はじめにここ 10 年の間に有限要素法 (FEA) は解析専任者のツールとしてだけでなく設計において実用的に使用できるツールとなりました現在の CAD ソフトウェアは FEA を内蔵しており設計者は日常の設計ツールとして製品設計の過程で FEA を使用しますしかしながら最近まで設計

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まれあいなおか
7 years ago
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1 ホワイトペーパー非線形解析活用ガイド insight 概要このホワイトペーパーでは線形解析と非線形解析の違いについて説明しどのようなケースにそれぞれを使用するのが最適化を解析します非線形効果を無視することにより重大な設計エラーにつながる可能性があることを認識することが重要です一般的な設計に含まれるいくつかの例で確認することにより非線形解析が過剰設計を防ぎよりよい製品の設計に役立つことが理解できるでしょう

2 はじめにここ 10 年の間に有限要素法 (FEA) は解析専任者のツールとしてだけでなく設計において実用的に使用できるツールとなりました現在の CAD ソフトウェアは FEA を内蔵しており設計者は日常の設計ツールとして製品設計の過程で FEA を使用しますしかしながら最近まで設計者が利用できるほとんどの FEA アプリケーションが線形解析に制限されていました線形解析は設計者が持つほとんどの問題に許容できる近似値を提供しますそれにもかかわらず時折より難解な問題は起こりその場合には非線形解析を必要とします剛性という言葉は線形解析と非線形解析の基本的な違いを明確にします剛性は部品やアセンブリに適用された荷重への応答に表れます形状材料および支持部の 3 つの主要な要素が剛性に影響します従来エンジニアは非線形解析の使用は複雑な問題の定式化と長いソリューション時間を必要とするためその利用を避けていました現在では非線形解析の FEA ソフトウェアが CAD とインターフェイスで連結しはるかに使いやすくなりましたさらに改良されたソリューションアルゴリズムと強力なデスクトップコンピュータはソリューション時間を短くしました 10 年前にエンジニアは FEA が貴重な設計ツールであると認識していました現在では非線形解析が設計の過程にもたらす利益とより大きな理解がわかり始めています線形解析と非線形解析の違い剛性という言葉は線形解析と非線形解析の基本的な違いを明確にします剛性は部品やアセンブリに適用された荷重への応答に表れます多くの要因が剛性に影響します 1. 形状 : I 型梁はチャンネル梁と違う剛性を持ちます 2. 材料 : 鉄の梁は同じサイズの鋼鉄の梁ほど硬くありません非線形解析活用ガイド 1

3 3. 支持部 : 単純支持梁はそれほど硬くなく図 1 で示されたようなはめ込みにより支持された同じ梁より曲がります剛性の変化が十分に小さい場合には変形の過程において形状も材料特性のどちらも変化しないと仮定していますこの仮定は線形解析の原理です図 1: 片持ち梁 ( 上図 ) は両方の端が支持された梁 ( 下図 ) より低い剛性になります構造物が荷重によって変形するときは上記にリストアップされた要因の 1 つ以上により剛性が変化しますもし剛性が大きく変わるのであれば形状は変化しますもし材料の限界に達すると材料特性が変化するでしょう一方剛性の変化が十分に小さい場合には変形の過程において形状も材料特性のどちらも変化しないと仮定していますこの仮定は線形解析の原理ですそれは変形全体の過程において解析モデルが載荷前の変形していない形状の持つ剛性を保持すること意味しますどのくらい変形するかにかかわらず荷重が徐々に適用されその負荷に対して発生する応力がどんなに高くてもモデルは初期の剛性を保有しますこの仮定は問題の定式化とソリューションを大いに簡素化します基本的な FEA 方程式を思い出してください [F] = [K] * [d] ここで :[F] は節点応力のベクトル [K] は剛性マトリクス [d] は未知の節点変位のベクトルこのマトリクス方程式は FEA モデルの動きについて説明しています非常に多く ( モデルサイズに依存した数千から数百万 ) の一次代数方程式を含んでおり剛性マトリクス [K] は幾何形状材料特性および拘束条件に依存しますモデルの剛性が決して変化しないという線形解析の仮定においてそれらの方程式はモデルが変形中に何も更新する必要がなくいったん式が組み立てられればそのまま解くことができますしたがって静解析は問題の定式化から完了までが直線的に続きますこのことにより非常に大きいモデルであっても秒もしくは分単位で結果を出すことができます非線形解析の世界ではすべてが変化します非線形解析ではエンジニアは剛性が一定であるという仮定を捨てなくてはいけません剛性は変非線形解析活用ガイド 2

