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1 ロボットの為の力学 演習補足資料 東京電機大学未来科学部ロボット メカトロニクス学科鈴木聡 本講義は黒板を中心に行い 本資料はその補足という位置づけです 従って本資料で 講義全体の細部をカバーしているわけではありません 注意してください Satoshi Suzuki 008- ロボメカの為の力学第 ~6 回 6 章剛体運動

2 6. 剛体の回転運動と慣性モーメント (i) 角運動方程式 N = I ω& N: トルク [N m], I: 慣性モーメント [kg m ], : 角加速度 [rad/s ] ω& (ii) 慣性モーメント 回転運動に対する 剛体の慣性の大きさを表す量 [ 質量 ]x[ 長さ ] の次元を持つ量 剛体の形と密度分布によって決まる密度一定の場合 : 剛体形状のみで決まる量 x 全質量 M 6. 慣性モーメントに関する定理 A. 平行軸の定理 I = IG + d M 任意の軸まわりの慣性モーメントI = 重心を通る軸まわりの慣性モーメントI G + 軸と重心との距離 d 全質量 M B. 直交軸の定理 I = I + p0 y I x 平面剛体と その面上の任意の点 Oに関し 点 Oを通り その面に垂直な軸まわりの慣性モーメント I po = 点 Oを通り その平面内の直交する任意の 直線 O x, O y のまわりの慣性モーメント I x, I y の和

3 6.3 断面二次モーメント (second moment of area) 式として 質量の代わりに面積を使って求めた慣性モーメントの事条件 : 物体が厚さ一定で 密度均一の場合 ( 質量 面積 の場合 ) 面積の慣性モーメント (moment of area) ともいう 断面の形状による曲げにくさを表す量 でもある長い棒材 ( レール H 鋼など ) の強度をあらわすのに使う 力のモーメント ( 教科書 p.6,.3 節 ) FR ロボメカ基礎の復習 ( 思い出して!) 力の置換 ( 一つの ) 力 F A = 力 F B + 偶力モーメントN 平行移動 力 F B B 平行移動 力 F A A モーメント N 力を平行移動した場合 物体に及ぼす効果を変えないためには さらに F d の偶力モーメント (=N) を物体に加えればよい

4 力のモーメント ( 教科書 p.6) FR ロボメカ基礎の復習 ( 思い出して!) 力のモーメント ってなんだっけな?.. と忘れた人の為に (). 力のモーメント 力のモーメント (moment of force) = 物体を回転させようとする力の働き N=F l, N: モーメント [N.m], F: 力 [N], l: モーメントの腕の長さ [m] (= モーメント中心への作用線からの垂線の長さ ) 軸 O 腕 l 力 F 着力点 A 作用線 ロボメカの為の力学第 7~9 回 7 章衝突

5 7.3 運動量保存の法則 I. 並進運動の場合 質量 m, m の物体 AとB 各々の速度は v, v [m/s] A,Bが衝突! A,Bは ( 瞬間的だか ) t [s] 間 接触し続け その間に AはBに力 F を加えた = BはAから ( 外力として ) 力 Fを受けた 3 t [s] 後 Bの速度は v v ' と変化 力積の式 (7.3) より 物体 B について F t = mv mv...( B) (7.3 続き ) ' AはBから反作用を受ける 衝突の間 AはBから反作用として 力 -F を受ける 3' t [s] 後 Aの速度は v v ' と変化 力積の式 (7.3) より 物体 Aについて ( F) t = mv mv...( A)

6 (7.3 続き ) 4 式 (A)+ 式 (B) より Ft Ft = ( mv mv) + ( mv mv ) m v + m v = m v + m...(7.) v 衝突前の物体 A,B の運動量の和 衝突後の物体 A,B の運動量の和 つ ( 以上 ) の物体が 互いに力を作用しあって速度が変わっても つ ( 以上 ) の物体の運動量の和は その作用の前後において変わらない... " 運動量保存の法則 " つ以上の物体についても成立 (7.3 続き ) N : トルク [N m] II. 回転運動の場合 I : 慣性モーメント [kg m ]. 回転運動方程式より I ω& = N ω& : 角加速度 [rad/s ]. 外部からトルクの作用がない場合はN = 0 なので Iω& = 0 3. これを積分して I ω = const " 角運動量 " のこと 物体に外から力が働いていないか 働いていても外力のモーメントの和が 0 ならば 角運動量は一定... " 角運動量保存の法則 "

