,, Mellor 1973),, Mellor and Yamada 1974) Mellor 1973), Mellor and Yamada 1974) 4 2 3, 2 4,

Mellor and Yamada1974) The Turbulence Closure Model of Mellor and Yamada 1974) Kitamori Taichi 2004/01/30

,, Mellor 1973),, Mellor and Yamada 1974) Mellor 1973), 4 1 4 Mellor and Yamada 1974) 4 2 3, 2 4,

1 1 2 2 4 21 4 22 4 23 5 3 7 4 10 41 10 42 4 15 43 3 15 44 2 15 45 1 16 5 17 51 17 511 17 512 17 513 18 52 18 6 23 25 A 26 A1 26 A2 27 A3 31 36

1 2 1,,,,,,,, 2 3,,,, Boussinesq 1877), 2 1, 1,, 1950, 1 2 2 3 2, 2 1, 1999) 2 2 Mellor 1973) Donaldson 1973) 2 Mellor1973) 2

1 3 10, Mellor and Yamada 1974),, 2 4 Mellor 1973) Mellor and Yamada 1974), Mellor 1973) Mellor and Yamada 1974) 2 3 Mellor 1973) 4 Mellor and Yamada 1974) 5 Mellor and Yamada 1974) 6 5

2 4 2,, ), 21 x i i = 1, 2, 3),, U i = 0, 1) x i U i t + U i U k ) + ε ikl f k U l = 1 P g i βθ + ν 2 U i, 2) ρ x i Θ t + U k Θ) = α 2 Θ 3), Einstein, U i, ρ= const), P, Θ, f i = 0, f y, f), g i = 0, 0, g), α, β, ν 22 A, A = A + a 4),, A = A, ā = 0, AB = A B + ab, ab = 0 5) 5) 1 A lim N N n A k r, t) 6) k=1, r 6) 5), A t = A t, 7) A = A 8)

2 5 4) U, P, Θ, 1), 2), 3) U i = 0, 9) x i U i t + U i U k + u i u k ) + ε ikl f k U l = 1 P g i βθ + ν 2 U i, 10) ρ x i Θ t + U k Θ + u k θ) = α 2 Θ 11) 10), 11) u i u k, u k θ 9) 11), 23 u i u j, u j θ 1) 3) 9) 11) θ t + u i t + u i x i = 0, 12) U i u k + U k u i + u i u k u i u k ) + ε ikl f k u l = 1 p g i βθ + ν 2 u i, 13) ρ x i Θu k + U k θ + u k θ u k θ) = α 2 θ 14) 13) u j 13) j u i, t u iu j ) + U k u i u j + u i u j u k ν ) u i u j + 1 x j ρ pu i + 1 x i ρ pu j + f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) U j U i = u i u k u j u k βg j u i θ + g i u j θ) + p ui + u ) j 2ν u i u j 15) ρ x j x i

2 6, 13) θ 14) u i, t u iθ) + θ U k u i θ + u i u k θ αu i νθ u ) i + ) 1 x i ρ pθ + ε ikl f k u l θ Θ = u i u k u k θ U i βg i θ x 2 + p k ρ θ α + ν) u i x i θ 16) 16) θ 2 θ 2 14) θ θ 2 t + U k θ 2 + u k θ 2 α θ2 ) = 2u k θ Θ 2α θ θ 17) 15), 16) u i u j u k u i u k θ 3 9) 11), 15) 17) 3, 4,

3 7 3 Mellor 1973) 9) 11), 15) 17), Mellor 1973) u i u j, u j θ, θ 2 u i u j, u j θ, θ 2, q u 2 i = u 2 + v 2 + w 2, Mellor 1973) p/ρ)u i /x j + u j /x i ) Rotta 1951) p ui + u ) j = q u i u j δ ) ij ρ x j x i 3l 1 3 q2 + Cq 2 Ui + U ) j 18) x j x i l 1 C p/ρ)θ/x i ) 18) Rotta 1951) p θ = q u i θ 19) ρ x i 3l 2 l 2 l 1 2νu i / )u j / ) Kolmogorov 1941) 2ν u i u j = 2 3 q 3 Λ 1 δ ij 20), Λ 1 α + ν)u i / )θ/ ) 20) Kolmogorov 1941) 1, 1 0 α + ν) u i θ = 0 21)

