(Exact Solutions and Tachyon Condensation in String Field Theory) 15 (Syoji Zeze)

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1 Exact Solutions and Tachyon Condensation in String Field Theory) 15 Syoji Zeze)

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3 Abstract In recent years, the physics of unstable D-branes is extensibly investigated as nonperturbative phenomena in string theory. Since string theory SFT) is defined perturbatively, we need an non-perturbative formulation of string theory. String field theory is one of such formulations of string theory. In this thesis, we explore the physics of unstable D-branes using exact solutions in Chern-Simons SFT CSFT), called universal solutions. These solutions well describes the nature of unstable D-branes in a geometrical way. First, we expand CSFT around universal solutions, and gauge fix it using BRST procedure. On the singularity of the moduli space of solutions, we find that physical states have ghost number 0 or 1, therefore they cannot contribute physical scattering amplitudes. This result implies that open strings disappear with unstable D-branes. Next, we derive closed string scattering amplitude emitted from D-branes, using gauge invariant closed string operators in CSFT. We can calculate this amplitude with no approximations, since we find the conformal map from flat open string world sheet ρ plane) to upper half complex plane z plane). These results show that CSFT and universal solutions correctly describe the dynamics of unstable D-branes.

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5 Chern-Simons CSFT) CSFT CSFT no open string theorem Quadratic differentials Quadratic Differentials QD A 67 A.1 vw) fw)

6 6 A.2 fw) vw) B CFT k 71 B.1 CFT B.2 k B.3 k C 75 C C C C.4 reality

7 7

8

9 9 1 Superstring theory) Theory of Everything, TOE) 4 3 SU3) SU2) U1) D-brane D-brane 1990 D-brane Dpbrane p D-brane

10 10 1 D-brane BPS D-brane BPS D-brane BPS D-brane D-brane Non-BPS D-brane IIA IIB) D- 2p + 1) brane D-2p brane) brane brane D-brane D-brane brane 1998 Ashoke Sen BPS D-brane Sen 1 D-brane 2 D-brane 3 D-brane D-brane D-brane 1.2 D-brane 1 2 D-brane D-brane Sen D-brane Witten Chern-Simons CSFT) *1 [1] 26 Sen Zwiebach CSFT T *1 CSFT Cubic SFT CSFT

11 11 [2] *2 CSFT S CSFT Sen 2 D-25 brane T 25 *3 S CSFT [T ] = T ) T [3] S CFST [T ] n T n ϵn) = T 25 S CFST [T n ] T ) ϵ4) = O10 2 ) T 4 ϵ10) = O10 3 )[4] ϵ18) = O10 4 )[5] Sen 1.3 t = 0 D-brane t = t c 2 T 25 *2 [3] D-brane *3 D-brane

12 12 1 ϵn) CSFT Sen 1 CSFT CSFT CSFT [6] hw) 2 LPP CSFT 3 CSFT 4 Siegel 5 CSFT D-brane 2 6 quadratic differential [7] [8]

13 Chern-Simons CSFT) [9] Witten 3 CSFT) [1] A. Leclair M. Peskin C. R. Preitscheopf LPP [10] CSFT Ψ LPP CFT Ψ = ψ α α 2.1) α ψ r 2 α r c = 26 matter CFT c = 26 ghost CFT α r w) 0 SL2, C) α r = α r 0) 0 2.2) h ϕw) fw) : f[ϕw)] = ) h df ϕfw)) 2.3) dw h holomorphic h-form h- vector 2.3) f[ϕw)]dw) h = ϕz)dz) h 2.4) z = fw) f CSFT CFT g o 2 S[Ψ] = 1 2 I[Ψ] Q Ψ UHP f 1) [Ψ] f 2) [Ψ] f 3) [Ψ] UHP 2.5)

14 14 2 Iw) = 1/w Q BRST g o f r) w) r = 1, 2, 3) U = {w w 1, Iw 0} V r r = 1, 2, 3) f r) : U V r f r) w) = h 1 g r) w) 2.6) hw) = 1 iw 1 + iw 2.7) g r) w) = e 2π1 r)i 3 hw) ) I II III g 1 g 2 g 3 U 2.5) 2.2 CFT gluing theorem [10] 2.2 CSFT CSFT 2.5) Witten [1] LPP N N f r) N w) = h 1 g r) N w) g r) 2π1 r)i N w) = e N hw) 2 N 2.9) f 1) N [Ψ 1] f N) N [Ψ N] UHP 2.10) N Ψ 1,..., Ψ N 1

15 2.2 CSFT h 1 z = i 3 U z = 0, ± g r) 8 w) N f 1) N [Ψ 1] f N) N [Ψ N ] = Ψ 1 Ψ 2 Ψ N 2.11) UHP CSFT 2.5) S[Ψ] = 1 g 2 o 1 2 Ψ QΨ + 1 ) 3 Ψ Ψ Ψ 2.12)

16 16 2 A B C A B B A 2.13) A B C) = A B) C 2.14) QA B) = QA B + 1) A A QB 2.15) Q 2 A = ) A B C = C A B 2.17) QA = ) Q Ψ 2.12) 2.13) 2.17) QΨ + Ψ Ψ = ) 2.12) Q Ψ g = U 1 g QU g + U 1 g Ψ U g 2.20) U g = e g = 1 + g + 1 2! g g ) 2.12) S[Ψ g ] = S[Ψ] + 1 U ) ) ) 1 6go 2 g QU g U 1 g QU g U 1 g QU g 2.21) ) g δψ = Qg + Ψ g g Ψ 2.22) δs = ) 2.19) Ψ 0 S[Ψ + Ψ 0 ] = 1 1 go 2 2 Ψ Q Ψ + 1 ) 3 Ψ Ψ Ψ + S[Ψ 0 ] 2.24) Q Ψ = QΨ + Ψ 0 Ψ 1) Ψ Ψ Ψ ) Q S[Ψ 0 ] Q Q 2.19) Q A B) = Q A B + 1) A A Q B 2.26) Q 2 A = ) Q A = ) Q Q

