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1 単振動 (I) 単振動の意味 同じところを行ったり来たりする運動 ma = kx 場所と加速度の向きが必ず反対になる中心で速度最大 加速度 0 端で加速度最大 速度 0 単振動の運動方程式水平面上にバネ定数が k のバネに質量 m のおもりを取り付け ておもりを引っ張り, 手を放す するとおもりは自然長の点を 中心として同じ場所を行ったり来たりする これが単振動であ る 右の図の場合, 運動方程式は ma = kx ところで単振動は円運動を射影したものである 円運動して いる物体に強い光を当ててみると, その影は同じ場所を行き来 するのが分かる 半径 A, 角速度 ω の円運動を考えてみる 速 度と加速度を矢印で描き, その矢印の影の長さを考えてみる 速度は v = Aω cos ωt とできる 加速度は a = Aω 2 sin ωt で ある x = A sin ωt なので, a = ω 2 x とできる 参考書や教科書にしつこく書かれている通り, 非常 に大切な式である ご覧の通り変位 x と加速度 a の符号が逆になっている そも そも x と a の符号が逆でなければ単振動が成立しないのである 先ほどの ma = kx と a = ω 2 x を合わせて係数比較をする と, 次のようになる k 変位 x の係数 ω = つまり ω = m 加速度 a の係数 単振動の速度 加速度単振動の ω は角速度ではなく, 角振動数という 1 周 期を 2π の角度と見立てているのであり, どこの角度や ねん! とツッコまないように 単振動は同じ場所を行 き来する 端では中央に戻ろうとする力が強くはたらく ので加速度も最強となる 中央を通過しているときが, 最高速度となり, 中央をオーバーランしてから減速し始 める だから加速度が 0 となる 中央から果てまでの距 離 A を振幅というが, 結局単振動は中央から両端に A ず つ, つまり 2A の距離を往復するのである 速度は v = Aω cos ωt, 加速度は a = Aω 2 sin ωt なので, 速さの最大値 v max と加速度の最大値 a max は次のようになるのでしっかり覚えても らいたい どちらも sin や cos を 1 として正にすれば求まる v max = Aω, a max = Aω 2 p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

2 単振動 (II) 運動方程式 単振動の運動方程式バネを鉛直につるしたとき下向きに重力もかかる その ため振動の中心が少し下にずれる この位置をつり合いの 位置という つり合いの位置というのは複雑な単振動では 重要な概念であり, 物体にかかる合力が 0 になる位置のこ とである 右の図で考えてみる バネ定数は k でおもりの 質量は m で重力加速度の大きさは g とする おもりの重力 とバネの力がつり合うときのバネの伸び l はいつものつり合 ma = と運動方程式を書く単振動の式は必ず x と a の符号は逆角振動数 ω は運動方程式から 変位 x の係数 ω = 加速度 a の係数 いの式より kl mg = 0 l = mg k ではここで, つり合いの位置から上向きに x 軸をとる 単振動しているある瞬間を考えるわ けだが, 物体が正の座標にある場合を考えた方が楽である x を正の数として扱えるからである バネは図のように l x 下の方に伸びているため, フックの法則から上向きに k(l x) の力がかかる また重力 mg も下向きにかかる 以上のことから加速度 a も上向きを正にし て運動方程式を立てる ma = k(l x) mg ma = kx よって, 最終的には ma = kx となるが,x はバネの伸びではない 周期など単振動では角振動数が命である 角振動数が分かれば周 期なども求められる では次の例題 バネ定数 k のバネ 2 本 を質量 m のおもりの両側に取り付けて右上図のように静止 させる バネはどちらも自然長であった おもりをちょっと 動かしたときの単振動を考えてみる 加速度を a とすれば 運動方程式は ma = kx kx ma = 2kx となる 原点 O より x だけ右側にいるときの運動方程式であるが, 右のバネは x 縮んでい るので伸びる方向, すなわち左向きに, 左のバネは x 伸びているので縮む向き, やはり左向 きになる 右側を正とすると上の式のようになる この単振動の角振動数は上記ポイントか ら加速度の係数は m, 変位の係数は 2k だが, ルートの中に入れるものなので強制的にマ イナスを消して正にする そうすると 2k ω = m より周期 : T = 2π ω m より T = 2π 2k p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