3 8 2αθ/ )θ/ ) 20) 2α θ θ = 2 q θ Λ 2 22) 2 Λ 2 u i u j u k, u i u k θ, u k θ 2 2 Mellor 1973), { u i u j u k = qλ 1 u i u j ) + u i u k ) + } u j u k ), 23) x j x i uk θ u i u k θ = qλ 2 + u ) iθ, 24) x i u k θ 2 = qλ 3 θ 2 25), λ 1, λ 2, λ 3 pu i, pθ Hanjalic and Lannder 1972), pu i = pθ = 0 26) 18) 26) 15), 16), 17), D Dt t + U k 27) D Dt u iu j ) [ { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + } u i u k ) x i x j + ν ] u i u j + f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) D Dt u iθ) U j U i = u i u k u j u k βg j u i θ + g i u j θ) q u i u j δ ij 3l 1 3 q2 ) + Cq 2 Ui + U ) j 2 x j x i 3 [ { qλ 2 u i θ) + u k θ) x i ] + αu i θ + νθ u i + ε ikl f k u l θ } q 3 Λ 1 δ ij, 28)

3 9 Dθ 2 Dt Θ = u i u k u k θ U i βg i θ x 2 q u i θ, 29) k 3l 2 ) θ qλ 2 3 + α θ2 = 2u k θ Θ 2 q θ Λ 2 30) 2 28) 30) 1) 9) 11), 28) 30) 15, 15 2) 1),, 2) 28) i j 6

4 10 4 Mellor 1973) 28) 30) 10,, Mellor and Yamada 1974), 4 1 4 Mellor and Yamada 1974) 28), 29), 30) ε ikl f k u j u l, ε ikl f k u l θ 31) ν 2 x u 2 iu j ), ν θ u ) i θ, αu i, α θ2 32) k Mellor and Yamada 1974) 31), 32), 28), 29), 30) D Dt u iu j ) [ { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + }] u i u k ) x i x j D Dt u iθ) Dθ 2 Dt U j U i = u i u k u j u k βg j u i θ + g i u j θ) q u i u j δ ij 3l 1 3 q2 ) + Cq 2 Ui + U ) j 2 x j x i 3 [ qλ 2 { u i θ) + x i u k θ) }] q 3 Λ 1 δ ij, 33) Θ = u i u k u k θ U i βg i θ x 2 q u i θ, 34) k 3l 2 ) θ qλ 2 3 = 2u k θ Θ 2 q θ Λ 2 35) 2 41 33) Dq 2 Dt [ { q 2 qλ 1 + 2 }] u i u k ) x i

4 11 = 2u i u k U i 2βg i u i θ 2 q3 Λ 1 36) 33) 36) δ ij /3 D Dt u i u j δ ij 3 q2 δ ij 3 ) [ { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + x i q 2 + 2 )}] u k u l ) x l = u j u k U i u i u k U j + 2 3 δ iju k u l U l + Cq 2 β g j u i θ + g i u j θ 2 ) 3 δ ijg l u l θ q 3l 1 x j u i u k ) Ui + U ) j x j x i u i u j δ ) ij 3 q2 33) 36) 37) Mellor and Yamada 1974) a ij, b i u i u j 37) ) δij 3 + a ij q 2 ; a ii = 0, 38) u i θ b i qϕ 39) ϕ θ 2,, a ij 1, b i 1 38), 39) 34) 37) 1 40) 43)

