第 9 回情報伝送工学 情報を持った信号の加工 ( フィルタ ) 高周波フィルタとはフィルタとは ある周波数の電磁波のみを通過させる回路 ( 部品 ) であり アンテナからの微小な信号を選択増幅するために 得に初段の増幅器前のフィルタには低損失な性能が要求される たとえば 下図におけるアンテナ直下に配置されているフィルタは アンテナから入力された信号のうち 必要な周波数帯域のみを受信回路に送り 一方送信回路から送られてきた信号を周波数の違いにより受信回路には入れず アンテナから放射させるためのものであり ダイプレクサとも呼ばれる これに対して NA やミキサの後部に取り付けられたフィルタは 非線形素子により発生する高調波を抑圧するために配置される アンテナ ローノイズ アンプ F バンドパスフィルタ ミキサ ミキサ Demodulator ( 復調器 ) アンテナ共用器 ( ダイプレクサ ) アイソレータ 高周波フィルタの種類 図 9. 携帯電話のブロック図 Modulator ( 変調器 ) 伝達関数としてのフィルタの種類として 低域のみを通過させるローパスフィルタ (PF) 高域のみを通過させるハイパスフィルタがあり これらは集中乗数の場合には と の位置の違いにより実現される さらにローパスとハイパスを組み合わせることにより ある帯域のみを通過させるバンドパスフィルタ (BPF) も構成できる 低い周波数のみ通過 高い周波数のみ通過 ある帯域のみ通過 周波数周波数周波数 挿入損失 挿入損失 挿入損失 ローパスフィルタ (PF) ハイパスフィルタ (HPF) バンドパスフィルタ (BPF) 図 9.2 高周波フィルタの分類
集中定数型フィルタ集中定数型フィルタとは 集中定数素子である( インダクタ ) および( キャパシタ ) のみにより実現するフィルタのことであり との組み合わせによりローパスおよびハイパスフィルタとなる ローパスフィルタ PF ハイパスフィルタ HPF 図 9.3 集中定数によるフィルタの実現 ローパスフィルタの考え方 低帯域を通過させるためには 低周波でショート 高周波でオープン 周波数 2 挿入損失 2 ローパスフィルタ PF ローパスフィルタ (PF) における, 素子値の決定法 低周波でオープン 高周波でショート 2 伝達特性 2 周波数 数学による伝達特性の計算 伝達関数と対応する, の素子数と素子値の決定 図 9.4 伝達関数 ( 特性 ) と素子値との関係
の電流周波数特性 v Em s( t) E m s( t 9) -~ E m =.V =5pF の時 の波高値は s( )= とすれば [Hz] Em ω [A] Hz MHz 6 3.42-7 3.42-4 Em ω 9.34 [Hz] 2 9.628 高い周波数ほど電流が流れる の電流周波数特性 v Em s( t) E m s( t 9) -~ E m =. =2μH の時 s( )= とすれば の波高値は [Hz] E m [A] 6.796 7.958-4 Em ω 9 7.958-7 [Hz] 2 9 3.979-7 低い周波数ほど電流が流れる
伝達特性 伝達特性 フィルタと伝達関数伝達関数の種類と特徴 高周波帯に用いられるフィルタは 一般に伝達関数と呼ばれる関数を満足するように素子値を決定する 良く用いられる伝達関数としては 以下のバターワースやチェビシェフが有名であるが 帯域外特性を有極に出来る楕円関数などもある. バターワース関数 バターワースは中心周波数から帯域外にかけて滑らかに挿入損失が増加している特性を有し 数学的な関数としては次式のように与えられる 2 A log (9.) ここで ω カットオフ周波数この特性は以下の特徴を有している 段数 帯域内でのリップル無帯域外での減衰量小 2. チェビシェフ関数チェビシェフは中心周波数から帯域外にかけ リップルを持って挿入損失低く抑えられ 帯域外にて急に増加する特性を有し 数学的な関数として次式のように与えられる 2 A log os os A 2 log osh osh この特性は以下の特徴を有している 帯域内でのリップル有帯域外での減衰量大 ここで Ar ar リップル量 A A ω : カットオフ周波数 2 2 : 段数 Ar Ar : リップル量 db 周波数 ω ω ω 周波数 ω A が /2 となる角周波数
段プロトタイプ PF とその g ファクタ g ファクタとは先の伝達関数の極より得られる伝達関数と同じ周波数特性を有するように規格化された素子値であり この値はそれぞれの段数に対して以下の様に与えられる 2 = g 2 = g =g + =g + G + =g = g + 3 = g 3 = g : 偶数 : 奇数 バターワースの場合 g = (2 ) g 2s 2 g + =, =, 2,, チェビシェフの場合 g = 但し リップル [db] g 2a Ar loth 7.37 g 4a a b g, =, 2,, sh 2 は段数 g + = : 奇数 oth 2 4 : 偶数 (2 ) a s 2 2 2 b s, =, 2,,, =, 2,,
