次元フーリエ変換 講義内容 空間周波数の概念 次元フーリエ変換代表的な 次元フーリエ変換対 次元離散フーリエ変換
フーリエ変換と逆変換 F.T. j F } ep{ 連続系離散系 } / ep{ N N N j N F F I. F.T. F ただし ここでは絶対値をとって画像化 } / ep{ N N N j F N 順変換逆変換
3 次元フーリエ変換の具体的なイメージ } / ep{ N N N j N F } / ep{ N j 対応する画素ごとに積をとって最後に総和をとる. それでは } はどんなパターンか? / ep{ N j 離散系での説明
次元フーリエ変換の具体的なイメージ 4 / / ep{ j } cos jsin のうち 実部 cos に注目して考える.... n... の直線は以下のようになる. は空間的な波の周波数 この直線はcosn を与える. を与える. 3/ 空間周波数 と呼ばれる. / / : : 方向の周波数成分 方向の周波数成分... n... において とおくと すなわち 軸上に注目すると... / /... でcos となる. が小さい 間隔が大きい
5 空間周波数の例 cos...... / D D D 例 D / D D D / D 例... / 3 /... / D D D D D
演習 6 例題 下の図に対応する余弦関数を式で書きなさい. ただし黒い線はの値をもち 余弦関数の最大値を描いているものとする. また その空間周波数の位置を 平面上に図示しなさい. cos 例題 下図の ABC の位置に対応する空間周波数のパターン 面での余弦波のパターン をスケッチしなさい. D /5 D / D / D C B A / D
7 フーリエ変換演算のまとめ One-comonent Image 3 3 } / ep{ N i N j N j N F
フーリエの合成のデモ 8 F.T. F 順次 高周波数成分を追加していく. Manhattan istance で Dm=3 のスペクトル
フーリエの合成のデモ つづき 9 Dm=3 まで Dm=6 まで Dm= まで
次元フーリエ変換 講義内容 空間周波数の概念 次元フーリエ変換代表的な 次元フーリエ変換対 次元離散フーリエ変換
代表的な 次元フーリエ変換対 F F で無限大になり 他で の関数. : 変数のデルタ関数 : b で無限大になり 他で の関数. a b a :
代表的な 次元フーリエ変換対 rect rect F sinc sinc cos[ ] F { } 4 / 3/ / / / /
3 代表的な 次元フーリエ変換対 3 r r circ J : ベッセル関数 ] ep[ ] ep[ r J F ] ep[ ] ep[ F Gass 関数
次元フーリエ変換の計算例 - 矩形 - 4 rect rect F sinc asinc b a b a b 6
次元フーリエ変換の計算例 - 矩形 - rect rect F sinc asinc b a b 5 a 6 b 4 a 6 b 4 a 6 b 64 a 6 b 64
6 次元フーリエ変換の計算例 - 円形 - r r circ J F
次元フーリエ変換 7 講義内容 空間周波数の概念 次元フーリエ変換代表的な 次元フーリエ変換対 次元離散フーリエ変換
離散フーリエ変換の概念 - まずは 次元 - 8 元の連続信号 フーリエ変換対 F 掛け算 サンプリングの関数 comb / comb / / 離散信号 s comb / F s F comb F N N D ep j / N D 周期 Dの正弦波 余弦波 の成分 D の範囲に対して 基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは 暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる.
次元離散フーリエ変換 9 次元フーリエ変換および振幅 絶対値 の対数変換表示 DFFT の結果は図のように原点を端として切り出されたスペクトルと解釈できる. 一般に 赤枠のように 原点が中央になるように配列し直して表示する方がわかりやすい.
次元離散フーリエ変換のデータの並び N/ N- N/ Nqist req. N-
境界部分での不連続によるスペクトル
次元フーリエ変換の計算例 - 円形 - cos a J F ベッセル関数に cosπa を掛けたもの. } *{ / * / * / a a r circ a r circ a r circ a a a a * =
画像のフィルタリング処理 3 講義内容 実空間フィルタリング 平滑化 LPF エッジ強調 HPF Laplacian o GassianLOG フィルタ BPF 周波数空間フィルタリング LPFHPFBPF 周波数選択的フィルタ 線形シフトインバリアントシステムと劣化画像復元 線形システム 劣化画像の復元 MATLAB を用いたデモ
フーリエ面での処理 4 処理の流れ 原画像 フーリエ変換 フーリエスペクトル F g 処理画像 フーリエ逆変換 フィルタ演算 G F H 特徴 例 周波数成分に対する自在なフィルタリングが可能 LPFBPFHPF 部分的なフィルタ 特定周波数成分の除去 周期構造をもつノイズの除去 Wiener フィルタ 周波数ごとの SN 比を考慮した復元フィルタ
5 コンボリューション定理 * h g H F G 実空間フーリエ空間コンボリューション積 h g h g * H F G 積コンボリューション F H G
処理の等価性 6 原画像 Forier Transorm pair フーリエスペクトル F コンボリューション核 h Forier Transorm pair フィルタ H 処理画像 g Forier Transorm pair フィルタ演算 G
平滑化フィルタ 7 空間周波数フィルタ 実空間でのフィルタ コンボリューション核 9 フィルタ特性の絶対値をとって表示
Molation 平滑化フィルタの周波数特性 Aeraging ilter 8.8.6.4. -. With=7 With=5 With = 3 With = 5 With = 7 -.4 3 4 5 6 7 Freqenc Low pass ilter With=3