4 12 I) Uϕ 2 /L q 2 λϕ 2 /L 2 qϕbθx qϕbθx II) Uϕ 2 /L Uϕ 2 /L qϕ 2 /Λ qϕ 2 /Λ Dθ 2 Dt [ ] θ 2 Θ qλ2 = 2qϕbk 2 q xk xk xk Λ θ2 43) II) buqϕ/l buqϕ/l b 1 q 2 ϕ{1 + Oa)}/Λ q 2 ϕ/λ b 1 q 2 ϕ/λ b 1 q 2 ϕ/λ I) buqϕ/l q 2 λbϕ/l 2 q 2 Θx{1 + Oa)} qϕbux gβϕ 2 q 2 ϕb/l II) a 1 q 3 {1 + Oa)}/Λ q 3 /Λ a 1 q 3 /Λ D Dt b iqϕ) [ { qλ2 biqϕ) + }] ) δ bkqϕ) = q 2 ik xk xk xi 3 + a Ui ik qϕbk giβθ 2 q 2 ϕbi/3l2 42) xk I) q 2 Ux{1 + Oa)} bβqϕg aq 3 /l II) auq 2 /L Uq 2 L{1 + Oa)} { ) ) δ = q 2 ik U 3 + a j δ jk U ik + xk 3 + a i jk 2 xk 3 δ Ul U i ijakl C + U )}] j βqϕgjbi + gibj 2 xk xj xi 3 δ ijglbl) q3 aij 41) 3l1 I) auq 2 /L q 3 λ/l 2 {1 + Oa)} II) Uq 2 /L Uq 2 /L{1 + Oa)} q 3 /Λ q 3 /Λ q 3 /Λ D Dt a ijq 2 ) [ { qλ 1 q 2 q 2 δik + δjk 2 xk 3 xj xi 3 δ q 2 } ] ij {1 + Oa)} xk I) Uq 2 /L q 3 λ/l 2 {1 + Oa)} aq 2 Ux βbgqϕ q 3 /Λ Dq 2 Dt [ 5 q 2 ] qλ1 {1 + Oa)} = 2aikq 2 U i 2bkgkβqϕ 2 q3 xk 3 xk xk Λ 40) 1:, a Oa)

4 13, 3) l Ol 1 ) = Ol 2 ), 44) λ Oλ 1 ) = Oλ 2 ) = Oλ 3 ), 45) Λ OΛ 1 ) = OΛ 2 ), 46) a Oa ij ), 47) b Ob i ), 48) ) Ui U x O, 49) ) Θ Θ x O, 50) g Og i ), 51) L Ox i ), 52) ) U D L O 53) Dt 44) 53) 40) 43) 1I), Mellor and Yamada 1974),,, 40) 1 2, Uq 2 L = q3 λ L 2 54) 40) 1 3 aq 2 U x = q3 Λ 3) λ, L Mellor and Yamada 1974) λ, L 55)

4 14 41) 1 3 q 2 U x = a q3 l 56) 42) 1 2 q 2 Θ x = q2 ϕb l 43) 1 4 57) 55), 56) qϕbθ x = qϕ2 Λ 58) a 2 = l Λ, 59) U x = a 1 q Λ 60), 57), 58) b 2 = l Λ, 61) Θ x = b 1 ϕ Λ 62) 59), 61) a = b 63) 40) 2 1 q2 gβϕ = b Λ 64) 1 II),, Mellor and Yamada 1974) 4 1 4

4 15 42 4, 33), 34), 35) Mellor and Yamada 1974) 4 4,, 1999) 43 3 40) a Uq 2 L = aq3 65) Λ 65) 40) 43), a 2 Dq 2 Dt [ 5 3 qλ q 2 ] U i 1 = 2u i u k 2βg k u k θ 2 q3, 66) Λ 1 u i u j = δ ij 3 q2 3l [ 1 u i u k Cq 2 δ ik ) U j q +u j u k Cq 2 δ jk ) U i 2 ] 3 δ U l iju k u l 3 l 1 q β g j u i θ + g i u j θ 2 ) 3 δ U l ijg l u k u l u i θ = 3 l 2 q Dθ 2 Dt +3 l { 1 qλ1 q 2 q 2 δ ik + δ jk 2 q 3 x j x i 3 δ q 2 )] ij, 67) Θ u i u k + u k θ U ) i + βg i θ x 2, 68) k ) θ qλ 2 3 = 2u k θ Θ 2 q θ Λ 2 69) 2 Mellor and Yamada 1974) 3 3 u i u j, u i θ 3 2 44 2 3 65), 40) a 2 Uq 2 L q3 = a2 Λ 70)

