i-perc 電気通信 学 基礎電 学 CH-2 曽我部 東 電気通信 学 i- パワードエネルギーシステム研究センター (i-perc)
先週の OUTLINE: 2 体輻射 量 論の誕 光量 論 量 論 電 の古典 学特性 原 構造における電 の早期量 論 電 波とは何? 量 論
今週の概要 : 3 電 波 不確定性原理 量 論 円運動の方程式 量 学 複素数表現の導入 シュレーディンガー方程式の導き
波動性と粒 性 4 電 や光 において 次の関係が成 する : 1 個の光 ( 電 ) のエネルギー E = hν 光 ( 電 ) の運動量 P = h λ
三 関数を表 した波 : 5 X 方向に進む波 ( 余弦波と仮定する ) は次のような式で書ける y = Acos{2π νt x λ } y = Acos{2π νt p h x }
三 関数を表 した波 : 6 X 方向に進む波 ( 余弦波と仮定する ) は次のような式で書ける y = Acos{2π νt x λ } 更に t = 0 と仮定し P = h λ という関係式を導入すると : y = Acos{2π p h x }
波数 k を導入する : k = 2π λ 7 y = cos{ 2π 1 λ x } y = Acos 2π p h x k = 2π λ k = 2πp h p = hk 2π = h 2π p = ħk k = ħk ħ = h 2π y = cos kx y = Acos p ħ x
進 する波を める : 8
波の合成 : y = cos kx 9 例 :k = 9, 10, 11 (p = 9ħ, 10ħ, 11ħ) cos(9x) cos(10x) cos(11x) x
波の合成 :2 10 cos 9x + cos 10x + cos(11x) cos(9x) cos(10x) cos(11x)
波の合成 :3 11 cos 9x + cos 10x + cos(11x) x cos 10x + cos 11x + cos(13x) + cos 14x + cos 9x + cos 8x + cos(7x)
波の合成 :4 12 cos 10x + cos 11x + cos(13x) + cos 14x + cos 9x + cos 8x + cos(7x) x cos 10x + cos 10. 5x + cos(11x) + cos 11. 5x + cos 12x + cos 9. 5x + cos 9x + cos 8. 5x + cos 8x + cos 7. 5x + cos(7x)
波の合成 : 究極 13 k 0 Z10 W cos kx dk (k 0 = 10) k 0 [10 k 0 Z20 W cos kx dk (k 0 = 10) k 0 [20 = cos 10x sin 10x x = cos 10x sin 20x x x
不確定性原理 14 cos 10x k = 10 p = ħk = 10ħ x 運動量が 1 個の場合 波は x 方向に進行してしまう! 運動量が確定 波の場所は非確定となる k 0 Z10 W cos kx dk (k 0 = 10) k 0 [10 k は k 0 10 から k 0 +10 まで 0.001 の刻みで変化し 総勢 20000 個の k を使い cos kx の和を取った 波は 0 付近に集約している p~ħk(20000 個 ) 運動量が不確定になるにつれ 波の場所は確定に近づいていく x
不確定性原理 :p & x 15 k と x 交換 y = cos kx y = cos xk x 0 Z10 W cos xk dx (x 0 = 10) x 0 [10 = cos 10k sin 10k k k
不確定性原理 :p & x 16 cos 10k x = 10 p~ħk k 場所が 1 ヵ所の場合 運動量は k 方向に進行してしまう! 場所が確定 波の運動量は非確定になる x 0 Z10 W cos xk dx (x 0 = 10) x 0 [10 x は x 0 10 から x 0 +10 まで 0.001 の刻みで変化し 総勢 20000 個の x を使って cos xk の和を取った 運動量の波は 0 付近に集約している p~ħk 場所が不確定になるにつれ 運動量の場所は確定に近づいていく k
不確定性原理 :E & t 17 X 向に進む波 ( 余弦波と仮定する ) は次のような式で書ける y = Acos{2π νt p h x } 更に x = 0 と仮定する : y = Acos(2πνt) E = hν y = Acos( E ħ t)
不確定性原理 :E & t 18 y = cos kx y = cos(2πνt) y = cos p ħ x y = cos( E ħ t) 不確定性原理 : p & x が成 なので 不確定性原理 :E & t も成 する
三 関数を表 した波 : 19 X 向に進む波 ( 余弦波と仮定する ) は次のような式で書ける y = Acos{2π νt x λ } y = Acos{2π νt p h x } ω = 2πν = E ħ k = p ħ y = Acos ωt kx
単振動の波動 程式 : 20 単振動 y = Acos ωt kx
電 の運動 : 21 λ
円運動における波の描像 : 22 x = rcos(wt + kx) y = rsin(wt + kx) 二次元の表現を一つの式に統一したい! x 2 + y 2 = r 2
解決策 : 二次元の表現を一つの式に複素数の導入 23 Im b θ a Re z = a + ib a = rcos(θ) b = rsin(θ) z = rcos θ + i rsin(θ) オイラー等式 : e pq = cos θ + i sin θ z = re pq
二次元の表現を一つの式に : θ = wt + kx 24 Im オイラー等式 : e pq = cos θ + i sin θ Re z = rcos wt + kx + i rsin(wt + kx) z = re p(tuzkx)
電子の波動関数 : Ψ x, t 25 z = re p(tuzkx) Ψ x, t = re p(tuzkx)
自由電子の波動方程式の導入 : 26 Ψ x, t = re p(tuzkx) Ψ x, t = re p(e ħ uz p ħ x) 自由電子のエネルギー自由電子の運動量 : E = 1 2 mvz p = mv E = p2 2m
自由電子の波動方程式の微分遊び : 27 Ψ x, t = re p(e ħ uz p ħ x) Ψ x, t t = i ħ EΨ x, t Ψ x, t x = p ħ Ψ x, t z Ψ x, t x z = p2 Ψ x, t ħ2
自由電子の波動方程式 + E~p 関係式 28 Ψ x, t t = i ħ EΨ x, t ħ i Ψ x, t t = EΨ x, t z Ψ x, t x z = pz Ψ x, t ħ2 ħ 2 2m z Ψ x, t x z = pz Ψ x, t 2m E = pz 2m ħ i Ψ x, t t ħ2 2m 2 Ψ x, t x 2 = 0
由電 の波動 程式からシュレーディンガー 程式 29 ħ i Ψ x, t t ħ2 2m 2 Ψ x, t x 2 = 0 i 2 = 1 iħ Ψ x, t t = ħ2 2m 2 Ψ x, t x 2 シュレーディンガー方程式
演算子という概念の導入 : 30 iħ Ψ x, t t = ħ2 2m 2 Ψ x, t x 2 E = p2 2m E iħ t エネルギー演算子 p iħ x 運動量演算子
来週の予告 31 波動関数確率波二重スリット実験シュレーディンガーの猫 自由電子ではない場合の波動方程式の導入 : 1 次元の無限に高い井戸型ポテンシャルのシュレーディンガー方程式の解 :