0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= の を満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それ を図示せよ --
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 自然数 に対し, 関数 F ( ) = e dt ( 0) を考える t () 関数 F( )( 0) はただ つの点で最大値をとることを示し, F( ) が最大と なるような の値 a を求めよ () () で求めたa に対し, 極限値 limloga を求めよ --
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ α を0 π <α < を満たす定数とする 円 C: + ( y+ si α) = および, その中心を 通る直線 l: y= (ta α) siα を考える このとき, 以下の問いに答えよ () 直線 l と円 C の つの交点の座標をα を用いて表せ () 等式 が成り立つことを示せ d+ d= π () 連立不等式 y (ta α) siα, + ( y+ si α) の表すy 平面上の図形をD とする 図形 D を 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を求めよ --
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ数列 { a} を, a =, ( + ) a + a= ( =,,, ) によっ + + て定める () b = ( + )( + ) a ( =,,, ) によって定まる数列 { b } の一般項を 求めよ () 等式 p( + )( + ) + q( + ) + r( + ) = b ( =,,, ) が成り立つ () ように, 定数 p, q, r の値を定めよ ak を の式で表せ k= -4-
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 5 解答解説のページへ a b 実数を成分とする行列 A= c d を考える 座標平面上の 点 P(, y ), u Q( u, v) について等式 = A v y が成り立つとき, 行列 A により点 P は点 Q に移 るという 点 (, ) は行列 A により点 (0, 0) に移り, さらに等式 A 7A+ 0E= O が成り立つものとする ただし, の問いに答えよ () 行列 A により点 (0, 0) が移る点の座標を求めよ () 実数 a, b, c, d の値を求めよ () 次の条件 (*) を満たす直線 l の方程式を求めよ 0 E= 0, 0 0 O= 0 0 である このとき, 以下 (*) 直線 l 上のすべての点が行列 A により l 上の点に移る -5-
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 6 解答解説のページへ d を正の定数とする 点 A( d, 0), B( d, 0) からの距離の和が 4d である点 P の軌跡として定まる楕円 E を考える 点 A, 点 B, 原点 O から楕円 E 上の点 P まで の距離をそれぞれ AP, BP, OP とかく このとき, 以下の問いに答えよ () 楕円 E の長軸と短軸の長さを求めよ () AP + BP およびAP BP を, OP とd を用いて表せ () 点 P が楕円 E 全体を動くとき, AP + BP の最大値と最小値をd を用いて表せ -6-
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 線分 OA の垂直二等分線の方程式は, 中点が t (, ), OA = ( t, ) より, t( t) + ( y ) = 0, t+ y t = 0 () を t についてまとめると, t t y+ = 0 すると, t のとき直線 が通過する点 (, y) は, t についての 次方程式 が t に少なくとも つの実数解をもつ (, y) の条件として求められる ここで, f( t) = t t y+ = ( t ) y+ とおくと, (i) (, ) のとき 求める条件は, y + (ii) < ( <<) のとき f( ) = y+ 0 より, 求める条件は, f() = y+ 0 または f( ) = + y+ 0 より, y + またはy + (i)(ii) より, 求める領域は右図の網点部となる ただし, 境界は領域に含む y O [ 解説 ] 直線の通過領域を求める頻出問題です 次方程式の実数解の条件として処理をし ています -- 電送数学舎 0
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 自然数 に対し, f( t) = e t とおくと, ここで, F ( ) = f ( t) dt より, F ( ) ( ) ( ) = f ( ) f ( ) = e e = e ( e ) 単調に減少し, ( ) e g( ) = とおくと, から, 0 において g( ) は ( ) g (0) = =, lim g ( ) = lim( e ) = これより, 0 において, g( ) = 0 はただ つの実数解をもち, ( ) e =, ( ) = log, = log よって, ( ) となり, この値を= α とおくと, F( ) の増減は右表のようになる すると, 関数 F( )( 0) はただ つの点で最 大値をとり, F( ) が最大となる の値 a は, a = α= log ( ) () () より, a ( ) log = log log(log) log( ) log = log = ここで, 自然数 に対し, < より, <, ( ) ( )log log( ) log log( ) log < log log(log) log( ) よって, limloga = lim{ } = log 0 α F ( ) + 0 - F( ) 0 [ 解説 ] 関数の形が複雑なため, 式変形に注意力が要求されますが, 内容的は基本的です -- 電送数学舎 0
