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ゆずさのえ
5 years ago
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1 Hoizon-penetating Tansonic Accetion Disks aound Rotating Black Holes with Causal Viscosity 高橋労太 ( 東大総合文化 ) ホライズンの内側まで解かれた ADAF の遷音速流のサンプル解 (4 元速度の成分 )

2 要旨ブラックホール周りの定常降着流の遷音速解を外側の領域からホライズンの中まで計算できるようになった以前の計算との大きな違いは座標特異性がホライズンに位置にないのでブラックホールに流入する降着流の全ての物理量をホライズンの超近傍と真上で正確に評価できるようになったことである shea stess の部分は kinematic viscosity を用いて causality を破らない shea stess として定式化したまたよく使われている alpha 粘性の他に輻射による粘性 convection による粘性なども用いることが出来るような一般的な形で基礎方程式を定式化した状態方程式も任意のものを用いることが出来る今回遷音速解を音速点から内外に数値積分する形で計算する方法を用いているので外側内側の境界条件に拠らずに方程式系が満たす全ての可能な解を計算することができる今回は以上の性質をもつ基礎方程式の定式化と解の計算方法を示した後に相対論的の状態方程式移流優勢降着流 (ADAF) に対するサンプル解を提示する

3 Ke-Schild 座標 Boye-Lindquist 座標計量 ( Ke-Schild 座標 ): ホライズンに座標特異性をもたない i i j j ds = α dt + γij dx + β dt dx + β dt 1/2 2m α = 1 + Σ 2m γ = 1 + γ = Σ Σ ( )( ) 2 m / β = Σ m / Σ θθ Asin γ φφ = Σ 2 θ Ke-Schild 座標と Boye-Lindquist 座標の変換則 dt = dt 2m d Δ d = d BL KS KS BL dθ BL KS = dθ KS a dφ = dφ d Δ BL KS KS t θ φ BL BL BL = t = θ = φ KS KS KS 2 2 Δ= 2 m+ a Σ= a cos θ 2 2m γ φ = γφ = a sin θ 1 +. Σ 2m a = + + Δ t Δ φ BL KS KS KS エネルギー E( = u t ) 角運動量 ( = u φ ) は同じ表現 φ 角速度 ( / t Ω= u u ) 成分の4 元速度 ( u u ) は異なる表現 A= ( + a ) a Δsin θ

4 Locally Non-otating Refeence Fame (LNRF) Boye-Lindquist 座標の場合と大きく異なる部分がある! Stationay Conguence (by Futue-diected Obseve othogonal to t = const.) u = α u = ( k = θ φ) t * このconguenceではspin tenso=となるのでこのconguenceが構成するフレームはLocally Non-otating Refeence Fame (LNRF) と呼ばれる * また specific angula momentum= ともなるのでこのconguenceを持つ観測者はZeo Angula Momentum Obseve (ZAMO) と呼ばれる * このconguenceを持つ観測者の物理的な意味は Boye-Lindquist 座標を用いた場合とKe-Schild 座標を用いた場合とで大きく異なる即ち Boye-Lindquist 座標の場合 Ke-Schild 座標の場合 BH k ブラックホール回転による角速度 2ma ω = A で回転する観測者 BH ブラックホールに速度 β θ φ u = u = u = α で落下する観測者

5 Fames & Fame Tansfomations 以下の 3 種類のフレームを用いる Ke-Schild 系 i i j j ds = α dt + γij dx + β dt dx + β dt ( )( ) ほとんどの計算はこのフレームで行う Othonomal 系 (LNRF ZAMO 系 ) 2 tˆ 2 ˆ 2 = [ ] + [ ] ds e dx e dx ˆ ϑ 2 ˆ φ 2 + [ e dx ] + [ e dx ] () t ( x) ( y) ( z) 流体静止系 ( u u u u ) = (1 ) ds = d() t + d( x) + d( y) + d( z) BH テトラド変換一般相対論的効果 e.g. 重力赤方偏移 Fame Dagging Negative Enegy ローレンツ変換特殊相対論的効果 e.g. ビーミング効果通常の輻射プロセス (e.g. シンクロトロン ) 素粒子の相互作用距離 << 時空の曲率半径