3 単振動 (III) 色々な単振動 どのような単振動も必ず ma = kx の形で表せる基準を決め, 正方向を決定したらすぐに運動方程式に 浮力による単振動断面積 S, 質量 m の柱状物体を密度 ρ の水の水面に浮か べた場合の単振動を見てみたい 物体は重力と浮力の両方 を受けて運動する 重力加速度の大きさを g とするなら重 力は mg でよいが, 浮力は一定値ではない 沈んだ物体の 体積 水 ( 液体 ) の密度 重力加速度の浮力を受けることに なるが, これをアルキメデスの原理という x 0 だけ沈んで 静止したとする 浮力は ρx 0 Sg より x 0 を求めると ρx 0 Sg mg = 0 となる ではこの静止した状態のときの底面の位置を O とし, 原点をとり, 上向きに x 軸を作る 底が x の位置にあるとき物体が沈んだ深さは x 0 x なので,ρ(x 0 x)sg の浮力が上にかかる 上向きを正として運動方程式を立てると ma = ρ(x 0 x)sg mg ma = ρx 0 Sg mg ρsgx ma = ρsgx 変位の係数これなら角振動数 ω も ω = ρsg 加速度の係数 から,ω = m となる 地球のトンネル地球の北極点から南極点までまっすぐトンネルを貫通させて, その中 に質量 m の物体を投げ込むというムチャな実験であるが, これも理論 上は単振動になる トンネル内の物体にかかる力は, 地球のその場所よ り中心側 ( 内側 ) の部分の質量が中心に集まったときの万有引力になる 地球の密度を ρ としたとき, 中心から x の距離に小物体がいるとき, そ れより内側の部分の質量 M(x) は, M(x) = 4 3 πx3 ρ であるから, 運動方程式は, 加速度を a, 図の上向きを正とし, ma = G M(x)m x 2 a = 4 3 πρgx 4 これより, 角振動数 ω は ω = 3 πρg となるので, 周期 T は T = 2π 3π ω = ρg となる このように運動方程式さえ立てれば角振動数が求まるので, その後単振動の問題を解くの に役に立つ p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

4 相対的な単振動 ( 改訂 2.5) 左の 2 つは基本的に同じものバネが x だけ伸びたとし, 右側を正として運動方程式を立てる A について :ma A = kx B について :ma B = kx 運動量保存右図のようなバネがついて水平面を持つ質量 M の台に質量 m のお もりを置いてバネと接続し, おもりに初速度 v 0 を与える これは力積 mv 0 を与えたことになる その後, 台が壁に衝突したり斜面から落下 したりすることがない限り, この系の運動量は mv 0 のまま保たれる バネが最も縮むとき, バネと台の速度はその瞬間だけ一致する その時の台とおもりの速 さを V とすると mv 0 = (M + m)v という式が成立する 相対的な単振動では, バネ定数が k のバネを水平面に置いて片方の端に質量 m A のおもり A を, もう片方の端に質量 m B のおもり B を連結する 今, バネが自然長の状態で A に右向きに速度 v 0 を与える 運動中, 初めの位置から A が x A 進み,B が x B 進んだとすると, バネは x B x A だけ伸びたことになる A と B の加速度を a A と a B のようにおいてフックの法則を用いれば運動方程式は次のように記 述できる A について ma A = k(x B x A ) (1) B について Ma B = k(x B x A ) (2) (1) M (2) m を計算すると Mm(a A a B ) = Mk(x B x A ) + mk(x B x A ) Mm(a A a B ) = k(m + m)(x B x A ) Mm(a A a B ) = k(m + m)(x A x B ) Mm M + m (a A a B ) = k(x A x B ) ここで,µ = Mm M + m,x = x A x B,a = a A a B とすれば µa = kx x は,B から見た A の変位 ( というか位置 ),a は B から見た A の相対加速度である B から A を見た場合, 単振動となっていることを表す その反対も同じである k (M + m)k ω = µ = Mm T = 2π Mm (M + m)k A に与えた初速度を v 0 とすれば, これが B から見たときの相対速度の大きさが最大となる ので, この単振動の速度の最大値となる 振幅を A とすると v 0 = Aω なので, Mm A = v 0 (M + m)k p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