7 [ 例題 3] 条件 重さ400kgfのつちを 高さ5mから落下 重さ50kgfのくいに落とす 0.m 打ち込んだ 問 地面の抵抗力は何 N? ( 小数点第 0 位 ) ( ヒント ) a) 当たった直後は 槌と杭は一体になる b) 当たる直前の槌の速度 v 直後に v ' c) 当たった直後から等加速度で減速し 0.m 進んで停止 d) 地面の抵抗力 = 衝撃力 + 重力 [ 例題 4] 条件 円盤 Aと円盤 Bからなるクラッチ ( 慣性モーメントは各々 I a, I b ) 最初はAは停止 Bは角速度 ω b [rad/s] で回転 問 連結後の両円盤の角速度 ω は?

8 7.4 衝突 (collision) () 向心衝突 作用する力の作用線が 物体の重心を通る衝突 つの物体が向心衝突をするとき 図 - 接近速度... 物体が衝突前に接近していた速度 : v -v (>0) - 分離速度... 物体が衝突後に分離していく速度 : v' -v' (>0) - 反発係数 / はねかえりの係数 (coefficient of restitution) v v 分離速度 e : = =...(7.7) v v 接近速度 0 < e < e の値は 物体の材質によって定まる 教科書表 7. 参 e = のとき " 完全弾性衝突 " e = 0のとき " 完全塑性衝突 " という (7.4 続き ) v, v について解くと最終的に m v' = v ( + e)( v v)...(7.8a) m + m [ 例題 5] m v' = v + ( + e)( v v)...(7.8b) m + m 条件 質量 m = 3 kg, m = 5kgのつの鋼球 A,B AとBは v =6 m/s, v =3 m/s で運動中 AとBの間の反発係数 e = 0.55 問 衝突後のつの球の速度 v, v はいくらか? ( 小数点第 位 )

9 [ 例題 6] 条件 ゴム球を3mの高さから落下 地面に当たってmの高さへ跳ね上がった 問 はねかえり係数は? ( 小数点第 位 ) ( ヒント ) 衝突直前と直後の速度 v, v を静止時の到達高さから求める ロボメカの為の力学第 0 回 8 章仕事 エネルギー 動力

10 8. 仕事 () 仕事とその単位 物体に働く力の効果を表す方法 i) 力積 = F t [N.s] ( 力 時間 )... 前回まではこちら ii) 仕事 = F s [J] ( 力 移動距離 )... 今回はこちら 厳密には " 移動した方向成分の力 " " 移動距離 " 単位はJ ( ジュール ) : [J] = ( [N.m] )... トルクと単位が同じだと混乱するので [J] を使うこと! () バネのなす仕事 力: F = k x ( フックの法則 ) F: バネの力, k: バネ定数 [N/m], x: たわみ量 [m] x k 仕事: F = F dx = 0 x ( 続き ) (3) 重力のなす仕事 W = mg ( h ) A hb... (8.5) 式(8.5) にはαがない つまり斜面の傾きに無関係 鉛直方向の距離 ( 高さの差 ) にのみ関係 重力のなす仕事は その経路に関係なく 始点と終点の位置できまる... 保存力... " 上記 を満たす力 " の総称 ( 例 : 万有引力 磁力 ) 力の場(field of force)... ある種の力の働く空間 ( 重力場 磁場 )

11 ( 続き ) (4) 回転の仕事... まずは黒板 全仕事 : 比較 並進の場合の仕事 : θ W 0 = F rdθ = Fr θ 力 F による O 点まわりのモーメント = トルク N = N θ = トルク 回転角変位 W = F s = 並進力 移動距離 8. エネルギー () エネルギー (energy) = 物体が仕事をなし得る能力 の大きさ : 仕事の量で表す の単位 = 仕事の単位 [J] エネルギー保存の法則 エネルギーの形態は様々だが 全体としてエネルギーの量は変わらない () 位置エネルギー (potential energy) 物体の位置や形が変わることで 物体に蓄えられるエネルギー 基準位置を各自が決め その位置からの相対量として表す - 重力場の位置エネルギー : mgh - バネの位置 ( 弾性 ) エネルギー : kx