4 16 70) 40) 43), a 2 q 3 Λ = u U i iu k βg k u k θ, 71) [ u i u j = δ ij 3 q2 3l 1 q u i θ = 3 l 2 q u i u k Cq 2 δ ik ) U j +u j u k Cq 2 δ jk ) U i 2 3 δ U l iju k u l 3 l 1 q β g j u i θ + g i u j θ 2 ) 3 δ ijg l u l θ, 72) u i u k Θ + u k θ U i + βg i θ 2 ) ], 73) θ 2 = Λ 2 q u kθ Θ 74) Mellor and Yamada 1974) 2 2 45 1 2 70) 70) 40) 43) a 1 q 3 Λ = u U i iu k βg k u k θ, 75) u i u j = δ ij Uj 3 q2 ql 1 + U ) i, 76) x i x j Θ u i θ = ql 2 3βl 2 x i q g iθ 2, 77) θ 2 = Λ 2 q u kθ Θ 78) Mellor and Yamada 1974) 1

5 17 5 Mellor and Yamada 1974) 4, 3, 2 3, 51 511 3,, α = 0, ν = 0 4 4 2, U, V W /x, /y /z 0 m 5200 m 0 m 1000 m 20, 1000 m 5200 m 60 Mellor and Yamada 1974) 10 1 min 3 2 10 min 3 512,,, 1a),, 1b) d),,,,

5 18 513 Clarke et al 1971) 52 Mellor and Yamada 1974) 2 4 Mellor and Yamada 1974) 1: a), b), c), d) a), a) Θ, d) α Θ, ξ Mellor and Yamada 1974) 2 )

5 19 2 22 800 m 300 m 2 3, 4, 2 m sec 1 3 R i 021 3 4 2 3, 4 4, 2000 m 12 18 2 3 4, 3 4 Mellor and Yamada 1974),, 4, 3, 2 3, 4 3 3 2 3 4,, 4 3, 2 3, 4, 3

5 20 2: Mellor and Yamada 1974) 3 )

5 21 3: Ri 021 2 Mellor and Yamada 1974) 5 )

5 22 4: Mellor and Yamada1974) 6 )

6 23 6 Mellor 1973) Mellor and Yamada 1974),,,, Mellor 1973) Mellor and Yamada 1974) Mellor 1973) 4 1 4 Mellor and Yamada 1974) 4 2, 4 2 Mellor and Yamada 1974) 4, 3, 2 Mellor and Yamada 1974) 4 10,, 4 3 4 2 4 Mellor and Yamada 1974) 3, 2 3 3, Mellor and Yamada 1974) 2 1 Mellor and Yamada 1974) 1, 1 2 Mellor and Yamada 1974)

6 24 4, 3 2, Mellor and Yamada 1974) 4, 3, 2,, Mellor and Yamada 1974),

25,,,,,,,, pl A TEX, dennou style 6

A 26 A A1 10) 4), 2) t U i + u i ) + U i U k + U i u k + U k u i + u i u k ) + ε ikl f k U l + u l ) = 1 P + p) g i βθ + θ) + ν 2 U i + u i ) ρ x i A1), 5) ) = t U i + u i ) + U i + u i )U k + u k ) + ε ikl f k U l + u l ) = t U i + u i ) + U i U k + u i U k + U i u k + u i u k ) + ε ikl f k U l + u l ) = U i t + U i U k + u i u k ) + ε ikl f k U l, A2) ) = 1 P + p) g i βθ + θ) + ν ρ x 2 U i + u i ), i = 1 P + p) g i βθ + θ) + ν 2 U i + u i ) ρ x i = 1 P g i βθ + ν 2 U i A3) ρ x i A2), A3) 10) U i t + U i U k + u i u k ) + ε ikl f k U l = 1 P g i βθ + ν 2 U i ρ x i 11) 4), 3) Θ + θ) + U k Θ + U k θ + Θu k + u k θ) = α 2 Θ + θ) t A4), 5) ) = Θ + θ) + U k Θ + U k θ + Θu k + u k θ) t