5 慣性力 (I) 慣性力の意味 a で加速中の系から物体を見た場合無条件で加速度と反対方向に f = m a の慣性力がかかる他は通常の力学と同じ 慣性力とはまずあなたが電車の乗客であり, 電車が 0m/s で駅から発車することを想像してもらいた い 外の景色は電車の加速度と反対方向に加速するように見えるであろう 物理の世界では ニュートンの法則より, 加速度が存在するとき, 必ず力が存在することになる しかしこの 場合, 外の景色には何も力がかかっていない この矛盾を修正する力が慣性力であり, 次の ようになる f = ma m : その物体の質量 a : 自分の加速度 慣性力はそのままの速度でいようとする力慣性力という力は実際にはない, 見かけ上の力である そのため, 慣性力には反作用は存在しない 加速する系か ら運動を観察すると, それ以外のものは当然, 加速度と反 対向きに運動しているように見える 相対的な加速度が発 生するのである 電車に乗っている人にとっては景色など も動いているのである 電車などが加速する時, 実際に吊り革が加速中は後ろへ, 減速中は前へ傾いていることを 想像してもらえれば簡単である 車内から質量 m の物体を見た場合, 電車の加速度 a と反 対方向に ma の力を受けるように見える 加速中 電車が加速すると, 吊り革は 置き去り にされるが, 吊り革のひもの張力が天 井から引くので傾く 進行方向の後ろ側に傾く 減速中吊り革は, そのままの速度でいようとするが, 電車が減速するので, 前方に傾く 車内と地上から見た場合の運動方程式 加速する系車内から吊り革を見ると静止し ている つまりつり合っているといえるので張 力, 慣性力, 重力でのつり合いの式を立てる x 成分 :T sin θ ma = 0 y 成分 :T cos θ mg = 0 静止系電車の吊り革を外から観測すると, 吊り革は電車と同じく a の加速度で加速してい るので, 張力, 重力で式を立てると, 数学的に同値な方程式が導出される x 成分 :ma = T sin θ y 成分 :T cos θ mg = 0 x 成分の 2 式は変形すれば同じ式になる p25-4 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

6 慣性力 (II) 放物運動 加速度 a で加速する電車内での放物運動鉛直方向は重力のみ受ける車内で見ると水平方向には慣性力がかかっている慣性力による加速度も発生 非慣性系からの観測加速中の電車の中で加速する方向に物体を投げるという, ちょっ とお行儀の悪いことをしてみる 投げた物体を車内で見ると, 慣性 力がかかっている 物体の質量を m, 電車の加速度の大きさを a とすれば, 物体にかかる力は重力 mg と加速度と逆向きに慣性力 ma である 高さ h から水平方向に v 0 で投げると, 地面に落下するま での時間 t 0 は, h = 1 2 gt 0 2 2h t 0 = g では, 水平距離はどれだけだろうか 車内では v 0 で投げても, 慣 性力による加速度が逆向きにかかるため,a で減速しているように見える 極端な場合, 戻ってくることも考えられる 加速度を a として水平距離 l は, l = v 0 t at2 の公式より 2h l = v 0 g ( a)2h g = v 2h 0 g ah g 慣性系からの観測投げたときの電車の速さを V, 電車の進行方向に向かって 小球を v 0 で投げたとする 車内から見た場合は前述の通りだ が, 外からそれを見た場合, 慣性力はかかっていないので水 平成分は等速直線運動となる だから小球の飛んだ距離 L は 速さ 時間でよい 物体の速さは車内で v 0 電車が同じ向きに V の速さなので, 外から物体のみを見たときは投げられた速さは単純に電車の 速さが加算されるから,V + v 0 である 時速 120km/h で走行中の電車の中で 50km/h で進行方向に投球すれば 170km/h の球になる プロ野球選手もビックリの豪速球が投げられるのである そして再度確認して もらいたいが, 外から見た場合, 慣性力がかからないので等速であるから, 車外から見た距 離 L は次のように求められる 2h L = (V + v 0 ) g 観測者によって慣性力を加えるのか加えないのかはよく考えてから解答したいところである p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