17 2.3 CSFT 17 CSFT Chern Simons S CS [A] = 4π 1 Tr k 2 A da + 1 ) 3 A A A M 2.29) d Q Tr M 2.3 CSFT CSFT 2.23) Ψ CFT c n b n 1 1 CFT α = r α, r 2.30) r Ψ 1 ψ Ψ = α ψα r α, r N gh ψα) r = 1 r 2.31) r CSFT Ψ 1 CFT Ψ = α ψ 0 α α, ) CSFT g o 2 S cl [Ψ] = 1 2 I[Ψ] Q Ψ f 1) [Ψ] f 2) [Ψ] f 3) [Ψ] 2.33) CSFT b 0 Ψ = 0 Siegel [45] CSFT BRST *1 BV [11] CSFT CSFT *1 bz) cz)

18 Siegel CSFT Ψ Siegel b 0 Ψ = 0 CFT CSFT g o 2 S gf [Ψ] = 1 2 I[Ψ] Q Ψ f 1) [Ψ] f 2) [Ψ] f 3) [Ψ] 2.34) Siegel BRST 2.34) BRST δ B Ψ = ϵ QΨ + Ψ Ψ) 2.35)

19 19 3 CSFT CFT CFT CSFT Chern-Simons Chern-Simons CSFT G 0 Ψ 0 = e G Q e G 3.1) 2.19) 3.1) Q 2.15) e G e G = I, 3.2) Ψ I = Ψ for Ψ, 3.3) Q I = 0 3.4) Chern Simons I identity state [14, 15, 16] f I w) = 2w 1 w 2 3.5) surface state identity state [50] ϕ = ϕ0) 0 I I ϕ = f I [ϕ0)] UHP 3.6) 3.3) [17, 15, 16] CSFT I 3.2) 3.4)

20 ) Ψ 0 G [12, 13] ) G = dw Kw) I = K L I 3.7) C L Ψ 0 C L 3.1 Kw) 0 1 CSFT N V N V N K r+1) L ) + K r) R = c, r = 1,..., N) 3.8) *1 c r) r i w i w C L C R i 3.1 C L C R i Ψ 0 = e K LI Q e K LI 3.9) 3.8) N = ) 3.8) 3.9) 3.11) K L + K R ) I = c 3.10) Ψ 0 = e K L Qe K L ) I 3.11) e K L = 1 + K L + 1 2! K2 L ) 3.11) I Virasoro [15] I = exp L 2 1 ) 2 L ) *1 V 1 = I

21 e K L Qe K L = Q [K L, Q] + 1 2! [ K L, [K L, Q] ] ) 3.11) 3.2 [6] hw) 3.9) K L K L = q L h) = dw hw)j gh w) C L 3.15) Ψ 0 = e q Lh)I Q e q Lh)I J gh 3.16) J gh w) =: cw)bw) : 3.17) hw) U = {w w 1} h 1 ) = hw) w 3.18) h±i) = ) 3.16) q L h) q R h) 3.8) 3.8) N 2 J gh ) df f[j gh w)] = J gh fw)) 3 f w) dw 2 f w) N 3.20) w r+1 = 1 w r, for w r C R, w r+1 C L 3.21) 3.18) ) V N q r+1) L h) + q r) R h) = κ 3.22) κ = 3 dw hw) C L w 3.23) N = ) f I w) = 2w/1 w 2 ) I q L h) + q R h)) = I dwhw)j gh w) C = dwhw) = C 3 2 C f Iw)J gh w) 3 2 dwhw) f I f I f I ) f I 3.24)

22 22 3 C = C L + C R 3.24) ) 3.24) C L C R 3 dwhw) f I 2 C f I = 3 dwhw) 2 CL f I f I 3 dwhw) 2 CR f I f I = 3 f I dw hw) w) 2 C L f I w) 1 f I 1 w ) ) w 2 f I 1 w ) = κ I q L h) + q R h)) = κ 3.25) 3.22) 3.25) q L h) q R h) V N q r+1) L h) + q r) R h) ) = κ, r = 1,..., N) 3.26) 3.26) 3.16) 3.11) Ψ 0 = 3.27) I e q Lh) Q e q Lh) ) I 3.27) e q Lh) Q e q Lh) 3.28) Q L f) = C L g) = [6] C L C L dw 2πi fw)j Bw) dw 2πi gw)cw) [q L f), Q L g)] = Q L fg) 2C L f g) 3.29) [q L f), C L g)] = C L fg) 3.30) [Q L f), C L g)] = {Q, C L fg)} 3.31) [Q R f), Q R g)] = 2{Q, C R f g)} 3.32) Ψ 0 = Q L e h 1 ) I C L h) 2 e h) I 3.33) 3.33) F w) = e hw) ) Gw) = h) 2 e hw) 3.35)

23 ) F 1 ) = F w) 3.36) w G 1 ) = w 4 Gw) 3.37) w F ±i) = ) G±i) = ) J B w) cw) 3.22) r = 1,..., N V N L V N Q r+1) C r+1) L F ) + Q r) R F ) ) = ) G) + C r) R G) ) = ) 3.36) 3.41) 3.29) 3.32) 3.33) QΨ 0 = {Q, C L G)}I 3.42) Ψ 0 Ψ 0 = {Q, C L F ) 2 + F G)}I 3.43) 3.34) 3.35) 2 QΨ 0 + Ψ 0 Ψ 0 = ) 3.11) 3.33) hw) exp q L h)) well defined 3.33) 3.33) O I 3.45) I I [16] I 3.33) 3.1 h 1/w) = hw) h±i) = 0 hw) Ψh) = Q L e h 1 ) I C L h) 2 e h) I CSFT

24 CSFT 2.25) BRST Q Ψ = QΨ + Ψ 0 Ψ + Ψ Ψ ) Q C L + C R = C Qf) = dwfw)j B w) 3.47) C Cg) = dwgw)cw) 3.48) C qh) = dwhw)j gh w) 3.49) C 3.40) 3.41) 3.26) r ) V N Q 1) F ) + + Q N) F ) = ) ) V N Q 1) G) + + Q N) G) = ) ) V N q 1) h) + + q N) h) = Nκ 3.52) 3.33) 3.46) BRST Q = Qe h ) C h) 2 e h ) 3.53) e hw) Q n J B w) c n Q Q 3.29) 3.32) [qf), Qg)] = Qfg) 2C f g) 3.54) [qf), Cg)] = Cfg) 3.55) 3.53) Q = e qh) Q e qh) 3.56) e qh) 3.56) S = 1 2 ΨQ Ψ + 1 ) 3 Ψ Ψ Ψ 3.57)

