/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 第 章 :U() 群 SU() 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子 素粒子の分類図 3 世代 素粒子の標準理論に含まれる素粒子は 素粒子の分類図 から R, G, B R, G, B R, G, B u : 5 c :, 6 t :75,e 3 クォーク( quark ) : R, G, B R, G, B R, G, B è d : ø è s : ø èb : 5, øe 3 : : e» m» : ( epto ) t» レプトン : e :.5 m :5 è ø è ø è t :,7ø e ( 質量の単位はMeV) とまとめられる 重い素粒子は軽い素粒子に崩壊し 重い荷電レプトンは電子やニュートリ ノに崩壊し 重いクオークは u クォーク ( や d クォーク ) に崩壊する この崩壊過程では W ± の弱ボゾンが放出される これの放出過程は 行列を用いて記述され クォークやレプトンを x e u,, x e d è ø è ø è ø (.) x と表し 変化後を x と表すと 行列で演算でき è ø
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 行列 x x x x è ø è ø è ø ± W の寄与を表す (.) である この 行列での記述は U という群で表され 行列の大きさに従って ìu U íu U î 行列 3 3 3行列 4 4 4行列 5 5 5行列 とまとめられる 一般に ユニタリー群 : U ( ) という ここに U は ユニタリー (Utary) を表している 行列を持つ群は 群 (Utary Group) Ⅱ. 行列 :U() 群 U( ) 群に属する行列は 行 m 列 ( m, ) に要素 を持つ行列 m è ø で表す事ができ 全部で 個あるので (.3) (.4) U( ) 群に属する行列の総数は である 正確には この総数 を持つ群は 単位行列 それ以外の 個の行列と分けることができ 単位行列を除いた行列で作られる群を 特殊ユニタリー群 : SU( ) 群 (Speca Utary Group) という U ( ) 群とは次の関係 : U : ( ) : ì 個の行列個の行列 í îu 個の単位行列 SU : (.5)
3/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) があり ( ) U SU U (.6) と表記する U ( ) 群と SU( ) 群との数学的な違いは 後ほど説明する この行列表記を用いて素粒子の物理を記述するには ( 電荷などの ) 観測できる物理量が必要になる 素粒子は量子力学に従うので 物理量はエルミート演算子 ( 今の場合 エルミート行列 ) で表される 量子力学は 複素数の力学であるが 観測される物理量は 実数で表わせないといけない 量子力学では 観測される物理量は エルミート行列の固有値として定義されるので その結果 観測される物理量が実数であると自動的に保証がされる U ( ) 群 ( 或いは SU( ) 群 ) が 素粒子の理論になるために 個の行列をエルミート 行列に組み直す エルミート行列 A とは A A A T (.7) を満たす行列であり その固有値を a 固有状態を a とすると ( a ) a (.8) 多くの場合 U ( ) では a は 列ベクトルとして表され a x x è ø (.9) であり a は T x a ( a ) ( x x ) ( x x ) (.) x è ø なので ( ) a x x (.) と表される エルミート行列 A に対して成立する
4/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) T a a T a a a A a a a Þ A a a a Þ a A a a a a (.) を用いると A a a a に対して a A a a a a a a a (.3) 一方 a A a a に対して (.7) の A A を用いると A A a A a a a a a a a Þ a A a a A a a a a (.4) が成り立つ (.3) と (.4) より ì í î a A a a a a a A a a a a Þ a a Þ a : 実数 (.5) がわかるので エルミート行列の固有値が実数である が証明された U ( ) 群の (.4) から作られるエルミート行列は 次の 3 種類あり ( 行列に表示された や ± 以外の要素は ) m T m Þ è ø è ø è ø è ø m T (.6) m Þ è ø è ø è ø è ø と つの対角成分に をもつ ( 行列に表示された 以外の要素は ) (.7)