7 運動量と力積 ( 改訂 1.0) 質量 m の物体が速度 v で運動するときその物体の運動量は p = mv 運動量の変化量が力積 I = F t = m v I = m(v 2 v 1 ) 運動量と力積の関係バスケットボールとボウリングのボールが同じ速度で転がって来たと き, 何かを跳ね飛ばすパワーが強いのはボウリングのボールである 質量 と速度の積を運動量という 運動量は p の文字を用いるが, 向きと大きさ があるベクトルであるため, p = m v と書く場合もある 運動量には専 用の単位がない あり合わせの単位で表してみると,[kg m/s] である 物体に力を加えると動く 長い時間力を加えるほどスピードが上がる 力と時間 ( 秒 ) の積を力積という 力を F, 作用していた時間を t とす ると, 力積 I は I = F t となる 単位は [N s] だが, 力積と運動量の単位は同じである つまり, 加えた力積はそのまま物体の運動量となる 右の図のように質量 m の物体に力 F を時間 t 加え,v の速さになったなら, 次のように表現できる 与えた力積 F t = mv 得た運動量 平面上での衝突における力積力積はベクトルの差である 平面上の場合, 数式だけを扱ってい るとよく分からなくなってくる こういったときは図でベクトル的 に計算していくとよく分かる 例題質量 m のボールが水平方向に速さ v で飛んで来た 今, バッ トでこのボールを打ち返したら鉛直真上に速さ v で飛んで行った このとき, バットがボールに加えた力積の大きさを求めよ 要するにキャッチャーフライを打つための力積を考えればよい 飛 んで来たボールに真上方向に力を加えると, 真上には飛んでいかず, 後方上方向に飛んで行く これは飛んで来たボールの運動量が残る からである 真上に返すには, まず飛んで来たボールを止めて, 真 上に力積を与えることである 実際, バットで打つのは 1 回である が, 止めて 真上に の 2 回分を合成した力積を加えれば, 真上に 飛んで行く 式だけで成分に分けてやるやり方は大変なので, 図形的に求める 方がラクである 飛んできた物体の運動量 mv をキャンセルし, なおかつ返したい方向への力積 mv を加える, 図で描いてみたら,4 コマ目の太い矢印が加えるべき力積である だから加えるべき力積 の大きさは 2mv となる 方向はご覧の通りナナメ上 45 である このように図形で考えると簡単になる p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

8 運動量保存の法則 ( 改訂 2.5) 運動量はベクトル p = m v で定義外力がないとき, 合計は保存される衝突しても失われない mv + MV = mv + MV 衝突の他にも合体 分裂などでも利用 あらゆる場面で活躍する運動量保存の法則地面などに固定されていない物体に正面から突進するとその物体はふっ 飛ばされる この想像が大切である 質量と速度の積 m v は運動量とよ ばれるものであり, この量の合計は外力がない条件では保存されるとい う法則がある m 1 v 1 + m 2 v m i v i = m 1 v 1 + m 2 v m i v i が成り立つ この法則を運動量保存の法則という 速度はベクトルで扱う 平面上での衝突運動量保存則が単体で出題されるケースは少 ないが, 単体の場合は衝突後斜めに進んだり, 合体したりとバラエティに富んでいる 平面上 での運動なら運動の場合は成分に分解する 図のように, 質量が m 1 と m 2 の 2 つの小球 A,B が同じ方向にそれぞれ v 1 と v 2 で動い ているとする A が B に追突した後,A は進行方向右に θ,b は進行方向左に ψ の角度をな す方向に直進した 初めの進行方向を x 軸, それに対し垂直な方向に y 軸をとる そうする と運動量保存の法則は x 成分と y 成分に分けて次のようになる { x 成分 : m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 cos θ + m 2v 2 cos ϕ y 成分 : 0 = m 1 v 1 sin θ + m 2v 2 sin ϕ 分裂や合体も運動量保存から分裂や合体のときも運動量保存が使える 右図の上のように 質量 m と M の物体が離れる場合を考える 磁石の N 極どう しをガムテープで止めてハサミで切ることを想像すれば大丈 夫である すると互いに逆に動き出す 右側を正とすると 0 = mv + MV また, 合体する場合はどうだろうか あらかじめ 2 つの物体に接着剤を塗っておき, 正面 衝突させるのである 質量 m の物体が v の速さ,M の物体が V の速さで正面衝突する こ の後どちらへ進むのか分からないのでとりあえず図の右向きを正として, 衝突後の速度 ( 速 度というのは向きも含む ) を正の方向へ v とおくと運動量保存の式とエネルギー保存の式を 2 つ立てると次のようになる mv MV = (M + m)v 1 2 mv MV 2 = 1 2 (M + m)v 2 p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