25 ) qh) κ N vertex qh) = qh) κ = dw hw) J ghw) 1 ) w 3.58) 3.52) ) V N q 1) h) + + q N) h) = ) qh) 3.59) V N N r=1 e qr) h) = V N 3.60) N vertex Ψ = exp qh)) Ψ 3.59) 3.57) S = 1 2 Ψ QΨ + 1 ) 3 Ψ Ψ Ψ 3.61) hw) e q Lh)I e qh) well defined hw) ) F w) hw) F w) 3.36) F w) w 1/w F ±i) = 0 F w) = F 1/w) F w) = F n w n + 1) n w n) 3.62) n=0 3.62) F ±i) = 0 F 2m 1) m = 0, F 2m+1 1) m = ) m=0 m=0 m F 2m+1 = 0 F w) = F 2m w 2m + w 2m), F ±i) = ) m=0

26 ) m = 1 F w) a F a w) = a 2 w + 1 w ) ) 3.65) 3.34) e haw) = F a w) ) h a w) [6] 3.5 CSFT 3.16) exp q L h a )I) 3.67) 3.56) exp qh a )) 3.68) normal ordering 3.65) 3.66) h a w) = log 1 + a 2 w + 1 ) ) 2 w 3.69) a 1/2 h a w) h a w) = log1 Za)) 2 Za) = 1 + a 1 + 2a a [6] Za) 2 1) n n Za)n n=1 w 2n + 1 ) w 2n 3.70) 1 x 2 + e haw) = a a) x + 1 = 0 a w 2 + Za))w 2 + Za) 1 ) w )

27 e haw) 3.70) J gh w) = n q n w n ) [q m, q n ] = δ m+n,0 3.73) normal order e qha) = 1 Za) 2) 1 exp q0 log1 Za)) 2) e q ) h a) e q+) h a) 3.74) q +) h a ) q ) h a ) qh a ) 3.74) 1 Za) 2 ) 1 a = 1/2 e qh 1/2) well-defined e q Lh a) a = 1/2 [6] a = 1/2 Ψh a ) = Q L e h a 1 ) I C L ha ) 2 e ha) I 3.75) a 1/2 a = 1/2 3.2 a 1/2 F a w) = e haw) 1 = a 2 w + 1 ) 2 w well-defined a > 1/2 a = 1/2

28

29 a = 1/2 Ψ 0 [20] b n c n L X n universality)[20] 1 Sen Zweibach [2] a = 1/2 1 Sen 1 Siegel 4.1 Ψa) S[Ψ] = 1 2 Ψ Qa)Ψ + 1 ) 3 Ψ Ψ Ψ + S[Ψa)] 4.1) S[Ψa)] BRST Qa) 3.53) 3.65) e haw) = g a w) ga ) 2 ) Qa) = Q g a ) C 4.2) g a w) = 1 + a 2 g a w + 1 w ) 2 4.3)

30 ) 2.3 Siegel ) La) = {Qa), b 0 } 4.4) La) La) J B z)bw) 3 z w) 3 + J ghw) z w) 2 + T w) z w 4.5) 4.3) La) = dz dwg a z)w J B z)bw) + dz dw g aw)) 2 w cz)bw) g a w) = 1 + a)l 0 + a 2 L 2 + L 2) + 4aZa) 1 + a) 4.6) La) L n = L n + nq n + nδ n,0 4.7) + B L n T w) L n central charge) c = 24 [L n, b 0 ] = 0 b 0 L n Siegel 24 L n 4.2 a 1/2 Siegel Ψ phys Qa) phys = 0 4.8) b 0 phys = 0 4.9) {Qa), b 0 } = La) La) phys = ) La) a > 1/2 BRST Q 4.10) La) L 0

31 ) La) La) = dw w g a w)t w) ) U a) La) U a)la)u a) 1 = NL ) N A U a) z = f a w) U a) ) U a) = exp dw v a w)t w) 4.13) U a) La) f a w) = e vaw) w w 4.14) ) 2 U a)la)u a) 1 dfa = dwwg a w) T f) + γ dw ) dfa = dfwg a w) T f) ) γ dw γ γ w f puncture 4.15) L 0 + const.) wg a w)f aw) = Nf a w) 4.16) 4.16) C w f a w) = C exp N dw 1 w g a w ) w 2 ) N 2 + Za) 1+2a = C Za)w ) 4.17) 4.17) 1 2 C N C a 0 f a lim a 0 Za) = ) N lim f aw) = Cw 1+2a 4.18) a 0 Qa = 0) = Q f 0 w) N = 1 + 2a C = 1 f a w) = w 2 ) Za) Za)w U a)la)u a) 1 = 1 + 2aL 0 + const. 4.19) 4.19) f a 4.15) f a γ f a 0)

32 32 4 z = f a w) 4.1 a > 0, 0 < Za) < 1 z z = ± Za) z = ±1/ Za) w γ 4.1 γ dz z T z) = L γ ) a 4.15) Z gamma -zi zero zi -z z 4.1 z = f aw) 4.19) T w) J B w) T z)j B w) 9cw) z w) cw) z w) 3 + 2J Bw) z w) 2 + J Bw) z w 4.20) J B c n ) 2 J B w) T w) La) Qa) U a)qa)u a) 1 = 1 + 2aQ + n a n c n 4.21) Qa) 2 = 0 Ua) well-defined 4.21) nilpotent 2 ) aQ + a n c n = a a n a n c c) n 4.22) a n = 0 Qa) U a)qa)u a) 1 = 1 + 2a Q 4.23)

