9. 線形写像
ここでは 行列の積によって 写像を定義できることをみていく また 行列の積によって定義される写像の性質を調べていく
行列演算と写像 ( 次変換 3
拡大とスカラー倍 p ' = ( ', ' = ( k, kk p = (, k 倍 k 倍 拡大後 k 倍拡大の関係は スカラー倍を用いて次のように表現できる ' = k ' 拡大前 拡大 4
拡大と行列の積 p ' = ( ', ' = ( k, k p = (, k 倍 k 倍 拡大後 k 倍拡大の関係は 行列を用いても次のように表現できる ' k 0 = ' 0 k 拡大前 拡大 5
変形と行列 p = (, 座標のみを k 倍 倍 行列を用いるといろいろな変形が表現できる k 倍 p ' = ( ', ' = ( k, 変形後 ' k 0 = ' 0 変形前 変形 6
行列による図形の変形 A'( a, a D '( d, d A( a, a D( d, d B( b, b Cc (, c 倍 B'( b, b C'( c, c 図形の拡大は行列を用いて表現できる a' 0 a a' = 0 a 7
行列による図形の変形 A( a, a D( d, d A'( a, a D '( d, d 座標だけ 倍 B( b, b Cc (, c B '( b, b C'( c, c 図形の変形は行列を用いて表現できる a' 0 a a' = 0 a 8
練習 次の図形に各変換をほどしたとき うつされる図形の頂点の座標と外形を描け D(, C(3, A (, B(3, ( ' ' = ( ' 0 ' = 0 (3 (4 ' 0 ' = ' 0 ' = 9
回転を表す行列 p' = ( cosθ si θ, siθ + cos θ p 原点を中心に = (, θ 回転 p' = ( ', ' 回転後 回転も行列を用いて表すことができる 回転を表す行列は少し複雑である ( 興味のある人は自分で導くとよい ' cosθ siθ ' = siθ cosθ 回転 θ p = (, 回転前 0
行列による図形の回転 原点を中心に A( a, a θ 回転 θ A'( a', a' a' cosθ siθ a = a ' siθ cosθ a
変形の組み合わせと行列の積 A( a, a A'( a', a' A''( a'', a'' a' 0 a a' = 0 a a'' cosθ siθ a a'' = siθ cosθ a a '' cosθ siθ a ' a'' = siθ cosθ a' cos θ si θ 0 a = siθ cosθ 0 a cos θ si θ a = siθ cosθ a 変形の組み合わせは行列の積で表現される
変形の組み合わせと行列の積 A( a, a A'( a', a ' A''( a'', a'' a' cosθ siθ a a' = siθ cosθ a a'' 0 a' a'' = 0 a' a '' 0 a ' a'' = 0 a' 0 cos θ si θ a = 0 siθ cosθ a cosθ si θ a = siθ cosθ a 変換の順序と積の順序を注意する事 交換はできない 3
練習 次の 連の変形を一括して表す つの行列を求めよ 倍 45 度回転 Y 軸方向に / 倍 4
練習 一つ前の練習問題で求めた行列により 次の図形がどのような図形に変換されるかをもとめよ A(0, B(,0 C(, 0 5
正則でない行列による写像 = 3 (, ' ' = 3 6 (3,9 (3,0 ' ' = 3 6 正則でない行列では 複数の点から一つの点に写像される 6
正則でない行列による図形の変形 = 3 A B D C ' ' = 3 6 D ' A' C ' B ' 正則でない行列による写像を用いると ると図形は つぶれる 7
練習 ' ' = 4 によって写像を表す 以下の座標を持つ四角形 ABCDに対して 各頂点が上写像によって移される点の座標をそれぞれ求めよ また それらの点が一直線上にあることを確かめよ A(, B(, C(, D( (, 8
線形写像 ここでは 行列によって表される写像の性質を調べる る 9
線形写像 定義 ( 線形写像 : からへの写像が, 次の ( ( を満たすとき はから への線形写像であるという, ( 任意のに対して ( + = ( + ( ( 任意のと任意のスカラーに対して k ( k = k( 正比例の拡張概念 正比例は : の線形写像である 0
線形写像例 : ( = 写像元 写像先 = ( ( + = ( + ( = + = ( + ( ( ( k = ( k = k = k ( この つをまとめて一つのつのグラフとして表すことも多い 実は 写像はきちんと図示できるものだけではない
線形でない写像例 : ( = = ( ( ( + = ( + = + + + = ( + (