5/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) m T m Þ è ø è ø è ø の様な エルミート行列が作れる 個の行列は 最初の つが ( ) 最後の つ 個 個 合計 : + 個 と勘定される この 個のエルミート行列を で識別し ( ) (,,,, ) (.8) (.9) で表す 数学によると U 群の要素 U は これらの ( ) を用いて ( ) ( ) U exp å q 複素行列 (.) è ø である このU は ユニタリー行列であることがわかる ((.59) 以降で証明 ) つまり T U U U U U I Û (.) を満たす そして 素粒子の変化 ( 崩壊や電磁相互作用 ) が ユニタリー行列 U により記述されることになる ( 問題 何故 素粒子の変化は ユニタリー行列により記述されるか?) つ まり 素粒子の状態を y とするとき y は 列ベクトル : y 列 è ø (.) で表され 変化した素粒子 y は ( ) ( ) U exp å q のように è ø が付くので注意する
6/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 列 行列 列 y U y Ü è ø è øè ø (.3) と記述される U ( ) 群の要素が (.) のユニタリー行列で表されるので U ( ): U tary群 という命名の起源になる Ⅲ. 群 数学による群とは 群れを成す から定義される 例えば 身近なところでがは 回転で ある 回転で移動する点は すべて円周上にある つまり 円周上に群れている になる 次元の回転は 座標 ( x, y) から 反時計回りに角度 q 回転して座標 ( x, y ) に移動すると x x cosq y s q, y xsq + y cosq (.4) と表わせる ( 問題 (.4) を導け ) これは 更に複素数 z x + y, z x + y を用いて q z e z と計算できる ( 問題 3 (.6) を導け ) そこで (.3) に習って (.5) (.6) ( q ) ( q ) z U z Ü U e q (.7) と表わせる ここで 角度 q を U ( q ) と明示している この場合 U ( q ) は行列ではないが これを ( ) 行列とみなすことができ (.3) に倣って U ( ) U 群の要素は U ( q )( e q ) になる ちなみに (.) の U U U U I q q を導け ) 群といい I は (.7) を用いて簡単に証明できる ( 問題 4 さて 群とは 数学によると 空でない集合 G とその上の二項演算 μ:g G G 結合法則 : 任意の G の元,, 単位元 e の存在 : m (, ) m (, ) の組 (, ) g h k に対して G m が群であるとは ( g, h, k ) ( ( g, h), k) m m m m (.8) g e e g g を G のどんな元 g に対しても満たすよう な元 e が G のなかに存在する ( 存在すれば一意である ) これを G の単位元 e と 実際には 場の理論により記述される
7/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) いう 逆元 g の存在 :G のどんな元 g に対しても m (, ) m (, ) (.9) g x x g e となるような G の元 x が存在する ( 存在すれば一意である ) これを g の G における逆元といい しばしば g で表される (.3) と定義される (http://ja.wkpeda.org/wk/ 群 _( 数学 ) より ) これに準じて 今の場合 G U ( ) ì g U qg e 任意のG の元 íh U ( qh ) e k U ( qk ) e î q q q h k g Ü e の形に表わせる 二項演算 μ 通常の掛け算 : m ( g, h) gh Þ m ( g, h) m ( h, g) と表わせる G G G とは G : e の形なので 掛け算を二項演算 μ で表すと q h h ( g h ) ( e q q q q + q ) e g g G G m e, e e : e の形でかけるÞ e G と表わせることによる 以上から G U ( ) 結合法則 : が群である事は ( g, h, k ) ( ( g, h), k) m m m m qh qk ( qh + qk ) q g ( qh + qk ) ( qg + qh + qk ) m h, k hk e e e Þ m g, m h, k gm h, k e e e q g q ( qg + qh ) ( qg + q h h ) q k ( qg + qh + qk ) m g, h gh e e e Þ m m g, h, k m g, h k e e e ( ) ( ) で証明終了 (.3) 単位元 e の存在 : m (, ) m (, ) m 逆元 ( g, e) m ( e, g ) g e e g g は 通常のかけ算の場合 常に成立 q q g g m g, e ge g Þ e e e Þ e より 単位元は である つまり e U ( ) m g の存在 : m (, ) m (, ) ( g, x) m ( e, x) g x x g e は 通常のかけ算の場合 常に成立 q g g e e q g, Þ Þ m g x x x x g e (.3)
