計算での注意 : 文字式で計算し 数値計算は最後にする 文字にはそれぞれ意味がある 質量 ss 力 foc 加速度 cclion 速度 loci など 質点 : 大きさの無視できる物体 質量をもつ 自身の周りの回転運動は考えない 例えばコマは その位置を変える事なく回転運動し その運動エネルギーを持

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1 質点の力学 目次 速度 加速度の定義 微分 積分を用いた 位置 速度 加速度 5 慣性の法則 運動の法則 作用反作用の法則 8 力のつりあいの基本 水平面での物体のつりあい 運動 6 複数の物体が関与する 静止 運動状態 4 斜面での物体の運動 34 速度に比例する抵抗を受ける物体の運動 45 滑車のある運動 47 次元の運動 5 運動量と力積 55 力学的エネルギー 67 微積分を使った力学的エネルギーの簡単な扱い 9 力学的エネルギーの ベクトルと微積分を使った説明 95 水平面での回転運動 3 円錐振り子 9 次元の極座標表示での 速度と加速度の求め方 単振動 ばねにつながった物体の運動 4 連成振動 45 単振り子 重力下での円運動 5 質点系の力学の総合問題 65 注意 : このファイルの著作権は 室蘭工業大学矢野隆治にあります ファイルの内容を紙に印刷した後 鉛筆 ボールペンなどで書き込みしてもかまいません しかし 著者の許諾なく ファイルの内容そのものに対して勝手に書き換え 改変する事は しないでください また 間違い ミスプリントなどが見つかった場合は 著者 矢野隆治 まで連絡をお願いします

2 計算での注意 : 文字式で計算し 数値計算は最後にする 文字にはそれぞれ意味がある 質量 ss 力 foc 加速度 cclion 速度 loci など 質点 : 大きさの無視できる物体 質量をもつ 自身の周りの回転運動は考えない 例えばコマは その位置を変える事なく回転運動し その運動エネルギーを持つが この事を無視する ベクトルの説明 : 向きと大きさを持つ 位置 変位 速度 加速度 力は ベクトル量 スカラ の説明 : 向き 方向 は持たないが 大きさをもつ 速さや長さなど 速度と速さの違い : 速さは大きさ 例 /s であり 速度は大きさと向き 例 : 東向き を持つベクトル 速度 加速度の定義 時間間隔 での物体の移動距離 位置の変化 で 平均の速度 を定義する 時刻 での速度 は を十分短くした時の値で定義する : li 時間間隔 での物体の速度変化 速度変化 で 平均の加速度 を定義する : 時刻 での加速度 は を十分短くした時の値で定義する : li 直線上の運動 : 加速度 と速度 および位置 との関係 簡単な 直線上の運動を考えます 等加速度運動 : 速度 : 加速度 高校物理では 一定の簡単な場合のみを扱う 例外 : 振動 一定 の置き換えで を得る 等速運動は なので である 一般には ある時刻 における速度 加速度の定義は li li 等速度運動の時の位置の変化は 速度 時間 移動距離である 一定なら 面積 移動距離

3 等加速度運動での位置の変化 加速度 > の時は 下左図の四角形 三角形の面積が 移動距離になる < の時は 四角形から三角部分を取り去ると考えよう 下右の図 その面積が移動距離になる 取り除く 面積 移動距離 面積 移動距離 例題 等加速度運動 電車が 駅を出発し.3/s の加速度で速さを増し 5 s 経過した時加速をやめて その時の速 さで 6s だけ進んだ その後一定の割合で時間 3s だけ減速し 駅で停止した 駅から 駅に着くまでの時間と速さの関係をグラフに書け 初めの 5 秒間に進んだ距離を求めよ 3 最後の 3 秒間の加速度はいくらか? 4 出発してちょうど 6 秒経った時の 電車と 駅との距離を求めよ 5 駅と 駅との距離を求めよ 解説と解答 電車の運動では ~5 秒までは 等加速度運動で速さが増加する 5~56 秒では 一定の速さで 進む 56~563 秒では 一定の加速度で速さが遅くなり 速さ ゼロで 駅に到着している 事を理解しよう 出発時の加速度.3 /s 駅到着時の加速度 とする ~5sでは 最初の速度 ゼロでの等加速度運動である よって速度 は.3 5 秒後の速度は.3 5 5/s になる 5 5~56 秒では 等速度運動で 5/s である 56~563 秒では 3 秒掛けて減速し 速度がゼロになる よって 3 5 / 3.5/s 5 速度は /s で与えられる ~5 秒で 距離 /.5 となる よって 5 秒での距離は.5 5 である /s 3 で説明したように 減速時の加速度 は 3 秒で停止したので 3

4 3 5.5/s となる 4 出発して 6 秒後の距離は となる 5 それぞれの区間での移動距離を求める ~5 秒で 距離 /.5 よって 5 秒での距離 ~56 秒では 等速運動なので 移動距離 ~563 秒での移動距離は 等加速度運動 減速 なので / よって - の距離は / 例題 等加速度直線運動の列車 一定の加速度で 一得戦場を走る長さ の列車の先端部 分が在る点 Q 踏み切り を通過する時の速度は 最後部が点 Q を通過する時の速度は であった 列車 の真ん中が点 Q を通過するときの速度を求めよ 解説と解答 等速直線運動と解釈して 問題を解く 列車の先端と最後部での速度に違いがあった これは 列車が 等加速度運動を行い 距離 進む間に速度が変わったという事を意味する 加速度を 距離 進むの にかかる時間を とすると として次の式が成り立つ [ ] 加速度 と時間 を用いて / / となる時間 / < / < を求める / / / ± / / / / / / / / / これより 電車の真ん中での速度を / とすれば 以下のように求まる / / 注意 : < の場合 電車の真ん中が点 Q を最初に通過する時間と 電車が逆戻りして再び通過する時 間が得られる 4

5 微分 積分を用いた 位置 速度 加速度単純な 次元の直線運動を考える 時刻 における位置が で与えられるとする すると時刻 か ら時刻 の間での 位置 からの位置の移動 変位 は で与えられる 一方 速度 から考えれば 時刻 から時刻 の間で物体の速度の変化が十分無 視できるなら 変位 は で与えられる 両者は等しく が成り立つ の極限を考えると li つまり 位置の移動 の時間微分が速度 になる 加速度 についても 同様の考えをしよう 時刻 における速度が と時刻 から時刻 の間の速度変化 は で与えられるとする する で与えられる 一方 速度 から考えれば 時刻 から時刻 の間で物体の加速度の変化が十分 無視できるなら 速度の変化 は で与えられる 両者は等しく が成り立つ の極限を考えると li つまり 速度 の時間微分が加速度 になる これらの結果に対して 微分の逆 積分 を考えれば 次の式が成り立つ 加速度が一定の値 を持つ場合で計算してみよう 初速度 で時間 経過後の速度を とすると 位置 変位 は 初期値を として 5

6 6 をえる 一定の加速度での 速度と変位に関する公式が得られた 微分 積分による考え方 - 次元の直線運動を考える 位置の移動 変位 が で与えられるとする すると時刻 から時刻 の間に移動した距離 は で与えられる 一方 速度 から考えれば 時刻 から時刻 の間での 速度の最小値と最大値を in とすれば 位置 からの変位 は < < in で与えられる この不等式を で割ると in < < が成り立つ の極限を考えると in となるはずなので li つまり になる の時間微分が速度変位 の関係も同様である と加速度速度 微分の逆を考えれば 加速度 も含め 次の式が成り立つ 速度 加速度などの定義 加速度 : 速度 : 移動距離 位置の変位 と速度の関係 n n n n n n 注意 : とすれば の時間積分は

7 7 のようになる 加速度と速度の関係 速度の変化量も同様にして求まる n n n n n n 横軸を時刻 縦軸を速度 にとり 速度 の時間依存のグラフを書く の軸 と 軸 および とで囲まれた部分の面積を S とする 時刻 と の垂線および 軸 速度 の曲線で囲まれた部分の面積を S とすると S は黄色の長方形の部分に相当するので S S S が成り立つ よって 囲まれた部分の面積は 移動距離をあらわす また li S S S S S となるので 移動距離 正確には 変位 の単位時間当たりの変化量は 速度を表す S S

8 物体の運動を考えるにあたり 次の 3 つの法則を認める 慣性の法則 : 物体に力が働かない時 物体は一定速度で動き続ける 向きや速さの変化なし か 静止し続ける もし物体がこのような状態 等速運動か静止状態 から変化したなら 物体に対して何らかの力が加わったと解釈する このような物体の運動を式で表したものが 次の運動の法則である 運動の法則 : 物体に力が働く時 物体には 加速度が生じる 加速度の大きさは 物体の質量 に反比例し 力の大 きさに比例する また 加速度の向きは 力の向きと同じ方向である : 物体に加わる力 ベクトル : 物体の加速度 ベクトル とすれば の関係が成り立つ 力の単位は [ ニュート ン ][][/s ] 質量は [] 加速度は [/s ] で表す この単位系を KS 単位系という 物体 について 具体的に の関係式を導くことを 物体 の運動方程式を立てるという 物体 の運動方程式を立てる際 物体 に働く力 の和 を考え その力で 物体 に加速度が生じる事に注意しよう 物体 が物体 を押す力は 物体 の運動方程式では 考慮する必要は無い 運動方程式はベクトルで表わされるので 適当な成分に分けて運動を考えることが出来る 作用 反作用の法則 : 物体 が物体 に力を及ぼす時 から同じ大きさで向きが反対の力が に加わる 物体 が静止しても動いていても 成り立つ この法則は 重要である 物体どうしが接する場所には 一般に力 大きさがゼロの場合を含め が働くからである 物体同士が接触している場合 互いに押し合う場合や 互いに引っ張り合う場合がある 例えば ビルの壁を素手で殴る場合を考えよう 軽く素手で殴るなら 手は痛くない しかし 力いっぱいに殴ろうとすれば 誰でも躊躇してしまう なぜなら 経験から 力いっぱいに壁を殴ろうものなら 手がすごく痛い事を知っているから 小さな力を加えれば 小さな力で壁から押し返され 大きな力を壁に加えると 大きな力で壁から押し返される これは 作用 反作用に他ならない < 運動方程式を立てるときの注意点 > ある物体の運動方程式を記述する時には その物体に働く力をすべて数え上げ 力の向きを考慮して運動方程式を立てます その際 以下のような事柄に注意してください ~6 の手順は 物体がどのような運動をしていようと 運動方程式を立てる時 考えなくてはならない 重要な手順である 全ての物体 物体が接している床 斜面も含む に働く力を数え上げる 物体 の運動方程式を立てるとしよう 物体 は周囲から力を受けるだけでなく 周りの物体に対して力を加えているかもしれない また 複数の物体が関係する運動では お互いに及ぼしあう力を見逃す可能性がある つの物体の運動を知りたい場合でも すべての物体に働く力を 図に書いてみよう 物体 が周囲から受ける力と まわりの物体に対して加える力を区別する 物体 の運動方程式を立てるに当たり 考慮すべき力は 物体 に働く力だけです それ以外の力は考慮しない 8