線形でない写像例 : ( = + = ( ( k ( k ( = + = k + k + k = k ( + = k ( 一つの図で 線形写像を表したときには 原点を通らなければならない 3
線形写像例 k 0 ( = A, A = p' = ( ', ' 0 k = ( k, k p= (, k 倍 k 倍 : ( k 倍 ( + = A ( + = A+ A なお 写像 : は = ( + ( ( : のように 一枚の図で表すことはできない ( ( k = A( k よって 定義域中の要素と = ka 値域中の要素の対応 ( 関係 = k だけに注目する ( ( 4
線形写像例 3 解 : + が線形写像かどうか調べよ a a b =,, k a b = b に対して 線形写像の条件を調べる ( a b a + b ( a + b ( a+ b = a + b = = a + b ( a + b + ( a + b a b a b ( a + ( b = a + b = + a+ a b+ b ( a + b = ( a + b + ( a + b ( a+ b = ( a + ( b 5
( a ka ka ( ka = k a = = ka ka+ ka a a ka k ( a = k k = = a a+ a ka+ ka ( ka = k( a よって 線形写像である 6
線形写像例 4 ( = A, : ( ( ( + = A( + ( = A + A ( k = A( k = ( + ( = ka ( = k 行列の形 ( 大きさ から 定義域の次元と 値域の次元 ( の最大値 が直ちにわかる = A a a a = a a 7
線形写像でない例 3 : [0,] ( α = si α, ( 角度 ( ラジアン から正弦 ( サ ( α + β = イン をもとめる関数 ( 写像 si( α + β = si α cos β + cos α si β siα + si β = ( α + ( β ( ( k α = si( k α k siα ( = k α 8
練習 次の写像が 線形写像かどうかを答えよ ( ( : (3 : 3 + + 3 3 + 3 : (4 : 4 3 + 3 3 3 + e 9
正比例と線形写像 スカラー : 正比例 スカラー = ( = a スカラー 行列 = ( = A 項ベクトル 項ベクトル : 線形写像 30
線形写像の性質 ( 線形写像と零元 : 線形写像される すなわち に対して 零元は 零元に移零元に移 0 = ( 0 0 0 = ( 0 証明略 3
線形写像の性質 は ( 線形写像と定義域の写像先 ( = ( からへの線形写像に対して 次の集合 { } の部分空間である 定義域全体の移動先 a ( a 3
証明 a, b, k に対して 線形写像の条件を調べる ( a', b' ( とすると a' = ( a, b' = ( b なる ab, が存在する R a b a ' b ' R ( R a' + b' = ( a + ( b = ( a + b 33
a a + b a ' ( a' + b' = ( a+ b b b ' a+ b なので ( a' + b' = ( a+ b 34
( a' = ( a (, a とすると ka' = k( a = ( ka と書ける a なので ( ka' = k( a = ( ka k 以上より 和の公理とスカラー倍の公理を満たすので の部分空間である QED 35
像 (Iage 定義 ( 像 線形写像を の像といい と書く すなわち : ( I( に対して 部分空間 定義域全体の移動先 { } I( = ( 値域の部分集合 ( 部分空間 I( a ( a 36
像の例 : ' k 0 = ' 0 k p= (, k 倍 k 倍 p ' = ( ', ' = ( k, k 平面すべてに移される I( = k 倍 R = I( 37
像の例 : = 3 A B D C ' ' = 3 6 D ' A' C ' B ' 平面のすべての点は 直線上に移される I( = (, = 3 { } {(, = 3} 38
練習次の写像 の像 I を求めよ ( : 3 3 3 ( : 3 + 9 3 39
線形写像の性質 3 は (0 元への写像元 ( 0 = ( = 0 からへの線形写像に対して 次の集合 { } の部分空間である 原点に移される移動元 ( 0 0 0 0 ( 0 40
証明 ( a', b' ( 0 a' + b' ( 0 を示す 0 = ( a' = ( b' とする このとき 線形写像の定義より ( a' + b' = ( a' + ( b' = 0 + 0 = 0 a + b 0 ' ' ( ( 0 a ' b ' 0 4