6 保存則と基礎方程式エネルギー運動量テンソル ( 流体 + 粘性 + 輻射 ) T ν = ρηu u ν + pg ν + t ν + q u ν + q ν u 保存則と基礎方程式静止質量保存エネルギー運動量保存 * 運動量保存 ( 成分 ) a 今回は赤道面上の flow のみを考える ( ) = u ρ T ν ν = h T ν ν = ϑ ν * 運動量保存 (θ 成分 ) h T = * 運動量保存 (φ 成分 ) h dp h φ ν T = t エネルギーフラックス (t 成分 ) h T ν = ν ρ u ( η j) = tφ + ( q + qφu ) 角運動量保存則 * エネルギー保存 u T ν ν = + ds qvis = ρt + qad d 粘性加熱 = 移流冷却 + 放射冷却 ν M = H u π θ ρ ( ) 熱が質量項となる相対論的効果 = nhi ρη d + 方向の加速度 = 流体の圧力勾配 + 熱慣性 2 2 as ν H = ϑ 2 / 2 * E ( 今回は用いない ) 円盤の厚さ E / M = 1 ( 輻射がなく非相対論的な場合 )

7 Heat Inetia Effects 粘性がある場合に熱が質量項となる相対論的効果質量降着率が大きく粘性加熱が BH 近傍で効く場合に重要となる * 運動量保存 ( 成分 ) h T ν = ここで a h dp ν 熱が質量項となる相対論的効果 = nhi ρη d + 方向の加速度 = 流体の圧力勾配 + 熱慣性 n HI は次のように定義され書き下される 1 ν ν ν nhi h( νt + q u + q u ) ρη Θ u γ ν ν γ = qvis tγ uu νq u νt u γq q q u ρη Θ Θ+ 3 q + vis の項 : 最も重要な項粘性加熱の効果が慣性項として運動方程式の中で作用する効果を表す項 1 Θ 3 tγ γ の項 : 流体の体積の変化 (expansion 又はcompession) による冷却または過熱が慣性項として作用するという効果 q を含む項 : 輻射による冷却または過熱が慣性項として作用するという効果

8 Vetical Stuctue (Geneal Fom) 定常降着流の θ 方向の effective な厚さは θ 方向の運動量バランスを仮定することにより導出される ϑ ν * 運動量保存 (θ 成分 ) h T = ν H θ 円盤の厚さ H θ の一般形は次のように与えられる * = a ( E 1) ( θ η ) ( ν ν ) H = a / u u + u u u ln q u + q u θ s * ϑ θ ν θ θ 1 ρη この形はブラックホールのホライズンでsingulaでないを与える 2 ここでと定義されるここで a = p/ ρ η s H θ *θ 方向の速度成分とその勾配を無視し輻射の効果も無視すると次のような簡単な式に帰着する 2 H = ϑ a 2 s 2 / 2 * ブラックホールが回転しかつエネルギーが相対論的になっている場合にはこのエネルギーの効果により円盤の厚さは厚くなる同じエネルギーの場合ブラックホールの回転が速いほど厚くなる

9 Tubulent Shea Stess & Causal Viscosity 1. Shea stess tenso は流体静止系で評価する ( テトラドによる変換 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 φ φ t φ = e eφ + e eφ t( )( φ) この式にはテトラドの微分 t S t φ ここで流体静止系での shea stess はでありと定義する ( )( φ ) ( )( ) 2. 流体静止系で shea stess を拡散過程として計算する τ v S ds u d = S S τ : 拡散の時間スケール v t φ kinematic viscosity より与えられる有限の拡散速度が導入される c v = FS = ( ν / τ ) :shea stess の平衡値ここでは Navie-Stokes 的に与えるこの際にも kinematic viscosity の効果が導入される v 1/2 ν : 拡散速度 3. 角運動量保存則からdS/d を計算することによりshea stess S は次のように計算される 2 S + v( u ) ( ln ) u vqs F S ρητ + η + τ = 1 u τ v( 2/ + lnf + lnh θ ) H θ の微分輻射の効果が含まれる