9 3 力の方向を考える 力の向きが図に正しく書けないと 物体の運動 加速度 速度 力の大きさなど を正しく求める事ができない 4 力の方向は どちらが正方向でどちらが負方向なのか決める 物体が動く方向 予め 加速度が正の値を持つと予想した向き を力の正の向きとするのが 考えやすい 5 つの物体ごとに運動方程式を立てる 全ての物体の加速度が同じわけではない 一般に 物体ごとに運動方程式を立てる必要がある これにより 物体の数だけ運動方程式が出る 6 力を つの方向に分け 運動方程式を立てるのが便利な場合がある 力はベクトルであるから 複数の方向に分ける事が出来る 力の方向を つに分ける事が出来る場合 それぞれの方向で運動方程式を立てる 斜面を滑る物体の問題では 斜面と水平 垂直の つの方向に分ける 重力のある場合のボール投げでは 重力の働く方向と それに対して垂直方向の つに分ける このように分ける事で 運動方程式を解く事が簡単になる 3 次元の物体の運動 直線運動でない の場合 運動方程式 のベクトルの性質を利用す る ベクトルは分解できる そこで たとえば 次元の物体の運動の場合 力および加速度のベクトルを次のように水平方向と鉛直方向の つの方向に分けよう こうすれば 運動方程式 は 以下の つの式に分解される 運動方程式はベクトルで記述されている よって 物体が水平面上を動く場合や斜面を滑る場合などでは 物体が動く方向とそれに対して垂直方向の つ方向に分けて考えてよい 今 下の図において 赤色が着目している物体から周りの物体に加える力で 青色が着目している物体が周囲の物体などから受ける力としよう 着目している物体の運動方程式では 青色の力だけを考えればよい 物体で働く力をすべて書く 物体に加わる力だけを考える 9

10 力のつりあいの基本 床の上の 静止している物体 - 力のつりあい - 質量 の物体には 重力による力 物体中央 赤い矢印 が下向きに働 く 物体 は 大きさ の力 物体下からの下向きの緑矢印 で床を押す 作用 その反作用として 床は 大きさ で物体を押し返す 床から上向きの青矢印 この力 を垂直抗力という 垂直抗力 は 物体が床を押す力 作用 に対する反作用として生じる 作用 反作用の関 係にあるので の関係が成り立つ 向きが逆で大きさが等しい 力の作用 反作用の関係は 物体の運動の如何 静止 移動 にかかわらず 成り立つ 垂直方向の物体の力のつりあいは 運動方程式を用いると 上向きを にとり 加速度 として となる 物体が静止しているので 加速度 であり が求まる また は作用 反作 用の関係にあるので である これより 物体が床を押す力 は と求まる つの物体が重なった状態での力のつりあい では 複数の物体が重なっている時 物体同士に働く力の大きさ 物体 と床との力はどのようになっているのだろうか? つ重なっている場合 右図 を考える 質量 の物体が 水平な平面上に重なっている その時の力関係を求める つの物体には 重力によりそれぞれ の大きさの力 赤い矢印 が 図の下向きに働く 物体 が物体 を押す力 作用 を とすると 物体 が物体 を大きさ で押し返す 反作用 を垂直抗力という 物体 も同様に 床を押す 物体 が床を押す力 作用 を とすると 床が物体 を大きさ で押し返す 反作用 この力は 床から物体 に加わる垂直抗力である 運動方程式は 上向きを にとり の加速度をそれぞれ とすると : : となる また 作用 反作用の関係で が成り立つ 物体は 重なったままで動かないなら であるので となる ここで 重要な点 質量 の物体に働く垂直抗力 物体 が床を押す力 であ る 幾つかの物体が重なっていると 複数の物体の質量に対応した力 重力による力 で床を押す す なわち 床と接する物体の質量だけではなく 重なった全ての物体の質量に対応した重力で床を押す また その反作用で床が物体を押し返す力の大きさは 重なった全ての物体の質量に相当した力として の垂直抗力になる

11 例題 物体に力を加える場合のつりあい質量 の物体が 水平な床の上にある 質量 の物体を大きさ の力で鉛直上向きに引く場合 下向きに押す場合のつの場合で 物体 が水平面から押される垂直抗力の大きさを求めよ 解説と解答 鉛直方向の力だけを考える 物体 には重力による力 が働く 物体 が床を押す 作用 力 に 対する反作用として 床が物体を押す力 垂直抗力 が生じ 物体 を押し返す また物体には の大きさの力が加わっている 鉛直方向上向き を にとれば 符号を含めてその力は 上 向きに引くときは 下向きに押すときは となる 鉛直方向の運動方程式は 物体 の加速度 を として 垂直上方向を正 にとり ± となる ここで ± の符号は 先ほど説明したとおり また 作用 反作用の関係から が成り立 つ さて 物体 が動かないので から ± 床 床 物体に加わる力だけ 物体に加わる力だけ を得る 物体を上に引く場合 物体 が床を押す であり 物体 に掛かる重力 力 による力 よりも小さな値になっている 一方 物体を押す場合 となり 物体 だけの場合と較べて大きな力で床を押す 床 床 例題 質量 の物体が 水平な平面上に重なっている また 質量 の物体は 大きさ の力で鉛直下方向に押されている その時 床が質量 の物体をおす垂直抗力 および質量 の物体が互いに押し合う力の大きさを求めよ 解説と解答 最初に 質量 の物体に働く力を考えよう 質量 の物体には 重力による力 が鉛直下方向に働く また問題設定から 質量 の物体には鉛直下向きに の力が働く さらに 質量 の物体同士が接しているので 質量 の物体が質量 の物体を押す その力を とする 力 に対する反作用として 質量 の物体が質量 の物体を押し返す その大きさを とする 作用 反作用の関係から である 続いて 質量 の物体に働く力を考えよう まず質量 の物体には 重力による力 が鉛直下方 向に働く また 質量 の物体から鉛直下向きに の力で押され その反作用として 質量 の物体

12 は 質量 の物体を大きさ の力で鉛直上向きに押し返す さらに 質量 の物体は水平面と接して いるので 質量 の物体が水平面を鉛直下方向に押し その力の大きさを とする 水平面から大き さ の力で鉛直上方向に押し返される は 物体 に対する垂直抗力である 作用 反作用の関 係から である 以上で つの物体に働く力が分かった そこで 運動方程式を立てる 運動方程式は 上向きを にとり の加速度をそれぞれ : : とすると となる また 作用 反作用の関係で が成り立つ 物体が 互いに重なったままで動かないなら であるので となる 質量 の物体を力 で押す影響は 物体 に対する垂直抗力の大きさに跳ね返っている 例題 3 エレベーターでの運動 エレベーターにばね式体重計をのせ その上に質量 の人が乗る エレベーターが上向きに大き さ /s の加速度で上昇している時 体重計はいくらの体重 見かけの重さ を示すか? なお 重力 加速度を /s として 質量 の人が動かない平面にある体重計に乗った時 体重計には /s の大きさの力が加わるので 体重計は 重 を示す 解説と解答人が体重計を押す力を とし 体重計が人を押しかえす力を とすれば 作用 反作用の関係で が成り立つ エレベーターの加速度を とすれば 上向きを にとり 人の運動方程式は 見かけの重さは 力 を で割った値なので 重 である 例題 4 自分をロープで引き上げる 図のように 質量 の人が 質量 の台の上に載っている 台は水平な床の上にある 台につけられた質量の無視できるロープは 滑車を介して人が手で持っている 滑車とロープとの摩擦を無視する 重力加速度を /s として 以下の問いに答えよ 人がロープを下向きに大きさ T の力で引くとき 台が人を押す 力を求めよ の時 水平面が台を押す力を求めよ

13 3 人が台ごと水平面から浮き上がるためには 人がロープをある大きさの力 T とする よりも大 きな力で引く必要がある その大きさT を求めよ 4 人が台ごと水平面から浮き上がるためには 人と台の質量の間に ある関係式が成立しなければな らない その関係式を求めよ ただし 人は台の上に乗っている だけで 乗っている人の靴が台に固定されていない 人が上にジ ャンプすると 人と台が離れる とする T 解説と解答人 台 水平面に加わる力は 問題の絵を簡略化して書くと 右図のようになる ここで は それぞれ 人が台を押す力 その反作用として台が人を押し返す垂直抗力である また は それぞれ 台が水平面を押す力 その反作用として水平面が台を押し返す垂直抗力である ここでは 人がロープを引く力 台がロープを引く力は書いていない 人がロープを引くと その反作用としてロープが人を同じ大きさの力で引く ロープが台を引くと その反作用で台がロープを引く ロープの質量が無視できるなら ロープの両端の張力は同じになる よって 図のような力と向きになる ロープの力は 人も上向きに引くし 台に対しても上向きに引く さて それぞれの運動方程式は 上向きを にとり 人 台の加速度を ようになる また 作用反作用の関係で が成り立つ T T 人 台の加速度 として の関係も使用して T とすれば 以下の T T T T T T T これより の答えは T の答えは T 3 台が人ごと上がるためには 水平面が台を押す垂直抗力 となる時のロープを引く力 より も大きな力でロープをひけばよい 台が水平面から離れる直前 でのロープを引く力がT で ある T T T よって よりも大きな力でロープを引けばよい 4 人がロープを引く場合 その力の最大値は ロープに人が宙吊りにぶら下がった時にロープを引く 力である 自身の体重 である よって 仮に人が台を押す力 人と台が接触するだけで 力 を互いに及ぼさない状態 としても 台ごと人が上がるためには 少なくとも > > を満足しなければならない この式は 人が台よりも軽ければ 人がロープにぶら下がったとしても 3

14 台が上に上がらないという 当たり前の事を言っている 補足 : もし人の履いている靴が台に固定されてあり かつ人の腕力が十分あれば 仮に < でも人 は台ごと上向きに上がる事が出来る T の場合はすでに考察したので 人と台が互いに固定され た状態で < かつT > の場合を考察しよう 先の解説の図で 文字 の入れ替えをし 力の釣り合いを議論 右図 しよう は人が台を上向きに引く力 は台 T が人を下向きに引く力とする なお 図で人 台がロープを引く力の矢印は少 略した 運動方程式から 人 台の加速度 とし の関係も用い T T T T T T T となる 台が水平面から離れる直前の条件 から T T をえる T をいくらでも大きく出来るなら T / にする事は可能 T 3 ばねの伸縮による力 ばねを伸ばしたり縮めたりすると 力がいる ばねを伸ばせば伸ばすほど 力が必要だ また 長さ を短くしようとして ばねがどこかに飛んでいったりすることもある このように ばねの長さを変え ようとすると それに応じて ばねに力を加えなくてはいけない ばねを 摩擦のない滑らかな水平面上に力を加えずに置く そ の時のばねの長さを 自然長という ばねを自然長から長さ 伸ばす 縮める のに必要な力の大きさ f は ばね定数を / として f で与えられる ばねには このような性 質があると考えよう もしばねをあまり長く伸ばすと 伸びきってしまい 元に戻らなくなる場合もあ るが そのような事が起こらないとして ここでは考える また ばねには質量があるが 質量 ゼロ として問題を扱うことが よくある f 例題重力とばねによる力の釣り合い 天井と床の距離を l l とする 自然長での長さ l ばね定数 のばね および自然長での長さ l ばね定数 の つのばねを 質量 の大きさの無 視できる質点を介してつなぐ なお ばねは横方向にたるんだり傾いたり せず 垂直方向にだけ伸び縮みするものとする また ばねの質量は無視 する この時 ばねの伸びを求めよ l l l - 解説と解答 質量 の質点は 長さ l のばねを伸ばし 長さ l のばねを縮める 長さ l のばねの伸び 長さl のば 4