スケール係数規格化された PF 素子の抵抗 の単位は Ω インダクタンス の単位は H キャパシタンス の単位は F であり この時の角周波数は [rad/se] である ここではフィルタの定数を一定の率で任意の値に変更することにより任意の入出力インピーダンスおよび周波数でも伝達関数が変わらない様にするためのスケール変換について考える そのために図の, 回路に g なるインピーダンスを持つ電圧源 V g と の負荷抵抗を接続した場合を考える まず この回路における e 点から右側を見た合成インピーダンス (ω) は となる ここで 伝達関数を入出力電圧の比として V V H o と定義するとおよび I V o なる関係より I I V V H となる ここで 負荷インピーダンス および角周波数が異なる場合にもこの条件を満足する様な関係式を導き出してみる そのためまず インピーダンス (ω) を 倍 角周波数 ω を / 倍した時のインピーダンスである (ω/ ) をあらためて (ω ) と定義し この場合の抵抗を インダクタンスを 静電容量を とする すなわち まず (ω ) は e I V 通常は規格化されている場合には 周波数の変数である ω のみ で規格化となるが これを改めて ではない分子の がこちらに移動したオームの法則からインピーダンスは 倍
とおくと この様な変換を行っても伝達関数が H(ω )=H(ω) になるためには,, なる関係を満足する必要がある これを整理すれば 最初の という定義より,,, () なる関係を得る つまり 角周波数 ω にて入出力インピーダンスを =5Ω とするためには上記の関係より, および を, および に変換する必要がある 上記の式において をインピーダンス スケール係数 を周波数スケール係数という 実際の伝達関数では 入力インピーダンスが Ω の時の g ファクタが各素子値の および に対応することになる 例題 先の図において 回路定数ならびに信号源の角周波数が =Ω =H =F ω = rad/se の時に負荷抵抗を =5Ω 周波数を =GHz としても回路の伝達係数が変わらないようにするためには および をいくらにすれば良いか? 式 () より = /= /= =ω/ω =ω/=ωなる関係があり =GHzの時にはω=2π= 6.28 9 であるから =5Ωの時にはインダクタンス および静電容量 は以下の通り計算される これがGHzに 5 おける入出力 9 7. 96 H 7. 96H 9 6. 28 が5Ωでの伝達関数を満足 するための 2 と の値 3. 8 F 3. 8 pf 9 56. 28 低域通過フィルタ 下図は規格化された低域通過フィルタ (PF) の伝達関数 H (ω ) であり この図は理想的な特性にω の部分を書き加えたものである 一般的な周波数領域における低域通過フィルタの角周波数 ωと規格化されたpfの角周波数 ω の関係をG(ω) で表すと なる関係がある ' G
図. 低域通過フィルタ (PF) の伝達関数 ここで ' S', s S' G( s とすれば次式が成り立つ ) s 下図の (a) は規格化された 3 次の PF の構成を示したものであり ここでの g は G ファクタである これを (b) 図のような伝達関数 H l (ω) の PF に変換すると フィルタの素子定数は以下の様になる すなわち は任意の周波数に対して伝達関数を一定にする周波数スケール係数であるから これをカットオフ周波数 ω に置き換えれば良いことになる よって規格化された および と との関係は以下の通りとなる, (a) 規格化された PF (b) 遮断角周波数 ω の PF 図. 低域通過フィルタ (PF) の構成
実際の設計 =3MHz, =5, Ar =.2dB であり 入出力インピーダンスが 5 オームのチェビシェフ特性 PF の素子値 (, 3, 5, 2, 4 ) を求めよ =5, Ar =.2dB での g ファクタは g = g 6 =. g = g 5 =.3394 g 2 = g 4 =.337 g 3 = 2.66 なので プロトタイプ PF の素子値は.337H.337H =Ω 2 4 3 5 6 =Ω.3394F 2.66F.3394F となる ここで 入出力インピーダンスが 5 オームでは と との関係や と との関係は カットオフ周波数 ω が与えられた場合には ', 規格化されたインダクタンス ', 規格化されたキャパシタンス ' なる関係式にて, および各 gファクタに対応する素子値を代入すれば良い よってこれらに値を代入すれば.3394 2 5 4.2 [ F] 6 5 23 5 9.337 35.47 [ 6 23 2 4 H 2.66 2 3 22.98 [ F] 6 5 23 となるので =5Ω の場合における回路の素子値は それぞれ () 式に完全に対応している ]