33 U a) b ) b 0 U a)la)u a) 1 = 1 + 2a L ) 4.19) 0 *1 U a) well defined U a) U a) nilpotency U a) f a w) v a w) U a) = e n v nl n 4.25) v a w) f a w) A f a w) v a w) 4.24) v a w) { L 0, L ±2} H = L L ± = L 2 ± L ) [H, L ± ] = L ±, [L +, L ] = H 4.27) 4.26) La) 4.27) La) = 21 + a)h + 2aL + + const. 4.28) e λl [cosh λ)h + sinh λ)l + ] e λl = H 4.29) La) 4.29) La) = a [cosh λ a )H + sinh λ a )L + ] + const.) ) a λ a = tanh 1 = log 1 + 2a) 4.30) 1 + a 4.29) U a)la)u a) 1 = 1 + 2a L ) { U a) = exp 1 4 L 2 L 2) log } 1 + 2a) 4.32) 4.24) 4.32) f a w) v a w) = 1 4 log 1 + 2a) w 3 1 ) w 4.33) *1 4.24) [7]

34 U a) normal ordering U a) U a) = expsl 2) exptl 0) expul 2) 4.34) 4.34) s, t, u) [7] L n 4.34) 4.24) f 1 a w) = n 2,s n 0,t n 2,u w) 4.35) n 2,s w) n 0,t w) n 2,u w) expsl 2) exptl 0) expul 2) fa 1 w) f a w) A ) 1 Za) w fa w) = Za)w ) 1 n 2,s w) = 2s + w 2) ) n 0,t w) = e t w 4.38) w 2 ) 1 2 n 2,u w) = 1 2uw ) 2s + 4su e 2t )w n 2,s n 0,t n 2,u w) = 2 2uw ) 4.40) 2s = Za) 2u = Za) 4.41) 4su e 2t = ) s u 1 Za) 2 = e 2t 4.42) a > 1/2 Za) 2 < 1 t a = 1/2 t a = 1/2 U a) a > 1/2 well-defined U a) La) La) L 0, Qa) Q 0 a > 1/2 BRST Q CSFT 4.23) BRST BRST [18]

35 BRST Q open bosonic string theory c = 26 matter c = 26 ghost CFT) BRST Q Ψ = 0 Ψ = P c P c 0 c Q χ 4.43) P P matter CFT 1 vertex operator U a) a > 1/2) Qa) a > 1/2) BRST Qa) Ψ = 0 Ψ = U a) 1 P c P c 0 c 1 0 ) + Qa) χ 4.44) U a) b 0 Siegel phys = U a) 1 c 1 0 P ) 4.45) L n 1 L n 2 L n k 0 P 4.46) 0 = c 1 0 CFT L n 24 P flat background P LC 4.46) L LC n 1 L LC n 2 L LC n k P LC 4.47) 4.46) CFT phys 4.45) *2 U a) 3 e qha) 4.23) 3.56) ) U a)qa)u a) 1 = 1 + 2aQ 4.48) e qha) Qa)e qha) = Q 4.49) *2

36 36 4 Q U a) e qha) 2 L n L n q n exp L + q) exp L) exp q) const. 4.50) B CFT CFT B.26) 0 CFT B.26) k = 0 U f = const. U f exp q log w f ) f 4.51) fw) 4.19) f a w) ) w fa w) log = h a w) + log 1 + 2a 4.52) f a w) 4.51) U a) = const.) Ua)e qha) e + qlog 1+2a) 4.53) 4.53) e qha) U U f e qha) e qha) Siegel b 0 U a) phys = U a) 1 phys 4.54) Siegel CSFT ) ) b0 A = V3 La) R ) phys 4.55) ϕ ) b 0 La) = a U a) 1 b 0 L 0 U a) 4.56)

37 ) 4.54) 4.55) A = ) ) V 1 b 3 0 ) R phys 1 + 2a L ) V 3 = V 3 Ua) 1) 1 Ua) 2) 1 Ua) 3) ) R = Ua) 1) Ua) 2) R 4.59) U a) dw v a w)t w) 4.53) N vertex qlog 1 + 2a)) = q 0 log 1 + 2a) 3 2 log 1 + 2a) 4.60) V N N q r) log 1 + 2a)) = r=1 3 3N 2 ) log 1 + 2a) 4.61) q 0 q 1) q N) 0 = ) 3.59) qh a ) dwv a w)t w) L 2 L 2 ) [10, 14] 4.61) V N r Ua) r) e qr) h a) = V N 4.62) 4.61) N = 2, ) V 3 = V a ) ) R = R 4.64) ) ) ) A = 1 + 2a 3 2 b0 ) V 3 R phys L ) phys 1 + 2a ) 1 2 phys

38 a = 1/2) 4.2 U 1/2) L 1/2) L 0 Q 1/2) [19] BRST Q 1 ) = Q 1 4 Q 2 + Q 2 ) + 2c 0 + c 2 + c ) Q n J B w) = n Q n w n ) Q 0 = Q Q 1/2) e qρ) Q 1 ) e qρ) = Q 2 + c 2 = 1 4 Q2) 4.68) ρw) qρ) ρw) = 2 log1 w 2 ) 4.69) 1 qρ) = dw ρw)j gh w) = 2 n q 2n 4.70) qρ) normal ordering e qρ) well defined 4.68) Q 2) BRST Q B 2 n=1 c n c 2) n = c n ) b n b 2) n = b n ) [19] { } c 2) m, b 2) n = δ m+n 4.73) SL2, R) ) = b 3 b ) c 2) n 0 2) = 0 n 2) 4.75) b 2) n 0 2) = 0 n 1) 4.76) Q 2) 4.1

39 4.5 no open string theorem Q 2) BRST Q 2) = 1 4 Q 2 + c 2 Q 2) Ψ = 0 Ψ = P c 2) 1 0 2) + P c 2) 0 c2) 1 0 2) + Q 2) χ = P b P 0 + Q 2) χ 4.77) 4.77) e qρ) Q 1/2)Ψ = 0 Ψ = P e qρ) b P e qρ) 0 + Q 1 ) χ 4.78) no open string theorem a = 1/2 Siegel 0 Q 1/2) BRST Q 2) e qρ) b 0 Siegel U F Q 1 2 )U F 1 1 = 4 Q 2 + c 2 = 1 4 Q2) 4.79) F w) 4.2 F BRST c n gw) = exp h 1 2 w) = 1 4 w 1 w ) ) Q 1/2) = Qg) + pure ghost part) 4.81) U F Qg)U F 1 1 = 4 Q ) F w)