A 27 = Θ + θ) + U k Θ + U k θ + Θu k + u k θ) t = Θ + U k Θ + u k θ) ) = α 2 Θ + θ) = α 2 Θ + θ) A5) = α 2 Θ A6) A5), A6) 11) Θ + U k Θ + u k θ) = α 2 Θ A2 15) 13) u j 13) j u i { ui u j t + } U i u k + U k u i + u i u k u i u k ) + ε ikl f k u l { uj +u i t + } U j u k + U k u j + u j u k u j u k ) + ε jkl f k u l = u j 1 ) p + g i βθ + ν 2 u i + u i 1 ) p + g j βθ + ν 2 u j ρ x i ρ x j A7) t u iu j ) + u j U i u k ) + u i U j u k ) +u j U k u i ) + u i U k u j ) + u j u i u k ) + u i u j u k ) u j u i u k ) u i u j u k ) + f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) = 1 pu i ) 1 pu j ) + p uj + u ) i ρ x j ρ x i ρ x i x j +βg j u i θ + g i u j θ) + νu j 2 u i + νu i 2 u j A8) 9), 12) A8) ) = t u U i U j u i u j iu j ) + u j u k + u i u k + U k u j + U k u i

A 28 u i u j +u j u k + u i u k u j u i u k ) u i u j u k ) +f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) = t u U i U j iu j ) + u j u k + u i u k + U k u i u j ) +u k u i u j ) u j u i u k ) u i u j u k ) +f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) = t u U i U j iu j ) + u j u k + u i u k + U k u i u j ) + u i u j u k ) u j u i u k ) u i u j u k ) +f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) A9) 2 = ) A10), ρ A8) ) = ) 1 x j ρ pu i ) 1 x i ρ pu j + p ui + u ) j + βg j u i θ + g i u j θ) ρ x j x i 2ν u i u j + ν { } u i u j ) A11), 5) ) = t u U i U j iu j ) + u j u k + u i u k + U k u i u j ) + u i u j u k ) + ε jkl u i u l + ε ikl u j u l )f k, ) = ) 1 x j ρ pu i ) 1 x i ρ pu j + p ui + u ) j ρ x j x i +βg j u i θ + g i u j θ) 2ν u i u j + ν { u i u j ) A12), A13) 15) t u iu j ) + U k u i u j + u i u j u k ν ) u i u j + 1 x j ρ pu i + 1 x i ρ pu j + f k ε jkl u i u l + ε ikl u j u l ) } A12) A13)

A 29 U j U i = u i u k u j u k βg j u i θ + g i u j θ) + p ui + u ) j 2ν u i u j ρ x j x i 16) 13) θ, 14) u i, { ui θ + } U i u k + U k u i + u i u k u i u k ) + ε ikl f k u l t { θ + u i t + } Θu k + U k u i + u i u k u i u k ) = θ 1 ) p g i βθ + ν 2 u i + u i α 2 θ A14) ρ x i t u iθ) + u i Θu k ) + θ U i u k ) + u i U k θ) + θ U k u i ) + u i u k θ) + θ u i u k ) u i u k θ) θ u i u k ) + ε ikl f k u l θ = θ p g i βθ 2 + νθ 2 u i + αu i 2 θ A15) ρ x i 9), 12) A15) ) = t u Θ iθ) + u i u k + u k θ U i θ + U k u i + U k θ u i θ +u i u k + u k θ u i u i u k θ) θ u i u k ) + ε ikl f k u l θ A10) = t u Θ iθ) + u i u k + u k θ U i + U k u i θ) +u k u i θ) u i u k θ) θ u i u k ) + ε ikl f k u l θ = t u Θ iθ) + u i u k + u k θ U i + U k u i θ) + u i u k θ) u i u k θ) θ u i u k ) + ε ikl f k u l θ A15) ) = x i A16) ρ ) 1 ρ pθ + p θ + g i βθ 2 ρ x i