10 Sonic Point とViscous Point での境界条件 1.. Sonic Point での境界条件流体はブラックホールに超音速で流入するのでどこかで亜音速から超音速に移る遷音速点を通る du d = N D s s Sonic Point ( 音速点 ): 流体の速度 = 音速となる点 N = D = 音速点で s s という境界条件を課すことによって音速点をスムーズに通過することが出来る 2.. Viscous Point での境界条件 Viscous Point : 流体の速度 = 拡散速度となる点今回の定式化では有限の拡散速度を導入することにより shea stess を計算したので角運動量の変化を記述する式は流体の速度 = 拡散速度となる点で singula になる d d = N D v v Viscous Pointで N v = Dv = という境界条件を課すことによって音速点をスムーズに通過することが出来る一般に Viscous Point の位置は音速点の外側に存在する

11 計算方法以上の基礎方程式を以下の手順に従って解き遷音速解を得るこの手順により方程式系が満たす全ての可能な解を網羅的に得ることができる手順 1 音速点での物理量を指定まず音速点の位置と角運動量の定数 jを選ぶこの値の元で音速 as ( または温度 T S S) を一時的に適当な値を選ぶこれらの値を用いて音速点でのと ( または ) の微分量を計算する u as 手順 2 Sonic Point とViscous Point の間の解を計算音速点での音速 ( 又は温度 ) の値をいろいろ変えて Sonic Point と Viscous Point での境界条件を満たす解を得るこの際境界条件を満たす解が得られるまで手順 1 を繰り返す手順 3 Viscous Point より外側の領域の解を計算手順 2で境界条件を満たす解が得られているので同じ物理量を用いてViscous Point より外側の領域の解を計算する手順 4 Sonic Point より内側の解をホライズンの中まで計算手順 3と同じようにSonic Point より内側の解を計算する今回はホライズンでの特異性がないのでホライズンの内側まで計算可能 T

12 サンプル解 (ADAF( ADAF + 相対論的状態方程式の場合 ) 相対論的状態方程式を用いたADAF 解の4 元速度の成分ホライズンの部分で何も起こらずにスムーズに解が解かれている u

13 サンプル解 (ADAF( ADAF + 相対論的状態方程式の場合 ) 相対論的状態方程式を用いた ADAF のサンプル解の角速度今回選んだパラメータでは BH スピンの違いはあまりない Boye-Lindquist 座標の場合にはホライズンで BH の角速度と一致する BH スピンの違いがあまり出ないのは Ke-Schild 座標を用いたためである

14 まとめと今後の作業まとめ 1. 定常降着流の遷音速解を外側の領域からホライズンの中まで計算できるようになった以前の計算との大きな違いは座標特異性がホライズンに位置にないので降着流の全ての物理量をホライズンの超近傍と真上で正確に評価できる 2. shea stess の部分は kinematic viscosity を用いて causality を破らない shea stess として定式化した 3. 相対論的の状態方程式を用いた場合の移流優勢降着流 (ADAF) に対するサンプル解を提示した今後の作業 ( 例 ) 1. 現在までに求められている様々な降着流モデルに適用する 2. これらの計算結果を用いてブラックホールスピンの変化率と質量降着率の関係を調べていく 3. Shea stess の部分を現実的なものに置き換える

15 補足 :Ke: Ke-Schild 座標での自由落下運動ホライズンはスムーズに通過するポテンシャル障壁にぶつかる部分まで解は存在する

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Microsoft PowerPoint - RohtaTakahashi 理論懇シンポジウム @ 京大基研 Neutrino Shadow and Explosion Mechanism of GRB 高橋労太 ( 東大総合文化 ) 長滝重博 ( 京大基研 ) 研究研究研究研究の研究研究研究研究のモチベーションモチベーションモチベーションモチベーションモチベーションモチベーションモチベーションモチベーションガンマ線バーストのセントラルエンジンガンマ線バーストのセントラル