低次元フェルミ系における集団励起と熱電輸送

低次元フェルミ系におけ る集団励起と熱電輸送 栗原進研究室博士課程 3 年吉元広行

研究課題 低次元フェルミ粒子系での集団励起 について興味深い現象を探る Ⅰ1 次元電荷密度波での熱電輸送 Ⅱ 次元調和ポテンシャル中の中性フェルミ気体の集団励起

Ⅰ1 次元電荷密度波での熱電輸送 熱電輸送と電荷密度波 背景 電荷密度波 モデルと計算手法 Fröhlich ハミルトニアン 摂動計算 結果と考察 熱起電力 熱伝導度 まとめ

背景 熱電変換材料 Bi Te 3 SbTe3 半導体 etc 熱起電力 : 熱伝導度 : S V T J 0 JQ K T J 0 NaCo O 4 etc 強相関電子系 I. Terasai. et. al 1997 量子多体効果が重要な系での熱電輸送特性を調べる J Q J V 電荷密度波 CDW 系に着目

電荷密度波 CDW E 電荷密度 E F 格子位置 π a F F π a 電子 フォノン相互作用 E E F π a F F π a

CDW の集団励起 振幅モード ω ω α F /3 µ λ v + Ω 電荷密度 振幅のゆらぎ 位相モード ω ω φ v F / µ ω λ Ω ω ω α ω ω φ 全体の並進移動 電流へ寄与 二つの集団励起モードの熱電輸送への寄与を調べる

1 3 c c H τ τ ξ + + + + + 1, j j j c c N τ φ γ モデル : Fröhlich ハミルトニアン + F F c c c φ φ 1 + F F b b i i b b 1 1 1 1 b b j j j + + φ + + : j τ パウリ行列 1, F j j j b b ω + + 準粒子振幅モードと 位相モード 振幅 位相モード - 準粒子相互作用 S. Kurihara 1976 1 j j : 準粒子 : 集団励起

本研究で扱う簡単化 T << T P 転移温度 準粒子の寄与 集団励起による 熱伝導熱起電力を解析 不純物 熱エネルギー 外部電場によりピン止めの外れやすい系を想定 励起の減衰 集団励起の非線形相互作用

計算手法 1 線形応答 熱流演算子 Ĵ L ij Jˆˆ J i j 電流演算子 Ĵ 1 相関関数 電流外部電圧 11 µ + ev 1 1 J L + L T T 熱流 1 µ + ev 1 JQ L + L T T 1 L L 1 温度勾配 J.M.Luttinger 1964 電気伝導度熱伝導度 K 熱起電力 1 T S σ L e L 11 T 1 L etl 1 11 L L 1 11

計算手法 電流 熱流演算子 電流演算子 : J e vc + p τ 3c 熱流演算子 : J J e Q ph Q σ + i εn + ωl / vc, εn τ3c, εn + ωl + i ε n + ωl / vphbi, εn bj, εn + ωl n i, j 1, -- 準粒子 -- フォノン iε n, : 松原周波数 iω l

摂動計算 1 ループ Aslamazov-Larin ダイアグラム Green 関数 G ε, ξ : 準粒子 Dα, ω : 振幅モード 頂点部分電流熱流振幅モード Dφ, ω : 位相モード 位相モード 無摂動 準粒子 T << T P 高次摂動 集団励起 1 ループタイプ AL ダイアグラム 0 でない寄与の分類

分類方法 空間反転に対する対称性 頂点部分 電流 熱流位相モード奇パリティ頂点部分が合計で偶となる組を残す 偶パリティ 振幅モード σ 位相モード 準粒子 S 0 K 振幅モード

位相モードの励起の減衰 S. Kurihara 1976 Π φ + + + σ P ω τ 4πµ τ 16µ πω 1/ B α 1/ 4µ h π T B 1/ 8µ πω T ω α sinh BT α B T B ep T ω α ω α BT τ ω α : 位相モードの減衰時間 : 振幅モードギャップ 10~0K 3 µ : 質量パラメータ O10 ~10 << ω B T α

結果 1 熱起電力 1 ループダイアグラムから計算 1 1 λ εf L ST 1 1 σ T 1 1 λ ε et F : CDW ギャップ 1 ε F log λ ~10 K ~O1 ε F ~0.1