15 ねの縮み を とする この時 長さl のばねは縮もうとし 長さ l のばねは伸びようとする いずれ も 自然長の長さになろうと ばねの長さが変化しようとする さて 長さ l のばねが 伸びると ばねは天井および質点を f の力で引く 青色の矢印 一方長さ l のばねは 縮むので 質点および床を の力で押す 青色の矢印 緑色の矢印は f 質点がばねに加える力である 右図には ばねと天井 ばねと床の 間に働く力も記入してある それぞれ 作用 反作用の関係で 同 じ大きさとなる ばねの位置と力の位置は わざとずらしてある さて 質量 の物体の運動 実際は 静止状態 を考えよう 質 点の上方向を 方向にとり 物体の加速度を とすれば 質点の 運動方程式は右の拡大図を参照して f f f f となる 質点は静止しているので 加速度 よって より として 以下の値を得る f f l l - 5

16 水平面での物体のつりあい 運動 摩擦のない水平面での運動 水平方向 / 右向きに力 がかかる 例えば 糸で引っ張る 場合 右向きを正に取り 力 が働くので 水平方向の運動方程式は となる 垂直方向 / 重力 が働く また 物体 が床を押す 作用 力 f に対する反作用として 床が物体 を押す力 垂直抗力 が物体 に働く もし物体が床の上に載ったまま 上下運動なし なら 物 体に働く重力による力 と垂直抗力 はつりあう : 力の釣り合いの関係式 を運動方程式から導びこう 上向きを力の正の方向にすると 運動方程式 : 物体は上下方向には移動しない 速度 ゼロ 速度の時間変化なし 加速度 ゼロとなり が導かれる 物体に働く力の和 符号を含めての足し算 はゼロとなる さて 物体の での速度 初速度 位置 速度 および変位 は 以下の式で与えられる とする 微積分を用いると 時刻 での f 摩擦のある水平面での力のつりあい 運動 物体 と水平面の間に摩擦力が働く場合摩擦力の考え方 i 物体が静止している場合 垂直方向では 物体 が床を押す 作用 力 に対する反作用として 床が物体を押す力 垂直抗 力 が生じ 物体 を押す 水平方向では 物体 を引く力 に対抗して 物体と床の間で摩擦力 f が生じる 静止摩擦力 f は 力 の方向と逆向き 邪魔する向き に働く より正確には 物体が動こうとする方向と反対方向に静 止摩擦力が加わる なお 床にも 物体 に働く摩擦力 f と同じ大きさの力が逆向き 図の紫色の矢 印 に働く さて 静止摩擦力 f には f : 静止摩擦係数 定数と見なす の関係が成り立つ f の時の力 f を 最大静止摩擦力という この関係式は 実験的に得られたものであり これ以降では 摩擦が 生じる物体同士では 常にこの関係式が成り立つとして 静止摩擦力を扱う事にする 注意 物体 が押されたり 引っ張られたりしない と f 6 である また 物体 が動き 出すためには > 最大摩擦力 が必要である もし 力の大きさがある大きさ より少しで f

17 も大きい時に物体 が動き出すなら が成り立つ すなわち は最大静止摩擦力である 物体は上下方向に運動しないので 運動方程式 : から となる ii 物体が運動 移動 している場合 物体 が床を押す 作用 力 に対する反作用として 床が物体 を押す力 垂直抗力 が生じ る 水平方向に物体 を引く力 に対抗する形で 物体と床の間で動摩擦力 ないが 床は 物体との動摩擦により 逆向き 右方向 : 紫の矢印 物体に働く力と同じ大きさ 擦力 f の動摩擦力が働く 物体 に働く動摩 f は 力 と逆向き 邪魔する向き に働く 動摩擦力 で与えられ f は常に f : 動摩擦係数 物体 の運動方程式は 水平方向に働く力 右側を正 f < 最大静止摩擦力 が成り立つ f 垂直方向に働く力 上向きを正 また 作用 反作用の関係で が成り立つ f が生じる 図示してい 物体が床に接して上下方向に運動しないなら 上下方向の速度 ゼロ 加速度 ゼロ よって となる 上下方向での力の釣り合いを考えると を得る 水平方向の運動の加速度は f / となる これより 物体の での速度 位置 とすると 時刻 での速度 位 は で与えられる f f 物体に働く力のみを書くと および変 7

18 3 物体に 水平方向および 垂直ないしは斜め方向の力が加わる場合の問題 物体と床との間に摩擦がある 物体に加わる力だけ 物体に 上向きに力が加わる場合 垂直方向では 物体 には 重力によ る力 が働く そのほか 物体 が床を 押す 作用 力 に対する反作用として 床が物体を押す力 垂直抗力 が生じ 物体 を押し返す さらに 垂直 上方向に の大きさの力が加わる 水平方向では 物体 を引く力 に対抗して 物体と床の間で摩擦力 f が生じる 静止摩擦力 f は 力 の方向と逆向き 邪魔する向き に働く 動摩擦力 f の場合も 向きは静止摩擦力の向きと同じ である なお 床にも 物体 に働く摩擦力 f と同じ大きさの力が逆向き 図の灰色の矢印 に働く 注意 : 力の大きさの関係は ではあるが 必ずしも ではない 床 f 床 f - 物体が動かない場合 運動方程式を書くと f を静止摩擦力として 水平方向 右側を正 f 垂直方向 上向きを正 となる 物体が動かないので から f を得る 物体 が床を押す力 は であり 物体に掛かる重力による力 よりも小さな値になっている さて 物体が動かないためには f が成り立たなくてはいけない これは 物体 を上に引っ張っているため 見かけの物体の質量が よりも軽くなり よりも小さな力で物体が 水平方向に動く事を意味する - 物体が動く場合 静止した場合の運動方程式で f f の入れ替えにより 動摩擦力 f を運動方程式の中に入れる 水平方向 右側を正 f 垂直方向 上向きを正 物体は 垂直方向に動かないので よって を得る 動摩擦力 f は f である これを水平方向の運動方程式に代入し f / となる これは 力 で物体が身軽になった分 加速度が大きくなることを意味する また 物体が 移動するので / > が成り立っている 物体に 下向きに力が加わる場合注意 : で 力を の置き換えをしても求まる 床 垂直方向では 物体 には 重力による力 が働く そのほか 物体 が床を押す力 作用 に 8 f

19 対する反作用として 床が物体を押す力 垂直抗力 が生じ 物体 を押し返す さらに 垂直 下方向に の大きさの力が加わる 水平方向では 物体 を引く力 に対抗して 物体と床の間で摩擦力 f が生じる 静止摩擦力 動 摩擦力にかかわらず 力 の方向と逆向き 邪魔する向き に働く 床には 物体 に働く摩擦力 f と 同じ大きさの力が逆向き 図の灰色の矢印 に働く - 物体が動かない場合 物体に加わる力だけ 運動方程式を書くと f を静止摩擦力として 水平方向に働く力 右側を正 f f 垂直方向に働く力 上向きを正 床 となる 物体が動かないので から f を得る 物体 が床を押す力 は であり 物体に掛かる重力による力 よりも大きな値になっている さて 物体が動かないためには 静止摩擦力 f が最大静止摩擦力よりも小さくなくてはならない す が成り立たなくてはいけない なわち f 向に移動させるためには 水平方向に だけ余分に力を加えなくてはならない の時と比較すると 物体を水平方 - 物体が動く場合 静止した場合の運動方程式で 水平方向に働く力 右側を正 f f の入れ替えにより 動摩擦力 f を運動方程式の中に入れる f 垂直方向に働く力 上向きを正 物体は垂直方向に動かないので よって を得る 動摩擦力 f は f で ある これを水平方向の運動方程式に代入し f / となる これは 力 で物体が見かけ重くなった分 加速度が小さくなることを意味する また 物 体が移動するので > > > が成り立っている C 物体に斜めの力が加わる場合床との摩擦あり 物体は床と接触しているとする 物体は 水平方 向は 動くか止まっているかのいずれかとする 質量 の物体に対して 次の図のように 角度 π / < < π / で大きさ の力が働いている場 合の運動を考える 力はベクトルなので 力 を水 平方向と垂直方向の つの成分にわけ とする の水平成分は の定義から 常に右向きである 物体に関連する力は 垂直方向では 物体に働く重力 外部から物体を押す力 9 f 物体が床

20 を押す力 そして 床が物体を押す垂直抗力 である 水平方向は 外部から物体を押す力 摩擦力 f である f は 静止摩擦力ないしは動摩擦力である 床にも 反作用で逆向きに大きさ f の 力 摩擦力 : 灰色 が加わる それぞれの方向に対して 運動方程式を立てると 次式を得る : : f 作用 反作用 垂直方向では 物体と床は接したままなので よって となる 物体が床と接するための条件を求めよう 物体が床と接するためには 少なくとも垂直抗力 > で ある この条件は が一定の値とすれば > として > > / である この条件式について 考えよう がある すると i / < の場合には / となる > の条件は > と書き換えられる これはπ / > > であれば成り立ち その時 物体は床に接したままである し かし の向きが上を向くようになる < と / < < となり 物体は 物体が床から押される力が - となる これは 物体が床から離れる事を意味する なら どのような角度 に対しても 常に > / ii / > が成り立つので がどん な値をとろうとも 物体は床と接する 実際 / > は < なので の大きさの力で物体を真 上に持ち上げようとしても 物体の質量 が大きいため 物体を引き上げる事ができない 水平方向は 物体が動くか静止するかによって 次のように場合わけをする そのような場合わけを する理由は 物体の動静により働く摩擦力が異なるからである C- 物体は静止 f は静止摩擦力であり である よって f f ところで 静止摩擦力 f は最大静止摩擦力 を越えてはいけない よって f を満足しなければならない もしも > なら 正の値 で割る事で を得る 逆に言えば が上式の右辺の値よりも大きければ 物体は動く 一方 の 時は > なので 不等式

21 は 常に満足されている よって 物体は動く事はない さて 図で が負の角度 > > π / の場合は 物体を持ち上げる方向の力が働く < ので 物体は身軽になり 垂直抗力も小さくなる よって 同じ大きさ でもが正の場合と負の場合では 物体が動かないために満足すべき の範囲が異なる C- 物体が水平方向に移動する場合 物体に関連する力は 垂直方向では 物体に働く重力 外部から物体を押す力 を押す力 に対して床が物体を押し返す垂直抗力 である 水平方向では 外部から物体を押す力 動いているとして 動摩擦力 f である それぞれ の方向に対して 運動方程式を立てると 次式を得る 物体が床 : : f 作用 反作用 f f 垂直方向では 物体と床は接したまま静止しているので よって 垂直抗力は である 水平方向では f を用いて 加速度は f で与えられる 例題 摩擦のある面での運動 質量 の質点が 摩擦のある水平面上を運動する 質点と平面との動摩擦係数 は である 質点に時刻 で初速度 を与えた この質点が静止するまでの時間と距離を求めよ 解説と解答質点には 重力 平面を押す力 に対する水平面の反作用としての垂直抗力 および平面との間に動摩擦力 f が生じる 動摩擦力は 水平面に対しても働く 紫の矢印 質点と水平面に働く動摩擦力は 作用 反作用の関係にあり 大きさは同じで 力の向きが異なる 水平方向の運動では 動摩擦力により 質点が等加速度運動をする 運動方程式は 質点が進む方向を 方向にとり f 初速度 で加速度 のとき 質点が静止するまでの時間を f とすれば