9 作用反作用と運動量保存 ( 改訂 1.0) 外力がはたらかないとき, その方向の運動量は保存される運動量が保存されるとき重心の速度は一定となるエネルギー保存の式も利用 外力と内力 2 個以上の物体がお互いに作用し合って直線的な運動をする とき, 運動量が保存される 上の図の場合,1 も 2 も水平方向 の外力は存在しないため, 水平方向の運動量は保存される 2 に関しては鉛直方向のみ重力という外力がはたらくため, 鉛直 方向だけは運動量が保存されない なお,1 は重力と垂直抗力 がつり合っているため, 外力の合力は 0 となる では図の 2 つ の場合を考えてみる 1 摩擦のある面を持つ台と球 球と台の間にはたらく摩擦力は外力ではない 作用反作用に よって物体どうしでお互いに逆向きにはたらく力は内力という 球の質量を m, 台の質量を M, 重力加速度の大きさを g とする 台が長ければ小球は減速し, 台は加速する やがて速度が一 致すれば動摩擦力はなくなり, 台と小球は 1 つの物体として等速で進み続ける その速度を V とすれば, ここで運動量保存の法則より mv 0 = (M + m)v V = mv 0 M + m となる また,1 では摩擦があるため, 運動量は保存されても, 力学的エネルギーは保存さ れないので気をつけてもらいたい 運動量保存とエネルギー保存を混同しないよう注意 2 半円形の面 なめらかな水平の面に置かれた質量 M の円 形面の台の左に質量 m の小球を置いてスター トさせる場合はどうだろうか このとき, 球が 台を押す垂直抗力により, 台が動き始める 右 の上に来るとき, 球が折り返す点なので,2 つの速度は一瞬等しくなる それで運動量保存 を考えると, 初めは静止させた状態から始めるので運動量は 0 である 0 = (M + m)v V = 0 また, 小球が最下点を通るときの速度 v 0 を求めるにはエネルギー保存の法則も有効である 円の半径を, 重力加速度をいつも通り g として最下点を通るときの台の速度を v 1 とおく 運動量保存 :0 = mv 0 + Mv 1 エネルギー保存 :mg = 1 2 mv Mv 1 2 2Mg この 2 式から,v 0 = M + m, v 2m 1 = 2 g M(M + m) ちなみに台は左向き ( 負の方向 ) なので v 1 はマイナスである 2 次方程式となるが,v 0 は正, v 1 は負のものを選べばよい p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

10 はね返り係数 ( 改訂 2.5) はね返り係数は弾みやすさ e = v e = v 2 v 1 v v 2 v 1 はね返り係数 e の面で反射した場合速度は単純に e 倍になるだけ 衝突の種類ボールを壁に衝突させてはね返って来るとき, その速さは衝突前よりも遅くなっている 衝突前の速さに対する戻る速さの比をはね返り係数または反発係数とよび, それを e, 衝突 前の速さを v, 衝突後の速さを v とすると v = ev のように表される e = あとの速さあとの速さの差または e = はじめの速さはじめの速さの差 e の値は 0 e 1 である この範囲しか値をとれず, 負に なったり 1 を超えたりする衝突は物理的にはあり得ない 値に よって衝突のタイプが違う e = 1 弾性衝突スーパーボールのイメージに近い 床 に落とすと同じ速さで戻って来る ( 実際はそうでもないが ) 自 由落下して, 地面で完全弾性衝突するときは, 同じ高さまで跳 ね上がる e = 1 の場合のみ運動エネルギーが保存される 0 < e < 1 非弾性衝突サッカーボールやバスケットボー ルなどの一般的なボールを地面に落としたときのはね返りで ある バウンドさせても同じ速さでは戻ってこない e = 0 完全非弾性衝突意地でもはね返らない衝突である 本などを地面に落とした ときは完全非弾性衝突に極めて近い 衝突後, 相手の物体と 合体 する衝突を指す 二物体の衝突外力がはたらかない二物体どうしの衝突を考え る 物体 A と B の速度を v 1 と v 2 のようにおく 衝突後のそれぞれの速度を v 1 と v 2 とする この ときはね返り係数はどうなるだろうか 二物体のときは相対速度で考える 図のとき, 衝突 前なら A が B に追突するので A の方が速い だから v 1 v 2 > 0 である しかし衝突後は B の方が速くなるので v 2 v 1 > 0 である はね返り係数は正であるから, e = v 2 v 1 = v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 となる とにかく ± で間違えないように 衝突前は互いの進行方向が分かるが, 衝突後は分からないことも 多い 右図のように質量 2m の A が右に v 1, 質量 m の B が左に v 1 で運動して, はね返り係数 e で衝突したとする このとき, それぞ れどちら方向へ進むのかは計算しないと分からないので, どちらも右向きに v 1 と v 2 とおい て式を立てるのが通常である 運動量保存 : 2mv 1 mv 2 = 2mv 1 + mv 2 はね返り係数 : e = v 2 v 1 v 1 ( v 2 ) p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

