JFMO 解答 解説. 台形 ABCD において AD//BC, BC=AD が成り立っている 辺 AB の中点を点 E とし 線分 CE 上に点 F を ADE= FDE となるようにとると ADE= FBC が成り立つ 台形 ABCD の面積は であり AB=α,CE=β とするとき 三角形 FBC の面積をα,βを用いて表せ 解説直線 BF と AD の交点を G とする AD//BC より AGB = FBC= ADE よって DE//GB であるから AD=DG, DFG= EDF= ADE= DGF ゆえに DF=DG=DA であり AFG=90 したがって AFB=90 であり E は辺 AB の中点であるから EB = EF よって BFC FC BEC EC ( ) ABC と ADC は高さが等しいので 面積比は AD と BC の比に等しい ゆえに ABC: ADC=BC:AD=:, 四角形 ABCD: ABC=: であるから ABC= 四角形 ABCD 8 さらに E は AB の中点であるから
EBC= ABC これと ( ) より BFC= A.. ある人が0 段の階段を以下の条件を満たして登る登り方は何通りあるか 条件 : 一歩につき 段までとばして登ることができる 解説問題と同じ条件で k 段を登る場合の数を f(k) と表すことにする 一般に n 段の階段を登ることを考える 最初に 段登ったとき 残りの n- 段を登るのに f(n-) 通り 最初に 段 ( 一気に ) 登ったとき 残りの n- 段を登るのに f(n-) 通り 最初に 段 ( 一気に ) 登ったとき 残りの n- 段を登るのに f(n-) 通り 最初に n- 段 ( 一気に ) 登ったとき 残りの n- 段を登るのに f(n-) 通りあるので f(n)=f(n-)+f(n-)+f(n-)+f(n-) を得る f()=,f()=,f()=,f()=8 となることは容易に確認できる ゆえに
f(0)=f(9)+f(8)+f(7)+f(6)=f(8)+f(7)+f(6)+f(5)=f(7)+f(6) +f(5)+f()=8f(6)+7f(5)+6f()+f()=5f(5)+f()+f() +8f()=9f()+7f()+f()+5f()=+08+6+5=0 A.0 通り. 自然数 x, は次の式を満たす (x+5)(x-9)= このとき として考えられる値をすべて求めよ 解説左辺を展開し 変形すると x +6x-5=, x +6x+9-=, (x+) -=, (x+) - =, ( ) (x++)(x+-)= よって x++ と x+- はともに の約数であり x+-<x++ であるから x+-<<x++ である また ( ) より x+ と の偶奇は一致し その積は偶数であるから x+ と はともに偶数である それらを考慮し 表にすると以下のようになる
x+ - 6 8 x++ 7 6 8 x+ 7 0 5 5 6 9 5 したがって 答えは 5, 9, 6, 5. 解答欄にある三角形 ABC の内心 ( 内接円の中心 ) を定規とコンパスのみを用いて作図するか その作図の手順を答えよ ただし コンパスは5 回までしか使用してはならない また 作図の途中経過が分かるように作図せよ 解説三角形 ABC の外接円をΓとする 辺 BC の垂直二等分線と Γの交点のうち 点 A 側でない方を D, 辺 CA の垂直二等分線とΓとの交点のうち 点 B 側でない方を E とする 点 D は辺 BC の垂直二等分線上にあるから DB=DC よって 円周角の定理より BAD= BCD= CBD= CAD したがって 直線 AD は BAC の二等分線である 全く同様にして 直線 BE は ABC の二等分線であるから 直線 AD と
直線 BE の交点が内心となる 線分の垂直二等分線を作図するのにコンパスは 回使うので 三角形の外接円を作図するのにコンパスを5 回使う 後はすべて定規で作図できるので 条件を満たす 5. 正の整数 において 下の式を満たす正の奇数 x,x,x, x の組は 66650 通り存在する このとき の値 を求めよ ただし x,x,x, x の組で 順番を入れ替えた だけの組も異なるものとする x x x x 解説 x,x,x, x は奇数であるから 0 以上の整数 n, n, n, n を 用いて n, n, n, n x とかける よって x x x x x x x n n n n (n n n n )