22 移動距離を とすると 例題 ベルトコンベヤー 動く水平面 上での質点の運動 図のような 水平面の長さが のベルトコンベアーがある ベル トは時計回りの方向に回転 上部が右方向へ移動 している 質量 の質点をベルトの左端に速度ゼロでベルトに載せたとしよう 簡単のため 回転部分の大きさを無視 ゼロ とする 質点とベル トとの動摩擦係数を 重力加速度を として 以下の問いに答 えよ なお 以下で出る文字の値は すべて正の値とする : ベルトが一定の速さ で動く場合 ベルトが一定の速さ で動くとしよう 質点がベルト上で静止するまでの時間を求めよ またこの 時 質点がベルトの左端から見ての移動距離を求めよ なお ベルトの長さは十分い長く 質点はベル トから落ちないとする の条件 ベルトが一定の速さ で動く の場合 質点がベルトの右端から落ちるまでにベルト 上で静止する為には ベルトの速さは ある値以下にならなくてはならない その値を求めよ : ベルトが一定の加速度 で動く場合 > ベルトが加速度 で回転する 質点がベルトの左端部分に載った時のベルトの速さは であった この時 質点がベルト上で静止するまでの時間を求めよ またこの時 質点がベルトの左端から移動し た距離を求めよ ある条件のもとでは 仮にベルトの水平部分の長さが無限大であっても 質点がベルト上で静止で きない ベルトの長さとして無限大の長さを許し ベルト上で質点が静止するための条件を求めよ 解説と解答 : ベルトが一定の速さ で動く場合 質点をベルトに置いたとき 質点とベルトとは 互いに動いている よって 質点とベルトには 動摩擦力が働く 質点がベルトを押す力 の大きさは である ベルトが質点を押す力 垂直抗力 は質点がベルトを押す力と釣り合う 質点の上下方向の運動がないので 鉛直方向の速度は常にゼロ 加速度 ゼロである ので である 質点に働く動摩擦力 f は 右方向を正にとると である 質点の水平方向の運動方程式は 右向きを正にとり 質点の加速度を とすれば f となる 質点がベルト上で静止すると 質点の速度とベルトの速度が等 しくなるので その時間を とすれば となる 求める移動距離を とすれば は 以下の式で与えられる f

23 3 なら 質点がベルトの右端から落ちるまでにベルト上で静止する よって 以下のとおり : ベルトが一定の加速度 で動く場合 の場合と同様に考える 質点の加速度は である 質点がベルト上で静止すると 質点の速度とベルトの速度が等しくなるので その時間を とすれば 質点がベルトの左端から移動した距離を とすれば 以下のとおり 点の速度とベルトの速度が等しくなる時間 は 正の値でなければならない よって > > > の条件を得る 質点の加速度がベルトの加速度よりも小さいと いつまでたっても質点とベルトの速度が同じにならず 質点がベルト上で静止しない 上の条件式は その事を示す

24 4 複数の物体が関与する 静止 運動状態 物体が複数の場合の静止状態 運動状態について考える このときは 物体同士の作用 反作用によ る力を考慮しなければならない 水平面 つの物体が互いに接しながら水平方向に運動 移動 動摩擦力がゼロ 働かない とする 作用 反作用により と が押しあう力は 大きさが等しく反対向きである その大 きさを f とする 物体に働く力は 右向きを正にとり 物体 に働く力 f 物体 に働く力 f 運動方程式は 物体 と が一体になって動く時は つの物体の加速度が等しくなる その時の つの物体の加速度を とすると : f : f となる ここでは 物体と床との摩擦がないので 静 止摩擦力 動摩擦力は考えなくてよい さて 運動方程式 の形から 同じ加速度を持つ複数の物体に加わる力 合力 は 物体の質 量に比例するはずである 上の問題で これが成立しているか 確認しよう : f : f f よって f : f : : f となり それぞれの物体に加わる力は 物体の質量に比例する f f f f さて ここまでは つの物体間に働く力 作用 反作用の力 は 互いに押し合う力を考えてきた しかし 物体に働く力は 押す力だけではなく 引く力の場合もある たとえば 人が手提げバッグを手に持っている場合を考えよう 人は手提げバッグを上方向に引き 手提げバッグに対して 上方向に力を加える 手提げバッグは 人 の手 を下方向に引く この つの力も 作用 反作用の関係にある しかし 力の向きは 互いに引き合う向きである 続いて 荷物を間に 人の人間が 荷物に力を及ぼしている場合 右図 を考えよう 荷物と床の間には摩擦がなく まったく動かないとしよう この時 人の人間は どんな力を荷物に与えているのだろうか? 互いに荷物を押し合っているかもしれないし 荷物に手を引っ掛ける場所があって 荷物を引っ張り合っているかもしれない 物体が受ける力は 押される力とは限らず 引く力が加わっているかもしれない 押し合う引っ張り合う次の 糸でつながった物体の問題も そのような例である 4

25 糸でつながった つの物体の水平方向の運動 注意 : 物体 は同じ加速度で動くと仮定する 糸がたるむ事は考えない 質量の無視できる曲がらない棒により と がつながっていると考えてもよい 動摩擦力がゼロ 働かない とする 上下方向の運動がな いとすれば 垂直方向の力のつりあいを考えなくて良い よって 重力 作用 反作用としての物体が 床を押す力 および垂直抗力は考えない 簡単のため 糸は伸び縮みせず または 糸の代わりに棒を 考えよ 糸 棒 の質量は とする つの物体 および糸に働く力を考える 物体 が糸を引っ張り 作用 糸が物体 を引き返す 反作用 その力の大きさを T とする 糸が物体 T T を引っ張り 作用 物体 が糸を引き返す 反作用 その力の大きさをT とする 糸の質量を として 運動方程式をたてる 糸は 伸 び縮みなく たるむ事もないとする つの物体と糸が同じ加速度で 動くとして右向きを正にとれば : T : T 糸 T T : となる もし糸の質量が無視できるほど軽いなら 糸の運動方程式において とすれば 糸 : T T T T となる 多くの問題では 糸の質量が無視できるとして T T として問題を解いている T T T とした場合の 加速度と糸 質量 の張力を求める : T T : T T T T T C 水平面上で重なった物体の運動 - その 水平面と物体との摩擦なし 物体間の摩擦あり 摩擦のない水平な面に 質量 の物体があり の水平な面上に質 量 の物体がある 物体同士には摩擦が働く 右図一番上は 物体に働く力 物体から働く力の全てである 緑色の矢 印は 物体 が物体 を押す力 物体 が水平面を押す力である つの物体 が互いに 滑る 滑らない で つの場合わけ C-i C-ii が生じる また 物体 と床の間に摩擦力が働く場合は D で考える なお D では 物体 に外力 が働くとした C-i 物体間で 滑らない場合 個々の物体に働く力を考えよう : 外から加わる力 重力による力 物体 を押す力に対する反作用としての垂直抗力 お よび物体同士の間の静止摩擦力 f と反対方向 である 5

26 : 物体 から 下向きに押される力 重力による力 水平 面から押される力 および物体同士による静止摩擦力 f 物体 に 働く力とは 作用 反作用の関係で 互いに逆向き となる 右向き 上向き を正の方向にとり 運動方程式を立てる : : : f 作用 反作用 : : : f 最初に垂直方向の運動を考える 上下方向の移動がないとすると となる よって の垂直方向の運動方程式から である f f 水平面と物体 の間には摩擦がない また つの物体は 一緒になって動く もしも が十分大きいなら 物体 は 物体 の上を滑って動くようになる この場合は 後ほど C-ii 考える すると 水平方向の加速度は と置く事が出来る よって 水平方向の運動方程式から f f f ただし 物体同士が滑らない事から f は最大静止摩擦力よりも大きくなってはいけない すなわち f の条件を満足する必要がある C-ii 物体同士の間で滑る場合 物体 が物体 に乗っている間の運動 力 の大きさが大きくなり > / になると 物体どうしは滑り始める その時の 運動を考える この時は 物体同士には 動摩擦力が働く i の解釈で f を動摩擦力に解釈しなおし f f の文字の置き換えをする それ以外は 運動 方程式には 変更がない また の大きさには 制限がない 上下方向の移動がないとすると となる は変更しないが 水平方向の加速度は に変わる 動摩擦力 f とすると 運動方程式から と書き換え : f f / / > / は 物体 を引く力の大きさが動摩擦力よりも大きくなければならない事から > 要求される条件である また 物体 の加速度よりも物体 の加速度が小さいので > を満足す べきである 以下は それを満足すべき関係式である > > > 6

27 D 水平面上で重なった物体の運動 - その 床と接する物体 に外力 が加わる また 摩擦力が 物体 同士 物体と床の間で働く 物体 は 右方向へ動くとする 右図は 物体に働く力 物体から働く力の全てである 緑色の 矢印は 物体 が物体 を押す力 物体 が水平面を押 す力である 物体同士の摩擦による力は ピンク 物体 に加わ る摩擦力 f 紫 物体 に加わる摩擦力 f となって いる オレンジ色は 床との接触で 物体 に加わる動摩擦力 f である 灰色の矢印は 物体 との摩擦で 床が押される摩擦力である 物体に働く力はそれぞれ 右下の図の通り 運動方程式を立てると 次のようになる : : : f : : : f f つの物体 が互いに滑る 滑らないにかかわらず 垂直方向には物体は動かない と仮定した ので 速度 ゼロ 加速度 ゼロ すなわち加速度 の静止状態である これから 次の関係 が求まる なお 物体 が物体 を押す力は である f 摩擦あり 物体毎に力をわける f f D-i 物体 が滑ることなく 一緒に動く場合 水平方向には一緒に動くので と置くことが出来る 物体 と床との間の摩擦力 f は動摩擦力なので 物体 と床との動摩擦係数を と置けば f により f f f f f f を得る 当然加速度 > となるべきである また 物体 間の静止摩擦係数を とすれば f は最大静止摩擦力を越えないので 次の大小関係を満足しなければならない f D-ii 物体 間で滑る場合 この場合 である また f を動摩擦力と解釈しなおして f f の置き換え 記号をかえる を行う ここで 間の動摩擦係数である すると 運動方程式 は 次のようになる は 物体 7

28 f f f また 物体 どうしは互いに滑るので < となる この加速度の大小の条件から < > < < を得る 例題 動く台に乗る物体 台と床との摩擦の有無図のように なめらかな 摩擦のない 水平面 および CD が 鉛直面 C を介してつながっており その面 C に接するように質量 の物体 Q が置かれている P Q 水平面 はなめらか 摩擦がない である 水平面 CD は 以下の問題設定により なめらか またはあらい水平面となる 一方物体 Q の上面はあらい 摩擦がある C D 水平面である いま 大きさの無視できる質量 の物体 P が図の左から速さ で右に移動し 点 で物体 Q に移り 物体 P Q 間に摩擦が働き 最後に物体 P と Q は一体となって運動する 物体 P と Q との間の動摩擦 係数を とし 重力加速度を とする それぞれにつき 以下の問題に答えよ 物体 Q と水平面 CD の間には 摩擦が無いとする 物体 P と物体 Q が一体化した瞬間の速度 および一体化するまでの時間を求めよ 一体化するまでに 物体 P および物体 Q が点 から移動した水平距離を求めよ ただし 物体 Q は十分長く 物体 P が物体 Q から落ちることはない 物体 Q と水平面 CD の間には 摩擦があり その静止摩擦係数および動摩擦係数をそれぞれ とする ただし > である 物体 Q が動き出すため / が満足すべき条件を求めよ 3 は その条件を満足し 物体 Q が動き出すとして答えよ 物体 P と物体 Q が一体化した瞬間の速度 および一体化するまでの時間を求めよ 3 一体化するまでに 物体 P および物体 Q が点 から移動した水平距離を求めよ ただし 物体 Q は十分長く 物体 P が物体 Q から落ちることはない 解説と解答物体に働く力を全て書くこと これが出来ないと 運動方程式を立てることも出来ない 物体および水平面 CD に働く力を全て書くと 次ページ右図のようになる 記号の意味は 以下のとおり : 物体 P に働く 重力 : 物体 Q に働く 重力 8

