6 章スペクトルの平滑化 スペクトルの平滑化とはギザギザした地震波のフーリエ スペクトルやパワ スペクトルでは正確にスペクトルの山がどこにあるかはよく分からない このようなスペクトルから不純なものを取り去って 本当の性質を浮き彫りにするために スペクトルを滑らかにする操作のことをいう 6.1 合積のフーリエ変換スペクトルの平滑化を行う際に必要な 合積とそのフーリエ変換について説明する 6.2 データ ウィンドウデータ ウィンドウの定義と特徴について説明する 6.3 スペクトル ウィンドウスペクトル ウィンドウの定義ともつべき性質を説明し 6 つのスペクトル ウィンドウについて紹介をする 6.1 合積のフーリエ変換合積 : 関数 f を平行移動しながら関数 g を重ね足し合わせる二項演算である 畳み込み積分 合成積 重畳積分とも呼ばれる 2 つの関数とが与えられたとき との積 : との合積 : (6.1) 変数を時間と考えて t と書けば との合積 : (6.2) なお 式 (6.1) の y や式 (6.2) のτは媒介変数である 合積は たたみ込み積分あるいは Duhamel 積分と呼ばれることもある また 関数がの間で定義されているとき (6.3) で表わされ これも合積である 式 (6.2) の定義を記号的に表わすと (6.4) となり 式 (6.2) で変数変換を行えば (6.5) 次に 合積のフーリエ変換を考える 式 (6.2) をフーリエ変換すれば 式 (4.68) により 1
(a) となる ここで とおくと であるため [ ] の中の積分は と書け したがって (a) 式は となる つまり 2 つの関数との合積のフーリエ変換は それぞれの関数のフー リエ変換との積である 式 (4.70) および式 (6.4) に示した記号を使えば (6.6) と表わせる 円振動数の代わりに 振動数を使っても (6.7) となる これとは逆に時間領域における 2 つの関数 と の積のフーリエ変換は それぞ れの関数のフーリエ変換 と の周波数領域における合積になっているという関 係 すなわち (6.8) あるいは (6.9) も ほとんど同様にして導くことができる 6.2 データ ウィンドウ移動平均法 : 図 6-1 に示すように ある標本点を中心に時間の幅 b の中にある標本値の平均を求め その値を中心点における標本値とし これを時間幅 b は一定で 中心点を次々にずらしながら行う方法 図 2 のように この移動平均法は 時間幅 b が広くなるほど波がなめらかになっていく 2
図 6-1 データ ウィンドウ 図 6-2 例題波の移動平均 時間の連続関数 を式で書けば を考え 時間幅 b の中の平均値をその中心の値とする ということ となる 次のような式 (6.10) で与えられる時間の関数 わす の形を長方形パルスといい 図 6-3 に表 3
(6.10) 式 (6.10) より 図 6-3 長方形パルス である つまり 移動平均法は次の合積を計算していることになる (6.11) 図 6-1 のように 枠で囲った範囲を幅 b のウィンドウ ( 窓 ) と考えると 窓を平行移動 してデータを見るという意味で式 (6.10) の関数 をデータ ウィンドウという 式 (6.11) 右辺の合積のフーリエ変換を行う 式 (6.7) より w ここで は原波形のフーリエ変換 はデータ ウィンドウのフーリエ変換である つまり 時間領域で移動平均法を行ってデータを平滑化することは そのスペクトルは原波形のスペクトルに データ ウィンドウのフーリエ変換を乗じたものになる データ ウィンドウのフーリエ変換は 4
となり 式 (4.33) によれば (4.33) よって (6.12) となる 式 (6.12) を描くと図 6-4 のようになる 振動数が 1/b Hz より 高い領域に現れた斜線で示す部分をサイド ローブという また 図 6-2 の (a),(b),(c) それぞれのパワ スペクトルは図 6-5 のようになる 図 6-4 データ ウィンドウのフーリエ変換 図 6-5 移動平均法とパワ スペクトル 5
図 6-5 を見ると スペクトルがそれぞれ 1/b Hz のところでほぼ終わりになってい る さらに データ ウィンドウの幅が広がるにつれ スペクトルの面積が小さくな り データをゆがめていくことがわかる 6.3 スペクトル ウィンドウパワ スペクトルをとすると 平滑化されたパワ スペクトルは式 (6.11) の場合と同様に 次の合積で表わされる (6.13) このような振動数のを スペクトル ウィンドウという なお 平滑化を行うにあたり以下の 2 つの点を注意しなければならない 面積不変性 : 原波形のもつパワすなわちパワ スペクトルの面積を変えてはまずい 対称性 : 平均値を求める点の両側の値の扱いに不均衡があってはならない このことを式で表わせば (6.14) 式 (6.14) のような条件を有する関数は無数にある 以下に 理論的にわかりやすいもの 実際によく使われているものをいくつか紹介する (1) 長方形パルス図 6-3 の長方形パルスを時間領域ではなく周波数領域におけるウィンドウに置き換えたもので (6.15) となる この関数の横軸に関する分散は以下のようになる (a) (2) 長方形ウィンドウ (6.16) という形で与えられる振動数の関数を 長方形ウィンドウという ここではある定数 6
(sec) (6.17) このウィンドウの形は 非常に鋭いピーク と 大きいサイド ローブがある のが特徴である ( 図 6-6(a) ) (3) Bartlett ウィンドウ (6.18) で表わされる ピークの鋭さがあまりない ことに加え サイド ローブは小さい ( 図 6-6(b) ) (4) Parzen ウィンドウ (6.19) で表わされる 非常になめらかな山の形 をしており サイド ローブはほとんどない ( 図 6-6(c) ) 図 6-6 スペクトル ウィンドウ ここで c を定数として式 (6.16),(6.18),(6.19) をまとめて書くと以下の式になる 7
(6.20) が大きくなるほど ピークの幅が広がってなだらかになり サイド ローブが小さくなる さらに 前出の式 (6.12) も含めて もっと一般にといった形の関数を回折関数といい と書くことがある (5) Hanning ウィンドウ (6) Hamming ウィンドウこの 2 つについては 後のディジタル フィルタのところで述べている 以下の図 a に それぞれのウィンドウの特徴についてまとめる また これらのウィンドウは 一定幅の間にある振動数成分だけを通すといった意味で 帯域フィルタと呼ぶ 図 a スペクトル ウィンドウまとめ バンド幅を求めるにはそれぞれの関数の分散を求め 式 (a) に示す長方形パルスの分散を 用いることで算出できる 例えば 式 (6.16) に示した長方形ウィンドウの場合 (b) 式 (a) より となり これが長方形ウィンドウのバンド幅とみなせる 一般的には (6.21) 8
と書くことができる この式によって 他のウィンドウのバンド幅も計算すると 表 6-1 のようになる これらのバンド幅は 図 6-6 で それぞれのウィンドウのところに 鎖線で書きこまれたものである いずれの場合もバンド幅 b は定数 u に逆比例しており 定数 u を小さくするほどバンド幅すなわち平均をとる有効範囲は広くなって パワ スペクトルはより平滑にされる 表 6-1 スペクトル ウィンドウのバンド幅 バンド幅 0.8Hz の Parzen ウィンドウを使って エル セントロ地震波のパワ スペク トルを平滑化した結果は 図 6-7 の太線の通りである 図 6-7 パワ スペクトルの平滑化 9