05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 放物線 y = a + b + c ( a > 0) を C とし, 直線 y = -を l とする () 放物線 C が点 (, ) で直線 l と接し, かつ 軸と共有点をもつための a, b, c が満 たす必要十分条件を求めよ () a = 8 のとき, () の条件のもとで, 放物線 C と直線 l および 軸とで囲まれた部 9 分のうち, 第 象限にある部分の面積を求めよ --
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 次の問いに答えよ () 個の実数 a, a,, また, 等号が成立するための a, a,, a に対して, ( ) åa åa が成立することを示せ a についての必要十分条件を求めよ () 偏りをもつサイコロを 回投げるとき, 同じ目が続けて出る確率は 6 よりも大き いことを示せ ただし, サイコロが偏りをもつとは, から 6 の目が同様に確からしく出ないことをいう --
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ を自然数とする () 以下の非負の整数 について, 関数 ( + ) の導関数の の係数を求めよ () å = 0 ( + ) C ( )( 4) - = + + を示せ -3-
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 円 + ( y- ) = を C, 円 ( - ) + ( y- ) = をC 0 とする C, C 0, 軸に接す る円をC とする C, C, 軸に接しC 0 と異なる円をC とし, これを繰り返して C, C, 軸に接しC - と異なる円をC + とする また, 円 C の半径を a とする このとき, 次の問いに答えよ () a を求めよ () b = とするとき, 数列 { b } の満たす漸化式を求めよ a (3) 数列 { a } の一般項を求めよ -4-
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ次の条件 (*) を満たすような実数 a で最大のものを求めよ (*) - の範囲のすべての に対して, cos - a が成り立つ -5-
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () () C : y= a + b+ c ( a > 0) に対し, y = a + b ここで, C と l : y= -が点 (, ) で接することより, a+ b=, a+ b+ c= また, C が 軸と共有点をもつことより, b -4ac 0 3 から, b=- a+, c=- a+ a- + = a- 3に代入すると, (- a+ ) -4 a( a-) 0, a - 0 となり, 求める条件は, 0<a, b=- a+, c= a- a = 8 のとき, b =, c =- となり, y C l 9 9 9 8 C : y= + - 9 9 9 ここで, C と 軸との交点は, 8 + - = 9 9 9 0 から, O 4 (+ )(4- ) = 0, =-, - 4 さて, C と l および 軸で囲まれた右図の網点部の面積 - を S とすると, 8 3 S = ò ( + - ) d- ( - ) = é 8 ù 9 9 9 9êë + - - 3 úû 4 4 4 = 8 63 5 3 ( + - )- = 45 - = 9 3 64 6 4 4 9 6 4 6 [ 解説 ] 微積分の基本問題です 計算は易しめです -- 電送数学舎 06
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () まず, = のときは, ( åa ) = åa である åa åa 以下, のとき, ( ) (i) = のとき + - + = + - åa åa ( a a ) ( a a ) a a a a よって, ( ) (ii) = のとき が成立することを, 数学的帰納法で示す = ( a -a ) 0 が成立する 等号成立は a = a のときである a + a + + a a + a + + a は a = a = = a のときとする ( ) ( ) の成立を仮定する なお, 等号成立 + ( + )( a + a + + a + a )-( a + a + + a + a + ) + + ( + + + + + )- ( + + + ) + - + a a a a a a a a a a + + = ( a + a + + a )- ( a + a + + a ) a + a + + + = ( a - a ) + ( a - a ) + + ( a -a ) 0 等号成立は a = a = = a = a + のときである (i)(ii) より, ( ) åa åa ( 等号成立は a = a = = a のとき ) () 偏りをもつサイコロに対して, の目が出る確率を p とする すると, p + p + p3 + p4 + p5 + p6 = で, p = p = p3 = p4 = p5 = p6 は成り立たない ここで, このサイコロを 回投げ, 同じ目が続けて出る確率 P は, P = p + p + p + p + p + p 3 4 5 6 6 6 å p 6å ( + + 3 + 4 + 5 + 6) = さて, () の不等式より, ( ) p なので, P p p p p p p 6 6 等号は p = p = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 のときのみ成立するので, P > なわち, 同じ目が続けて出る確率は 6 よりも大きい となる す 6 [ 解説 ] 一見, 不等式の証明と確率の小問集合の形に見えますが, () は () の誘導となっていました なお, () は, コーシー シュワルツの不等式の特別な場合の証明です -- 電送数学舎 06