29 : 物体 P が物体 Q を押す力 : 物体 Q が水平面 CD を押す力 : 物体 P に働く 垂直抗力 : 物体 Q に働く 垂直抗力 f : 物体 P と物体 Q との間の動摩擦力 f : 物体 Q と水平面 CD の間の静止または動摩擦力 このままでは 矢印がたくさんで解かりにくいので 物体毎に分 けて図示する 物体 P Q の加速度を水平 垂直方向でそれぞれ および とする 物体 P の運動方程式 垂直方向 : 水平方向 : f 物体 Q の運動方程式 P Q f f f f 垂直方向 : 水平方向 : f f となる 動摩擦力の大きさ f は f で与えられる 一方摩擦力 f は 静止摩擦力か動摩擦力になる かは 条件 に依存し 現時点では決まらない さらに 作用 反作用の関係で が成り立つ さて 垂直方向には 物体 P Q が動かないとすると 対応する加速度 ゼロとなるので となる 9 水平方向の運動は 物体 P についてはこの段階で確定し 物体 P が物体 Q 上を滑る間の加速度は f となる 物体 Q と水平面との摩擦なし f この場合 物体 Q と水平面との摩擦がない f ので 物体 Q の水平方向の運動方程式は f f f となる 物体 P と Q が一体化するという事は つの物体が同じ速度 になる事なので 一体化までの時 間を とすれば P f Q f f

30 3 であり 一体化した時の速度 は である 求める物体 P の移動距離 P は 初速度 加速度 の等加速度運動なので P 一方物体 Q の移動距離 Q は 初速度 加速度 の等加速度運動なので Q 物体 P と Q は 一体化するまでは異なる速度で移動しているので 移動距離も 当然異なる 物体 Q と水平面との摩擦あり 物体 Q の水平方向の運動方程式から 物体 Q の動静を確認する 水平方向 : f f f 物体 P と Q との間の動摩擦力 f が右向きに加わり それに抗する抵抗する形 左向きの力 で摩擦力 f が物体 Q に働く 最初 Q は静止しているので Q が動き出すためには f を最大静止摩擦力と考え > f f となることが必要 f なので > > > > f f f が満足すべき条件である 物体 Q が動く時 物体 Q の水平方向には 物体 P と Q との間に生じる動摩擦力と 物体 Q と水平面 CD の間に生じる動摩擦力が働く 物体 P Q の水平方向の運動方程式から 水平方向の加速度を求める 物体 P の水平方向の運動方程式 : f 物体 Q の水平方向の運動方程式 : f f と 加速度が求まる つの物体が一体化する時に つの物体の速度は等しくなる その速度を u 一体化する時間を とすれば u

31 3 > > > より : 注意 よって u として 以下の値を得る u さて < である 物体 P の加速度は 物体 Q と水平面 CD の間の摩擦の有無に関係なく 同じ値である 動摩擦力は 垂直抗力と動摩擦係数との積で与えられ その大きさは 物体の動く速度に関係ないとして扱っている 一方物体 Q の加速度は の場合 物体 Q と水平面 CD の間の摩擦のため の場合よりも小さくなる よって つの物体が同じ速度になるまでの時間は の場合のほうが大きくなる : < 注意 : > である { } > 3 求める物体 P の移動距離 P は P 一方 物体 Q の移動距離 Q は Q ここでも の場合と同様 物体 P と Q は 一体化するまでは異なる速度で移動しているので 移動距離も当然異なる なお とすれば Q P は の Q P にそれぞれ一致する 例題 の 微積分を用いた解法ここでは 運動方程式が既に得られているものとして 話を進める 物体 および物体 の位置座標をそれぞれ および Y X とする 運動方程式は 次のように書き換えられる X f f Y f f f f ここで 物体の水平方向および鉛直方向の運動に分けて考える まず鉛直方向では Y が変化しない事 作用 反作用の関係で が成り立つ事から

32 3 Y となる 水平方向の運動は 物体 Q と床との摩擦の有無に分けて考える必要がある 物体 Q と水平面との間に摩擦力が働かない場合 動摩擦力 f である 物体 P の運動方程式から 物体 P の速度に関する式をえる ただし この段階では 時間 は求まっていない なお 物体 P の運動方程式は 物体 Q と床との摩擦の有無には影響されない C C 同様にして 物体 Q に関する運動方程式から 物体 Q の速度が求まる ただし f D X X D X X X f f 物体 P と物体 Q が一体化する時間 では つの物体の速度が等しくなるので X をえる 物体 P と物体 Q が一体化した時刻 での速度は 次式のとおりである X 点 から見た 物体 P の移動距離 は となる 一方 点 から見た 物体 Q の移動距離 X は X X X である

33 物体 Q と水平面との摩擦がある場合 物体 Q の水平方向の運動方程式から 物体 Q の動静を確認する 物体 P と物体 Q との間の動摩擦力の f が 物体 Q と床との間の静止摩擦力 f と釣合っていれば 物体 Q に働く水平方向の力はゼロとなり 物体 Q は 静止したままである しかし f の大きさは最大静止摩擦力 を越える事はない よって f が最大静止摩擦力 よりも大きければ 物体 Q は動く 以上の考察より f > > > の条件が 物体 Q が動くためには 必要である 動摩擦力 f f をそれぞれ f f として 物体 P および物体 Q の水平方向の運動方程式から それぞれの物体の加速度が求まる f X X f f 物体 P の初速度 物体 P 点 にいた時を 時間の原点にとる は 物体 Q の初速度はゼロで与えら れるので それぞれの物体の速度は 上の加速度の式を時間積分することで X X となる 物体 P と物体 Q が一体化する時間 で つの物体の速度が等しくなるので 時間 は次のよ うに求まる 注意 より : > > > X 3 求める物体 P の移動距離 は 一方 物体 Q の移動距離 X は X X X である 以上の計算過程を見れば分かるように 単純な直線運動において微積分を用いても 用いない場合と 代わり映えせず その有用性があまりない 物体がより複雑な運動を行う場合 または運動量 力学的 エネルギー 後ほど学ぶ に関する計算を行う場合には その有用性を感じるだろう 33

34 5 斜面上での物体の運動 斜面からの垂直抗力 斜面が動かないとして 考察する 斜面が動く場合 は 総合問題 最後 で考察する 最初は 物体が斜面上を動く場合を考える - 斜面を降りる物体の運動 斜面での摩擦なし 物体 のは大きさ の重力が加わる その力を斜 面に対して垂直方向 水平方向の つの方向に分ける 物体 が斜面を垂直に押す力 大きさ とする に 対して 斜面が反作用として同じ大きさで物体を押し返す それが垂直抗力 である また物体 は 斜面の下がる方向に 重力により の力を受ける 運動方程式は 力の向きを 斜面に対して 水平 垂直方向に分けて立てる 斜面に対して平行 // 下向きの力を にとり を得る 一方 斜面と垂直方向 上向きを正にとる は 物体 には 重力による力 と垂直抗力 が働く 物体が斜面にくっついたままだと 斜面に対して垂直方向 の速度 ゼロ 加速度 よって 垂直抗力 と重 力による力は釣り合う : に働く力のみを書くと 注意 : 物体は 斜面に対して 角度 で力を加えているようにも見える 斜面に対して働く 斜面を押す 力は 本当に斜面の面に対して垂直なのだろうか? 物体 に加わる重力のうち 斜面に沿った力は きに である よって物体 に対して 斜面上向 の大きさの力を加えると 斜面に沿った方向の力の総和はゼロとなり 物体は斜面上で静 止する この時 物体 に加わる力として残るのは 斜面に対して垂直方向の力 この力 のみである が物体 に働くため 物体 は 斜面の面に対して垂直な方向に斜面を押す - 斜面を降りる物体の運動 斜面での摩擦あり 物体 には 大きさ の力が加わる その力を斜面に 対して垂直方向 水平方向の つの方向に分ける 斜面を垂直に押す力 に対して 斜面が反作用として 同じ大きさで物体を押し返す その力が垂直抗力 であ る また物体 は 斜面の下がる方向に 重力により の力を受ける 斜面も物体との摩擦による摩擦力 大きさ f を受ける ここでは 斜面が受ける摩擦 力の矢印を省略した 力を斜面に対して 水平 垂直方向に分ける 運動方程 34 斜面からの垂直抗力 f : 動摩擦力

35 式は 力の向きを考慮して書く 斜面と垂直方向 上向きを正にとり の運動 物体 には 重力による力 と垂直抗力 が働く さて物体が斜面に沿って運動すると 斜面に対して垂直方 向の速度 ゼロ 加速度 よって 垂直抗力 と重 力による力は釣り合う : 斜面に対して平行の運動 下向きの力を にとり 動摩擦力を f f とすれば をえる また 動摩擦力 f は f で 与えられる 物体の斜面に沿っての加速度 は f で与えられる f -3 斜面上での物体の上向き運動 斜面での摩擦あり 物体 に対して 斜面に沿って上向きに力 がかかり 物体 が上向きに移動する場合を考える 物体 に加わる重力 は 斜面に対して垂直方向 水 平方向の つの方向に分ける 物体 が斜面を垂直に押す力 に対して 斜面が反作 用として同じ大きさで物体を押し返す それが垂直抗力 である また物体 は 斜面の下がる方向に 重力により の力を受ける さらに物体が斜面上向きに移動する場合 動摩擦力 f は斜面に沿って下 向きである 物体 の運動方程式を書く なお f である 斜面に対して垂直方向 斜面を外向き: 斜面に対して水平方向 斜面を上向き : f 物体 が斜面に沿った運動をすれば から を得る 注意 : 斜面との摩擦がない場合は f とおけばよい 斜面からの垂直抗力 斜面からの垂直抗力 f : 動摩擦力 に働く力のみ を書くと f : 動摩擦力 続いて 物体が斜面上で静止している場合を考察する - 斜面上で静止している物体 の 力の釣り合い 物体 が斜面上で静止している時 斜面に対して垂直方向には 物体は動かない その時の力の釣り 合いは 類似の考察を既に 3- で行った 物体 の動静によらず 同じ結果を得る ここでは斜面上を静止する時の 水平方向の力の釣り合いを考える 角度 面を滑らないが がある角度よりも大きくなると 物体は滑り始める 35 では 物体 は斜

36 下方向を にとり 静止摩擦力を f とする 斜面と平行な方向の運動方程式は f 斜面からの垂直抗力 となる また 最大静止摩擦力を f X が成り立つ f X とすると さて 物体 が静止していれば 斜面に対して水平方向の速度 ゼロ 加速度 よって 物体 にかか る重力による力の 斜面に対して水平方向の成分 は 静止摩擦力 f と釣り合う : f である もしも斜面の角度 が大きく 静止摩擦係数 μ が小さく 滑り始める > f X であれば 物体は 斜面を f: 静止摩擦力 - 斜面上で物体が静止している場合 外部から力を加えた場合 斜面と物体 との間に摩擦がある 外部から物体に力斜面からの垂直抗力 を斜面に沿って上向きに加えなければ 物体は斜面を滑 り落ちる また 斜面に沿って上向きに力 を加えているため 物体は静止していると 仮定する 注意するが あくまでも この箇所での 考察にあたっての前提条件であ る 最初に 力 は小さく 物体が下に向かって滑り落ちる 直前の状態 少しでも力 が小さくなれば 物体が滑り降 りる状態 と仮定する すると 静止摩擦力は滑り降りようとする向きと逆向き 上向き に働く f: 静止摩擦力 力の釣合いは 斜面に対して水平方向は 上向きを にとり f となる すなわち 力の釣り合いは f f 滑り出す直前では 静止摩擦力は最大 最大静止摩擦力 : f となる これから f とおく を得る さて からさらに力 が大きくなると 静止摩擦力は最大静止摩擦力 : f から小さくなっていく そして f の大きさがゼロになる場合がある それは 36