( ' a ( 0, k R k a' ( 0 を示す 0 = ( a' とする このとき 線形写像の定義より ( ka' = k( a' = k0 = 0 ka 0 ' ( ( 0 a ' 0 QED 4
核 (Kerel 定義 ( 核 : ( 0 線形写像に対して 部分空間を の核といい Ker( 値域側の原点に移される移動元と書く 定義域の部分集合 ( 部分空間 ( 0 { 0} Ker( = ( = 0 0 43
核の例 ' k 0 = ' 0 k p ' = ( ', ' = ( k, k p = (, k 倍 k 倍 k 倍 原点は原点からしか移されない Ker( = 0 { } 44
核の例 = 3 ' ' = 3 6 = 直線上の点が 原点に移される Ker( = (, = 45
練習次の写像 の核 ker を求めよ ( : 3 3 3 ( : 3 + 9 3 46
像と核の次元定理 : ( 次元定理 線形写像 : に対して次式が成り立つ di Ker( + di I( = 証明略 ' ' = 3 6 I : = 3 ( l l ( l l l0 = ker : = ( l 0 ( l l l ( l 47
例題次の写像に関して を確かめよ di Ker( + di I( = 3 : 3 3 解 I = より di I = ker = k 0 k di ker = より dii + di ker = 3 = 48
練習次の写像に関して を確かめよ di Ker( + di I( = : 3 + 9 3 49
線形写像と行列 ( 定理 ( 線形写像と行列 線形写像 : に対して 次式を満たす 行列 A = A が一意に決定できる ( = A ( 行列 A に対して 写像 A : を で定めると ( = A A A は線形写像である 証明略 50
( 線形写像の 表現行列 定義 ( 表現行列 線形写像 : R 行列 A = A の表現行列という R に対して を 線形写像は その表現行列がわかれば すべてがわかる 5
線形写像と基底 性質 : ( 線形写像と基底 線形写像 : は の標準基底 { e, e,, e } の像線形空間の全体の像は {( e, ( e,, ( e} その線形空間の基底の像が決まれば の一次結合により一意に 任意の元 a に対して 像特定される 線形空間の要素は無数だ ( a が 基底は有限 は 一意に特定される 言い換えると つの線形写像, g が { e, e,, e } で同じ像をとれば 全く同じ写像になる 証明略 5
標準基底の像と 空間全体の像 e 0 = e = 0 0 座標だけ倍 a' 0 a a' = 0 a e' = Ae = e' = Ae = 0 座標だけ 倍 53
基底の像と表現行列 性質 ( 基底の像と表現行列 線形写像 : に対して R の標準基底 { e, e,, e } の像を {( e, ( e,, ( e } とする このとき の表現行列 A は と表せる A = ( ( ( e e e 証明略 54
標準基底の像と 空間全体の像 e 0 = e = 0 0 座標だけ倍 a' 0 a a' = 0 a e' = Ae = e' = Ae = 0 座標だけ 倍 55
例題次の線形写像 : 表現行列を求めよ 3 に対して + 解 写像より + 0 = = A = 0 56
( 別解 + より = = ( e 0 0 ( e = 0 = A = ( ( = 0 e e 57
練習次の写像 表現行列を求めよ ( : 3 3 3 ( : 3 + 9 3 58
表現行列と線形写像 証明略 性質 ( 表現行列と線形写像 表現行列が A= a a a であるような から への線形写像 について次がなりたつ I( = ( = L a, a,, a ( { } ( di I = rak( A 59
例題 次の写像 A a a a に関して 表現行列をとする このとき ( I( = L{ a, a,, a } ( を確かめよ di I = rak( A : 3 3 3 = 60
解 ( 3 = A = 3 3 より A 0 = 0 0 0 I L = =,, 0 0 ( di I = di = raka 0 = rak = 0 0 di I = raka 6
合成写像と表現行列の積 性質 ( 合成写像と表現行列の積 つの線形写像 :, g : l の表現行列をそれぞれ A = A, B = B A とすれば は型で は型である また 合成写像表現行列をとすれば は型であり と表せる C C = BA g B l l g : C l 証明略 6
イメージ R = = A = A R z = z = B = B z l g l R z g z = z = BA = BA z l g ( = g ( と覚えればよい ( 63