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () l: y= (ta α) siα とC: + ( y+ si α) = を連立すると, () すると, + (ta α) =, cos α =, =± y=± siα siα から, = のときy= 0, = のとき y= siα となり, l とC の交点は, (cos α, 0), ( cos α, si α) である f( ) = とおくと, f( ) = f( ) から, f( ) は偶関数であり, よって, d= d 0 cos α 4 d+ d= d= π= π 0 () y (ta α) siα かつ + ( y+ si α) の 表す図形 D は右図の網点部となる ここで, D を 軸のまわりに 回転させてできる立体の体積を V とする さて, C: + ( y+ si α) = より, y=± siα (si ) cos 8 si cos そこで, V = π ( siα) d V= π α α= π α α V = π {( siα) ( siα) } d すると, V= V V+ V となり, V = π ( + si α) d+ πsiα d = π ( + + si α) d+ πsiα d 0 cos cos α α = π ( si α) + + + πsiα d 0 = π cos α+ π ( + si α )cos α+ π si α d = 8π cos α+ 4 π cos α+ π si α d V 8 8 = π πcos α V = π 4siα d= 4πsiα d y O siα -- 電送数学舎 0
() から, d+ d= π なので, 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 π α 8π α π α{ } V= 4 cos cos + si d+ d = 4π cos α+ π si α π 4 cos si = π α+ π α [ 解説 ] () では, 求積の方法について迷いますが, () の結果を活用することを考えるのが, 本問では最適でしょう -4- 電送数学舎 0
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () 条件より, a =, ( + ) a + a= + + から, ( + )( + )( + ) a ( + )( + ) a = ( + ) ( + ) + b = ( + )( + ) a より, b+ b= となるので, b = b+ ( ) = a + = + 5 () () より, p( + )( + ) + q( + ) + r( + ) = + 5 の係数を比べて, p+ q+ r= 0, p+ q+ r=, p= 5 より, p= 5 となり, に代入して, q+ r= 5, q+ r= これより, q= 4, r= () () より, a 5 = + ( + )( + ) となり,() の結果を用いると, a よって, p q = + + r = 5 4 + + + + ( + ) = 5 5+ + = 5 ( ) ( ) + + + + + ( ) ( ) ak = 5 ( ) ( ) + + k= = 5 + ( + ) 0 ( + ) ( + ) (7+ 7) = = 4( + )( + ) 4( + )( + ) [ 解説 ] () の解法は, 上のようなものが想定されていると思われますが, もし4= 5+ に 気付かなかったときは, () を無視し, a 5 = + ( + )( + ) ( + )( + ) として和を求めます -5- 電送数学舎 0
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 5 問題のページへ 0 () A 7A+ 0E= O より, ( A 7A+ 0 E) = 0 0 また, 条件より, A = 0 なので, A = A 0 0 となり, から, 0 0 0 A 7 + 0 = 0 0 0, 0 0 60 A = 7 0 = 0 0 40 6 () より, A = 4 となり, と合わせて 6 0, A = 4 0 6 0 6 0 A 5 4 = = 4 0 4 0 = = 5 よって, a= 4, b=, c=, d= () 直線 l の方程式を, = k またはy= m+ とおく (i) l: = k のとき t を任意の実数として, 直線 l 上の任意の点を ( k, t) とおくと, u 4 k 4k t + = = v t k+ t 点 ( u, v) はl 上の点より, 4k+ t= k, k+ t= 0 4 しかし, 任意の t に対して, 4 が成立する定数 k は存在しない (ii) l: y= m+ のとき t を任意の実数として, 直線 l 上の任意の点を ( t, mt+ ) とおくと, u 4 t (4 m) t + + = = v mt+ (+ m) t+ 点 ( u, v) はl 上の点より, (+ m) t+ = m{ (4+ m) t+ } + 5 任意の t に対して, 5 が成立する条件は, 6 より, + m= m(4+ m) 6, = m+ 7 m + m = 0, (m )( m+ ) = 0 となり, m=, 7より, ( m ) = 0 となり, m=, のいずれのときも, = 0 である (i)(ii) より, 直線 l の方程式は, y= またはy= である [ 解説 ] 次変換の基本題で, どの設問もいろいろな解法があります その つの解答例を 記しました -6- 電送数学舎 0
0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 6 問題のページへ () 焦点がA( d, 0), B( d, 0) より, 楕円 E の中心は原点となるので, y E: + = a b ( a b = d ) 条件より, a= 4d から, a= d となり, b = a d = d, b= d これより, 長軸の長さはa= 4d, 短軸の長さは b= d となる () P(, y) とおくと, () AP + BP = ( + d) + y + ( d) + y = ( + y ) + d = OP + d また, AP+ BP= 4d なので, より, OP + d よって, AP BP AP + BP AP + BP = (AP+ BP) AP BP = 6d AP BP = 8d OP d = 7d OP = (AP+ BP)(AP + BP AP BP) なので, より, = 4 d(op + d 7d + OP ) = 4 d(op 5 d ) ここで, d OP d からd OP 4d であり, より, d A d 値は4 d(d 5 d ) = 8d, 最小値は4 d(9d 5 d ) = 6d となる y d B O d d d P AP + BP の最大 [ 解説 ] 楕円の定義について, 基本事項を確認する問題です なお, 式は中線定理です -7- 電送数学舎 0