4 形中に変化するために計算プログラムである非線形ソルバは繰り返し計算の過程において剛性マトリクス [K] を更新しなければなりません正確な結果を得るためのこの繰り返し計算には多くの時間を必要とします非線形解析の種類一般的な経験から変形が部品の一番大きい部分よりも 1/20 以上であると幾何非線形解析を行うことを推奨しますその他の主要な要素として大きな変形において荷重の方向がモデルの変形に追従して変化することがあります剛性の変化の過程はすべての種類の非線形解析に共通ですが非線形の性質は異なる場合があります非線形性の主要な起因に基づき論理的に非線形解析を分類します多くの問題において非線形の性質を 1 つの原因に限定することができないため解析によってはいくつかの非線形の種類を説明する必要があるかもしれません幾何学的非線形既に議論されているように部品の剛性がある環境下において変化すると非線形解析が必要になりますもし剛性の変化が単に形状の変化からくるのであれば非線形の性質は幾何学的非線形と定義されます部品に肉眼で見える大きな変形があるとき剛性の変化によりもたらされた変形といえます一般的な経験から変形が部品の一番大きい部分よりも 1/20 以上の大きさであると幾何非線形解析を行うことをお勧めしますその他の重要な要素として大きな変形においては荷重の方向がモデルの変形と同様に変化するということがありますほとんどの FEA ソフトでは形状の変更によって荷重に追従させるかさせないかを選択することができます図 3 では変形した形状と関連し荷重の角度が保たれています追従しない荷重は元の方向を保ちます図 3: 追従する荷重 ( 左 ) は変形の過程の間方向を変えて変形している梁に対して垂直を保ちます追従しない荷重 ( 右 ) は元の方向を保ちます高い圧力を受けることにより原形を大きく損なう変形をする場合の圧力容器は次のような別の好例となります圧力は圧力容器の壁へ常に垂直にかかります線形解析では容器は変形しないと仮定されていますが圧力容器の現実的な解析は荷重が追従するような幾何学的非線形解析を必要とします非線形解析活用ガイド 3

5 変形が小さいときもまた形状による剛性の変化が起こります典型的な例として最初は平坦であり圧力によって曲がる薄膜があります ( 図 4 参照 ) 変形が小さいときもまた形状による剛性の変化が起こります典型的な例として最初は平坦であり圧力によって曲がる薄膜です薄膜は最初に曲げ剛性だけが圧力荷重に抵抗します圧力荷重がいくらかの湾曲を引き起こした後に変形した薄膜は最初の曲げ剛性に加えた剛性を持ちます図 4: 変形の大きさは非常に少ないかもしれませんが圧力荷重下における平らな薄膜の解析は幾何学的非線形解析を必要とします薄膜は最初に曲げ剛性だけが圧力荷重に抵抗します圧力荷重がいくらかの湾曲を引き起こした後に変形した薄膜は最初の曲げ剛性に加えた剛性を持ちます ( 図 5) 変形が薄膜の剛性を変えるため変形している薄膜は平らな薄膜よりはるかに硬くなります図 5: 平らな薄膜は曲げ剛性だけが荷重に応答します変形によりそれは薄膜の剛性を持ちますしたがってそれは線形解析で予測されるよりはるかに硬くなりますいくつかの FEA プログラムはすべての幾何非線形解析を大変形解析という用語で表していますこれは小さい変形における非線形解析の必要性を無視しています材料非線形もし剛性の変化が作用条件下において材料特性の変化を起こすならばそれは材料非線形の問題です線形材料モデルでは応力とひずみは比例していると仮定しています ( 図 6) これは適用された荷重がより大きいほど荷重の変化に比例し応力と変形も大きくなることを意味していますまた永久変形がなく荷重を取り除くとモデルが元の形状に戻ることも仮定しています非線形解析活用ガイド 4