40 ) U F Qg)U F 1 = dw gw)u F J B w)u F 1 = dw gw)u F wj Bw)U F 1 = df gw)wf w)j BF ) + = df gw)wf w)f w) 1 J B F ) ) CFT BRST J Bw) = w 1 J B w) 4.84) T z)j Bw) 2J B w) z w) 2 + J B w) z w) ) Q 2 = dzz 2 J B z) 4.83) 4.82) F w) wgw) F w) F w) = 1 4 F w))2 4.86) F w) F w)) 3 = 1 4wgw) 4.80) ) F w) = w ) F w) A A.26) U F = e 1 2 L ) U F Qg)U F 1 1 = 4 Q 2 + pure ghost) 4.90) U F = exp 1 ) 2 L ) nilpotency Q 1/2) Q 2) 4.79) U F b ) Q 2) Siegel ) 4.4 no open string theorem BRST U F = e 1/2L 2 Q 1/2) a = 1/2 Q 1/2) Ψ = 0 Ψ = U F P b P 0 ) + Q 1/2) χ 4.92)

41 4.5 no open string theorem Siegel phys = U F P b P 0 ) 4.93) CSFT 1 g 3g 3 phys = 1 b 0 /L 0 = 1 phys = 0 1) b 0 /L 1/2) = 1 CSFT ) < 3g ) 3g 3 g CFT 4.94) 0 VSFT Sen

42

43 43 5 Sen D-brane no open string theorem 1 CSFT D-brane CSFT 5.1 no open string theorem CSFT BRST 4.3) a = 1/2 ) g) Q 2 = Q g) C 5.1) g gw) = 1 w 1 ) 2 5.2) 4 w L L = 1 2 L L 2 + L 2) ) L n L n) D-brane BCFT 1 L 0 = 0 dte tl0 5.4)

44 44 5 t A.26) e tl0 fw) = e t w 5.5) ρ = log w t 5.3) L a = 1/2 ) Drukker [22] e tl *1 M M B M M vertex operator V, V 5.1 e tl B CSFT 5.1 1/L Σ Σ b 0 e tl0 Σ 5.6) Σ 5.2 CSFT [23, 24] BRST ) BSFT 2.12) Ω S cl [Ψ] S cl [Ψ] + Ω Ψ 5.7) *1

45 e tl 0 t Ω Ψ Ω 2 real) reality 3 Σ Σ Ψ = i f I [ ci) c i)v c i, i)ψ0) ] = i ci)c i)v c i, i)f I [Ψ0)] 5.8) f I = 2w/1 w 2 ) identity state 5.8) 2 f I ±i) = ±i, f0) = 0 5.9) V c i, i) CFT 1,1) vertex operator 5.8) I Ψ vertex operator V Σ I V 5.10) *2 ρ 5.3 V C D 25brane CSFT Σ Q Λ + Ψ Λ Λ Ψ) = ) CSFT *2

46 46 5 c cv c π 2 ) 5.3 ρ D-p brane D-25 brane vertex operator V = ci)c i)e ip Xi, i) 5.12) p on shell p 2 = 4 α 5.13) X µ z, z) X µ z, z) = X µ z) + X µ z))/2 X µ z)x µ z ) = 2α η µν logz z ) 5.14) 5.8) D-25brane T ; p T ; p Ψ = i ci)c i)e ip Xi, i) f I [Ψ0)] 5.15) 5.15) D-25brane CFT D-p brane X µ z, z) µ = 0,..., p) X i z, z) i = p + 1,..., 25) p µ k i X µ z, z) = Xµ z) + X µ z) 2 X i z, z) = Xi z) X i z) )

47 on-shell p 2 + k 2 = 4 α 5.17) D-p brane T ; p, k Ψ = i ci)c i)e ip Xi, i) e ik Xi, i) f I [Ψ0)] 5.18) T ; p, k tree-level ) T ; p, k CSFT OΨ) = T ; p, k Ψ 5.19) OΨ) Ψ Ψ A = O 1 Ψ)O 2 Ψ) O N Ψ) 5.20) CSFT CSFT 2 D-p brane CSFT Ψ 1 Ψ 2 = b 0 1) L R 1) ) 0 R ) 2 OΨ)O Ψ) = T ; p, k Ψ T ; p, k Ψ = 1 T ; p, k 2 T ; p, k b 0 1) = 0 L 0 1) R 12 1 T ; p, k 2 T ; p, k b 0 1) e tl01) R ) 5.22) 2π) p+1 δ p+1 p + p )A = 0 1 T ; p, k 2 T ; p, k b 0 1) e tl01) R ) 5.23) T ; p, k e tl0 ρ t 5.23) ρ

48 48 5 CFT A = 0 dt bρ)cm)c M)ct + M)ct M) ρ C ρ e ip XM, M) e ip Xt+M,t M) ρ e ik XM, M) e ik Xt+M,t M) ρ 5.24) M = iπ/2 ρ t τ = 0 t 5.4) 5.4 ρ τ = 0, t V D-p brane D-p brane 5.24) CFT z 5.24) 5.4 zρ) z zρ) z

49 surface state 5.24) T ; p, k vertex operator f I w) = 2w/1 w 2 ) surface state identity state z z 5.6 z = 2w 1 w 2 1 z z = ±i 6 quadratic differential ρ ρ w = e ρ z = 2w/1 w 2 ) ) 2 dρ 1 = dz z 2 z 2 + 1) 5.25) 5.25) 5.6 z z = 0 2 puncture z = ±i 1 2 A z 5.7 xt) yt) ρ t 5.7 quadratic differential ) 2 dρ Nt) = dz z 2 + xt))z 2 + yt)) 5.26) A z ρ 90 u = iρ 5.8) τ it = πτ/2

