群論はじめの一歩 (6) 6. 指数 2の定理と2 面体群 命題 H を群 G の部分群とする そして 左剰余類全体 G/ H 右剰 余類全体 \ H G ともに指数 G: H 2 と仮定する このとき H は群 G の正規部分群である すなわち H 注意 ) 集合 A と B があるとき A から B を引いた差集合は A \ B と書かれるが ここで書いた H \ Gは差集合ではなく右剰余類の集合の意味である 混乱するが数学の慣習であるから仕方がない 次の証明ではこれらの記号のうち差集合 G/ H が出てくる 証明 ) xh Hx, x G を示せばよい case1) x H のとき xh H, Hx H であるから xh Hx case2) x H のとき xh H であり xh G\ H ( G から H を引いた差集合 ) 同様に Hx H であり Hx G \ H( G から H を引いた差集合 ) よって xh Hx ( そしてくどいけど Hx H \ G でもある ) G 証明おわり 説明 )x H のとき商群 G/ H H, xh は要素 2 個からなる群であり 単位元は H xh は位数 2 つまりG/ H H, xh は xh を生成元とする巡回群である 1 H が単位元 : HH H, xhh H xh xh であるから
2 xh は位数 2:xHxHG/ H H, xhであるから xh xh xh ま たはxHxH H しかし 最初の場合 xh xh xh は起こらない なぜな ら消去法則により xh の位数が 2 を示している H となってしまい x H に矛盾 xhxh H は xh [ 例 S 3 ] S 3 は1, 2, 3 の置換群である 位数は3! 6 H e, 123, 132 とする S 3 6, H 3 であるから 指 数 S : H 3 2 となる したがって命題より H は正規部分群 すなわち /, 3 12 S H H H は商群である [ 例 S 4 ] S 4 は1, 2, 3, 4 の置換群である 位数は 4! 24 S4 のうち偶置換 A 4 ( 偶数個の互換の積で表されるもの ) は位数 12 である 奇置換 ( 奇数個の互換の積 ) も12 個あるが 奇置換はその積が奇置換とはならないので群を構成し ない S 4 ={ 偶置換 } { 奇置換 } だが これは S / A ={ 偶置換, 奇置換 } という2 要素からなる 4 4 商群になる 実際この場合も指数が S S となっているので命題が 4 4: A4 2 A4 適用できた [ 例 ] は位数 の2 面体群である 正 角形を平面上におきそれを中心の周りに回転して頂点を一個づつずらしながらもとの位置を保つもの 対称軸をとりそれを折り返し ( 鏡映 ) つまり対応する頂点を入れ替えながらもとの位置を保つものからなる
S は120 の回転 (3 回 回すと元に戻 6 3 る ) と 対称軸に関する折り返し ( 鏡映 ) か らなる 回転は 123 で e, 123, 132 という巡回群 一回転 123 2 回転 123 123 132 3 回転 123123 123 132 123 e となり 123 の位 数は3 他方上の図の対称軸での折り返しは23 である おり返しを2 回繰 り返すと 23 23 e と元に戻る いまは 1を固定したが 対称軸の取り方 はほかに 2 本ある ( 頂点の数だけある ) 8 は正方形 ( 正 4 角形とは普通いわない ) で 90 の回転 (4 回くりか えすと元に戻る ) と対称軸に関する折り返しからなる群を作り 対称軸は相対する頂点を結ぶものと 相対する辺を結ぶものがある 90 の回転は1234 で otatio R4 1234 となる位数 4の部分群 鏡映は辺 12 の中点と辺 34 の中点を結んだ 対称軸の方が 1234 が 対称軸が 2--4 の方 13 となる は正 6 角形で 位数 6 の123456 という 60 の回転と たとえば頂点 12 1 と頂点 4 をとおる直線を対称軸とする 2635 のような鏡映である
12 12 で 60 の回転 R 6 は位数 が R 6 6 より 12 / R 6 は指数 12 : R6 2 となるので 回転 6 は2 面体群 12 の正規部分群とな R る 対称軸の取り方は他にもあり 全部で6 本 ( 頂点どおしを結ぶもの3 本 対応する辺の中点を結ぶもの3 本 ) である 一般に位数 の2 面体群 は 平面上におかれた正 角形を 2 だけ回転する 123 と 対称軸に関する折り返し とからなる そ の場合対称軸の取り方は が偶数だと頂点どおしを結ぶものが 本 対応する辺の中心どおしを結ぶものが 本ある が奇数のときの対称軸は 頂点と対応する辺の中点を結ぶ 本からなる 回転から作る 部分群 R 1, 2,, は位数 の巡回群 したがって適当に鏡映 をえらぶと商群 / R R, R ができ R R のように分 解される 指数 2 : R 2 ということから R が正規部分群 R は ということがやはり命題から従う まとめると 2 面体群 1 正規部分群である回転群 R ( R 2 ) と 2 位数 2の鏡映 により構成される 回転群は 個の時刻からなる時計のはりの動きな ので R / のようにも表される
また抽象的だが次のような考察ができる 複素平面において実軸が対称軸となるように正 角形を置く 回転 は e 2 i / を掛け算すること 鏡映 c は共役複素数を与えること つまり複素数 z に対して 2 i /, c z z e z c c 1 である 実際 z 次のことに注意しよう c 2 e すなわち cc z c z z z また cc 1 1 なぜなら i i 1 2 / 2 / 1 cc z c z c e z e z z であるから つまり は c, という生成元をもち 1 e 2 c 2 e 3 cc 1 1 1 ( c c ) という性質で完全に記述される まとめて k k 2, c 0k と表す [ 例 の中心 Z ] Z x gx xg g が中心の定義であった そこで k l 1 x, g のときは gx xg は常に成り立つ k l 2 x c, g のときは gx c c c l k l k kl k l k l xg c c したがって gx xg が成立するためには k l k l すなわち 2l eと なる これがすべての l でなりたつことはできない k l 3 x, g c のときは kl, を逆にして2と同様の議論で e をえる が奇数だとこれは起こりえないが が偶数だと1とあわせて Z となる e が奇数のとき k e, が偶数のとき
このことを行列を使って考えてみよう 2 2 cos si 2 M は角度の回転 を表すが これを l 回繰 2 2 si cos り返したもの l は 2l 2l cos si M l 2l 2l si cos M l そして 鏡映 c をあらわす行列は 1 0 M c 0 1 2 l 2 l cos si これらをかけて M l をえる これらは一般に c 2 l 2 l si cos 交換可能な行列でないが のとき cos si 1 0 M k 0 1 をえてこの行列だけが任意の行 si cos 列と交換可能なものを与える つまり 180 だと180 の回転をつくれない の回転である が奇数