計算力学 ~ 第 回弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ)~ 修士 年後期 ( 選択科目 ) 担当 : 岩佐貴史
講義の概要 全 5 講義. 計算力学概論, ガイダンス. 自然現象の数理モデル化. 行列 場とその演算. 数値計算法 (Ⅰ) 5. 数値計算法 (Ⅱ) 6. 初期値 境界値問題 (Ⅰ) 7. 初期値 境界値問題 (Ⅱ) 8. マトリックス変位法による構造解析 9. トラス構造の有限要素解析. 重み付き残差法と古典的近似解法. ガラーキン法による有限要素解析. 弾性問題の有限要素解析 (Ⅰ). 弾性問題の有限要素解析 (Ⅱ). 弾性問題の有限要素解析 (Ⅲ) 5. 弾性問題の有限要素解析 (Ⅳ)
講義内容 前回の復習 自然現象 定常問題の有限要素法 弾性問題の有限要素解析 支配方程式とその弱形式 数理モデル化離散化 空間の離散化と形状関数 要素剛性方程式 離散化方程式の組み立て 変位境界条件の付加と球解 後処理 ポスト プロセス 諸注意 各種解析法による解析代数方程式 ( 連立一次方程式 ) 解析結果の評価
前回の復習 弾性問題の有限要素解析 (Ⅰ) 定常問題の有限要素法の定式化 ( 弾性体の変形問題 ) 楕円型微分方程式に基づく支配方程式とその弱形式支配方程式と境界条件 平衡方程式 ( 応力の釣り合い ) ひずみ 変位関係式 弱形式の導出と特徴 応力 ひずみ関係式 変位法有限要素法の特徴 境界条件 空間の離散化と形状関数有限要素 定ひずみ三角形要素 形状関数 要素内の変位式の導出 要素内のひずみ式の導出
弾性問題の有限要素解析 今回の講義 前回の講義で導出した式 要素内の支配方程式の弱形式 要素内の変位式 要素内のひずみ式 有限要素法による解析 要素剛性方程式の導出 離散化方程式の組み立て ( 要素剛性方程式のアセンブリ ) 変位境界条件の付加と球解 後処理 ポストプロセス 諸注意 自然現象数理モデル化離散化各種解析法による解析代数方程式 ( 連立一次方程式 ) 解析結果の評価 5
弾性問題の有限要素解析 支配方程式の弱形式と離散化 要素内の支配方程式の弱形式 T ( ) D ( ) Ω * T h da + Ω h da * T t h ds 定ひずみ三角形要素による要素分割 Γ D {, } T D sm. { t, } T t {, }T D D t D D D T Ω 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 6
弾性問題の有限要素解析 定ひずみ三角形要素 要素内の変位式 d 要素内のひずみ式 α, aα + α+ α α,, ε B d d { } T 仮想変位式 ( ) ( ) * * d 仮想ひずみ式 * ε * Bd ε B { ε, ε, γ } T A 7
弾性問題の有限要素解析 要素剛性方程式 要素内の変位式, ひずみ式を弱形式へ代入 Ω T * ( ) D ( ) hda T hda+ Ω Γ * T th ds d * * d ε B d * ε * Bd d * T Ω B T DB 要素剛性行列 hda d d * T Ω T hda + d * T Γ T thds d の任意性より * 要素節点荷重ベクトル F d F ( 要素剛性方程式 ) 8
要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列 Ω h da DB B T Ω da h D sm D D D D D A. 9
要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素節点荷重ベクトル要素節点荷重ベクトル要素節点荷重ベクトル要素節点荷重ベクトル Γ Ω + + ds h da h t F F F T T σ Γ Ω + ds h t t da h
要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式 要素剛性方程式弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 定ひずみ三角形要素の要素剛性行列の式展開定ひずみ三角形要素の要素剛性行列の式展開定ひずみ三角形要素の要素剛性行列の式展開定ひずみ三角形要素の要素剛性行列の式展開 積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列 B マトリクスが定数 B マトリクスが定数 B マトリクスが定数 B マトリクスが定数 A B Ω. D sm D D D D D A h Ah da h DB B DB B T T 積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列積分後の要素剛性行列
弾性問題の有限要素解析 要素剛性方程式 定ひずみ三角形要素の要素剛性行列 特徴以下の条件を満たせば, 行列の乗算だけで要素剛性行列を計算可能. 要素内で材料が均質. 要素内で厚さが一定 四角形要素等の要素剛性行列 B マトリクスが定数でない 要素剛性行列の積分に数値積分法を適用一般的なものとしてはガウス積分等
弾性問題の有限要素解析 要素剛性方程式 定ひずみ三角形要素の要素節点荷重ベクトルの式展開 形状関数以外の被積分関数が定数である場合 例えば,. 要素内で物体力が一定 L []. 辺上で一定の表面力 積分後の要素節点荷重ベクトル F σ F Ah [] L h t が負荷 {,,,,, } T { t, t,,, t, t } T 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 要素辺上に生じる内力項は, アセンブリした際に要素間には現れない
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 目的 単純な解析対象を例にとり, 要素剛性方程式を求め, 全体剛性行列, 荷重ベクトルの組み立てる過程を理解 解析条件 E ν ヤング率 : ポアソン比 : / h 厚さ : (,) (,) 平面応力を想定物体力は作用せず (,) (,) モデル化と要素分割 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- 要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式 ( ), i i d i d ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ),,, + + α α α α α a 5
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 要素 : 節点 -- 要素内節点 -- 各節点の座標と面積 a α (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) (, ) (, ) (,) A,, α / α ( α,,) (,) (,) (,) (,) 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 a a a 6
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式 d 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- T ( ) ( ),,, + + α α α α α a { } T,,,,, d + + 要素内のひずみ式要素内のひずみ式要素内のひずみ式要素内のひずみ式 d B d ε A B 7