35.47H 35.47H =5Ω 2 4 3 5 6 =5Ω となる 4.2pF 22.98pF 4.2pF プロトタイプ HPF H (ω ) PF ではこの部分を使用 H h (ω) ω を中心に回転 - + ω ω ω (a) 規格化された理想 PF (b) 規格化された理想 HPF 規格化された理想 HPF である図 (b) の特性は 図 (b) の ω=± を図 (a) の ω = 図 (b) の ω=+ω を図 (a) の ω =± に写像すればよい すなわち 規格化された PF の角周波数 ω と HPF の角周波数 ω とは次式の関係を満足する必要がある ' G( マイクロ波電子回路 p.37 より ) 図の規格化された PF の, について これらのインピーダンス (ω ) および (ω ) はそれぞれ
なる関係がある つまり HPF では PF の と の素子を入れ替えて h h, とすれば良いことになる これらの 2 式より カットオフ各周波数 ω となる HPF の素子は入出力インピーダンス o[ω] に対して一般式として ', ' が得られる 実際の設計カットオフ周波数 MHz 帯域外減衰量 2dB 入出力インピーダンス 5Ω を満足する 5 段チェビシェフ HPF を設計せよ (a) 基準化 PF (b) 設計した HPF =5, Ar =.436[dB] での g ファクタは g = g 6 =. g = g 5 =.9732 g 2 = g 4 =.37228 g 3 =.837 であるから ' ' ' ' に相当するのでこれを置き換える に相当するのでこれを置き換える
5 327 pf 6 23. 459 5. 973 pf 2 3. 459 5. 837 76 3 6 5 2 4 6 23. 459 5. 37228 58H となる 集中定数型共振器とバンドパスフィルタ 幾つかの共振器を接続することにより 任意の通過帯域幅および減衰帯域や減衰量を設定できる バンドパスフィルタ を構成することが可能である 直列型共振 並列型共振 単一の共振器に対する共振周波数および Q 値は次式で与えられる Q 値は高いほど損失が小さく 共振器の性能の指標となる -3dB h 2, Q h 集中定数型バンドパスフィルタ
共振器と Q 通信用のフィルタはより低損失なものが必要 ( 高 Q 共振器の必要性 ) 立体回路型共振器 ある単一の電磁波のみを閉じ込め エネルギーを増大させる箱や棒 種々の共振器 4 面金属 電子レンジ 低損失高誘電材料 携帯電話のアンテナ 空洞共振器 誘電体共振器 マイクロストリップ共振器 ファブリペロー共振器 同軸共振器 複素インピーダンス X X X
伝送線路の共振条件 図に示す様に伝送線路の終端がショートの場合のz= 点における入力インピーダンスについて考えると 2 位相定数 [rad/m] g 終端ショート o β = z= z=l o ta( l) ta( l) において = とおけば ta( l) となる そこで l を変化させて / を計算すれば オープンショート オープンショート オープンショート / ( 虚数 ) それぞれこの条件で共振 l 共振条件 g 3 g 4 g 2 g 4 となる すなわち λg/4 λg/2 の周期で規格化入力インピーダンスは を繰り返す この条件においては 線路の内部にある電磁波は z= および =l の両点において反射を繰りかえす共振状態となる
o β 終端オープン = z= z=l 図に示すように終端オープンの場合 o ta( l) ta( l) において = とおけば ot( l) となる そこで l を変化させて / を計算すれば オープンショート オープンオープンショート それぞれこの条件で共振 / ( 虚数 ) l 共振条件 g 3 g 4 g 2 g 4 となる すなわち λg/4 λg/2 の周期で規格化入力インピーダンスは を繰り返す この条件においては 線路の内部にある電磁波は z= および =l の両点において反射を繰りかえす
両端開放型共振器の共振条件 両端開放型マイクロストリップ共振器は図のとおり 開放端においてインピーダンス無限大となり 電磁波が線路内にて往復反射することにより特定の周波数の電磁波エネルギーのみを蓄えることが可能となる g 2 共振器内のインピーダンス 分布定数型バンドパスフィルタ そこで この共振器をギャップにより結合させることにより 任意帯域幅のフィルタが実現できる o β o β MS の通過特性シミュレーション例