50 z 5.8 u u z z = i ϑ 1u τ) 5.27) ϑ 4 u τ) ϑ i u τ) i = 1, 2, 3, 4) [25] zu) π πτ/ ) u ϑ i 0 τ) = ϑ i zu) quadratic differential ) 2 du 1 = dz ϑ z2 ϑ 2 3 )ϑ2 3 + z2 ϑ 2 2 ) 5.28) [25] z 5.28) 1

51 z = ±iϑ 2 /ϑ 3 z = ±iϑ 3 /ϑ 2 x = ϑ 2 ϑ ) z = ±ix z = ±ix z x t 5.29) t = 0 x = 1, t = + x = ) x 0 x t = 0) x = + ) x z A = 1 0 dx ) 1 dx dt C z C z 5.9 dz dz bz)cix)c ix)cix 2πi du) 1 )c ix 1 ) z e ip Xix, ix) e ip Xix 1, ix 1 ) z e ik Xix, ix) e ik Xix 1, ix 1 ) 5.31) z 5.31) CFT X M z)x N z ) = 2α η MN logz z ) 5.32) bz)cz ) = 1 z z 5.33)

52 52 5 N M µ, i bz)cix)c ix)cix 1 )c ix 1 ) 41 x 4 ) 2 = x 4 z 2 + x 2 )z 2 + x 2 ) 5.34) ) e ip Xix, ix) e ip Xix 1, ix 1 ) = 2 α s x 2 α s 1 x ) e ik Xix, ix) e ik Xix 1, ix 1 ) = 2 4 α s 1 x x 2 ) α s+t/2) ) s = p 2 = p 2 t = k + k ) 2 p µ + p µ = ) bz) 5.34) bz)cix)c ix)cix 1 )c ix 1 ) 41 x 4 ) 2 = x 4 z 2 + x 2 )z 2 + x 2 ) = 4ϑ 4 1 x 4 ) 2 ) 2 dz 3 x ) du ) 5.31) z C z dz 2πi ) dz bz)cix)c ix)cix 1 )c ix 1 ) = du = C z C u dz 2πi ) dz 4ϑ 4 1 x 4 ) 2 3 du x 2 du 1 x 4 ) 2 2π 4ϑ4 3 x 2 ) 2 dz du = 4ϑ 4 1 x 4 ) 2 3 x ) t [25] x = izπ/2) ϑ i u τ) τ dx dτ = π 4 = iπ 4 2 ϑ i u τ) u ) d 2 z du ) u=π/2 QD 5.28) u = π/2 dx dt = ϑ4 3 2 x1 x4 ) 5.41) A x 5.35) 5.36) 5.38) 5.41) 5.31) x A = 1 0 dx 1 x4 2x 3 { 4x x 2 ) 2 } α s 1 x x 2 ) α t/ )

53 ) SL2, C) 5.42) z z = x2 1 z + i/x x ) + 1 z i/x z = i/x ) 1 x 2 2 y = 1 + x ) y A = 1 0 dy y α t/4 2 1 y) α s 2 = B α t/4 1, α s 1) 5.45) [27, 26, 28] QD 5.28) CSFT QD ) CFT T ; p, k = 0 c 1 c 0 expe gh ) p expe N ) k expe D ) 5.46) E gh = 1) n c n b n 5.47) n=1 E N = 1) n 1 ) 2α 2n α n α n n p α 2n 5.48) n=1 E D = 1) n 1 2n α n α n i 2 ) 2α 2n 1 k α 2n ) n=1 α n µ, i) A = T ; p.k b 0 L 0 T ; p, k 5.50) T ; p, k T ; p, k R 12 q = e t 1 L 0 = 0 e tl0 = q L0 5.51)

54 54 5 e tl0 α n q n α n c n q n c n 5.52) b n q n b n A = 0 dt T ; p, k : q T ; p, k 5.53) T ; p, k : q T ; p, k 5.52) T ; p, k ) A gh = A N = A D = A = 0 dt4 2α s 2 q α s 1 A gh A N A D 5.54) 1 q 2n ) 5.55) n=1 [ ] 4α 1 q 2n ) p+1)/2 1 q 4n s 1 q 4n ) n=1 n=1 n=1 [ 1 q 2n ) 25 p)/2 1 + q 2n 1 q 2n n=1 ] 4α s 16 [ n=1 5.54) A = 0 1 { } 1 q dt 1 q 2n ) 12 2n 16 16q 1 + q 2n n=1 n=1 [ { 1 q 4n )1 + q 2n )1 q 2n 1 } 4 ] α s ) 16q 1 q 4n 2 )1 q 2n )1 + q 2n 1 ) n=1 [ 1 q 2n q 2n 1 n=1 ] 4α 1 + q 2n 1 s+t/2)+16 1 q 2n ) ] 2α t ) q CFT [25] [ 1 x 2 ] x 2 = 1 q 2n q 2n ) n=1 dx 1 x 4 dt 2x 3 = 1 16q 4x x 2 ) 2 = 16q { } 1 q 1 q 2n ) 12 2n q 2n 5.60) n=1 n=1 { 1 q 4n )1 + q 2n )1 q 2n 1 } 4 ) 1 q 4n 2 )1 q 2n )1 + q 2n ) ) 5.59) 5.60) 5.61) 5.42) 5.58) CFT

55 55 6 Quadratic differentials 4 f a w) 5 zu) quadratic differentials QD) [29] 2 QD 1 1 [30, 24] QD QD 6.1 Quadratic Differentials [29] QD QD CFT T zz z) 6.1 R U ν, h ν ) R quadratic differential ϕ z ν = h ν P ) P R) ϕ ν ϕ ν z ν )dz 2 ν = ϕ µ z µ )dz 2 µ, dz ν = dz ν dz µ dz µ 6.1) 6.2 R L ϕz)dz 2 < 0, ϕz)dz 2 > 0) 6.2)