Ta 実験との比較 1 S µv / K ST 1 1 1 λ ε et F B ST AT T 4 + B~ O10 [ µ V] 3 B~ O10 準粒子の寄与を解析する必要がある [ µ V] 実験 本計算 Rb0.3MoO3 Rb K MoO 1000 /T の熱起電力の温度依存性 0.15 0.15 3 J. Wang, et. al 004

実験との比較 非線形領域での熱起電力 TaS 3 閾値電場 この実験では 1 1 L E/ L 0 1 SE / S0 % σ E/ % σ0 % σ E/ % σ0 σ% E : 微分コンダクタンス T150 1 L は電場依存性をもたない 熱電輸送に集団励起依存はない?? 本計算 熱起電力 微分コンダクタンスの電場依存性 L 1 T e 1 1 Const σ T λ εf J.P. Stoes and A.N. Bloch 1984 1 L と σ は温度に関して同じ依存性

τ λπ µ ω h T e v v K P F ph ph 4 τ λπ ω ε h T e K P F el 4 3 3 結果 熱伝導度 準粒子 からの寄与 e J Q 1 11 1 L L L T K フォノン からの寄与 Ph J Q 1 ループダイアグラムの寄与は 0 振幅 位相がともに励起

大きさの評価 ローレンツ数 L0 との比較 π L0 3 e K T / K ω α B : Lorentz 数 0.8 0.6 一定値 K ω α に近づく 0.4 0. 0.5 1 1.5.5 3 指数関数的に増大 B T ω α B T~ω α K K el ph 振幅モードギャップ程度の温度 10~0 K 1 / σ L 0T λ ε F 1µ 4vph / σ L0T λ vf T~ω α B 1 λ ε F 1µ 4v λ vf ph 1 ~O10 ~10 で比較 1 ~O1~10 で熱伝導度は観測の可能性がある

実験 熱伝導度 NbSe 4 10I3 NbSe I 4 3 A. Smontara and K. Biljaovic 1993 揺らぎによる集団励起の寄与 K 0.3 MoO 3 T << T P ではこれまで集団励起の影響は確認されていない R. S. Kwo, and S. E. Brown 1989 CDW 系での熱伝導度の温度依存性

Ⅰ のまとめ 線形応答を用いて 集団励起による CDW の熱電効果を計算 1 は電気伝導度と同じ温度依存性 L 熱起電力は温度に逆比例 位相モード 振幅モードの非線形相互作用から熱伝導度を導出 課題 ローレンツ数との比較し 集団励起の寄与による熱伝導が観測可能なことを示した 外部電場が小さいときの不純物の寄与 ノーマルフォノンの影響

Ⅱ 次元調和ポテンシャル中の中性フェルミ気体の集団励起 イントロダクション 計算方法 Boson Fermionの集団励起 実験 集団座標の方法 スケーリングの仮定 本研究での方法 結果 単極子 双極子 四重極子振動 相互作用増大に伴う不安定性 考察 まとめ 今後の課題

中性原子系の研究の経緯 1995 年 JILA, MIT Bose-Einstein 凝縮の観測 Bogoliubov 音波モード等々集団励起 観測 1999 年 JILA, フェルミ縮退を実現 フェルミ気体の集団励起 Fermion 超流動 BCS-BEC crossover

集団励起の実験 ボソン Na 双極子振動 四重極振動 双極子振動 相互作用の情報を取り出せる http://cua.mit.edu/etterle_group/projects_1998/coll_ec/collective_e citations.htm

研究目的 低次元フェルミ気体の集団励起の一般的手法を構築 point トラップポテンシャル 相互作用 Hartree term ダンピング 一様系のように摂動論を適用することが困難 これまでの手法 半 古典的解析 輸送方程式 Sum-rule approach 本研究 基礎方程式より集団励起を導出

モデル 温度 : T 0 励起の減衰は考えない 外場 : 次元調和ポテンシャル 粒子間相互作用 δ 関数型 気体 : 成分 σ 平均場近似 ψ i σ h 1 i h + m y,, + + iσ + gn yt t m y H ψ N i 1 i σ ny,, t ψ i, y, t 粒子密度 ω ψ ψ m ω : 質量 s 波散乱長 : トラップ周波数 g : 相互作用の大きさ a a s ho z iσ z 方向のトラップの大きさ