37 f において f と代入すれば分かるように の 大きさになる時である これは 摩擦のない斜面で 物体を静止さ せるために必要な力の大きさに等しい f さらに力が大きくなり > となると 今度は 静止摩擦力は 斜面に沿って下向きの力となる その理由 : > であるのに f または f が上向きのままだと 力の釣り合いが成り立た ない このときの斜面に沿った方向の運動方程式は 物体は静止しているので 加速度 の場合 斜面右上向きを にとり 運動方程式は f となる すなわち 力のつりあいは f である さらに が大きくなると 物体は斜面を上り始 める その動き出す直前の状態では 静止摩擦力は最大で あり f になる この時の力 は とする f である の大きさが を越えると 物体は 斜面を上に向かって動き出す 以上の結果をまとめる 斜面と物体との間に摩擦があるが 外部から力 を加えない時 物体が斜面 を下る このような状況を考える 加える力 が次の範囲の時 物体は 斜面上で静止する 斜面からの垂直抗力 f: 静止摩擦力 f 例題 摩擦のない斜面での物体のつりあい 傾き の滑らかな 摩擦のない 斜面に質量 の物体を置き 物体に水平方向に図のような大きさ f の力を加えて 物体を静止 させた f の大きさを求めよ を用いて表せ 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ f 解説 & 解答力 f は 斜面に対して水平方向および垂直方向の成分の力を持つ 力 f を斜面に対して平行 垂直方向に分解して考えよう 力の分け方は これ以外にもある しかし 力 f を斜面に対して平行 垂直方向に分解して考えると これまでに勉強してきた考え方が利用できる 力 f が加わらないなら 物体は斜面に対して平行方向の移動 斜面を滑る をする それを阻止するように力 f が加わっている 37

38 なめらかな斜面での力のつりあいは 垂直抗力を 加える力を f として 運動方程式を立て 力 の釣り合いを考える 運動方程式は 斜面外向きおよび 斜面と平行下向きを にとり の加速度をそれぞれ と すると 斜面に垂直方向 : f 平行 : f 水平方向の釣合から 垂直抗力 は f n f n で与えられる 注意 : 垂直抗力 を 床と水平 垂直方向に分解して考えても良い この方が計算はすぐに終わる 水平方向 右向き : f f 垂直方向 上向き : / あとは 省略 f f f 例題 の追加例題 と同じく 物体に対して 水平面と水平方向の向きに力 f を加えて 角度 の斜面に物体を静止させる 物体と斜面と間に摩擦があれば 力 f の大きさがある範囲内であれば 物体は斜面上で静止する その範囲を求めよ ただし 物体を斜面上に静かに置いた時 物体は斜面上を滑り落ちるとする また を物体と斜面との静止摩擦係数として / < n > を満足する 解説と解答 物体に加える力 f の大きさにより 斜面に沿って物体に加わる摩擦力方向が変わる この事を念頭に 問題を解く 斜面での物体の釣り合いは 力が十分大きく あと少しで物体が斜面を登りそうになる場 合と 力が小さく あと少しで物体場斜面を滑り降りそうになる場合 いずれも 最大静止摩擦力が働 く場合 を考える 斜面での力の釣り合いは 物体に外部から加える力 f 物体が斜面を押す作用に対する反作用として の斜面からの垂直効力 静止摩擦力 f および重力により物体に加わる力 である これらの力 による運動方程式を立て 力の釣り合いを考える 力 f は 斜面に対して平行な方向と垂直方向に分解 して考える 先の例題 では 重力に対して平行 垂直方向に分けて考えると 簡単に答えが出た し かし今回は 静止摩擦力を考慮する必要があるので 斜面に対 して並行方向と垂直方向のに力をわける f 最初は 物体に加える力 f が十分大きく あと少しで斜面を登っていく 最大静止摩擦力が働く 場合を考える 運動方程式は 斜面外向きおよび 斜面と平行下向きをにとり の 加速度をそれぞれ とすると 斜面に垂直方向 : f 平行 : f f 38 f f f

39 斜面に対して垂直方向の釣り合いから f をえる この式を斜面水平方向の式に代入する 静止摩擦力は 最大静止摩擦力とする すなわち f である f f f f f f n f n これが 物体に加える力 f の最大値である この時 垂直抗力 は f となる 補足 垂直抗力 > でなければ 物体は斜面と接していない そのためには > が必要である この条件が何故出るのか 考えよう 物体の質量は であり 物体に働く重力のため 物体に力を加えなければ 問題の設定条件より 物体は斜面を滑り落ちる そのため 斜面に沿って 上方向に力を加える必要がある この問題設定では 水平面と平行な方向に 力 f を加える よって 斜面に沿って物体が上る方向に 加わる力の大きさは f である 一方 斜面に沿って物体が下がる方向に働く力は 垂直抗力 f に起因した静止摩擦力 と 物体に働く重力の斜面に沿った成分 の つの力である 物体が斜面に沿って登りだす直前の釣り合いを考えると f " として最大静止摩擦力を考え f f " f が成り立つ この式を次式のように変形すると f f f > > n f f > の条件を得る 補足終わり f 続いて 物体に加える力 f が十分小さく もう少しで物体が斜 面を滑り落ちる直前での力の釣り合いの場合を考える 先ほどと同 f 等に考えると 物体の運動方程式は f 斜面に垂直方向 : f f 平行 : f f 斜面に対して垂直方向の釣り合いから f をえる この式を斜面水平方向の式に代入する 静止摩擦力は 最大静止摩擦力とする 39

40 f f f f n f n f f f これが 物体に加える力 f の最小値である なおこの時 垂直抗力 は f となる 以上から 求める f の大きさの範囲は 以下のとおり 注意 : では f n になる n n f n n 補足 斜面上に物体を静かに置いた時に斜面上で物体が静止しない条件は 重力による斜面に沿った力の大きさが 最大静止摩擦力よりも大きい事である すなわち > < n の条件を得る 補足終わり 例題 摩擦の有無による斜面の運動の違い 角度 の雪の斜面を スキーに乗った人が自然に滑り出した 初速度 ゼロということ スキー板 と雪面との間に摩擦がない場合は時間 かかって滑る所を 実際には動摩擦力が働くため 時間 R かか って滑った 重力加速度を とし 空気の抵抗を無視できるとして 次の問に答えよ スキー板と雪面との間の動摩擦係数 を求めよ 斜面を滑りきった時の速さ はいくらか? 3 8.s 8.4s 3度として を計算せよ R 解説 & 解答 斜面の長さを として 計算しよう ただし 答えに が含まれないようにする事 斜面を滑る物体の加速度は 動摩擦力がない場合とある場合でそれぞれ で 与えられる いずれの場合も距離 滑るので 以下のようになる / { } { } R R R / n R R 4 上の結果を用いると 速度 摩擦のある場合の速さを求める は 次式で与えられる

41 R n R R R R 3 具体的な数値を代入すると n [ R / ] R [ 8/8.4 ] /s /s 37.33/s 37/s. R 例題 3 摩擦のある斜面 & 平面を滑る物体の運動右図のような角度 の斜面 - の点 から 物体を滑らせた 物体は点 で速さは変えることなく 滑らかに方向を変え -C 間をすべり 点 C で止まった -C C 間では一様な摩擦が働く 動摩擦係数 が同じ値 とし て 動摩擦係数 を を用いて書け ただし - -C の長さはそれぞれ とし 重力加速度の大きさを とする また.6. / 6 のとき の値を計算せよ ただし 点 で物 π 体は滑らかに速度の方向を変えるものとする 解説および解答 : 質量 斜面の長さ 水平面の長さ とする - 間の運動 および -C 間の物体の運動におい て 点 での速度は共通である - 間では速さが増加する運動であり -C 間では 速さが減少する 運動である この事を式で表す 斜面での運動方程式は 加速度 として 時間 かかって - 間を滑ったとすると 点での速度 は / となる 一方 点 C で停止するので 水平面での加速度を 滑ったとすると C C C / C C / / このようにして求まった つの が等しいので 4 / とし 時間 C かかって -C 間を / /

42 となる.6. / 6 の値を代入して 以下の値を得る π / 例題 4 斜面に 個まとめて押し上げられる物体の運動 斜面にある質量 の つの物体が側面で接触する また図 のように 物体 が斜面に対して平行に上向きに 大きさ の力で押されている 斜面と つの物体との間に摩擦は無い この時 それぞれの物体に生じる加速度 および つの物体間で働く力の大きさを求めよ 解説と解答 つの物体 がそれぞれ斜面を押す力 に対して その反作用として斜面が つの物体をおす垂直抗力が生じる その力をそれぞれ とする また 質量 の つの物体が押し合う 力の大きさを f とする 作用 反作用から 同じ大きさの力 物体 に生じる加速度を斜面方向 斜面に沿って上向きを f f 正 および斜面に対して垂直方向 斜面から外向きを正 にと りそれぞれ とする 斜面と つの物体との 間には摩擦力が働かないので 重力による力は 重力の斜面に沿った成分のみを考慮すればよい 物体に働く力を図示すると 次のようになる よって運動方程式は : f 水平方向 : : f 垂直方向 : : : となる 物体の運動は斜面に沿った運動なので 成分 : である また つの物体が接触 して一緒の運動をしていれば とできる 斜面に沿った運動方程式を足し算すると : f : f f f 例題 5 摩擦のある面での運動 質量 の質点が 摩擦のある斜面上を運動する 質点と平面と の静止摩擦係数は であり 動摩擦係数は である 以下の問い 図 に答えよ 図 のように水平面に対し角度 傾けた平面上で 質点に初 速度初速度 を与えて斜面を上らせる 質点が一番高くなるまで 4

43 に 斜面を移動する距離を求めよ また 質点が一番高くなった ところで静止するための条件を求めよ 図 のように 水平面に対し角度 傾けた平面上で 質点に 図 初速度 を与えて斜面上を下らせる 斜面の角度がある角度 を とる時 質点は等速運動で斜面を下る の満足する式を求めよ 解説と解答 物体 は の力で斜面を押す その力を斜面に対して垂直方向 水平方向の つの方向に分ける 物体 が斜面を垂直に押す力 斜面が反作用として同じ大きの垂直抗力 に対して で物体を押し返す この関係式は 後で見るように 質 点の斜面に対して垂直方向の運動方程式からも 導くこ とが出来る また物体 は 斜面に沿って下がる方向 に 重力により の力を受ける さらに物体が斜 面上向きに移動する場合 動摩擦力 f は斜面に沿 って下向きである これらの力を用いて物体 の運動方程式を書く 物体 の加速度の向きは 斜面にそった方向と垂直方向に分け 加速度をそれぞれ とする 斜面に対して垂直方向 斜面を外向き: 斜面に対して水平方向 斜面を上向き : f 斜面垂直方向には質点が動かないので となる これから この値を水平 方向の運動方程式に代入すると f となる 初速度 で 時間 で質点が最高点に達するとすると その時質点の速度 ゼロである 斜面 を移動する距離を S とすると をえる S 質点が一番高くなったところで静止するためには 少なくとも 質点に働く最大静止摩擦力 が 質 点に働く重力の斜面に沿って働く力 と等しいか 大きくなくてはならない これを式に書くと n が求まる 3 質点に働く力の総和がゼロになれば 質点は等速度運動を行う での議論を利用すると 質点 の働く重力による力の斜面でに沿った成分が 動摩擦力と等しければよい すなわち を得る n f : 動摩擦力 43

