08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 関数 f ( x) = ( + x) x について, 以下の問いに答えよ () f ( x ) = 0 を満たす x の値を求めよ () 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通るすべての接線の方程式を求めよ (3) 曲線 y = f ( x ) について, 原点を通る接線のうち, 接点の x 座標が最大のものを L とする 曲線 y = f ( x ) と直線 L および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ --
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 図 のような経路の図があり, 次のようなゲームを考え D る 最初はAから出発し, 回の操作で, 個のさいころを 投げて, 出た目の数字が矢印にあればその方向に進み, なければその場にとどまる この操作を繰り返し, Dに到達 3, C したらゲームは終了する,3,3, 例えばBにいるときは,, 3, の目が出ればCへ進み, の目が出ればDへ進み,, 6 の目が出ればその場にとどま A,,6 図 : 経路の図 B る n を自然数とする 以下の問いに答えよ () ちょうど n 回の操作を行った後にBにいる確率を n の式で表せ () ちょうど n 回の操作を行った後にCにいる確率を n の式で表せ (3) ちょうど n 回の操作でゲームを終了する確率を n の式で表せ --
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 3 解答解説のページへ k を実数とし, x についての 次方程式 x - kx+ 3k- = 0を考える 以下の問いに答えよ () x - kx+ 3k- = 0が虚数解をもつような k の値の範囲を求めよ () x - kx+ 3k- = 0が虚数解 をもち, が実数になるような k の値をすべて求めよ -3-
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ xyz 空間内に 3 点 A (, 0, ), B(0, 3, - ), C(0, 3, -3) がある 線分 BC 上の点を P(0, 3, s) とおく 線分 AP を :(-) に内分する点を Q とする ただし, は 0< < を満たす 点 Q を中心とする半径 3 の球面を K とし, 球面 K と xy 平面が交わってできる円の面積を S, 球面 K と yz 平面が交わってできる円の面積を S とおく 以下の問いに答えよ () 球面 K の方程式を求めよ () S を s と の式で表せ (3) 点 P は線分 BC 上で固定し, 点 Q は線分 AP 上を動くものとする S + S が最大値をとる を s の式で表せ () (3) において点 Q が線分 AP の中点であるときに S + S が最大値をとるとする このときの s の値を求めよ --
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f ( x) = ( + x) x に対して, f ( x ) = 0 の解は, > 0 から x =-である x x x () f ( x) = + ( + x) = ( + x) から, 曲線 y = f ( x ) 上の接点を (,( + ) ) とおくと, 接線の方程式は, y -( + ) = ( + ) ( x- ), y = ( + ) x- ( + - ) 原点を通ることより, ( + - ) = 0すなわち + - = 0となり, = - -- よって, 求める接線は, y = 3+ x, y = 3- x である (3) まず, f ( x ) の増減は右表のようになり, lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = x - x- x f ( x ) - 0 + また, 条件より, 接線 L : y= 3+ x となり, f ( x ) - = とおくと, L : y= ( + ) xと表せ, 接 y 点の座標は (, ( + ) ) となる ( + ) すると, 曲線 y = f ( x ) と直線 L および x 軸で囲まれた 部分の面積 S は, x ( ) S = ò + x dx- ( + ) - - = [( + x x x) ] - dx ( ) - ò - - + - O - ( ) ( ) = + - - - ( + ) ( ) - = - + = 3- + x = - + + x [ 解説 ] 微積分の総合問題です 数値はやや複雑ですが, 内容は基本的です -- 電送数学舎 08