8/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) より 逆元は と証明される つまり g である つまり g U ( q ) g e q (.33) U : U e q は群 (.34) である U ( ) と SU ( ) の違いは detu の時 U は SU ( ) の要素 Ⅳ. 行列 :SU() 群 と記述される detu は ( ) への条件に直すことができる そのため 任意の複素行列 X は 複素行列 A を用いて 3 角行列 è ø に変換できる A XA è ø (,, : ) 複素数 (.35) という定理を用いる まず U exp( X ) (.36) とすると AA I ( ) ( ( X ) A) det e p detu det exp X det AA exp X det A exp x A XA (.37) に注意して ( 問題 5 A exp( X ) A exp( A XA) を証明せよ ) k k è ø k ( A XA) ( k,,3, ) (.38) を用いて e exp ( A XA) (,, : 複素数 ) (.39) e è ø
9/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) を得る ( 問題 6 (.39) を証明せよ ) (.37) に適用して e detu det d e Tr A è ø e è ø ( exp( A XA) ) et Õ exp å exp ( XA) (.4) と計算される ( 問題 7 (.4) を証明せよ また M よ ) 更に Tr A XA Tr AA X Tr X なので 最終的に detu det ( exp( X )) exp( Tr ( X )) 5 4 6 3 5 è ø のとき Tr ( M ) を求め (.4) (.4) 以上から SU ( ) の条件 detu は : de U U exp X t Þ exp Tr X Þ Tr X (.43) に置き換わる (.36) と (.) に応用すると 条件 detu は ( ) ( ) ( ) ( ) å q å q å q (.44) U exp exp X Þ X Þ Tr X Tr è ø è ø より 行列 ( ) に Tr が適用されるので ( ) ( ) ( ) Tr (.45) SU 群に属する行列 が ( ) の条件になる (.8) において U ( ) 群に属する 3 種類の行列 ( ) について (.45) の条件を調べると Tr ( 対角化要素がすべてだから ) (.46) è ø
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) Tr ( 対角化要素がすべてだから ) (.47) è ø Tr è ø つの対角化要素が だから (.48) がわかるので 条件を満たさないのは 対角化要素をもつ (.48) になり 全部で 個ある こ れらから Tr を満たす行列を作る事は 対角化要素のみ持つので 簡単にできて 例えば Þ Tr è ø è ø Þ Tr + è ø è ø 3 Þ Tr 3 + + 3 è ø è ø (.49) (.5) (.5) の様に作れば良い この結果 Tr ¹ を満たすのは つのみで ( 問題 8 何故 一つ
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) のみか? 対角化要素を持つ行列の個数は であった (.49)~(.5) の様なタイプの行列の総数がわかればよい ) それを ( ) として ( ) 単位行列 (.5) è ø となることがわかる 更に SU ( ) 群に属する 個の行列 (.53) に対して ( m) ( ) m d (, ) Tr m (.54) が要請される (.46) と (.47) は (.54) を自動的に満たすが (.49)~(.5) の列は 満たすた めに,, 3 3 6 è ø è ø è ø (.55) になるので (.49) の行列以外は 変更を受ける ( 問題 9 A)(.55) を導き (.54) を満た す事を示せ B)(.55) を採用するとき を採用できないのは何故か?) 以上から SU ( ) 群では 複素 行 列の è ø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) に対して Tr m, (.56) Tr d m m の条件がつき ( 問題 Tr は 何故必要か? ) この ( ) ( ) 単位行列 に ( ) を追加すると U ( ) 群の複素 行 列
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) が得られることになる また 単位行列 ( ) は (.36) の U exp( X ) 形式に適用すると ( ) ( ) ( ) U exp q exp q I è ø è ø 単位行列 (.57) になるが これは q q とすれば 通常の複素数 z exp( q ) : exp( q )( cosq sq ) z U + (.58) になる この効果は (.34) より q 回転を表す この要素 U を ( ) U exp q è ø を持つ群を U ( ) といい 回転させるという性質から U ( ) 群や SU ( ) 群を回転群 と言う場合がある 群 さて 素粒子の変化は (.) のU ( ) ( ) exp å q で記述されるが このU がユニタリ è ø ーであることを示す ( ) が単位行列なので 行 列 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( ) U exp q exp q q exp q q å + å + å è ø è ø è ø 行 列 ( ) ( ) q ( ) exp exp å q è ø è ø その結果 (.) の U U I を計算するが ( ) é ( ) ù q ( ) U êexp å q ú exp exp å q ê è øú è ø è ø なので ë û ( ) ( ) ( ) ( ) q ( ) exp exp å q è ø è ø ( ) ( ) ( ) U U exp q exp exp q å q exp å q è ø è ø è ø è ø ( ) ( ) ( ) exp å q exp å q è ø è ø ( ) (.59) (.6) (.6)