Laplacian フィルタ 9 空間周波数フィルタ 実空間でのフィルタ コンボリューション核 a a 4 a a a
Molation 4 ラプラシアンフィルタの周波数特性 Laplacian ilter 3 3.5 3.5.5 alpha =.5 alpha =.5.5 alpha = 3 4 5 6 Freqenc High pass ilter
Sobel フィルタ 3 空間周波数フィルタ 実空間でのフィルタ コンボリューション核 - - -
Molation LOGフィルタの周波数特性 Laplacian o Gassian ilter 3.9.8.7.6.5.4.3. Sigma=3 sigma = Sigma= sigma = Sigma= sigma = 3. 3 4 5 6 7 Freqenc Ban pass ilter
空間周波数フィルタとコンボリューション核の例 33 実空間 フーリエ空間 コンボリューション核 空間周波数フィルタ Sharp-ct LPF
周期性のあるノイズの低減 34 周波数空間の一部にノイズのパワーが集中しているようなとき F オリジナル画像 スペクトル画像 重み w は の近傍で推定画像の分散が最小になるように決定. p { H G } ˆ g w p Digital Image Processing R. C. Gonzalez an R. E. Woos から引用 ノイズパターン 処理画像
画像のフィルタリング処理 35 講義内容 実空間フィルタリング 平滑化 LPF エッジ強調 HPF Laplacian o GassianLOG フィルタ BPF 周波数空間フィルタリング LPFHPFBPF 周波数選択的フィルタ 線形シフトインバリアントシステムと劣化画像復元 線形システム 劣化画像の復元 MATLAB を用いたデモ
線形時不変システムまた線形シフトインバリアントシステム 36 Linear In timeinariant Ot sstem h ディラックのデルタ関数 : インパルス関数 入力信号 デルタ関数入力に対する応答 : インパルス応答 出力信号 g 出力信号は入力信号とインパルス応答とのコンボリューションで表される. g h h *
シフトインバリアントシステム 37 シフトインバリアント : インパルス応答が シフトによらないこと. h h a h h a a シフトインバリアント a シフトバリアント 次元 画像 の場合インパルス応答 = 点光源に対するレンズによる像 点像分布関数 point sprea nctionとよぶ 物体面レンズ像面物体面レンズ像面 g h シフトインバリアント シフトバリアント PSF が場所によって異なる場合
38 線形システム : 重ね合わせの原理が成り立つこと } { } { } { } { S a S a a a S g S g g 以下の関係が成り立つことである. このシステムが線形であるとは システムを以下のように定義する. を出力するに対して 入力線形システム 入力信号 出力信号 g } { } { } { h S h S h S h h h g 入力関数 : 出力関数 :
周波数空間で考える 次元 39 入力信号のスペクトル : 出力信号のスペクトル : G H 実空間 F ep j g ep j H F G F h otpt Inpt ep j インパルス応答 : 伝達関数 Transer nction フーリエ空間 h g F H G g h h * G H F コンボリューション 掛け算
結像光学系 次元の線形システム. 点光源に対するレンズによる像を考える 物体面 レンズ 像面 h:point Sprea FnctionPSF インパルス応答 = 点光源に対する像 = 点像分布関数または点広がり関数 g h. 物体面に光強度分布がある場合を考える 物体面 レンズ 像面 無限に細かい点光源がそれぞれ h の形で像面に寄与するとみなせる g h * 入力強度と点像分布関数とのコンボリューション h 4
実空間での各関数の 次元フーリエ変換は以下で定義される. この式を使って 次元の場合と同様 以下の関係が導かれる 実空間 g フーリエ空間で考える 次元 F H G h * コンボリューション ep[ j ] h ep[ j ] g ep[ j ] h フーリエ空間 G H F 掛け算 H: Optical Transer Fnction OTF H :Molation Transer FnctionMTF 4
物体面 劣化画像の例 - 焦点はずれの場合 - レンズ 像面 幾何光学的な近似により OTF:H PSF:h フーリエ変換 h r circ r H J J : ベッセル関数 4
劣化画像の例 - 焦点はずれの場合 - つづき OTF:H 断面をみると H 空間周波数 ρ=ρ の入力パターン cos r に対して 出力パターンは g H cos H cos 位相の反転に注意! r 43
劣化画像の例 - 流れ劣化の場合 - 撮影中のカメラのぶれによって 一方向に画像がぼける場合物体面像面レンズ 点がライン状にぼける 撮影中の一方向への動き PSF:h フーリエ変換 OTF:H h rect l H sinc l 44
流れ劣化の OTF H H sinc l sinl l l l 3 l 空間周波数 のパターン cos に対して 出力パターンは g H sinc l sinc l cos cos cos 位相の反転に注意! r r 45
流れ劣化の撮影実験 46 被写体 この被写体を 故意に左右に手ブレさせながら カメラで撮影する
流れ劣化の特性 47
流れ劣化の観測画像 オリジナルパターン 低コントラスト 位相反転 低コントラスト 記録画像 48
49 Wiener Filter 劣化画像の復元などに用いられる N H F G n h g h 理想画像 : 劣化の点像分布関数 : 劣化画像 : H / P P H S N H F Inerse ilter: Wiener ilter: ノイズパワー信号パワー