44 例題 6 滑らかな斜面上で静止する物体 図のように 摩擦のない水平面上に質量 角度 の斜面 がある 斜面のある位置に質量 の物体をそっと置き 斜面 に対して水平左方向の向きに一定の大きさの力を加える 斜面と質量 の物体との摩擦がないとして 物体を斜面上の同じ位置に静止させる時の力の大きさを求めよ またその時 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさと斜面が水平面から受ける力の大きさを求めよ 解説と解答 求める力の大きさを とする まず 質量 の物体と斜面 に働く力を書こう 質量 の物体には 重力加速度による力 が働く 物体 は斜面を力 で押し その反作用で斜面 から大きさ 垂直抗力 の力で押し返さされる 斜面と物 体 の間に働く力は上で考えたので 残りの力を考える 斜 面には重力加速度による力 が働く その他の力では 斜面が水平面を押す力 反作用として水平 面から押される力 垂直抗力 が働く 続いて物体 と斜面の運動方程式を立てる その際 力をどのように分解して運動方程式を立てるか が 計算が楽かどうかという意味で重要である 問題から 物体 は水平方向の加速度運動をすると考 えられる また 水平方向ないしは垂直方向に向いた力が大多数なので 力の分解は 水平 右向きを 鉛直方向 上向きを に分ける 物体 の加速度を水平 鉛直方向に とし 斜面の加速度を水平 鉛直方向に とすると 力 の分解の図参照 : : 作用 反作用 となる また 物体 が斜面上で静止している事 物体 と斜面の加 速度が同じ 斜面が水平面上で上下方向に移動しない事から の条件が出る これらの条件を運動方程式に代入すれば 以下のように と の大きさが求まる n n n n なお の大きさは の関係と斜面 の運動方程式から 以下のように求まる 44

45 6 速度に比例する抵抗を受ける物体の運動 空気抵抗などを受ける場合 水平面上を 大きさのある物体が運動するとしよう 物体には 常に一定の力 が働くとする その 一方で を定数として速度 に比例した大きさ の力を 速度方向と逆に受けるとしよう 運動方程 式は 物体の質量を とすれば となる この微分方程式を解けば ln c ここでC は定数である 時刻 で初速度 とすれば C / となり p C p を得る この式は 時間が十分たてば 速度は一定の値 / になることを示す さて 以上の結果を 運動方程式を具体的に解くことなく 導びこう 運動方程式 において 初速度 ゼロの場合 運動の開始直後では速度 ~ なので 速度 は で増加すると見なせる しかし 速度が大きくなると空気抵抗が無視できなくなり の形の運動方程式を考えなくてはならない ここで > なら加速度 / > となり 速度は 増加する しかし 速度が増加し になれば 加速度 / となり もはや速度の増加は 望めない すなわち 一定の速度 / の等速運動になる これらの結果を比較すれば解かるように 運動方程式を微積分の手法を使って解けば 極端な条件 こ の場合は 時刻 と 以外の 途中の場合の 物体の運動の様子を知る事ができる 例題 斜面のそり図 に示すように 水平と角度 をなす斜面上に 帆の付いたそりを置き その運動を調べる そりの質量 斜面に沿って下向きの速度 加速度を 動摩擦係数 重力加速度を とする また 帆には そりの速さに比例する力 が速度と逆向きに働く 図 そりが斜面に沿って滑り落ちる時の加速度 を などを用いて表せ また そりが等速度運動する時の速度を求めよ 45

46 3 度の斜面で実験を行った その結果 そりを静かに離して 初速度 ゼロ からの時間 と 速度 の関係が図 のように得られた なお 図の破線は 曲線に対する での接線である この図 から の値を求めよ ただし. 9.8/s として 有効数字 桁で求めよ 解説と解答 斜面を滑る物体にかかる力を思い出そう 斜面に沿って の重力の力は 向と逆向きに である 一方動摩擦力は物体が滑る方 である さらに速度に比例した抵抗 を考慮すると 運動方程式は 以下のとおり そりが等速度運動をする時は 加速度 よって 時刻 での破線は 時刻 での速度が増加する程度を示す すなわち 時刻 における 加速度を表す また 速度一定の部分は そりの速さに比例する力 空気の抵抗だろう と重力に起因 する力が釣り合った状態を表す 破線は 時間 秒で速度が.5/s 増加する事を示す すなわち時刻 での加速度は.5/s である またこの時刻では 速度 である 時刻 での運動方程式は 速度 を考慮し /.5/ / ~ 一方 時刻 での結果.5/s で求めた等速運動の答えを利用し..5/s./s を得る.5/s /s s 図 微分方程式による解法 : ここで u とおけば 上の方程式は u u u ln u c u C p u 元の変数に戻して 初期条件 : で を代入すると 次の答えを得る p 46

47 7 滑車のある運動 ただし 滑車の質量 ゼロ { 質量ゼロで なめらかに回転する滑車 により 質量ゼロの糸が動く } ないしは { 質量ゼロの糸が滑車を滑る } と仮定して議論を進める なお滑車の運動を考える場合 厳密に扱おうとすれば 滑車を大きさ 質量を持つ物体 剛体 として扱う必要があり その際に滑車の質量をゼロにすることで ここで記述する運動方程式が求まる しかしここでは 上で述べた仮定を証明することなく用いるので ひとまず納得して欲しい 以下では 典型的な問題を説明する なお 床に加わる摩擦力は 図では省略した 例題 滑車にぶら下がった つの物体の運動 { 質量ゼロで なめらかに回転する滑車 により 質量ゼロの糸が動く } ないしは { 質量ゼロの糸が滑車を滑る } と仮定する 物体 に働く力は 重力による力としてそれぞれ がある 物体が糸を引っ張る反作用として糸が物体を引っ張る 上の仮定を認めれば つの物体 において 物体が糸を引っ張る力を とすれば 糸が物体 を引っ張る力 T とは T の関係にある 質量は > なら 物体 が下がり 物体 が上に移動する この場 合を想定し 物体 が下がる方向を にとり 運動方程式を書く 物体 および物体 の加速度をそれぞれ とすると 物体 : T 物体 : T となる さらに 糸が伸び縮みしないと仮定すれば 加速度は 動方程式を加えると となる よって つの運 T T T となり 等加速度運動をする事が分かる なお < なら 加速度の大きさは で与えられる T T 例題 水平面上の物体を 滑車を介して別の物体で引っ張る 滑車にぶら下がっている物体の質量を 左図 とし 摩擦のない水平面で 物体 を力 の大きさで引 っ張るのと同じ問題設定になる 引っ張られる物体 には T 摩擦の有無の場合わけがある なお 床が物体から受ける 摩擦力の図示は 省略している T 質量 の物体には 物体 が水平面を押す力 に 対する反作用として 垂直抗力 が働く 47

48 糸の張力は 物体 それぞれで同じで T である 質量 の物体と水平面との間に動摩擦力が働くとすると 運動方程式は 物体 に働く垂直抗力を として : T : T となる また 動摩擦力 を代入し 糸が伸び縮みしない条件 から 加速度 糸の張力 T が 以下のように求まる T T T : : T T Tの計算 T なおこの問題は 右図のように 水平面上の つの物体の運動と同等である ただし 物体 を引く力 であり 物体 と水平面の間には摩擦がない このような問題設定にす T 摩擦無し T れば 上と同じ運動方程式が導かれる 実際に同じになることを確かめてみよう 例題 3 場所 位置 の変化する滑車がある場合 全ての滑車の質量 ゼロとする また 斜面は動か ないとする 摩擦のない斜面にある質量 の物体 質 量 ゼロの動く滑車 大滑車 にぶら下がっている質 量 の物体の運動を考える 図で見るように 大滑車 は 物体 の運動に従い 高さが変化する 動く滑車 大滑車 の質量をゼロとし 滑車を上に 持ち上げようとする糸の張力を T 質量 の物体によ って下向きに引っ張られる糸の張力を T とすると 大 滑車の質量 ゼロの糸の張力のつりあいの為 T T である 運動方程式を立てた時 物体の質量 ゼロの 時 物体に加わる力の足し算 ゼロになったことを思 いだそう なお 物体 に斜面から働く垂直抗力は 図示していません 質量 の物体 および質量 の物体の加速度をそれぞれα : T α : T α α T とすると 運動方程式は T T T T 48

49 となる また 物体 が距離 移動すると 物体 はその半分だけ位置が変わるので α α の間に はα α α の関係がある これに 先ほど得られた関係式 : T T を代入して 糸の張力および 物体の加速度を求める : T α T α 4 α : T α / T α / よって 物体 の加速度 α α 4 α α であり 物体 をひっぱる糸の張力 T として は T 4 α を得る なお ここでは 物体 が斜面を上るとして解いたが 下がる場合は加速度の大きさは - を つければよい 念のため 物体 の加速度 α を運動方程式から求めると 4 α T α α 4 問題 // 質量 の物体と斜面との間に摩擦がある場合を考える 動摩擦力を として それぞれの物体の加速度と糸の張力を求めよ 49

50 8 次元の運動 : ボール投げ 重力のみが働く 質量 のボールには 重力が地面に向かう方向に 垂直方向に働く 空気の抵抗が無視 できる場合 どのような向きの速度を持っていても 地面向きの重力による力が働く 運動方程式は で与えられる この式を 重力が働く方向とそれに対して垂直 地面に対して平行 方向の つの成分に分ける すると 地面から上向きを 軸の 方向にとると となり 運動方程式はベクトル表示で である 具体的に書くと 垂直方向 : 水平方向 : 上の式は 水平方向の運動と垂直方向 重力による力が加わる方向 の運動が お互いに影響を及ぼさ ないことを示す よって 垂直方向 水平方向の運動は それぞれ独立に考える事ができる 速さ は それぞれの速度 水平 成分 垂直 成分 の合成で求まる ; さて ボールの速度 および位置 は 初期条件 H の時 / H これより 以下に示すように 物体の運動は 放物線を描く / H / H ここで学んだ事 物体の速度ベクトルの向き 物体の動く方向 と物体に加わる力ベクトルの向きは 必ずしも同じでは ない 力の向きが一方向でも 物体の運動方向は 直線 放物線など いろいろありうる 例題 ボールを遠くへ飛ばす最適角度の問題水平面上で 角度 でボールを投げる時 角度を幾らにすれば ボールをもっとも遠くへ投げる事が出来るか? ただし 角度によらずボールの初速度は一定の値とし 空気抵抗は無視できるとする さらに ボールを投げる人の背の高さは無視 背の高さゼロ とする 5