ゆえに n n n n ( ) x,x,x, x はそれぞれn,n,n, n の値によって決まるの で x,x,x, x の組の個数はn,n,n, n の組の個数に等し い ( ) より それは 個の区別しないブロックを つの仕切りで区切ったときの場合の数と等しい さらに そ れは 個のブロックからつ選び それを仕切りに 変えることと同値である その場合の数は C ( 6 ( )! )!! 66650, であるから 6 999900, 000 99 であるから =00 となる ならば (+) (-) (+) (- ) であるから 解は =00 のみである A. =00
6. 三角形 ABC の内部に点 D があり 直線 AD と BC の交点を E, 直線 BD と AC の交点を F とすると FDC= ABC, AD=, DE=, CE=8, EB=が成り立つ このとき 辺 AB の長さを求めよ 解説 BDC の外接円をΣとし 直線 AE とΣの交点を Gとする 方べきの定理より BE EC=DE EG であるから 8= EG, EG= (*) 一方 FDC= DBC+ DCB, ABC= ABD+ DBC より DCB= ABD であるから 接弦定理の逆より 直線 AB はΣに接する 方べきの定理と (*) より AB AD DG ゆえに AB AD DG ( ) A. 7. 次の計算をせよ 5 9 0 8 5 79 5n n ( ただし n は自然数 ) 解説
まず 次の補題から証明する < 補題 > n n n (,,n は自然数 ) < 証明 > x n n n とおく すると n n n x n n n x となり この方程式を解くと x.) Q.E.D ( つぎに 問題の一般形について考える n n とおく すると 補題より n n n n
n n ゆえに,, =, =, =5 をそれぞれ代入して 6 5 5 5n 79 5 8 0 9 5 n 6 5. A 8. 四角形 ABCD において 辺 AD の中点を M, 辺 BC の中点を N とすると MN=0 が成り立つ 線分 MN の中点を L とし 直線 DL の点 L 側の延長線上に点 E を EL=LD となるようにとる CD AB, BC AD とするとき CE を, を用いて表せ 解説
対角線 BD と AC の中点をそれぞれ P,Q とする すると ADB, CAD, ACB, CBD について 中点連結定理より AB//MP, CD//QM, AB//QN, CD//NP であるから MP//QN, QM//NP が成り立つ ゆえに 四角形 PNQM について 向かい合う 組の辺が平行であるから 四角形 PNQM は平行四辺形である したがって MN と PQ はそれぞれの中点で交わる つまり 線分 PQ の中点は点 L と一致する DBE について 中点連結定理より LP=BE, PL//BE であるから PQ=QL+LP=LP=BE また 直線 DQ と BE の交点を F とすると DBF と DPQ において より PQ//BF であるから DQ:QF=DP:PB=: つまり DQ=QF DBF において 中点連結定理より FE=BF-BE=PQ-PL=PL=EB さらに AQD と CQF において AQ=QC, より DQ=QF, AQD= CQF であるから AQD CQF ゆえに CF=AD 5 MPQ において 点 L は PQ の中点であるから 中線定理 より MP MQ PL ML 6 ここで ADB,
CAD に中点連結定理を適用して MP AB, MQ であるから (AB MP CD ) MQ AB から ML=5 これと 7,6 より CD CD 7 また L は MN の中点である PL 5, PL 50, PL 00 より BE PQ (PL) PL 00 8 より E は BF の中点であり 5 より CF=AD であるか ら 中線定理より BC AD BC CF BE CE り BE CE 00 CE, 00 CE, CE 00 ここで 8 よ 9. 自然数 ( が k 個並ぶ ) をR k と表す このとき R 06を素因数分解したときに現れる素数のうち が含まれ