11 円運動と向心力 (I) 円運動の意味 ( 改訂 2.5) 中心へ向かう向きの合計が向心力 v = ω a = ω 2 = v2 F = mω 2 = m v2 円運動に必要な向心力円運動はその名の通りある点を中心として円軌道を描くよ うに動く回転運動である 1 秒間に回転する回数を回転数と いい, 単位を [Hz]( ヘルツ ) で表す また,1 秒間に回る角度 を弧度法で表記したものを角速度といい, 単位は [ad/s] である 例えば 1 秒間に 2 周する円運動なら回転数は 2.0[Hz] となる また角速度は 1 秒で 2 周,1 周の角度が 2π[ad] な ので,ω = 4π[ad/s] となる 1 周するのに費やされる時間を周期という 半径 の円 の円周は 2π であるから, 速さ v で 1 周すると距離 速さより T = 2π v だけの時間がかかる また, 角速度を使う と,2π 回るのにかかる時間なので,T = 2π ω となる この 2 つの T をイコールで結べば v = ω が得られる 向心加速 速さが変わらない等速円運動であっても, 速 度というベクトルは絶えず向きを変えている つまり, 速度が変わるので加速度を生じる この加速度を向心加速度という 向心加速度 a は次のようになる a = ω 2 または a = v2 ω : 角速度 円運動の運動方程式天井から長さが l のひもをつるし, 質量 m の小球を取り付け, 鉛直線から角度 θ だけ傾けて小球に初速 v 0 を与えて水平面内で 円運動させる ひもの軌跡が円錐になるので, 円錐振り子とよば れる 受ける力は重力, 張力のみである これを真上もしくは真 下から見ると, 半径が l sin θ の円運動をしている このような立 体的な円運動の問題は真横からの図と真上 ( 真下 ) からの 2 つの図 を描いて考えることが定石である 鉛直方向のつり合いは T cos θ と重力 mg がつり合うので, 鉛直方向 T cos θ mg = 0 また, 水平方向に関しては円の中心に向かって向心加速度が生じている その加速度は a = v 0 2 l sin θ である この加速度をいつもの運動方程式 ma = f に使うと水平方向 m v 0 2 l sin θ = T sin θ v : 速さ p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

12 円運動と向心力 (II) 運動方程式の立て方 ( 改訂 2.5) 円運動の式 m v2 = 内向きの力 外向きの力向心力という力は存在しない向心力 = 内向き力と外向き力の差 遠心力と向心力の違い遠心力と向心力を混同する人は多い この際はっきりさせて おくが, どちらも存在しないのである また, どちらか 1 つの みしか考えない 以下, 重力加速度の大きさは g とする 向心力を考えるとき 円運動を外から見たときに中心方向へ の合力が向心力となる 図のように長さ のひもに質量 m のお もりを鉛直につるし, 左右に運動させる 鉛直線とひものなす 角が θ のとき張力を T とし, このときの物体の速さを v とする と, 内向きの力と外向きの力の差が向心力であるから = T mg cos θ 遠心力を考えるとき円運動している物体の立場に立って観 m v2 測したときにはたらく慣性力である 慣性力なので向心加速度 と反対方向にはたらく このとき, つり合いの式を立てると T mg cos θ m v2 = 0 となり, どちらの視点で式を立てても移項すると同じ式が出て くるのである 円運動は国公立を中心として入試では力学のメ インとなるのでしっかり押さえておきたい 具体的な運動方程式鉛直線と母線のなす角が θ である円錐の頂点に長さ l の糸を取り付 け, 質量 m の小球を取り付け, なめらかな ( 摩擦のない ) 円錐面の上 を転がす 小球は水平面において速さ v で等速円運動を始めた 円 運動の半径は糸の長さが l なので l sin θ となる では遠心力を用いて式を立ててみたい 遠心力の矢印を図に描き込 んでつり合い式を立てる準備をする 力をすべて挙げると重力 mg, 垂直抗力 N, 張力 T, 遠心力 m の 4 つで, これを円錐面に垂 l sin θ 直な方向と平行な方向に分けると右下図のようになる 平行方向 T m v2 sin θ mg cos θ = 0 l sin θ 垂直方向 N + m v2 cos θ mg sin θ = 0 l sin θ この 2 式から張力と垂直抗力が求められる T = mv2 + mg cos θ, N = mg sin θ mv2 l l tan θ v2 p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