3/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ここで exp ( A) exp B について [ A, B ] のとき exp ( A) exp ( B) exp ( A B) である (.6) において A B なので + (.6) ( ) ( ) ( ) U U exp q + q exp I I ( ) å å è ø ( ) (.63) が証明できる 従って U ( ) ( ) å q がユニタリーである が証明された ( 問題 exp è ø W がエルミート行列である時 U exp ( ) W は U U を満たすことを証明し (.59) のU ( ) ( ) å q に適用して (.63) を示せ ) (.6) を導くには exp è ø SU の ( ) の性質 : f ( m) ( ) mk ( k ), å f ( m, ) é ù ë û mk f mk k (.64) が必要になる この f mk を 群の構造常数という 実際の値は (.6) や (.7) や (.55) 等の具 体的な行列の形を使って計算して求められる 以上から U ( ) 群の要素 : ( ) ( ) ( ) ( ) è ø è ø ( ) ( ) ( ) U exp å q exp q + å q I ( ) ( ) ( ) exp q exp å q è ø è ø (.65) SU 群の要素 : U ( ) ( ) å q (.66) exp è ø と対応づけられる ( 問題 (.3)~(.33) に習って 要素 (.66) が (.8)~(.3) の群の性質 ( ) ( ) を満たす事を証明せよ 但し 角度は ベクトル q g k,, h : qg, k, h, qg, k, h,, qg, k, h とするとき そ れぞれ比例しているとする つまり 比例定数を k h, k とするとき ( ) qh k h qg å å と ( ) ( ) ( ) å qk k å qg である ) ( ) SU 群の要素のユニタリー行列 exp å q とし è ø
4/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ては として演算するので これを T ( ) として表し ( ) ( ) T とする (.67) Ⅴ. 列ベクトルと 行列の素粒子 :SU() 群 素粒子は (.) のように 列ベクトルで表される また その変化を記述するユニタリー 行列が 行列で表される 実は 見方を変えると SU ( ) 群での素粒子の種類として 行列の素粒子も考えることができ 素粒子の個数は 列ベクトルの素粒子 個の素粒子 行列の素粒子 個の素粒子と拡張できる 行列の素粒子に含まれる素粒子の個数の 個 (.53) の ( ) に関連する の個数 列ベクトルの素粒子 y とし 個の素粒子 y,,, とすると 個の固有ベク トル (,,, ) : 番目に è ø を用いる ここに m d m (,,, ), ( ) (.68) (.69) である 従って ( ) y y y y y y + + + y + y + + y ( ) y èø èø è è ø ø と表わせる ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) ( ) (,,, ) また 行列の素粒子を F と表し 個の素粒子 Y とすると
5/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 個の固有ベクトル (,,, ) を用いて ( ) ( ) F Y + Y + + Y (.7) である 実際には を行列で表す事ができ SU ( ) 群の (.53) の を用いて ( ) ( ) ( ) ( ) F Y + Y + + Y m である そのとき (.69) に対応して Tr で計算し ( m) ( ) m d (, ) 個の行列,,, (.7) m Tr m (.73) と表される 実際の物理では のとき (.) のように e u,, e d è ø è ø y (.74) であり ( ) ( ) ( 3) ( 3) F V + V + V である (,,3) V は ± SU のゲージボゾンという W, Z の源になる (.75) 素粒子の種類は Ⅵ. 素粒子の個数と規約表現 :SU() 群 列ベクトルの素粒子 ( 個のクォーク レプトン ) 行列の素粒子 ( 個のゲージボゾン ) の 種類であるが それ以外にもいくつか候補がある 列ベクトル 行列 を SU ( ) 群の規約表現 という たとえば その表記は 個数を太文字を用いて ì í î (.76) と表す 個の反クォーク 反レプトンに対応して 複素共役の記号 を用いて と表す 約束である 規約表現が決まると それに含まれる素粒子の個数がきまる その個数を簡単 に計算する方法が有り ヤング図 (Youg tabeau)