6 図 6 この簡略化は妥当なこともありますがもし永久変形を起こすような大きい荷重でありプラスチックやゴムやエラストマーのようにひずみがとても大きい (50% 以上 ) 材料の場合材料非線形モデルを使用するべきですこの簡略化は妥当なこともありますがもし永久変形を起こすような大きい荷重でありプラスチックやゴムやエラストマーのようにひずみがとても大きい (50% 以上 ) 材料の場合材料非線形モデルを使用するべきです様々な材料の種類は作用条件下において性質が大きく異なるため FEA プログラムは材料についての専門的な技術とこれらの性質をシミュレートするための材料モデルを開発しました以下の表ではどの材料モデルがどの問題のために最適化に関する簡単な基礎知識を提供します材料の種類材料モデル l コメント弾塑性 Von Mises 極限応力に達する前に応力 - ひずみもしくはTresca 曲線が平坦域を示す材料に適していますほとんどの工学金属といくつかのプラスチックがこの材料モデルによってよく表されます Drucker-Prager このモデルは土と粒状材料に適しています超弾性 Mooney-Rivlin ゴムなどの圧縮できないエラストマーおよび Ogden に適しています Blatz-Ko 圧縮性ポリウレタンフォームタイプのゴムに適しています. 粘弾性個別 ( 他のモデルの硬質ゴムもしくはガラスに適してオプション ) います. クリープ個別 ( 他のモデルのクリープは一定の応力状態下で起こる時間依存のひずみですクリープはほとんどの工学材料に現れますが特に高い温度での金属ハイポリマープラスチックコンクリートおよびロケットエンジンの固形燃料でよく見られます超弾性 ( 形状記憶合金 ) ニチノールニチノールなどの形状記憶合金 (SMA) は超弾性効果を提供しますこの材料は永久に変形することなくロードアンロード周期における大きな変形を受けます非線形解析活用ガイド 5

7 図 7: 完全弾塑性材料モデルの応力 - 歪み曲線この材料モデルでは最大応力は塑性応力 ( 降伏応力 ) を限界として超えることができません完全弾塑性材料モデルの解析において材料が変形後に原型に戻る能力を失うと応力はある一定のひずみを残します完全弾塑性材料モデルの解析では材料が変形後に原型に戻る能力を失うと応力によってある一定のひずみが残ります均等に配置された 8 本のボルトで固定された鋳鉄の隔壁のモデル ( このモデルは最も簡単な非線形材料のモデルで応力 - ひずみ曲線は図 7 で示されます ) で説明してみましょうこのモデルの線形解析では 206MPa(30,000psi) で降伏する材料にも関わらず 614 MPa (89,600 psi) の最大 von-mises 応力を示します線形解析の結果は図 8 に示します図 8: 隔壁の線形応力解析は非常に高く局所的な応力集中を示しますもし応力が降伏点を越えた場合隔壁はもとの形状を失うでしょうか? それを確認するために弾塑性モデルがどのくらい塑性するかを試験する必要があります図 9 では最大応力が降伏応力と等しい場所を示します塑性領域がまだ部分的であり隔壁はもとの形状を失いませんもちろん慎重な設計的判断がこの設計形状が許容できるかどうか決めるために必要です非線形解析活用ガイド 6

8 もし応力が降伏点を越えた場合隔壁はもとの形状を失うでしょうか? それを検証するために弾塑性モデルがどのくらい塑性するかを試験する必要があります図 9 は最大応力が降伏応力と等しい場所を示します塑性領域がまだ図 9: 完全弾塑性材料モデルを用いて得られた非線形応力解析赤い部分は材料が塑性する範囲を示します塑性領域の範囲は部分的です図 10 はアルミニウムブラケットの線形応力解析の結果です最大応力は 44MPa(6,400psi) となりますが材料が 28MPa(4,100psi) で降伏するという事実は無視されます図 10: 穴開きブラケットの線形応力解析は材料の降伏応力を超えた応力結果を表示します材料非線形解析では材料が最大応力 28MPa(4,100psi)( 次ページ図 11) に達したとき降伏する現象を表示することができます非線形解析の応力結果でブラケットがかなり破損する可能性が高いことがわかります塑性領域は片持ち梁の付け根のほとんどを占めわずかでも荷重が増加すると付け根は完全に塑性しブラケットが破損する原因の塑性ヒンジ (plastic hinge) に発展します非線形解析活用ガイド 7

9 図 11: 非線形応力解析は降伏応力までは達していない最大応力を計算しました弾性範囲でもブラケットが塑性ヒンジ (plastic hinge) となる領域に近いことを示していますそれは荷重に対する許容量の限界となりますスチール製のペーパークリップを作る際の単純な作業のモデル化である曲げを行い次にそれを戻すように伸ばす場合には材料非線形と幾何学的非線形の両方を考慮する必要があります図 12 は完全弾塑性材料モデルを使用しペーパークリップが変形していることを示しています図 13 はクリップが元の形状に戻された後の残留応力を示しています図 12: ペーパークリップの曲げの解析は材料非線形と幾何学的非線形を必要とします伸びた位置のクリップは塑性応力を示します図 13: 原型に戻したペーパークリップは残留応力を示します非線形解析活用ガイド 8

