SS27_ 定期試験 問 1 aは3ケタの整数である aは 23 で割り切れるが 40 では割り切れない a 2 は 40 で割り切れる このとき,aを 9 で割ったときの余りはいくつになるか 市役所 25 年度 30_ 解説 aは ( n)

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1 問 1 aは3ケタの整数である aは 23 で割り切れるが 40 では割り切れない a 2 は 40 で割り切れる このとき,aを 9 で割ったときの余りはいくつになるか 市役所 25 年度 30_ 解説 aは ( n) 2 と表せるから,460 nのnは 1 又は 2 が 3 ケタの数字であるが,2 は 40 で割切れる条件を満たさないから,n=1でaは 460 となり, これを 9 で割ると 51 余り 1 となる 問 2 6 で割ると 4 余り,7 で割ると 5 余り,8 で割ると 6 余る自然数のうち, 最も小さい数の各位の数字の和はどれか 地 21 年度 50_ 解説 2 不足しており,6,7,8 の最小公倍数である 168 から 2 を引いて 166 これの和を取ると,13 問 の分数の値はいくらか 国 家総合 26 年度 104_7 改 解説 55% 分母が初めの 1 と 2 及び, 最後の 17 と 18 が残る { } = { } = 問 の一の位の数として正しいものは, 次のうちどれか 市役所 14 年度 16_ 解説 76% 7 も 3 も 4 乗すると 1 になるから, 指数は 35=4 8+3,15= = =3+7=0 ポイント (7 4 ) 3 =7 4 3 =7 12 問 5 ある催し物の出席者用に6 人掛けの長椅子と4 人掛けの長椅子と合わせて 19 脚用意した 6 人掛けの長椅子だけを使って6 人ずつ着席させると,21 人以上の出席者が着席できなかった 4 人掛けの長椅子に4 人ずつ着席させ,6 人掛けの長椅子に 4 人ずつ着席させると,7 人以上の出席者が着席できなかった また,4 人掛けの長椅 1

2 子に4 人ずつ着席させ,6 人掛けの長椅子に6 人ずつ着席させると, 席が5 人分余った このとき, この催し物への出席者の人数として妥当なのは, 次のうちどれか 地上 8 年度 新 5_ 1 95 人 2 96 人 3 97 人 4 98 人 5 99 人 解説 65% 6 人掛けの椅子数を a とすると,4 人掛けは 19-a となり, 出席者数を X とすると, 6a+21<X 1 4(19-a)+4(a)+7<X 2 4(19-a)+6(a)-5=X 3 この3 式から,3 式から X=2a+71 1 式に代入し a<12.5 から,a は 12 以下の正整数 X=2a+71 に a=12 を代入すると,X=95 で最大数が 95 であるから, 他の検討は不要 問 6 ある作業を A,B,C の 3 名で行う 1 日に行う仕事量の割合が A:B:C = 4:3:1 であり,3 名が休まず仕事をすると 40 日で終了することが分かっている 今, 作業の終了までに A が 8 日,B が 6 日,C が 14 日休むとき, この作業を 8 月 1 日 ( 土曜日 ) に始めると作業が完了するのは何曜日か 特別区 23 年度 255_3 改 1 火曜日 2 水曜日 3 木曜日 4 金曜日 5 土曜日 解説 57% パワー (p) で計算すると 1 日当たり 8p だから, 全体で 8 40=320 である 休んだ分の p は, 各人の p と休みから, = =64 となる これは,1 日当たり 8p だから,8 日延長し,48 日を要する 8 月 1 日も働くから 48 日の最後の日は,1 日から 47 日後となり,8 月が 31 日だから, 9 月 17 日に完了する 47 7=6 余り 5 だから土曜日の 5 日後で, 木曜日となる ポイント 曜日の求め方:1 週間は 7 日であるから〇日後は〇を 7 で割ると, 余りが同じ曜日から何日後かが分かる 1 日が ( 土 ) で 7 日後は,7 7=0 だから同じ ( 土 ) となる 10 日後であれば 10 7=1 余り 3 だから,( 火 ) となる 問 7 図のような道路があり,4つの交差点とも, 通過する自動車のうち, 直進, 左折, 右折するものの割合はそれぞれ一定であり, 直進するものの割合が最も高い また, この割合はどの交差点も同じである 今, 矢印の方向から交差 点 A に入ってきた自動車のうち, 交差点 B に至ったものの割合が 21% であったとすると, 次の記述のうち確実であるのはどれか ただし, 自動車が A から B まで進むときは最短経路で進むものとし, また途中でUターンはしないものとする 国 Ⅱ 元年度 新 _141 B A 2