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 要素 : 節点 -- 要素内節点 -- 平面応力における弾性係数行列均一な要素を仮定しているため, 要素, ともに同じ D D D E ν 75 sm. sm. ν ν ( / ) sm. / / 8
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- B D B T h A 75 75 T B D B 9
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- 要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式 ( ), i i d i d ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ) ( ) A A A a ( ) ( ),,, + + α α α α α a
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 要素 : 節点 -- 要素内節点 -- 各節点の座標と面積 a α (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) A,, α / α ( α,,) (,) (,) (,) (,) 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 a a a
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式要素内の変位式 ( ) ( ),,, + + α α α α α a 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- d T 要素内のひずみ式要素内のひずみ式要素内のひずみ式要素内のひずみ式 d B d ε { } T,,,,, d A B
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 要素 : 節点 -- 要素内節点 -- 平面応力における弾性係数行列均一な要素を仮定しているため, 要素, ともに同じ D D D E ν 75 sm. sm. ν ν ( / ) sm. / /
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列要素剛性行列 B D B T h A 要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点要素 : 節点 -- 要素内節点要素内節点要素内節点要素内節点 -- 75 75 T B D B
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 要素 : 節点 -- 要素内節点 -- 要素節点荷重ベクトル { t, t } T {, } T [] L, h, t σ F L [] h { t, t,,, t, t } T { /,,,, /, } T (,) (,) (,) (,) 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 5
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 離散化方程式の組み立て (,) (,) 要素 と要素 の剛性行列 要素 の要素節点荷重ベクトルアセンブリング 全体の剛性行列と節点荷重ベクトル 準備 構造全体の節点数 : 節点 各節点の自由度数 : 自由度 (,) (,) 剛性行列の大きさ :88 節点荷重ベクトルの大きさ :8 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 6
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て 節点変位ベクトル節点変位ベクトル節点変位ベクトル節点変位ベクトル { } T,,,,,,, d 全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式 全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式 df 8 7 6 5 88 87 86 85 8 8 8 8 78 77 76 75 7 7 7 7 68 67 66 65 6 6 6 6 58 57 56 55 5 5 5 5 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 6 5 F F F F F F F F 7
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 離散化方程式の組み立て 要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入 d F 75 F F F F F F F F F F F F 全体剛性行列の場合 8
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て 要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () 75 9
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 離散化方程式の組み立て 要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入 d F 75 F F F F F F F F F F F F 全体剛性行列の場合
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て 要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入要素 の剛性行列を全体の剛性行列へ代入 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () 75
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 離散化方程式の組み立て 全体の剛性行列を計算 + 75 () () () () () () () () 連結していない節点に対応する剛性行列の成分は零有限要素法における剛性行列の多くの成分は零 疎 ( スパース ) 行列
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 離散化方程式の組み立て 全体の節点荷重ベクトルの計算 要素 の要素節点荷重ベクトル σ F T / / F F F F F F F F F F F F F / / 節点の反力に対応
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て離散化方程式の組み立て 全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式全体の剛性方程式 df / / () () () () () () () () 75
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 変位境界条件の付加と球解 変位の境界条件 ( 拘束条件 ) 節点 :, 節点 : 節点 : (,) (,) 剛性方程式へ代入 (,) (,) 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 5
