1に a = 8 を代入すると, 15 + y = 8, y = 8 15 = 7 よって, y = 7 組の連立方程式 4x + 7y = 1 ax by = 10 5x y = 1 bx + ay = 5 が同じ解をもつとき, 次の各問いに答えよ (1) 解を求めよ () a, b の値を求めよ (1) () [ 解答 ](1) x =, y = 1 () a =, b = 4 (1) 同じ解をもつので, x, y は, 4 x + 7 y = 1, 5 x y = 1 をともに満たす これを連立方 程式として解く 4x + 7 y = 1 1 5x y = 1 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) y の係数の絶対値を14 にそろえるために1, 7 8x + 14y = 1 5x 14y = 84 y を消去するために1 + 60
4 x = 86, x = x = をに代入すると, 5 y = 1, 10 y = 1, y =, y = 1 よって, x =, y = 1 () ax by = 10, bx + ay = 5 の x, y は x =, y = 1なので, 代入して a + b これを b = 10 a = 5 4 a, b についての連立方程式として代入法で解く より, b = a + 10 を4に代入すると, ( a + 10) a = 5, 4a + 0 a = 5, 5a = 15, a = a = を に代入すると, b = + 10 = 4 よって, a =, b = 4 つの連立方程式 a, b の値を求めよ 4x y = 17 ax by = 0, ax + by = 5 x = 11 は同じ解をもつという このとき, [ 解答 ] a = 1, b = 同じ解をもつので, x, y は, 4 x y = 17, x = 11をともに満たす これを連立方程 式として解く 4x y = 17 1 x = 11 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) x の係数の絶対値を 4 にそろえるために 4x y = 17 1 4x + 10y = x を消去するために,1-1y = 9, y = y = をに代入すると, x + 5 ( ) = 11, x 15 = 11, x = 4, x = よって, x =, y = 次に, ax by = 0, ax + by = 5 の x, y は x =, y = なので, 代入して a + 6b = 0 4a b = 5 4 これを a, b の連立方程式として加減法で解く 61
b の係数の絶対値を 6 にそろえるために 4 a + 6b = 0 8a 6b = 10 4 b を消去するために+4 10 a = 10, a = 1 a = 1をに代入すると, + 6b = 0, 6b = 18, b = よって, a = 1, b = x + y = 4 連立方程式 ax + 4y = a + 5 の解が 4 x y = 11 を満たすとき a の値を求めよ [ 解答 ] a = 9 この連立方程式の解 x, y は x + y = 4 と 4 x y = 11をともに満たす そこで, まず x + y = 4 1 連立方程式 を解く 4x y = 11 加減法で解く ( 代入法は不適当 ) x の係数の絶対値を 6 にそろえるために1, 9x + 6y = 1 1 8x 6y = y を消去するために1 + 17 x = 4, x = x = を1に代入すると, + y = 4, 6 + y = 4, y =, y = 1 よって, x =, y = 1 この x, y を ax + 4 y = a + 5 に代入すると, a 4 = a + 5 よって, a = 9 [ 問題 ]( 学期期末 ) ax + by = 1 連立方程式 を P さんは正しく解いて, 解は x = 4, cx 7y = 1 y = になった Q さん は c を書き間違えたために, 解は x = 1, y = 1になった a, b, c の値を求めよ [ 解答 ] a = 4, b = 5, c = 6
ax + by = 1 の正しい解は, x = 4, cx 7y = 1 y = なので, これを代入して, 4a b = 1 1 4c + 1 = 1 より, 4c = 1 1, 4c = 8, c = Q さんは c を書き間違えたが, a, b は間違っていないので, x = 1, y = 1は ax + by = 1の式を満たすはずである ax + by = 1に x = 1, y = 1を代入すると, a + b = 1 1,を a, b についての連立方程式として解く より, b = 1 + a これを1に代入すると, ( 1+ a) = 1, 4a a = 1, a 4 4 a = したがって, b = 1 + a = 1+ 4 = 5 以上より, a = 4, b = 5, c = 6
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