るものを つ求めよ ただし が含まれる数 とは あ る自然数において ある桁が であるものをいう ( 複数で もよい ) 解説 まず 次の補題を証明する < 補題 > p を7 以上の素数とする このとき R p は p の倍数であ る < 証明 > p は 7 以上の素数であるから p は 0 と互いに素である ゆえに フェルマーの小定理より 0 p (mod p) した がって 0 p は p の倍数である 0 p 999 (9 が p- 個並ぶ )=9 R p であり 9 と p は互いに素であるか R は p の倍数 ( Q.E.D.) ら p 自然数 m,n において R mn はR n の倍数であるから R n を 素因数分解したときに現れる素数は R mn を素因数分解した ときにも現れる このことと 補題より q- が 06 の 約数となる素数 q は R 06 の素因数である その条件を満
たす素数を調べると 7,,7,9,9,7,,7,97,,7, 7,009,07 となり これらの中で を含むものは 9,7,07 の つである A. 9, 7, 07 0. 正六角形 ABCDEF の内部に点 P があり PA=6,PB=, PC 解説 が成り立つ このとき PD の長さを求めよ まず 次の命題を証明する < 命題 > APC=50 である < 証明 > 図のように四角形 BAPC を点 B を中心に 0 回転させた図形を考える ABC=0 より 点 A が移動した後の点は C である 点 C が移動した後の点を C とし 点 P が移動した後の点を P とすると PB=P B=, PBP =0 であるから 点 B から PP へ降ろした垂線の足を H とすると PH=HP = であるから ' PP PCP に
おいて PC P'C 6 = +6 = 8 PP' が成り立つから PCP は PCP =90 の 直角三角形である BCA=0 より C CA=60 であ るから ACP+ P CC =0 である いま P CC = PAC が成り立つから ACP+ PAC=0 が得られ APC=80- ACP- PAC=80-0=50 よって題意は 示された ( Q.E.D.) 命題 から次が分かる < 命題 > 正六角形の一辺の長さは 7 である < 証明 >
点 A から直線 CP に降ろした垂線の足を G とする 命題 より APC=50 であるから APG=0 を得る よって AG= AP =, GP= AG とあわせて 三平方の定理より AC AC AG 8 GC 9 であり CP= 8, ここで 点 B から AC に降ろした垂線の 足を I とすると IC AC であり BCI=0 で あるから ( 正六角形の一辺 )=BC= 7 よって 示された ( Q.E.D.) 命題 より BC 7 であるから BPC において BP CP 8 7 BC が成り立つ ので BPC は BPC=90 の直角三角形である これよ り 次のことが分かる < 命題 > 点 P は BCD の外部にある < 証明 >
点 C から BD へ降ろした垂線の足を M とする CBD= 0 より CM= 7 7 である すると CP 7 CM より P M である つぎに P が CBM の内部にあると仮定すると 90= BPC= PBM+ PCM+ CMB>90 となり 矛盾 また P が CMD の内部にあると仮定すると CPB> 60 となるから 辺 BP 上に点 N を PCN=60 となるよ うにとることができる すると CN とな る そして CNB は鈍角なので CB>CN となるはずだ が CB 7 CN となり 矛盾 よって P は BCD の外部にある ( Q.E.D.) 命題 より P は外部にある そして BPC= BMC=90 であるから 円周角の定理の逆より 点 C,B,P,M は同一
円周上にある ゆえに 円周角の定理より CPM= CBM =0 を得る CMP= CMB+ PMB>90 より CMP は鈍角であることが分かる 点 C から直線 PM に降ろ した垂線の足を Q とすると CPQ=0 より CQ, PQ, MQ 7, PM が得られる PBD について 点 M は辺 BD の中点であるから 中線定理より BP PD BM MP,, PD 7 6 PD PD 6 8, PD 7,