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 変位境界条件を考慮した剛性方程式変位境界条件を考慮した剛性方程式変位境界条件を考慮した剛性方程式変位境界条件を考慮した剛性方程式 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件を代入変位境界条件を代入変位境界条件を代入変位境界条件を代入 / / () () () () () () () () 75 6
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 成分の並び替え成分の並び替え成分の並び替え成分の並び替え / 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解 / 75 7
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 剛性方程式剛性方程式剛性方程式剛性方程式 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解 / d F / 75 T d F 8
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 剛性方程式剛性方程式剛性方程式剛性方程式 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解 F F d d d 未知節点変位ベクトル未知節点変位ベクトル未知節点変位ベクトル未知節点変位ベクトル F d 未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル既知節点変位ベクトル既知節点変位ベクトル既知節点変位ベクトル既知節点変位ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル d / / F F 9
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 未知節点変位ベクトルのみの方程式未知節点変位ベクトルのみの方程式未知節点変位ベクトルのみの方程式未知節点変位ベクトルのみの方程式 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解 F F d d d F d d d F d F d F d 未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル未知節点反力ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル既知節点荷重ベクトル / / 75
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 未知節点変位ベクトルの球解未知節点変位ベクトルの球解未知節点変位ベクトルの球解未知節点変位ベクトルの球解 変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解変位境界条件の付加と球解 / 75 F d / F d ( ) F d ν ν / / E d
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス 未知節点反力ベクトルの球解未知節点反力ベクトルの球解未知節点反力ベクトルの球解未知節点反力ベクトルの球解 d F 75 / / F / / 節点変位ベクトルの解節点変位ベクトルの解節点変位ベクトルの解節点変位ベクトルの解
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス / 要素 要素 要素 要素 要素内のひずみ要素内のひずみ要素内のひずみ要素内のひずみ / / / d B ε
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス 要素内のひずみ要素内のひずみ要素内のひずみ要素内のひずみ / / 要素 要素 要素 要素 / / d B ε 要素 と要素 のひずみは同一要素 と要素 のひずみは同一要素 と要素 のひずみは同一要素 と要素 のひずみは同一
平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題 平板の引張問題弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析弾性問題の有限要素解析 後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス後処理 - ポストプロセス 要素内の応力要素内の応力要素内の応力要素内の応力 / 75 σ ε D σ 解析結果のまとめ解析結果のまとめ解析結果のまとめ解析結果のまとめ / / / / / γ ε ε τ σ σ 5
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 剛性行列の特異性と変位境界条件 要素剛性行列全体の剛性行列 特異行列 ( 正則でない, 逆をもたない ) 例えば, 75 ランク ( 階数 ) rank ( ) 核の次元 dimn [ ( A) ] nrank( A) 6 6
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 剛性行列の特異性と変位境界条件 要素剛性行列 全体の剛性行列 変位境界条件を与えない場合 特異行列となる ( 正則でない, 逆をもたない ) 物理的には 剛体モードの運動現象 d F d において, ( ) F が解けない 7
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 剛性行列の特異性と変位境界条件例えば 移動 変位境界条件がある場合 変位境界条件がない場合 8
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 剛性行列の特異性と変位境界条件今回のケースでは, 75 ( ) rank 核の次元 [ N( )] nrank( ) dim 6 並進, 回転の 自由度の剛体運動 9
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 有限要素解の近似特性適用する要素によって近似精度が変わる例えば, 定ひずみ三角形要素の場合 要素内の変位式 α+ α+ α β+ β+ β C 連続 要素内の変位が線形に変化すると仮定ひずみは要素内で一定値 ( 定数 ) 複雑な変形の場合, 解の精度が低下 要素間で変位は連続要素間でひずみは不連続要素分割を多くする高次要素の適用 5
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 有限要素解の近似特性適用する要素によって近似精度が変わる例えば, 定ひずみ三角形要素の場合純曲げを受けるはり状構造物 中立軸上の垂直応力は零 有限要素法では, 平均的に零 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 5
弾性問題の有限要素解析 平板の引張問題 諸注意 有限要素解の厳密解への収束要素数を増やせば増やすほど, 精度が向上し, 厳密解へ収束する 要素数が多いと, 計算コストが高くなるため, 現実には問題に適した要素数を選択する 計算力学 ( 計算工学会編, 竹内他, 森北出版 ) より一部抜粋 5
弾性問題の有限要素解析 まとめ 前回の講義で導出した式 要素内の支配方程式の弱形式 要素内の変位式 要素内のひずみ式 有限要素法による解析 要素剛性方程式の導出 離散化方程式の組み立て ( 要素剛性方程式のアセンブリ ) 変位境界条件の付加と球解 後処理 ポストプロセス 諸注意 5