12 ( 続き ) (3) 並進運動の運動エネルギー 運動中の物体が持つエネルギー 速度の 乗に比例する (4) 回転運動の運動エネルギー 回転中の物体が持つエネルギー mv Iω 8. エネルギ (5) 力学的エネルギー (mechanical energy) 保存の法則 力学的エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー 物体が保存力の場で運動するとき T + U = 一定, T : 運動エネルギー = U : 位置エネルギー = mv mgh 例題 6 検証: ハイジのブランコ 単振子の周期: T = π l g 周期 T = 6 = [s] v = gh = = 8.73[ m / s] = 67.6[ km / h]

13 ( つづき ) (6) 衝突による運動エネルギーの損失 一直線上で動いている 球の衝突 ( 前々回の復習 ) 衝突後の 球の速度 v, v は各々, 式 (7.8) より m v' = v ( + e)( v v)...4 m + m 最終的に損失エネルギーは m m ΔE = ( e )( v m + m m v' = v + ( + e)( v v) m + m v ) (8.) - 完全弾性衝突 (e = ) なら ΔE = 0 運動エネの損失なし - 一般の衝突では 0 < e < なので ΔE > 0 運動エネ損失 ( 音エネや熱エネに変わる ) 8.3 動力 (power) () 動力 仕事 W [J] の時間 t [s] に対する割合 ( 仕事 Wには時間の概念が入っていないので ) 動力 P = W / t [W] (8.) = F s / t = F v [W] (8.3) s: 移動距離 [m], v : 速度 [m/s] 動力の単位 : [W : ワット ] or [PS : 馬力 ] [W] = [J/s] = 0.0 [kgf m/s] [PS] = 75 [kgf m/s] = 735 [W] PS : Pferdestärke : 仏馬力 ( 馬の力 の仏語 ) HP : horse power : 英馬力 [HP] = 745 [W] 仕事の量が大きいときの単位 : [kwh : キロワット時 ] [kwh ] = 時間連続してkWの動力のした仕事

14 ( 続き ) () 回転運動の動力 復習 : トルクによる仕事 : W = N θ (8.7) 再び 動力 P = W / t = N θ / t = N ω [W] (8.4) さらに毎分回転数を n [rpm] とすると動力 P = πnn /60 [W] (8.5) ロボットメカトロニクス基礎第 -4 回 9 章摩擦

15 9. 摩擦 摩擦. すべり摩擦 物体が面で接触していて これらをずらすとき 接触面にこれら 物体の滑りを妨げる現象. ころがり摩擦 物体が他の物体の面に沿って転がるとき 接触部が変形することで生じる偶力により 物体の転がりを妨げる現象 F F : すべり摩擦 N N : 転がり摩擦 9. すべり摩擦 ) 静止摩擦 重量 W [N] の物体を水平面上に置く 物体は床から反力として 垂直抗力 Nを受ける (NはWと大きさ同じで逆向き) 3 次に 接触面に平行に力 Fで引張る 4Fの大きさがある値未満のうちは Fと大きさが同じで反対向きの力 F' が生じる = 静摩擦力 (static friction force) ( 水平方向にはFとF' が釣合うので物体は静止したまま ) 5F' を徐々に大きくすると ついにはFとF' の釣り合いが崩れて物体は動き始める このときの静止摩擦力を最大摩擦力という

16 9. すべり摩擦 b) 摩擦円錐 ( 静止摩擦 ) 静摩擦力のつりあいを考える... 垂直抗力 N, 静摩擦力 F' とする NとF' の合力をRとする 3 今 丁度 最大静摩擦力が働いてつりあっているとすると 式 (9.) より F ' = μ s N 4NとRの成す角をλとすると 図より tan F = ' N μ N N s λ = = μ s 5 接触面が等方性であれば μ s はどの方向でも同じ 6よって面に垂直な軸まわりで回転させると 合力 Rのベクトルは円錐面を描く 摩擦円錐(cone of friction) という FとNの合力が摩擦円錐の内部にあれば物体は滑らない 9. すべり摩擦 ) 動摩擦 (kinetic friction) ( 最大静摩擦力を超えて ) 動き出した後 依然 接触面に働く抵抗力 動摩擦力 < 最大静摩擦力 F' = μk N μk : 動摩擦係数, N : 垂直抗力 の大きさは 移動速度や面の広さと殆ど無関係