13 非等速円運動 ( 改訂 2.5) 鉛直面内での円運動基本的に非等速エネルギー保存で速さ v を求め m v2 = F エネルギー保存と運動方程式点 O を中心に質量 m の物体が長さ のひもでつながれている こ の物体に v 0 の初速度を与えると, 鉛直面内で円運動をし始める こ のとき重力以外に外力がはたらかなければ下方では速く, 上方では遅 い非等速型の円運動になる これは力学的エネルギーによるもので ある エネルギー保存で速さを求め, 円運動の式に持ち込むというの が王道である 以下, 重力加速度の大きさは g とする 初速 v 0 を与える v 0 の大小によっては途中で停止して戻って来た り, グルッと一周したりする では一周するために必要な初速はどう なるか これを考えるには, 糸がたるまないことを考える 張力は最高点で最も弱くなる 張力を T としたとき,T 0 であればよい 最高点における速さを v とし, エネルギー保存の式を立てる 1 2 mv 0 2 = mg mv2 v 2 = v 0 2 4g また, 最高点における運動方程式は m v2 = T + mg ( 遠心力派の人は T + mg m v2 = 0 いずれの場合も T = m v2 mg となる 回転が成立するには T 0 なので, T = m v 0 2 4g mg 0 v 0 5g 円から離れる場合非等速円運動のお決まりであるが, 円軌道から離れるものもある 張 力や垂直抗力などが 0 になると離れる 右図のように, 質量 m の小球を床上に置かれた半径 の円筒の頂上に静かに置いて手を離す ( 初速 0 という意味 ) このとき, 小球が円筒面から離れて飛び出す床からの高 さを考えよ 重力加速度の大きさは g とする, という例題である では AOB = θ として, エネルギー保存の式と運動方程式を立てる エネルギー保存 m v2 mg(1 cos θ) = 1 2 mv2 運動方程式 = mg cos θ N 円軌道から離れるときは垂直抗力がなくなるので,N = 0 とする そうすると上の 2 式は v 2 と cos θ の連立方程式となる v 2 は 2 乗のままで計算するとラクである cos θ の値を求 めると cos θ = 2 3 となる 小球が離れる高さは と cos θ の和なので, + cos θ = 5 3 が 導かれる エネルギー保存と運動方程式の両方を駆使することである ) p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

14 万有引力 質量 m と質量 M の天体が引き合う力 F = G Mm 2 G は万有引力定数天体は万有引力を受けて円運動 天体の運動は力学で物体が下に落ちるのは当たり前である その至極当然な現象は万有引 力である 2 個の物体の間にはたらく力である どんな物体にも万有引 力があり, いつも引き合っている 万有引力は距離の 2 乗に反比例し, それぞれの質量に比例する 万有引力 F は F = G Mm 2 と表される 万有引力定数は G = である 例えば鉛筆と消 しゴムを並べると, お互いに引き合っているのである しかしピンとこない これは, 万有 引力定数があまりにも小さいので空気抵抗や摩擦力に打ち勝つことができないからである 公転運動は円運動実際問題, 惑星や衛星は母星のまわりを楕円運動するが, 離心率 は小さく, 準惑星の冥王星やその他彗星などの特例を除いて円運動 と考える 公転の際, 万有引力が向心力としてはたらく 高校物理 の範囲ではその他の力は基本的に考慮しなくてよいので, 運動方程 式を立てると次のようになる m v2 = GMm 2 地表での重力地球の半径を R とする 地表での質量 m の物体にかかる重力 は mg である これがだいたい万有引力と同じであるから, G Mm R 2 = mg より GM = gr 2 これは問題文で万有引力定数などが与えられていないときに非常 に有効なので覚えておいて損はない 位置エネルギー万有引力による位置エネルギーは基本的に無 限遠点を基準にすることが多い ある点 A での位置エネルギー は, 基準から A まで静かに物体を運ぶために必要なエネルギー である 計算して求めるのは若干大変なので公式として覚えても らいたい 地球の質量を M とすると, 地球の中心から 離れた質量 m の物体が持つ万有引 力による位置エネルギー U は U = G Mm 特に地表では U = mgr となる 無限遠点が 0 で, 天体に近づくにつれ位置エネルギーは小さくなる p517-3 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

