数学 A 図形の性質発展問題 (1) ( 平行線と線分比 ) 3 角形の角の 2 等分線の定理 問 1 ABC の内角 Aの 2 等分線が辺 BCと交わる点を Dとする 内角 Aの外角の 2 等分線が辺 BCの延長線と交わる点を Eとする AB:AC=BD:CD AB:AC=BE:EC が成り立つことを証明せよ ( 証明 ) 点 Cから辺 ABに平行線を引いて ABの延長線と交わる点を Fとする 点 Cから AEに平行線を引いて ABと交わる点を Gとする ADとCG の交点を HA とCFの交点を Iとおく またとおく ACHAGH( AH 共通 CAH=GAH GCAE より錯角を見て ACH=CAE 同位角を見て AGH=FAE またCAE=FAE よりACH=AGH) よって 1 となる 同様にACIAFI( AI 共通 CAI=FAIADFC より錯角を見て ACI=CAH 同位角を見て AFI=GAH またCAH=GAH よりACI=AFI) よって 2 となる ところで 平行線と線分の比 の関係より BCF において ADFC より AB:AF(=)=BD:CD 2より AB:AC=BD:CD BAE において GCAE より AG(=):AB=EC:BE 1よりAC:AB=EC:BE これを書き直して AB:AC=BE:EC ( 証明終り ) ( 円に関する定理 ) 問 2 右図のように 円と正三角形 ABCが重なっている AP=AS=QR= のとき この正三角形の 1 辺の長さを求めなさい ( 図は正確ではない ) ( 解 ) とおく 方べきの定理 から が成り立つので 1 2 12 より よって 3 より 4 4とAB=BC から 5 これより 6 6を1 に代入して -1-
整理すると より これを 5 に代入して 正三角形の 1 辺の長さ ( 答 ) ( 三角形の基本性質 ) 問 3 次の各問いに答えよ (1)AB=2BC=3CA=4 である三角形 ABCの内角について 2BAC3ACB= が成り立つことを証明せよ (2)PQ=QR=RP= である三角形 PQRにおいて QPR=PQR= とするとき となる自然数の組 を一組求めよ (1)( 証明 ) BAC=ACB= とおく BAC の二等分線と BCの交点を D とすると BAD=CAD= 1 角の二等分線の定理 より BD:DC=AB:AC=2:4=1:2 これより BD=1DC=2 2 である 次に CA 上に C から 2 のところを E とおくと A B E C D AE=EC=2 3となる ABD とAED において 1とAD 共通 3より AB=AE=2 となるから 2 辺挟角相等より ABDAED これより DE=1ADB=ADE 4 またCDE は二等辺三角形より CDE=CED= 5 ADB= (4 より )= = また ABC の内角の和より 7 また ABD の内角の和より よって 7=8 より (5 より )= (16 より ) 2BAC3ACB= ( 証明終り ) 8 6 (2) QPR=PQR= とおく PQR の二等分線と RP の交点を N P QP 上でQから 8のところの点を Tとおく PQR の角の二等分線の定理 より PQ:RQ=PN:RN :8=PN:RN PN:RN=3:2 ここでRP= であったから PN=3PN=2 となる 次にRQNTQN( QNは共通 RQ=TQ=8 RQN=TQN= 1 より 二辺挟角相等より ) Q T N R これより TNP は TN=2NP=3PT=4 の三角形であるから (1) の最初に与えられた 三角形 ABC と同じ長さの辺をもつ三角形となった よって (1) の結果が使える -2-
2NTP3TPN= が成り立つ これより NTP= またNTQ=NTP= = 2 RNQ=TNQ= NTQ において内角の和を考えると TQNNTQTNQ= ここに 123 を代入して これより これより 求める自然数の組 は ( 答 ) 実はこれ以外に条件を満たす自然数の組 がないことが知られている 3 ( 三角形の基本性質 ) 問 4 長方形 ABCD がある 辺 BC 上に点 M 辺 CD 上に点 N 辺 DA 上に点 P 辺 AB 上に点 Q をとった ところ MC:CN=MP:PQ=3:4CN=NDMNP=MPQ= となった (1)AB:BC を求めよ (2) を満たす 最大公約数が 1である 2つの自然数 の組を一組あげよ ( 解 )(1) 三角形の三辺の比が整数である三角形を ピタゴラス三角形というが MC:CN=3:4 で MCN は 直角三角形より MC:CN:MN=3:4:5 1 である また 直角三角形 NDP と直角三角形 MCN において 直角と NPD=CNM( DNPCNM= DNPNPD= これより NPD=CNM) から 