6/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) と言われている まず 列ベクトルを : 基本表現 とよび ヤング図では 正方形で表す これを用いるとすべての規約表現の個数がきまる 例えば 行列は のため 行列では この を用いて と計算される この 個を持つ SU 群のユニタリー行列に含まれる ( ) (,,, ) SU ( ) 群に随伴する表現 : 随伴表現 の数と同じなので と表す 素粒子の言葉で 言い換えると : 基本表現は クオーク レプトン (y ) を記述 (.77) : 基本表現は 反クオーク 反レプトン (y ) を記述 (.78) ± : 随伴表現は W, Z やグルーオンを含むゲージボゾンを記述 (.79) である ヤング図で 簡単なルールがある : : 基本表現は であり 個のクォーク レプトンを表す (.8) 列ベクトルで表すと a : y やj ( a,,, ) a a 横に並んだ : は 完全対称である (.8) 個の場合 ( 対称表現 ): つのベクトルで表すと a b : y f + y f ( a, b,,, ) a b b a 縦に並んだ : は 完全反対称である (.8) 個の場合 ( 反対称表現 ): つの列ベクトルで表すと a a b a b b a b y f y f : (,,,, ) 縦に並べるの数は 最大 個までである (.83)
に減7/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 縦に最大 個並んだ表現で 成分の数は で と表し 重表現 (sget) という ü ý 個 þ は SU ( ) 群のユニタリー変換を受けない特徴がある (.84) : 縦に並べるの数が 個のとき 基本表現とおなじになるが 複素共役 の反クォーク 反レプトンy を表し に を付けて で表す (.85) ì Þ 個 í î ì Þ 個 í î ü ý 個 Þ : y y y þ 個 Þ C : y } の関係がある これより y y は であるので SU ( ) 群のユニタリー変換を受けない (.86) ことがわかる である 個数の計算方法は SU ( ) 群のを用いて以下のようである : 例として ( + )( + )( + 3) ( ) ( + ) ( )( ) ( 3) ( 4) 8 5 3 6 3 4 を考えよう まず分子の数は 分子にくる数の設定右に増加下掛ける数 ( ( 少ここは群の + + +3 + ) + + 3) 3 3 + ( ) ( + ) ( ) ( ) 4 4 のようにして求める 答えは + + + 3 + 3 4 分子 (.87)
8/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) である つぎに分母の数は 注目する箱の つ つに 分母にくる数の設定 掛ける数 数を書き込みたい箱に注目して右側にある箱の数 + 下側にある箱の数 + 8 5 3 6 3 4 8 5 3 6 3 4 のように書き込む 求め方の例を 最上段の箱の と 3 の場合として 右にある箱数 + 下にある箱数 + 3+4+8 8 3 8 右に3 箱 右にある箱数 + 下にあるは個数 + ++3 3 右に 箱 下に 4 箱 下に 箱 である 答えは 分母 ( 8 5 3 ) ( 6 3 ) ( 4 ) ( ) (.88) ゆえに (.87) と (.88) より + + +3 8 5 3 + 6 3 4 3 4 ( + )( + )( + 3) ( ) ( + ) ( )( ) ( 3) ( 4) ( 8 5 3 ) ( 6 3 ) ( 4 ) ( ) (.89) が この規約表現の次数 ( 含まれる素粒子の数 ) になる また 縦に最大 個 であったが 縦に 個より多いときには 個の分が消去される というルールになる ヤング図で表すと
9/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ü ý 個 þ (.9) に等しくなる 具体例を用いて (.89) を計算する : SU ( ) : 基本表現 Þ となり 個のクォーク レプトンを表す事ができる (.9) : 随伴表現 ìm + 個 í î ( ) ( + ) ( )( ) + 3 Þ となり 個のゲージボゾンを表す事ができる : 基本表現 ( )( ) (.9) ìm 個 í î ( ) ( )( ) Þ となり 個の反クォーク 反レプトンを表す事ができる (.93) 対称表現 + ( + ) ( + ) H Þ (.94) 反対称表現 ( ) ( ) C Þ (.95) SU 基本表現 Þ (.96) 随伴表現
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) ìm 個 í î 3 Þ 3 (.97) 対称表現 + ( ) + 3 Þ 3 (.98) 反対称表現 ( ) Þ (.99) 重表現 個 ì í î ( ) Þ (.) SU ( 3) 基本表現 3 Þ 3 (.) 随伴表現 ìm 個 í î 8 Þ 8 (.) 対称表現 + ( ) + 6 Þ 6 (.3) 反対称表現 ( ) 3 Þ 3 ì }個 Þ 3 (.93) より 3 になる : Þ 3個 í ü (.4) ý 個 個 Þ 3 î þ 重表現 ì 3 ( )( ) 個 í Þ 3 î (.5) である