3 1 交差点を直進する自動車の割合は 70% である 2 交差点を直進する自動車の割合は 50% である 3 交差点を右折する自動車の割合は 30% である 4 交差点を右折する自動車の割合は 7% である 5 交差点を左折する自動車の割合は 20% である 解説 73% A に来た車を X 台とし, 直進割合を a, 右折 b, 左折 c として式を立てる B に至る車は A を直進し次の交差点を右折した場合と,A を右折し次の交差点を左折した場合の合計である A に来た車を X 台とすると, (X a b)+(x b c)=x 0.21 ab+bc =0.21 b(a+c)=0.21 a+b+c=1 から,a+c=1-b b(1-b)= =21 を参考に,b=0.3 又は 0.7 を得, 直進が最も多いから右折の b は,0.3 で 30% となる ポイント 問題は割合を% で表しているが, 計算では小数点を使用することが必要 問 8 ある地域の複数のサッカーチームの中から優勝チームを選ぶ大会の開催を企画している 全チーム総当たりのリーグ戦方式を採用する場合の試合数は, トーナメント戦 ( 敗者復活戦はない ) 方式を採用する場合のそれのちょうど 150 倍になることがわかっている 次のうち, サッカーチームの数として妥当なのはどれか 国税 11 年度 新 _ チーム チーム チーム チーム チーム N( 1) 解説 53% 150(N-1)= N 2 ポイント トーナメント戦とは,1 試合で 1 チームが負け一度も負けないチームが優勝だから参加チーム数を N とすると, 試合数は (N-1) である 一方リーグ戦は, 自分以外の全ての参加チームと対戦することであるから (N-1) 試合がある 他のチームも同じようにあるから全部で N (N-1) 試合となるが,1 試合で 2 チームが試合するから, 試合数は半分となる 例 4 チーム (abcd) で考えると, トーナメントは,a と b,c と d が試合し, その勝者同士が決勝戦をし, 優勝が決まるから, チーム数より 1 少ない 3 試合となる リーグ戦では,a は a-b,a-c,a-d の試合があり,b は b-c,b-d の試合があり,c は c-d の試合で, 勝数により優勝が決まるから, 全部で 6 試合である 問 9 次の図のように, 面積 60cm 2 の直角三角形 ABC に半径 3cm の円 O が内接 している このとき, 辺 BC の長さはいくらか 地方上級 12 年度 298_10 3

4 1 13 cm 2 14 cm 3 15 cm 4 16 cm 5 17 cm 解説 59% 3X+9=60 X=17 ポイント BC の長さを X とし, 中心 O から BC に下した垂線の交点を P とし,BP を a とすると,PC は X-a となる 3 a と 3 (X-a) の和に AO を含む正方形の面積を加えたものが全体の 60 cm 2 となる ここで, 直角三角形 ABC は, 二等辺直角三角形ではないことに留意が必要 問 本のくじの中に 3 本の当たりくじがある この 20 本の中から同時に 2 本のくじを引くとき, 当たりくじが 1 本以上ある確率はいくらか 解説 78% テキストのとおり全体の組合せから始める 国税専門 21 年度 420_5 問 11 5 進法で表された数 3024 と3 進法で表された数 2110 との差を7 進法で表した数はどれか 地上 19 年度 60_ 解説 57% 10 進数に変換,30245は, = は,66, この差は,323 であり,7 進数に変換すると,641 となる 問 12 次の表は,1~16までのそれぞれ異なる整数をマス目に入れて, 縦, 横, 対角線の和が, いずれも等しくなるようにしたものである A,Bの和として, 正しいのはどれか 地上 14 年度 88_ 解説 80% すべて 34 となるから未知数を使用して式を立てる 又は, 記憶の中から呼び出す B A 問 13 平面上にそれぞれ平行でない 8 本の直線があり,3 本以上のどの直線も1 点で交わらないとき, これらの直線によって平面はいくつに分けられるか 地上 14 年度 104_ 個 2 29 個 3 31 個 4 35 個 5 37 個 4

5 解説 12% 1 本の場合は 2,2 本の場合は 4,3 本の場合は 7 となり, それぞれ増加は本数の分であるから,4 本は 7+4=11, 以降は,16,22,29,37 となる ポイント 規則性を見つけるには簡単な場合から検討する 平面とあると無限を考えるが, 円を書いて直線を引くと円が分割され, イメージし易くなる 問 14 静水面での速さが一定の模型の船を, 円形の流れるプールで水の流れと反対の方向に一周させると, 水の流れる方向に一周させた場合の2 倍の時間を要した 今, 模型の船の速さを半分にして水の流れる方向にプールを一周させるのに5 分を要したとき, この速さで水の流れと反対の方向に一周させるのに要する時間はどれか ただし, プールを流れる水の速さは, 一定とする 地上 19 年度 205_ 分 2 15 分 3 20 分 4 25 分 5 30 分 解説 29% 水の速さを V, 船の速さを 2K, そして一周の長さを L, 時間 T とする 速さ 時間 = 距離 ( ハジキ ) の公式から, 同じ方向は速さが和となり逆方向は差となる (2K+V) T=L 1 (2K-V) 2T=L 2 (K+V) 5=L 3 求める時間を X とすると,(K-V) X=L となり,X=L/(K-V) 4 12から T を消去,K=1.5V 5 これと3から 4に代入 X=12.5V/0.5V=25 ポイント 船の速さを半分にするのだから, 計算を考え船の速度を 2K とする 問 15 耕作放棄地の有効利用のため, 家畜の放牧をすることとした 今, 面積 30 アールの耕作放棄地に 2 頭の牛を放牧すると,30 日で生えている草がすべてなくなった また, 面積 60 アールの耕作放棄地に 2 頭の牛を放牧すると,180 日で草がすべてなくなった この場合,4 頭の牛を面積 100 アールの耕作放棄地に放牧した場合, 何日で草はなくなるか ただし,1 頭の牛が 1 日に食べる草の量や 1 日に伸びる草の量は, それぞれ常に一定量であるとし, 放牧する前の耕作放棄地には十分に草が生えており, その単位面積当たりの草の量は, 広さに関係なく同じであるものとする 国家総合 24 年度 260_ 日 日 日 日 日 解説 47% 牛が食べる草 = 生える草 + 最初の草が成り立つので未知数を入れて式作成 A: 牛が食べる量 1 頭で 1 日 B: 生える草で 10 アール当たり 1 日 C: 最初の草の量で 10 アール当たり X: 求める日数 1 2 頭 A 30 日 =3 B 30 日 +3 C 60A=90B+3C 5