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () n 回の操作の後, A, B, Cにいる確率を, それぞれ a n, D b n, c とおくと, 条件より, a = 0 ( n ) である n また, b = のもとで, 条件より, b n+ = an + bn = b 3 3 n n- n- よって, b n = b ( ) = ( ) 3 3 () c = のもとで, 条件より, 3 c n+ = an + bn + cn = b n + cn 3 3 3 n- を代入すると, c n+ = ( ) + cn 3 3 n ここで, を満たす つの数列を, を定数として, c n ( ) ( ) = ( ) + ( ) n n- n- 3 3 3 3 すると, = + から =- 3 となるので, 3 3 3 n n- ( ) ( ) 3 n- - = + ( - )( ) 3 3 3 3 3-3より, 3( n ) 3 { ( n- cn+ + = cn + ) } となり, 3 3 3 3 n- 3 0 n- cn ( ) { c ( ) }( ) 3 3 3 3 3 3 よって, 3 n- ( ) 3 n- c ( ) n = - 3 3 n- = とおくと, 3 n- + = + = ( + )( ) = 3 ( ) (3) Dに到達したらゲームは終了するので, その確率を P n とおくと, (i) n = のとき A Dの場合から, P = 6 (ii) n のとき a n = 0 から, B DまたはC Dの場合より, n- P m bn c 3 n- 3 n- - n- = + - 6 3 6 3 3 3 3 n- 3 n- 3 n- = ( ) + ( ) - 3 n n ( ) = ( ) - ( ) 3 3 3 3 3 3 = + ( ) { ( ) ( ) } A - - 3, C,3,3,,,6 n- B [ 解説 ] 確率と漸化式の標準的な問題です 与えられた図から, 立式は容易です なお, 漸化式 の解法については, ピンポイントレクチャー を参照してください -- 電送数学舎 08
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 3 問題のページへ () 実数 k に対し, 次方程式 D= k -(3k- ) < 0, x - kx+ 3k- = 0 が虚数解をもつ条件は, k - k+ 6 < 0 よって, 6- < k < 6+ () まず, x を x - kx+ 3k- で割り, 余りを r( x) とおくと, ただし, x = ( x - kx+ 3k- )( x + kx+ k - 3k+ ) + r( x) 3 r( x) = ( k - 6k + 8 k) x-(3k-)( k - 3k+ ) さて, の虚数解 に対し, すると, - k + 3k- = 0であることに注意すると, 3 = r( ) = ( k - 6k + 8 k) -(3k-)( k - 3k+ ) が実数となる条件は, k が実数であることより, 3 k - 6k + 8k= 0, k( k-)( k- ) = 0 よって, 求める k の値は, より, k =, である [ 解説 ] 複素数と方程式に関する問題です 面倒なのは, 整式の除法の計算だけです -3- 電送数学舎 08
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 点 A (, 0, ), B(0, 3, - ), C(0, 3, - 3), および線分 BC 上の点 P(0, 3, s ) (-3 s -) に対して, 線分 AP を :(- ) (0< < ) に内分する点 Q の座標は, Q(-, 3, s- + ) となる このとき, 点 Q を中心とする半径 3 の球面 K の方程式は, { x-(- )} + ( y- 3 ) + { z-( s- + )} = 9 () K と xy 平面が交わってできる円は, に z = 0 を代入して, { x-(- )} + ( y- 3 ) = 9 -( s- + ) かつ z = 0 すると, その面積 S は, S = {9-( s- + ) } (3) K と yz 平面が交わってできる円は, に x = 0 を代入して, ( y - 3 ) + { z-( s- + )} = 9 -(- ) かつ x = 0 すると, その面積 S は, さて, S = S + Sとおくと, 3より, S = {9-(- ) } 3 S = {9-( s- + ) + 9 -(- ) } = {8-( s - + ) -(- ) } ここで, 点 P を線分 BC 上で固定し, 点 Q は線分 AP 上を動かすという条件を, s s s (-3 s -) と固定し, を 0< < で動かすと考えて, S = {8- f ( )}, f ( ) = ( s - + ) + (- ) を = 0 0 すると, S が最大値をとるとき, f ( ) は最小となることより, 0 0 s0 s0 f ( ) = ( s - ) + ( s - ) + + - 8+ = {( - ) + } + ( - ) + s0 - ( s0 -) = {( s0 - ) + } { + } - + ( s0 - ) + ( s0 - ) + s0 - ここで, -3 s0 -より, - > 0 となり, ( s - ) + s0 - - s0 + s0 0 - + s0 - + 0 0 -s0( s0 -) - - = = < 0 ( s ) ( ) ( s0 - ) + s0 - s0 - よって, 0<- < となり, f ( ) は =- ( s0 - ) + ( s0 - ) + で最小となる すなわち, S が最大値をとるのは, =- s - のときである ( s - ) + () 点 Q が線分 AP の中点, すなわち = のとき S は最大値をとるので, すると, =- s -, ( s - ) + s - s+ =- s+ 0 s = となり, -3 s -から, s =- となる -- 電送数学舎 08
08 岡山大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 [ 解説 ] 空間図形を題材とした複雑そうな問題設定ですが, 内容は基本的です 最もエネルギーが必要なのは, 平方完成をして軸の位置のチェックの箇所ですので -- 電送数学舎 08