56 56 6 Quadratic differentials 6.1 D = {ρ ρ C, 0 Iρ 2π} ϕρ) = 1 D QD dρ 2 6.3) ρ = x + iy x, y R) dρ = ±idy 6.1) 6.1 ϕρ) = R U, z) QD ϕz)dz 2 dρ 2 = ϕz)dz 2 6.4) U, ρ) 6.4) ρ z 6.4) dρ = ± ϕz)dz 6.5) ϕz) U z ρ = dz ϕz) t 6.6) t ρ z Φz) dz ϕz) 6.7) 6.6) z z = Φ 1 ρ + t) 6.8)

57 6.1 Quadratic Differentials 57 fz) QD ϕz) ϕ QD 1/n 6.2 QD S = C { } U, z) V, z ) z = 1/z S QD U V ϕ = 1 z 2 dz2 6.9) ϕ = 1 z 2 dz ) ϕ z = 0, 2 ϕ U z = re iθ 6.9) ϕ = 1 r 2 dr 2 dθ 2 + 2idr dθ ) < ) dz = ±dθ QD 6.6) 6.9) Φz) = log z 6.12) z zρ) = e ρ ρ puncture z 6.2) 6.2 ρ z CSFT D = {g g C, g 1} D QD ϕ = 9g g 3 1) 2 dg2 6.13)

58 58 6 Quadratic differentials QD g = 0 1 g = 1, ω, ω 2 2 ρ gρ) ) 2 dg = g3 1) 2 dρ 9g 6.14) 3 { 1 ) 2 ) 2 ) 2 } + ie ρ ie ρ ie gρ) =, ω, ω 2 ρ 3 1 ie ρ 1 ie ρ 1 ie ρ 6.15) w = e ρ 2 2.8) 3 g 1) w) g 2) w) g 3) w) D g = 1 + iz)/1 iz) 6.13) QD dρ 2 = 9z2 + 1) z 2 z 2 3) 2 dz2 6.16) z = 0, ± 3 2 z = ±i 1 ρ zρ) 2 f 1) w) f 2) w) f 3) w) QD zρ) QD 6.2 QD CSFT L 0 QD w vw) L v = dw vw)t w) 6.17) 1 L v = 0 dt e tlv 6.18)

59 6.2 QD 59 A t ) h dzt w) e tlv ϕw)e tlv = ϕz t w)) 6.19) dw z t w) = e tvw) w w 6.20) z t w) t QD A A.14) z t w) ρ ρ = vw) w z t w) = vz t w)) 6.21) dw 2 vw) 2 = dz 2 t vz t ) ) w dw 1 vw = Φw), ) ) 6.22) dρ 2 = 1 vz t ) 2 dz2 6.24) z t v z t 6.24) t z t η) t t 6.24) 1 dρ dz = ± 1 vz) 6.25) ± η + ρ = Φz) t 6.26) t z zρ) = Φ 1 ρ + t) 6.27) ρ 6.27) w zw) = Φ 1 Φw) + t) 6.28) A.18) g Φ QD

60 60 6 Quadratic differentials 6.4 QD QD vw) 1 vz) 2 dz2 QD 6.4 L 0 vw) = w 6.23) η = Φw) = log w 6.29) QD dη 2 = 1 z 2 dz2 6.30) η 6.2 ρ 6.27) z t η) = e η+t = e t e η 6.31) w = e η ) vz) = 1 + a)z + a 2 z3 + 1 z ) = a 2 z 2 + Za))z 2 + Za) 1 ) z η QD 6.32) dη 2 = 4 a 2 z 2 z 2 + Za)) 2 z 2 + Za) 1 ) 2 dz2 6.33) 1/2 < a < 0 Za) < 0 Y a) = Za) 6.33) ± Y a), ± Y a) puncture 6.33) z = 0 2 z = 0 QD dη 2 4 a 2 z2 dz ) z ± η 6.4 z 6.5 a = 0.2 z trajectry a = 1/2 QD z 2 dη 2 = 16 z 2 1) 4 dz2 6.35) z = ± z = 1 QD dη 2 = 1 z 1) 4 dz2 6.36)

61 6.2 QD a = 0.2 z a = 1/ : 2 2

62 62 6 Quadratic differentials QD QD

63 63 7 CSFT) exphw)) 4 CSFT Sen 5 D-p brane CSFT 2 ρ z [6, 19, 33, 7] D-brane [33] - CSFT S a [Ψ] Ψ min 6 S a [Ψ] min a a = 1/2 S a [Ψ] min D-brane 7.1 S 1/2 [Ψ] Ψ max 6 D-brane 120% [34] 7.2 [33] D-brane D-brane

64 level 6,18) level 6,12) f a Φ 0 ) a 7.1 V L 7.2 Ψ 0 S[Ψ 0 ] I C L G)QC L G) I 7.1) 5 I 0 L = vz)t z) e ϵl 7.3 ϵ 0 L L ϵ 0 5 CSFT ρ

65 65 L 5.3) L n CFT gluing theorem [10] B 0 [21, 22, 23] CFT CFT 6 QD D-brane Chern-Simons 7.3 D-brane

66

67 67 A CFT [10] fw) h ϕw) ) h dfw) f[ϕ] = ϕfw)) A.1) dw f[ϕ]dw) h = df) h ϕf) A.2) f[ϕ] w f CFT L n vw) vw) = v n w n+1 A.3) n dw vw)t w) = n v n L n A.4) fw) = e vw) w w A.5) U f = exp ) dwvw)t w) A.6) f[ϕ] = U f ϕw) U f 1 A.7) A.7) [46] A.1 vw) fw) fw) vw) fw) = e vw) w A.8)

68 68 A vw) fw) t f t w) = e tvw) w A.9) f t w) = w + tvw) + t2 2! vw) wvw) +... A.10) t = 1 fw) CSFT fw) fw) e v Φw) e v e v = 1 e v we v = e v w A.11) A.12) Φw) e v Φw) = Φe v w) = Φfw)) A.9) t A.13) df dt = ev vw) w = vfw)) A.14) A.14) 2 A.13) A.14) df t vf t w)) = dt gw) = w dw 1 vw ) A.15) A.16) A.15) gf t w)) = t + Cw) A.17) Cw) t t 0 f 0 w) = w Cw) = gw) A.17) f t w) = g 1 t + gw)) A.18) t = 1 fw) = g gw)) A.19) gw) vw) A.19) vw) fw)