6 2 2 A 180=6B 180+6C 360A=6 180B+6C 180A=540B+3C 3 4 A X=10B X+10C 4AX=10BX+10C 2-1:120A=450B 4A=15B 3から :X(4A-10B)=10C X=10C/5B 2へ A=15B/4 1へ 225B=90B+3C 135B=3C C=135B/3 X=10 (135B/3)/5B X=90 問 16 次の図のような, 辺 AB=13cm, 辺 BC=16cm とする長方形 ABCD と, 辺 AB, 辺 BC, 辺 CD, 辺 AD 上の点 E, 点 F, 点 G, 点 H で囲まれた四角形 EFGH がある 今, 点 E, 点 F, 点 G, 点 H から辺 CD, 辺 AD, 辺 AB, 辺 BC に垂線を引き, それぞれの交点を Q,R,O,P とすると,EO=6cm,FP=7cm となった このとき, 四角形 EFGH の面積はどれか 特別区 26 年度 297_ cm cm cm cm cm 2 解説 長方形の中の長方形を除くと, その半分が内側の長方形面積を除いた面積だから, これに, 内側面積を加える ((13 16)-(6 7))/2)+(6 7)=(208-42)/2+42=125 選択肢なし< 申し訳ない> 問 17 A~C の 3 人が,X 町から Y 町へ同じ道を通って行くことになった まず A が徒歩で出発し, 次に 30 分遅れて B がランニングで出発し, 最後に C が B より 1 時間遅れて自転車で出発した その結果,C が, 出発後 30 分で A を追い越し, さらに その 30 分後に B を追い越したとき,A と C との距離が 6km であったとすると,B の 速さはどれか ただし,3 人の進む速さは, それぞれ一定とする 地上 19 年度 _7 1 時速 7km 2 時速 8km 3 時速 9km 4 時速 10km 5 時速 11km 解説 39% 速さ 時間 = 距離 <ハジキ> それぞれの速さを a,b,c とする 0.5c=2a c=4a 1c=2b b=2a 1c=2.5a+6 a=4 これから,b,c を求め,b=8,c=16 問 から 999 までの 3 桁の整数の中から,1 つの整数を無作為に選んだとき, 選んだ整数の各位の数字の中に同じ数字が 2 つ以上含まれる確率として, 正しいのはどれか 東京都 23 年度 新 _ 1 5/25 2 7/25 3 9/ / /25 解説 43% 全部の場合は,999-99=900 6

7 余事象で考える 各位の数字が異なる場合は, 百の位は 1 から 9 までの 9 個あり, 十の位は 1 から 9 の内, 百の位で使用した数字を除き,0 を加えると 9 個である 一の位は百と十の位で使用した 1 と 0 を除き 8 個となる これらの組合せである 9 9 8=648 これが同じ数字が 2 つ以上含まれない場合である 648/900=18/25 これは余事象であるから 7/25 となる 問 19 容積 24m 3 の立方体の容器がある この容器一杯に水を入れて蓋をした後, 図のように面の中央 ( 面の対角線の交点部分 ) に小さな穴を開ける 容器内に残る水の 最大量は,A,B2 か所に穴を開けた場合 21m 3 であり,A,B,C の 3 か所に穴を開け た場合何 m 3 か ただし, 容器は傾けてもよい 市役所 19 年度 352_ 解説 33% 角錐の体積は立方体の 1/6 であるから,4m 3 が排出され, 残りは 20m 3 となる 問 20 図のように, 長方形を 6 本の縦の平行線,4 本の横の平行線で区切ったとき, その中にできるすべての四辺形の数はどれか 地上 18 年度 386_ 解説 横の平行線の 6 本から 2 本選ぶ組合せは, 6C2=15 縦の線は,8 本から 2 本選ぶから,8C2= =420 ポイント 小さな長方形,2 3 で考えると分かり易いでしょう 7