10 弾性の安定性の崩壊 ( 座屈 ) 部品の剛性もまた荷重を適用されることにより変化します時に荷重がどのように適用されたのかにもよりますが引張り荷重は剛性を増加させ圧縮荷重は剛性を減少させます例えば張られたロープでは曲芸者の体重を支えることができますがゆるいものでは転んでしまいます圧縮荷重では構造の剛性がゼロになるような現象が起きるため大きな剛性の変化があり座屈が起こりますそのことが構造に急速な変形をもたらしますそして座屈する際にバラバラに壊れるか新しい剛性を構成します座屈荷重 ( オイラー荷重 ) を計算するために線形座屈解析を使用することが可能ですしかし線形座屈解析の結果は慎重な検討結果であるとは言えませんさらに架空でしかない FEA モデルでは実際の部品よりはるかに高い座屈荷重をもたらすかもしれませんしたがって線形座屈解析の結果は慎重に使用するべきです座屈は必ず突発的な失敗と等しいというわけではなく座屈した後に構造物はまだ負荷を支持することができるかもしれません非線形解析は座屈後の現象を説明することができます図 13 図 13 と 14 はスナップスルー効果を示します部品は座屈した後でも負荷に堪える能力を維持しています図 14: スナップスルー効果の解析は非線形解析を必要とします非線形解析活用ガイド 9

11 接触応力と非線形の支持接触を含む支持条件が荷重により変化する場合も非線形解析が必要です接触応力は 2 つの面の間から発生しますしたがって接触面と接触領域の剛性は未知数です図 15 は典型的な接触問題の応力を示します全体的なモデルサイズと比べて接触有効面積は非常に小さいのですが接触領域の剛性の変化は非線形解析を必要とします接触を含む支持条件が荷重により変化するなら非線形解析が必要です図 15: 2 つの球面の間 (2 つの接触した部品のうち 1 つが図示されています ) に発生する応力をモデル化する接触応力は非線形解析のカテゴリに属します図 16 は非線形の支持に関する例を示します有効な梁の長さとその結果の剛性は梁の変形量に依存します梁が支持部と接触するとき有効な長さが短くなるために剛性は増加します図 16: この支持が有効であるときには梁の有効な長さは変化しますその場合には梁の剛性が変化するので非線形解析が必要になります非線形解析活用ガイド 10

12 非線形動解析動解析は慣性効果減衰そして時間依存の荷重を考慮しています落下試験エンジンマウントの振動エアバッグの試験衝突のシミュレーションは動解析を必要とします動解析は線形でしょうか非線形でしょうか? 基本的には静解析と同じですもし荷重によってモデルの剛性が著しく変化しないのであれば線形動解析で十分ですエンジンマウントやチューニングフォークの振動は均衡したポイントにおいて変形が小さいので線形動解析で解析できます多くの場合線形の仮定は現実と異なり過ぎていて不十分だったり紛らわしかったりする情報を提供します適用された荷重下で部品が破壊するかどうか決めるのに線形解析の結果を使用することは過剰設計に通じるかもしれませ衝突シミュレーションのような問題エアバッグの解析または金属をモデル化するためのスタンプの過程すべては大きな変形 ( 幾何学的非線形 ) と大きなひずみ ( 材料非線形 ) の両方が起こるため非線形動解析を必要とします非線形解析によるより良い製品設計の支援そもそも現実は非線形ですしかし線形解析で実際の部品アセンブリの非線形に近似することもできます一般にこういった近似は許容誤差範囲内の結果を出しますそして線形解析は製品の特性に関する貴重な検証結果を出すことができますしかしまた多くの場合線形の仮定は現実と異なり過ぎていて不十分だったり紛らわしかったりする情報を提供します適用された荷重下で部品が破壊するかどうか決めるために線形解析の結果を使用することは過剰設計に通じるかもしれません例えば線形解析だけで解析されたブラケットの設計は設計者の応力が降伏値を超えてはいけないという必要条件に忠実ですしかし非線形解析はいくつかの降伏は問題ないことを示すかもしれませんその場合には使用する材料を節約するかまたは構造的な安全を妥協せずにそれほど高価でない材料を選択することが可能になりますエンジニアが線形静解析においてフラットパネルの大きな変形について関心をもっているとしますしかし線形解析が誇張した変形を示すことを知らずに変形に対して補正を行うと元々の設計が適正であったときには過剰設計になってしまいます基本的な設計の中の非線形解析エンジニアが一度非線形の問題を認識するために十分な経験をるとこの技術の適用は特別な状況に限らないことが明白になりますあらゆる産業と日常の設計習慣に非線形解析が必要でありそこから利益を得ることができるはずです以下では非線形解析を必要とする製品に関するいくつかの例が挙げますこれらの問題の多くは一種類以上の非線形の性質を持っています非線形解析活用ガイド 11