2 角相等より NDPMCN よって ND:DP:PN=3:4:5 2 ところで CN=ND より 1 の CN= と 2 の ND= から 4 と 3 の最小公倍数 を考えて CN=ND= 3 とおいて できるだけピタゴラス三角形をたくさん作っていく 3 と 1 より MC=9MN= 4 3 と 2 より DP=PN= 5 次に直角三角形 MNP の辺の比を考えると MN:PN=:=3:4 よって MN:PN:MP=3:4:5 これより MP= 6 次に M から AD に垂線を下ろし その足を H とすると MH=CD= 7 直角三角形 MHP と直角三角形 PAQ を考える MHPPAQ( 直角共通 HPMAPQ= HPMHMP= よって APQ=HMP これより 2 角相等であるから ) また 45 より PH=DP-MC=9=7 8 よって PH:MH:MP=AQ:AP:PQ=7:: 9(678 より ) ここで与えられた条件より MP:PQ=3:4 であったから MP:PQ=3:4=: と表せる ( 6より ) これより PQ= 910 より AP:PQ=:=AP: よって AP= 10 5 3 11 BC=AD=AP+DP== 12( 511 より ) AB=CD=( 7 より ) ゆえに AB:BC=:=1:2 ( 答 ) 4-3-
(2)BM=BC-MC==( 412 より ) 910 より AQ:PQ=7:=AQ: よってQB=ABAQ=CDAQ= = BM=BC-MC=-9= 15( 124 より ) 次に直角三角形 MPQ の辺の比を考えると これより AQ= 14( 713 より ) AQ= MP:PQ= ( 610 より )=1: ( を掛けた )=3:4(3 を掛けた ) これより MP:PQ:MQ=3:4:5= ゆえに MQ= ( を掛けた ) 16 ここで直角三角形 MBQ において 三平方の定理が成立しているので これより または ( 答 ) ( 注 ) これ以外に答えがないことが知られている 13 ( 141516 より ) を満たす 最大公約数が 1である 2つの自然数 の組は ( 平行線と線分比 ) 問 5 図において OBC と ODA は正三角形で ADBC である ( 証明 ) いま 線分 OAOBCD 上にそれぞれ SPQ を となるようにとるとき PQS は正三角形となることを証明せよ これから使うために 線分比の定理 を確認しておく 線分比の定理 ABC の辺 ABAC 上に点 PQ があるとき ( ア ) ( イ )PQBC ( ウ ) ここから証明を開始する ( APQABC より ) ならば 次の等式を満たすように 線分 AB 上に点 R 線分 OC 上に点 T を 線分 OD 上に点 U をそれぞれとる 1とおく 1 と 線分比の定理 ( ア ) より 2 3 4 5 6 7-4-
1 より これより 線分比の定理 ウより 8(3 より ) 1 より これより 線分比の定理 ウより 9(6 より ) 89 より 分母を払って 分母を払って ここで正三角形 OBC より BO=CO であるから RS=QU 10 1の条件式より 線分比の定理 ウより 11 1の条件式より 線分比の定理 ウより 12 1112 より 1 より ここで正三角形 ODA より OA=OD であるから PR=TQ 13 これより 線分比の定理 ウより ここで正三角形 OBC より BO=CO=BC より OP=OT=PT 14 1より 線分比の定理 ウ より ここで正三角形 ODA より OA=OD=AD より OS=OU=SU 15 1より より 線分比の定理 ( イ ) を使うと PROA 16 23 より より 線分比の定理 ( イ ) を使うと RSOB 17 1617 より四角形 RSOP は 2 組の向かい合う辺が平行より平行四辺形である よって RS=OP 18 PR=OS 19 101418 より RS=OP=OT=QU 20 131519 より PR=OS=TQ=OU=SU 20 より2 組の向かい合う辺が等しいので 四角形 OTQU は平行四辺形である よって OUTQ このとき POT=OTQ=( 正三角形 OBC より ) これより PTQ=PTOOTQ== また 平行四辺形 RSOP より PRS=POS=POT= これと1420 よりRS=PT これと のPR=TQ より 二辺挟角相等より PRSQTP よって PS=QP また 平行四辺形 OTQU より OTUQ このとき OUQ=SOU( 錯角より )= -5-
これより QUS=OUQOUS== これと20 よりRS=QU これと よりPR=OU より 二辺挟角相等より PRSSUQ よって PS=SQ ゆえに より PQS は正三角形である ( 証明終り ) -6-