69 A.2 fw) vw) 69 A.19) fw) A.16) vw) = βw m+1 m 0) A.20) gw) = 1 A.21) β1 n)wm g 1 w) = βmw) 1 n A.19) A.21) A.22) A.22) fw) = n m,β w) = βm + w m) 1 m m 0) A.23) m = 0 n 0,β w) = e β w A.24) A.1 vw) = βw m+1 vw) = βw m+1 n m,β w) n m,β w) = { βm + w m ) 1 m m 0) βw m+1 m = 0) A.25) A.26) A.2 fw) vw) fw) vw) vw) = n v nw n+1 A.5) fw) vw) vw) fw) A.5) v vw) w fw) = vw) w e v w w = e v w vw) w w = e v w vw) A.27) A.13) vw) w fw) = vfw)) A.28) vw) A.28) fw) A.26) fw) = n α,n n β,m... w) A.29)

70 70 A U f = e αln e βlm... A.30) U f U f = e n v nln A.31) vw) = n v nw n+1

71 71 B CFT k CFT CFT B.1 CFT T w) T w) = T w) J gh w) B.1) T z) 0 J gh B.1) 2T w) T w) T z)t w) + z w) 2 z w) B.2) 3 T z)j gh w) z w) 3 + J ghw) z w) 2 + J ghw) z w) B.3) 6 J gh z) J gh w) z w) 4 B.4) T z)t w) 12 z w) 4 + 2T w) z w) 2 + T w) z w) B.5) T w) 24 T z)cw) cw) z w) B.6) T z)bw) bw) z w) 2 + bw) z w)... B.7) CFT cw) bw) 0 1 bw) = n b nw n 2 bw) 1

72 72 B CFT k dwbw)w n = b n 1 B.8) c w) = w 1 cw) = n c n w n B.9) b w) = w bw) = n b n w n 1 B.10) c z)b w) cz)bw) 1 B.11) z w) c w) b w) c = 24 CFT c n = dw c w) w n 2 b n = dw b w) w n B.12) fw) U f = exp ) dw vw) T w) B.13) vw) A.5) fw) B.7) c w) b w) f U f c w)u f 1 = c f) B.14) U f b w)u f 1 = f ) 1 b f) B.15) B.15) U f b w)dwu f 1 = b f)df B.16) w = 0, f = f0) f ) B.10) U f b 0 U f 1 = b0 B.17) b 0 B.17) L n [L n, b 0 ] = 0 B.18)

73 B.2 k 73 B.2 k k B.19) c k) n b k) n c k) n = c n+k b k) n = b n k B.19) { } c k) m, b k) n = δ n+m,0 B.20) O c n c k) n b n b k) n O k) [ O k), P k)} = [O, P} B.19) B.21) c k) w) = n c n w n+1+k b k) w) = n b n w n 2 k B.22) k c k) w) b k) w) f U k) f = exp ) dw vw) T k) w) B.23) U k) f U k) f c k) w)u k) 1 f = f ) 1 c k) f) b k) w)u k) 1 f = f ) 2 b k) f) B.24) B.25) B.3 k CFT U f CFT U k) f U k) f = const. U f exp q log f k+1 ) w k+1 f B.26) U k) f U f B.26) c k) w) b k) w) B.26) U k) f U k) f c k) w)u k) 1 f = U e qg) f c k) w)e qg) U f 1 b k) w)u k) 1 f = U e qg) f b k) w)e qg) U f 1 B.27) B.28)

74 74 B CFT k gw) = log f k+1 /w k+1 f ) B.29) B.27) B.22) [ ] qg), c k) w) = [ qg), w k w) ] = w k gw)cw) = gw)c k) w) B.30) e qg) c k) w)e qg) = e gw) c k) w) B.31) c k) w) c w) B.9) B.22) c k) w) = w k+1 c w) B.32) c k) w) U f U f c k) w)u f 1 = w k+1 U f c w)u f 1 = w k+1 c f) = wk+1 f k+1 ck) f) B.33) B.33) B.31) B.27) U f e qg) c k) w)e qg) U f 1 = e gw) wk+1 f k+1 ck) f) = f) 1 c k) f) B.34) B.34) 2 B.29) B.34) k B.24) U k) f c k) w)u k) 1 f = f) 1 c k) f) B.35) B.34) B.27) bw) B.28) B.26)

75 75 C 5 5.8) Σ C.1 Σ QΛ + Ψ Λ Λ Ψ) = 0 C.1) Ψ 1 Λ 0 Q ) Λ 1 C.1) Σ Q = 0 C.2) vertex operator V = ici)c i)v c i, i) C.2) Σ Q = Vf I [Q] = VQ = [V, Q] = 0 C.3) C.3) 2 Q 3 V 0,0) Q C.2 C.1) Λ 1 Σ Ψ Λ Λ Ψ) = 0 C.4) 3 surface stateσ V C.1 ρ V w w = ±i 0

76 76 C BPZ C.1 2 BPZ Ψ Λ 1 0 P V L L V P C.1 Σ Ψ Λ Λ Ψ) ρ Σ C.3 Q CSFT Ψ 0 BRST Q Ψ = QΨ + Ψ 0 Ψ + Ψ Ψ 0 BRST Σ Q Λ = Σ QΛ + Ψ 0 Λ Λ Ψ 0 ) C.5) C.6) Ψ 0 BRST Q Q 0 Σ Ψ CSFT C.4 reality reality CFT reality reality Σ Ψ = Σ Ψ C.7) Ψ reality Ψ ) = Ψ = I[Ψ0)] C.8) α n ) = α n b n ) = b n c n ) = c n C.9)

77 C.4 reality 77 *1 AB) = B A C.10) C.9) ci)c i)) = c i)ci) C.11) Ψ V c Σ Ψ = i2) hψ I[Ψ0)]I[V c ]c i)ci) = i2) hψ Ψ0)V c ci)c i) = Σ Ψ C.12) C.12) 2 BPZ *2 *1 *2 vertex operator i

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