13 Idler pulley( 図 17) このプレス加工された鉄の滑車は降伏応力を超える前にベルトの荷重により座屈するかもしれません線形座屈解析では座屈荷重を測定するためには十分かもしれませんが非線形解析による座屈後の挙動の検証を必要としています図 17 Diaphragm spring ( 図 18) 非線形スプリングの機能特性は薄膜効果の原因になることから幾何学的非線形解析を必要とします図 18 Rollover protective structure( 図 19) ロールオーバーのケースにおいては構造物は降伏点を超えると変形しロールオーバーエネルギーを吸収しますこの過程の中では大きい変形を生じていますロールオーバーの効果を理解するためには材料非線形と幾何学的非線形を必要とします図 19 非線形解析活用ガイド 12

14 Soft obstetric forceps ( 図 20) この器具は出産の際に補助具として使用されるもので赤ん坊の頭の形に設計されています使用中に強く引っ張ったりあるいは押したりしたときにはこの道具は赤ん坊を傷つけないように頭から滑るように設計されますこのような道具の解析は大きな変形と非線形弾性材料のために材料非線形と幾何学的非線形の両方の要素を含んでいます図 20 Fan guard ( 図 21) この部品では変形の過程で発生する膜応力のために幾何学的非線形解析を必要としますまた材料非線形解析も必要かもしれません図 21 Snap ring ( 図 22) 幾何学的線形解析が大きな変形を検証するために必要ですまたこのリングは材料非線形解析に該当する材料を使用しているかもしれません図 22 非線形解析活用ガイド 13

15 Airline luggage container ( 図 23) この航空機用荷物容器は青の Lexan パネルの薄膜の効果で幾何学的非線形解析を必要としますさらにフレームは座屈もしくは座屈後の解析を必要とします図 23 Office chair ( 図 24) この例ではフレームの大きな変形の検証には幾何学的非線形解析が必要かもしれません座面と背もたれは幾何学的非線形解析と材料非線形解析を必要とします図 24 Allen wrench ( 図 25) レンチとソケットねじとの接触は接触非線形解析を必要とします図 25 非線形解析活用ガイド 14

16 まとめ設計モデルで頻繁に直面する性質の解析問題は技術者に非線形解析機能を持つ FEA ソフトウェアを使うことを決定させるだけの内容を持ちます日々の業務に一時的に非線形解析を必要とするなら解析専任者に助けてもらうかコンサルタントを雇った方が効果的かもしれませんしかし製品設計の本質に関わる大きな変形薄膜効果材料非線形接触座屈または非線形支持のような設計における解析問題のためであれば非線形解析の機能は設計者が使用するために社内の FEA ソフトウェアに追加したほうがいいと思われます過去 10 年においては FEA を設計ツールとしてエンジニアに使用する環境を整えてきました今日に至って FEA ソフトウェアとコンピュータのハードウェアはツールボックスに非線形解析を加えることができるくらい成熟してきていると言えるでしょうソリッドワークスジャパン株式会社東京都千代田区丸の内第一鉄鋼ビル3F Tel : info@solidworks.co.jp SolidWorks は Dassault Systèmes SolidWorks Corp. の登録商標ですその他すべての企業名および製品名は各所有者の商標または登録商標です 2008 Dassault Systèmes. All rights reserved SWNONWPJPN0808

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nonlinear1.ai WHITE PAPER CONTENTS 2 3-10 11 12-14 SolidWorks Corporation 10 FEA CAD FEA FEA FEA FEA CAD 10 FEA 3 1. : 2. : no. 1 3. : 1 1 1 FEA [F] = [K] * [d] [F] [K] [d] FEA [K] no. 2 [K] 1/20 1/20 FEA 3 3 no. 3