A 30 +νθ ) ) ui θ + αu i = ) 1 x i ρ pθ + p θ g i βθ 2 + ν θ u ) i ρ x i +α ) θ u i α + ν) u i θ A17), 5) ) = t u Θ iθ) + u k u i + u k θ U i + U k u i θ) + θ u i u k ) u i u k θ) + ε ikl f k u l θ, = t u Θ iθ) + u k u i + u k θ U i + θ U k u i θ) + u i u k ) u i u k θ) + ε ikl f k u l θ, = t u Θ iθ) + u k u i + u k θ U i + U k u i θ) + u i u k θ) + ε ikl f k u l θ, ) 1 ρ pθ + p θ g i βθ ρ x 2 i +ν θ u ) i + α ) θ u i = ) 1 x i ρ pθ + p θ g i βθ ρ x 2 i +ν θ u ) i + α ) θ u i ) = x i α + ν) u i α + ν) u i u i u k θ) u i u k θ) θ θ A18) A19) A18), A19) 16) t u iθ) + θ U k u i θ + u i u k θ αu i νθ u ) i + ) 1 x i ρ pθ + ε ikl f k u l θ Θ = u i u k u k θ U i βg i θ x 2 + p k ρ θ α + ν) u i x i θ A20)

A 31 17) 14) θ θ θ t + θ Θu k + U k θ + u k θ u k θ) = αθ 2 θ A21) 9), 12) A21) ) = θ θ t + u kθ Θ + U k θ θ + u k θ θ θ u k θ) = 1 θ 2 2 t + u kθ Θ + 1 2 U θ 2 k + 1 2 u θ 2 k θ u k θ) = 1 θ 2 2 t + u kθ Θ + 1 U k θ 2 ) + 1 u k θ 2 ) θ u k θ), 2 2 A22), A10) A21) ) = αθ ) θ = 1 2 α ) θ 2 α θ θ A23) A22), A23) 1 θ 2 2 t + 1 2 U k θ 2 ) + 1 u k θ 2 ) θ u k θ) 1 2 2 α θ2 = u k θ Θ α θ θ A24) A24) 2,, 5) 17) θ 2 t + ) U k θ x 2 + u k θ 2 α θ2 = 2u k θ Θ 2α θ θ A25) k A3 36) 33), i = j, 9) Du 2 i Dt [ { u 2 qλ i 1 + 2 }] u i u k ) x i U i = 2u i u k 2βg i u i θ q u 2 i 3 1 3l 1 3 q2 ) 3 2 3 q 3 Λ 1 A26)

A 32 q 2 = u 2 i 36) Dq 2 Dt { q 2 qλ 1 + 2 u )} iu k U i = 2u i u k 2βg i u i θ 2 q3 x i Λ 1 A27) 37) 33) 36) δ ij /3 4), ) = D Dt u iu j ) { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + }] u i u k ) x i x j δ [ ij Dq 2 3 Dt { q 2 qλ 1 + 2 )}] u k u l ) x l = D u i u j δ ) ij Dt 3 q2 [ { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + ) u i u k ) x i x j δ ij q 2 + 2 )}] u k u l ), A28) 3 x l U j U i ) = u i u k u j u k βg j u i θ + g i u j θ) q u i u j δ ) ij 3l 1 3 q2 + Cq 2 Ui + U ) j 2 q 3 δ ij x j x i 3 Λ 1 δ ) ij U l 2u l u k 2βg l u l θ 2 q3 3 Λ 1 U j U i = u i u k u j u k + 2 3 δ U l iju k u l β g j u i θ + g i u j θ 2 ) 3 δ ijg l u l θ + Cq 2 q 3l 1 Ui + U j x j x i ) u i u j δ ij 3 q2 A28), A29) 37) D u i u j δ ) ij Dt 3 q2 [ { qλ 1 u i u j ) + u j u k ) + u i u k ) x i x j δ ij q 2 + 2 )}] u k u l ) 3 x l U j U i = u i u k u j u k + 2 3 δ U l iju k u l + Cq 2 Ui + U j x j β g j u i θ + g i u j θ 2 ) 3 δ ijg l u l θ q 3l 1 4) 36) i l ) A29) ) x i u i u j δ ) ij 3 q2