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ () f ( ) = ( + ) とおくと, 二項定理から, + + 0 f ( ) = C + C + + C + + C f ( ) = C + C + + ( + ) C + + ( + ) C 0 よって, f ( ) の の係数は, ( + ) C () g( ) = f ( ) とおくと, すると, である + + 0 g ( ) = C + C + + ( + ) C + + ( + ) C g ( ) = C + C + + ( + ) C + + ( + ) C 0 å ( + ) C () = 0 = g さて, g ( ) = ( f ( )) = f ( ) + f ( ) となり, f ( ) = ( + ) + ( + ) = { + ( + ) }( + ) - - f ( ) = ( + )( + ) + ( - ){ + ( + ) }( + ) すると, g () = f () + f () から, - - - - - g () = ( + ) + ( + ) + ( - )( + ) (4 6) - - = + + ( + -) = ( + 5+ 4) ( )( 4) - = + + より, å = 0 ( + ) C = ( + )( + 4) - - [ 解説 ] 二項展開の問題です () は f ( ) を考えるところがポイントですが, () を誘導とみると, この着眼は困難ではないでしょう -3- 電送数学舎 06
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () C : + ( y- ) =, C0 :( - ) + ( y- ) = に 対し, C, C 0, 軸に接する円 C とする C は中心の 座標が対称性から となり, その半径を a とすると, C とC が接することより, a ( + a ) -(- ) = すると, a = から a = となり, () C, C, 軸に接する円 C + に対し, との接点をそれぞれ A, A + とおく また の半径がそれぞれ a, a + より, = + a - - a = a OA ( ) ( ) a = 4 C, C + と 軸 C, + = + a+ - - a+ = a+ OA ( ) ( ) + = a + a+ - a - a+ = aa + A A ( ) ( ) C + すると, OA = OA + A A より, a = a+ + aa+ となり, + + + = + a a ここで, b = とすると, b = = で, b+ = b + となる a a (3) () より, b = + ( -) = + となるので, a = = b ( + ) C y O C C y O A+ C+ A C C [ 解説 ] 図形と漸化式についての超頻出問題です 立式には, 円が外接するとき中心間距離が半径の和に等しいことを利用しています -4- 電送数学舎 06
05 信州大学 ( 医系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ - のすべての に対し, cos - a が成立する実数 a の条件は, (i) = 0 のとき任意の a に対して, はつねに成立する (ii) ¹ 0 のとき は a - cos となり, a - cos ここで, f ( ) = - cos とおくと, f (- ) = f ( ) となるので, 以下, 0< において, つねにが成立する a の条件を求める そこで, f ( ) の増減を調べるために, si -(-cos ) f ( ) = = si + cos- 4 3 ( ) さらに, g( ) = si + cos- とおくと, f ( ) = g となり, 3 g ( ) = si+ cos-si = cos- si g ( ) = cos-si-cos =- si これより, 0< において, g ( ) < 0 から, g ( ) は単調減少し, g ( ) < g (0) = 0 すると, 0< において, g( ) は単調減少し, g( ) < g ( 0) = 0 + - = 0 よって, 0< において, f ( ) < 0 となるので, f ( ) は単調減少し, 4 = f f ( ) < lim f ( ) ( ) + 0 以上より, 0< において, つねにが成立する a の条件は, a 4 である (i)(ii) より, - で, つねにが成立する実数 a で最大のものは 4 である [ 解説 ] 微分法の不等式への応用問題です 解答例では, 定数分離をして処理する方法を採用しています -5- 電送数学舎 06