初期条件 気体の広がり R σ t 0 中心からのずれ r σ ψ, y,0 ψ% ρ ψ% ρ σ i i i n σ m σ y n, m ρ σ : 整数 i r ρ i σ σ y i Rσ ψ y i r R σ σ y n e Hn % : 調和ポテンシャルの固有関数

計算手法 r σ r 0 g 0 σ y m h ω 1 t 0 時間発展演算子 y ψσ i i, yi, t ep [ Ht] ψ% n ψ% m R 0 R 0 if, t, y σ σ y 位相因子 e y ψ% n ψ% m R tr t R t R t σ σ y σ σ y 固有関数の形は不変! 調和ポテンシャルの特殊性

WKB 近似 : 1 1 1 nf nf ψ n, n y n, n π RR y y n, ny n ρ ny ρy nyt,, / / 1 y n π R t R t R t R t F y y g ny,, t 相互作用も調和型となる!! R 1 1 1 cos t λ σ t + λ λ 気体の平均的な広がりを表している Yu. Kagan 1996 ボソンで同様の結果

rσ, rσ y 0 g 0 一般の場合の計算手法 ψ ψ% ρ ψ% ρ i Φ yt,, n, n yt,, e n n y y y ρ σ i r ρ i σ σ y i Rσ y i r R σ σ y 解を仮定 相互作用を構築 解を方程式に代入 自己無撞着に R, t R, t r, t r t σ σ y σ σ y を決定

σ σ σ σ σ σ + y R R R g R R R dt d i 3 3 1 3 σ σ σ σ σ σ + y r r R R g r r dt d,, y y r R R r,, r R R r σ σ σ σ スケーリングパラメータ重心座標スケーリングパラメータと重心座標の方程式

様々な極限 y E1 R R R R R y y 単極子振動 等方的振動 R + g λ λ 1+ 1 cos t λ 1+ g 1+ g 1 静止解で λ R0 R 1+ g 1/ 4 E R R R+ f, R R R f 四重極振動 非等方的振動 f y y A cos 1 + + g g t R 1+ g 1/ 4 y

R 0 0.4 R y 0 0.9 g 0.9 R 0 0.4 R y 0 0.9 g 0.4

y E4 y E3 R R R+ f, R R R f y y 1 g f A cos t 1 + g R 1+ g R R R R R r, 0 y y σ ry σ rσ [ ] r + r A cos t 1 1 g r r A cos t 1 + g g >1 dr mode coupling 磁気分極子振動 1/ 4 で系が不安定化 σ dt g R 1+ g >1 双極子振動 1/ 4 で系が不安定化 二成分のモードカップリングは Boson で同様の計算 K. Kasamatsu, et. al.004

考察 1 不安定性についての考察 LDA での計算 π h m z E µ N d n + n + V / Trap µ n + n + π a aho n n 運動エネルギー 競合! 相互作用エネルギー 系の安定性の条件より δ [ E µ N] 0 成分ボソンの相分離 z 1/ π a/ aho 0 z a/ a 1/ π ho z π a a ho E3,E4 の結果を再現 D.S. Hall. et. al1998

R R R 0 0.95 R 0 0.55 g 0.999 R 0 0.95 R 0 0.95 r r r 0 0.1 r 0 0. g 0.1 R 0 0.95 R 0 0.55 g 0.5 r 0 0.1 r 0 0.

まとめ T0 での二次元調和振動子中 フェルミ気体の集団励起を解析 シュレディンガー方程式から出発して重心座標 スケーリングパラメータの運動方程式を解析的に導出 単極子 双極子 四重極子 磁気分極振動を導出 二成分フェルミオンの斥力増大に伴う系の相分離を導出 今後の課題 トラップ系での摂動論 ダンピングの評価 平均場より高次の効果 超流動の解析

全体のまとめ 低次元フェルミ粒子系での集団励起を研究 Ⅰ 電荷密度波での熱電応答 線形応答を用いて 集団励起による CDW の熱電効果を計算 熱起電力は位相モードの寄与より導出 位相モード 振幅モードの非線形相互作用から熱伝導度を導出 Ⅱ 電荷密度波での熱電応答 T0 での二次元調和振動子中 中性フェルミ気体の集団励起を解析 シュレディンガー方程式から重心座標 スケーリングパラメータの運動方程式を解析的に導出 単極子 双極子 四重極子 磁気分極振動を導出