A 33 40) 38), 39) 36) ) = Dq2 Dt = Dq2 Dt [ { q 2 qλ 1 + 2 [ ] δil x i 3 + a il )q }] 2 { 5 q 2 qλ 1 + 2 } a ik q 2 ) 3 x i a ik Oa) ) = { 5 q 2 } ) qλ 1 1 + Oa) 3 A30) A31), Oa) ) δik ) = 2 3 + a ik q 2 U i 2βg i b i qϕ 2 q3 Λ 1 = 2 3 q2 U i x i 2a ik q 2 U i 2βg i b i qϕ 2 q3 Λ 1 9) A32) ) = 2a ik q 2 U i 2βg i b i qϕ 2 q3 Λ 1 A33) A31), A33) 40) Dq 2 Dt { 5 q 2 } ) qλ 1 1 + Oa) 3 = 2a ik q 2 U i 2b k g k βqϕ 2 q3 Λ 41) 38), 39) 37) ) = D { ) δij Dt 3 + a ij q 2 δ } ij 3 q2 + [ ] δjk )q 2 x i δ ij 3 = D Dt a ijq 2 ) + δ jk 3 3 + a jk q 2 + 2 x l [ [ { qλ 1 + [ δik x j 3 + a ik [ δ kl 3 + a ) kl q 2 ] )}] { δij q 2 qλ 1 + a ij q 2 ) 3 q 2 + a jk q 2 ) + δ ik q 2 + x i x i 3 x j [ δij 3 + a ij ] )q 2 x j a ik q 2 ) )q 2 ]

A 34 δkl δ ij q 2 2 3 3 δ ij 3 = D Dt a ijq 2 ) [ { qλ1 3 + q 2 + )}] a kl q 2 ) x l x l 2 ) x j 3 δ q ij 2 x j 3 δ q 2 )}] ija kl x l δ jk q 2 x i + δ ik q 2 a ij q 2 + a jk q 2 x i + a ik q 2 A34) a ij Oa) ) = D Dt a ijq 2 ) { qλ1 q 2 q 2 δ ik + δ jk 2 3 x j x i 3 δ q 2 ) 1 ) } ij + Oa) A35) ) ) = δik = q 2 { δik 3 + a ik q 2 U j δjk 3 + a ik 3 + a jk +Cq 2 Ui + U ) j β x j x i q { ) δij 3l 1 3 + a ij q 2 δ ij ) Uj δjk + 2 3 δ U l ija kl 2 1 3 3 δ ij 9) ) q 2 U i + 2 3 δ ij ) δkl 3 + a Ul kl ) g j b i qϕ + g i b j qϕ 2 3 δ ijg l b l qϕ 3 q2 3 + a jk } ) Ui U k C βqϕg j b i + g i b j 2 3 δ ijg l b l ) q3 3l 1 a ij Ui x j + U j x i )} A36) { ) ) = q 2 δki 3 + a Uj ki + 2 3 δ ija kl U l C δkj 3 + a kj )} Ui x j + U j x i ) Ui βqϕg j b i + g i b j 2 3 δ ijg l b l ) q3 3l 1 a ij A35), A37) 41) D Dt a ijq 2 ) [ { qλ1 q 2 q 2 δ ik + δ jk 2 3 x j x i 3 δ q 2 } ] ij {1 + Oa)} A37)

A 35 { ) ) = q 2 δik 3 + a Uj δjk ik + 3 + a Ui jk 2 3 δ U l Ui ija kl C + U )} j x j x i βqϕg j b i + g i b j 2 3 δ ijg l b l ) q3 3l 1 a ij A38)

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