15 ケプラーの法則 ( 改訂 2.5) ケプラーの 3 つの法則 1. 惑星の公転軌道は太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道 2. 面積速度は一定 3. 公転周期の 2 乗と半長軸の 3 乗は比例 ケプラーの法則 第 1 法則楕円運動惑星は実はきれいな円運動ではなく, 楕円運動である 太陽を 1 つ の焦点としている 離心率は小さく, ほぼ完全な円に近い 離心率や焦点は数学 C で習う が, 実際に数 C レベルの計算が必要な問題はまず出ない 第 2 法則面積速度一定面積速度も聞き慣れない言葉とは思 うが, 面積の単位時間当たりの変化量である 時間 t の間に移 動した距離は t が微小であれば v t である このとき恒星と惑 星を結ぶ直線の描く軌跡の面積 S は底辺 高さ 2 より S = 1 2 v t S t = 1 2 v このとき, S t のことを面積速度という つまり面積速度一定の法則は,v 一定であるということである ある彗星が太陽からの距離が のときの速さが v 0 だったとする 距離が 4 になったときの速さ v は次のように求めることができる 要は速さと距離が反比例するのである v 0 = 4v v = 1 4 v 0 第 3 法則周期と半径の関係同じ星のまわりを公転する天体 どうしで成り立つ関係 万有引力定数を G, 母星 ( 公転中心 ) の 質量を M, 公転している天体の質量を m, 母星との距離を と して運動方程式を立て, 公転周期 T を求めると次のようになる G Mm 2 = m v2 GM v = T = 2π v より T = 2π GM 両辺を 2 乗する T 2 3 = 4π2 GM = 一定 M は母星 ( 月の母星は地球, 地球の母星は太陽 ) の質量なので,1 つの星のまわりを公転す る天体すべてに共通して T 2 / 3 が一定といえる 太陽系なら, 水金地火木土天海 ( 冥 ) すべ ての天体において成り立つ 例題右上図のように太陽のまわりを 2 つの惑星が公転している 惑星 1 の公転半径を, 公転周期を T 0 年とする 距離が 4 の惑星 2 の公転周期 T を求めよ 解答 ケプラー第三法則は以下のように使う 2 T 0 3 = T 2 (4) 3 T 2 = T 0 2 T = 8T 0 これより,8T 0 年と分かる このケプラー第 3 法則は注意してもらい たい点がある は正確には母星からの距離ではなく, 半長軸である 半長軸というのは楕 円のもっとも長い直径に当たる部分の半分のことであり, 軌道が楕円なら右図の部分が と なるので, 間違ったものを代入しないように p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

16 宇宙速度 ( 改訂 2.7) 第 1 宇宙速度地表スレスレを公転するための速さ v 1 = gr 第 2 宇宙速度地表に戻ってこないための脱出する速さ v 2 = 2gR 第 1 宇宙速度地球の半径 R, 質量 M, 重力加速度 g とする 地表すれすれで公転できる最小の速度で, 地表での重力を向心力として円運動できる速度を第 1 宇宙速度という その速さを v 1, 地表での重力加速度を g とし, 円運動の 方程式より, m v 1 2 R = mg v 1 = gr 重力加速度は 9.8m/s 2, 地球の半径は 6,400km( m) であり, これらを代入して計算 すると, 約 7,900m/s( m/s) となる これは東京 ~ 大阪を約 70 秒程度で移動してし まう速さである 第 2 宇宙速度万有引力の位置エネルギーを思い出してもらいたい 無限遠点を基準とした場合位置エネルギー U = G Mm を覚えてほしい 無限遠点を基準 0 とし, 質量 M の天体 の中心から距離 離れた部分での質量 m の物体が持つ位 置エネルギーを表している ではここで力学的エネルギー 保存の法則の式を立てるが, 地球を飛び立つときの初速度 を v 2 とする 地球の半径を R, 地球の中心から x だけ離 れた点での位置エネルギーを ( K とし, 1 2 mv G Mm ) ( = K + G Mm ) R x のように立てられる 無限遠点での位置エネルギーは 0 である 無限遠点での運動エネル ギーを K 0 とする 地球に戻って来ないようにするためには, 無限遠点まで届けばよい これは運動エネルギーが残っているということであり, 数式的には K 0 0 であればよい K 0 = 1 2 mv 2 2 G Mm 2GM 0 v 2 R R = 2gR のときに脱出できる つまり, 第 2 宇宙速度は v 2 = 2gR であり, これを具体的に計算す ると 11,000m/s( m/s) にもなる 東京 ~ 八王子も 4 秒で移動できる速さである 第 1 宇宙速度も第 2 宇宙速度も質量には関係しない 皆さんはブラックホールというものはご存知だろうか 何でも吸い込むというブラック ホールは理論上, この第 2 宇宙速度が光速 c = m/s を超える天体である つまり 光の速度で離れても引き戻される恐ろしい天体といえる p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理