フェルミ粒子の集団励起 40 K m f 7 / m 9/ f K40 の Spin 励起の減衰時間の計測 B. DeMarco and D.S. Jin00 トラップを切った後の時間発展 K. M. O Hara, et. Al 00 6 Li

課題 励起の減衰 F T / TF 半古典近似より導出 1 / τω FT T F T /T F L. Vichi and S. Stringari 1998 トラップ周波数 フェルミ温度より十分低温では減衰時間 ωτ >> 1

スケーリングの仮定 集団座標の方法 ih V g t m Ψ h + Trap µ Ψ+ Ψ Ψ G-P 方程式 Boson f t + v f r 1 m U Trap r + U Mf f v I coll [ f ] Boltzman-Vlasov 方程式 Fermion Ψ r, t Ep[iΦ r, t] Ψ0 ρ f r, v, t f, ~ 0 ρ v ' ρ r, v% v R t Rt Rt Rt Scaling ansatz r

調和振動子の解 iii 任意の時間変化する調和振動子解を解く i ψ Hψ t 1 d α t H + β t d 上の方程式に以下の解を代入 1 if t + iγ 1+ iγ rt ψ n t, e ψ n Rt Rt 以下の運動方程式を得る R t 1 α R R 3 d r dt r α + βα r R t R 3 1 γ R t R γ 1 J.Phys.B36,817003 Boson 系の計算

G-P 方程式参考にした手法 1 h t ih r g t m 1 Ψ rt, Ep[i mr R t i µ t] Ψ0 r R t h R' t R t Ψ ω + µ Ψ+ Ψ Ψ Yu. Kagan Phys. Rev A 54, R1753, 1996 G-P 方程式に上の解を仮定し以下の方程式を導出 Ψ h ω ih + r Ψ + g Ψ Ψ τ m ρ 0 0 µ 0 0 0 t τ t dt'/ R' t Rt '' + ω t Rt ω / Rt 3 0

リチウム 6 についての見積もり a 1000 nm m 6 1.67 10 h 1.0 10 34 7 Js g z a ho h mω z π a a ho ω~10 4 Hz

電荷密度波 CDW 格子変位 Q の運動方程式 Q&& Q M h ωq g ω + χ M: イオンの質量 χ : 応答関数 χ r d f f d π ε ε + + G. Grüner : Density Waves In Solids Q F にフォノンが凝縮

中間状態 計算の近似 位相モード 振幅モードの励起 特徴的なエネルギースケール ω α ~ 10 K 振幅モードギャップ 位相モード 振幅モードの励起 ~100K 準粒子ギャップ 近似 寄与なし

非線形伝導 ピン止めのないとき 位相モード σ P. A. Lee,et. al 1973 TaS 3 M. E. Itis et. al1990 熱電輸送に与える影響?

+ + ξ ε ξ ε ξ ε ξ ε ξ ε ξ ε ξ ε F F F i G 4 4 0 4 1, 3 1, v D F µ λ ω ω φ Ω Ω + +... + 1, v D F µ ω ω α Ω : 振幅モード : 位相モード Green 関数 準粒子 フォノン

TaS の熱起電力 3 横軸は温度の逆数

σ T / σ ωα 60 50 40 30 0 10 0.5 1 1.5

熱電および熱流相関関数 RPA σ λ ω ω λ ω 1 1 Im 1 1 0 1 lim + e L L i σ λ ω ω λ ω 0 1 1 4 Im lim + e L L i 1 1 11 1 λ ε F T e L L T e S 1 11 1 L K L T L 0

密度の構成 4 0 0 1!!!! 1, n n n n y n n e L r J e n n y H H y n F F y y + + π π y r + 1 y n y n F F + + θ π

背景 1 J σ ST V K T Q 熱起電力 : 熱伝導度 : S V K T J 0 J Q T J 0 J σ V σ S T 電流の担い手 : 電子 熱流の担い手 : 電子フォノン J Q V V J J J E +

フレーリヒハミルトニアン H bb ξ c + c + ω + 1 + + + γ b + b c c N +

Sum rule L.Vichi and S. Stringari 1999