51 解説と解答 パラメーターが与えられていない場合は 自分で決める 初速度を とする 垂直方向 および水平方向の初速度 はそれぞれ で与えられる 物体に掛かる力は重力なので 運動方程式は加速度をそれぞれ とすれば : : となる ボールが地面に落ちるまでの時間 および飛んだ距離を とすると : / / : / なので を得る よって o を得る から 45 を得る 角度 45 度で投げると 最も遠くへ飛ぶ事がわかる 例題 ボール投げの結果からの 初速度と投げる角度の逆算 水平面から斜め上にボールを投げた時 ボールを投げた地点と落下した地点との距離は であり ボールを投げて落下するまでの時間は s であった このことから ボールの初速度および投げ上げる 角度の n を求めよ ボール投げは 地面の高さで行われると考えよ 人の高さは無視する 解説と解答 初速度 投げる角度を とすると 水平 垂直方向の初速度は 時間 で水平面にボールが距離 離れて落下したので 例題 参照 : : / / / さて なので をえる ここで を利用し n となる 5 となる

52 例題 3 崖からのボール投げ 高さ H の崖から初速度 > 水平面に対する角度 で ボールを投げた 図の水平到達距離 を 重力加速度 お よび H を用いて表せ H 解説と解答ボールが水平面に到達する時間を として計算しよう 垂 直方向の運動方程式は 上方向を正にとり 加速度を とすれば これより加速度 となる 垂直方向の初速度は かつ水平方向の物体に働く力 ゼロな ので 水平方向には等速運動となる よって時間 後のボールの速度は で表される 時間 経過後のボールの位置 高さ は 水平面の高さをゼロとすると H H H H ± H ここで > より H よって 水平方向の速度は一定の値 なので H この問題で分かるように 物体に対して働く力 この場合は重力による力 は 物体の運動する方向と同じとは限らない 例題 4 モンキーハンティング 地表上の点 O の前方に 距離 だけ離れて鉛直な壁がある 軸を壁に垂直に 軸を鉛直にして 座標系 O- を図のようにとる 物体に対する空気の抵抗や壁面摩擦 を無視し 重力の加速度を とする 次の問に答えよ 図 原点 O から物体 を初速度 u ベクトル で - 面内に投げる 点 O を始点とした u ベクトル の延長線と の壁面 との交点を点 P とする 物体 を投げたのと同時に 点 P から物体 を速度ゼロで落下させる 物体 が壁面上のある点 Q に衝突すれば 物体 は点 Q で必ず物体 と衝突する事を示せ 5 図 u P Q

53 図 原点 O から初速度 仰角 α で物体を - 面内に投げ て壁面に垂直に衝突させたい そのために とα が満足すべき関係 式を導け また の下限の値を求めよ 図 解説と解答 物体に加わる力は重力による力だけである よって運動方程式を 書けば 垂直方向の加速度のみがゼロでなく これを前提にして 問題を解く 物体 の速度の 垂直および水平方向の成分はそれぞれ u u u u 鉛直方向上向きを正にとる である事がわかる である 物体 が時間 かかって水平方向に距離 移動したとして その時の物体 の垂直方向の高さ を求めると 次の式が得られる : : / / u u u u / u u u 一方物体 の最初の高さを とすると n n u u n となり その位置からの自由落下で 時間 / u 経過後の高さ を求めると / n u よって となり つの物体は必ず衝突する の計算を利用する 物体が の壁に垂直に衝突する時刻 では 垂直方向の速度 ゼロであ り 物体の水平移動距離は である よって 以下の式が成り立つ : : / これより α α α u α α α α α α α α 物体を投げる角度 < α < π / から α のとる値の範囲は < α < π < α よって下限は 次のように求まる α α 53

54 例題 5 異なる角度でのボール投げ 水平面上の 点からボールをある仰角で投げ上げたところ 時間 秒後に 点と同じ平面上の 点 にボールが落下した 次に 点から仰角を先の角度の 倍の角度でボールを投げ上げたら 初速度は同 じとはかぎらない 時間 秒後に 点と同じ平面上の 点にボールが落下した ボールの大きさおよび空気の抵抗が無視できるとして 点 間の距離を を用いて表せ 解説と解答 間の距離を s ボールの初速度を角度によって異なるとし として 式を立てる 初速度 時間 でボールが水平面に落下した時の ボールを投げる角度を とすると 水平 垂直方向の初速度は となる 時間 で水平面にボールが距離 s 離れて落下したの で 例題 参照 : : / / s / の式をえる さて なので s となる 同様に 初速度 投げる角度 の時 時間 で水平面にボールが距離 s 離れて落下したとすれば : / : s となる ここでも なので s をえる さて 以上のようにして得られた 4 つの式から 次のような関係式を得る 54 s n s n s s n s n s さて n に関して 一般に次の等式が成立する : n n n この n [s s の等式に 上で求まった値を代入する n n n s ] 8s 4 / s / s 8 s 4s s s : s 4 8s s s

55 運動量と力積 はねかえり係数 の定義 i 一番簡単な定義 静止している壁に物体が垂直に入射するとしよう 壁との衝突直前の物体の速度が であり 衝突し た質点の衝突直後の速度が の時 はねかえり係数は次式で定義される ii 直線運動する物体同士では 相対的な速度の比で定義する : 直線上での衝突を考える 衝突前の速度 : : 衝突後の速度 : : とする時 の場合を完全弾性衝突といい の場合を完全非弾性衝突という 質点の壁への斜方衝突定義 // 運動量 : 質量 速度 力積: 力 時間 と呼ぶ 運動方程式を次のように変形する 物体が壁と衝突する直前直後の速度をそれぞれ とする 物体 が壁に衝突している時間を とする 運動方程式を変形する事で 以下の式を得る および とすると ベクトルの各 成分を比較し となる 55 さて 壁面に対して垂直に物体が衝突した場合 物体は 物体の速度ベクトルの向きが反対になるよ うな大きな力 正確には力積 を受ける この事は 壁に対する物体の斜方衝突の場合にもあてはまる だろう そこで 水平面上で物体が壁に対して斜めから衝突する場合を考える 壁面に対して垂直な方向 方向とする では物体が跳ね返ることから 物体は大きな力を壁面から受けると考える しかし壁面に対して平行な 方向 方向とする では 物体の持つ速度成分は変化していないよう に見える つまり 物体はあまり大きな力 力積 を壁面から受けない と考えられる 物体が壁面から受ける 方向の力は 壁と物体との摩擦 によって生じる静止摩擦力ないしは動摩擦力であるが 特に壁面がなめ らかな場合 摩擦力の大きさ ゼロと見なせるだろう 斜方衝突に際してこの考えを徹底 極端化 す ると 物体と壁との衝突では 壁面に対して平行な方向には 物体は力を受けない となる この考え方が 斜方衝突ではもっぱら用いられる

56 56 では 衝突後の物体の速度は どのように求まるのだろうか 壁面と垂直方向 方向 の物体の速度成分は衝突により変化する 衝突後の速度 は はね返り係数 の定義式から与えられる 一方壁面と平行方向 方向 の速度成分は 運動量と力積の式において とおくと 変化しない 事が分かる つの物体の衝突での運動量保存定義 // 運動量 : 質量 速度 力積 : 力 時間 作用 反作用の法則によると つの物体が接している時 つの物体はお互い逆方向に力を及ぼしあう および にそれぞれ 一定の 時間的に変化しないベクトル 力 が時間 作用するとしよう 衝突前後の の速度をそれぞれ とすれば 運動方程式は : : これより 次式を得る : よって となる すなわち 衝突の前後で 運動量の総和は保存される : の物体の運動量変化量 の物体の運動量の変化量 注意 : 運動量保存の関係式の導出で つの物体の間に生じる作用 反作用以外の力は入っていないことに注意する このような力を 内力 ないりょく という 上のように考えている物体全体の中でのみ働く力の場合 外部から力が加わっていない場合 は 物体全体の運動量が保存される なお 物体の大きさを無視する質点としての扱いをしているので 物体同士の衝突後 物体 がどのような角度で散乱されるかについては 議論することが出来ない 時間的に一定でない力を互いに及ぼしあう時の 運動量保存 つの物体 が互いに作用反作用で力を及ぼしあう時 次の運動方程式が成り立つ ここで は 物体 が物体 に及ぼす力であり は物体 が物体 に及ぼす力である これら つの運動方程式を足し算すれば } { 衝突前衝突後

57 作用 反作用の力 が時刻 から まで働いたとし その区間で上の式を積分すれば { } { } となる 物体同士が作用 反作用の力 を及ぼす場合は 作用 反作用の力に時間依存性があっても 初めと最後での運動量の総和は変化しない このように つの物体間に作用 反作用以外の力がなけ れば 運動量は保存される そのため 運動量保存の式は 衝突問題などで頻繁に用いられる さて 式を注意して見れば 一定 をえる よって 作用 反作用の力 が物体に加わっている時間内であれば いつ何時であっても 運動量は保存される事もわかる 運動量保存の適用される場合は 時間の初めと終わりだけではない なお 力が複数の物体間で働く場合は それら力をまとめて内力 ないりょく と言う 複数の物体 に働く力が内力のみの場合 複数の物体全体の運動量は保存される 例えば 例題 8 を参照せよ 例題 一直線上での つの物体の衝突 水平面と物体との摩擦はないとする この問題の実験は 円玉 円玉などを用いてできるので 確認してみよう 質量 の静止して いる物体に 速度 で質量 の物体が衝突した つの物体の運動は 直線方向に限られるとする 衝 突後の つの物体の速度を求めよ はね返り係数を とする 解説と解答衝突直後の物体 および物体 の速度をそれぞれ とすると 運動量保存で が成り立つ また はねかえり係数を とすると が成り立つ これらの式から を得る 例えば の場合 となる これは 衝突後 物体 は 衝突した場所に止まった状態でいる事を示す この実験は すべりの良い机などで硬貨を使って実験する 完全弾性衝突 と見なす ことが出来る 正しいかどうか 実験しよう 57

58 例題 スケートでの押し合い スケートで大人 質量 と子ども 質量 が互いに一定の大きさの力で押し合う その時大人と 子どもに生じる速度の比を求めよ ただし スケート靴とスケートリンク 氷 との摩擦 ゼロとする 解説 & 解答互いに一定の力で押し合うとする 図のように 摩擦のない水平面上で つの物体が互いに同じ大きさの力で押し合っている 作用 反作用の力 問題と同等である 大人 子ども の質量とし 加速度を とする 子供 が大人 を押す力は右方向で であり 大人は子供を左方向に 押す 符号を含め力 で子供を押す 運動方程式は次のように書かれる / : : / - よって 時刻 後の速さの比は この関係式を 運動量保存を使って解くと次のようになる 最初は 大人 子ども共に静止しているとする 子供と大人が互いに押し合う力以外の力は 人に働かない よって 押し合った後の大人 子ども の速度を とすると 水平方向には 人の運動量の和が保存されるので 例題 3 氷とスケート靴との間に摩擦がある事を除いて 後は例題 と同じ問題設定 大人と子供の速 度の比を求めよ ただし 静止摩擦係数 動摩擦係数を大人と子供共通で それぞれ とする 解説と解答この例題では 運動量保存の式を用いる事ができない 理由は 以下の説明と例題 の説明を較べてもわかる つの物体の間で働く力 作用 反作用の力 以外の力が働いているのが原因である さて 大人は右方向 方向 子どもは左方向 - 方向 に動くとする 動摩擦力は 変位する方向 と逆向きに働く 子供と大人の氷との間の静止摩擦係数を として 力 が静止摩擦力よりも大きい場 合 > をまず考える この場合運動方程式は : : となる これより > > として / / をえる 押し合う力の大きさによって 生じる加速度の大きさが異なる事がわかる 速度は で与えられるので 速さの比も押し合う力の大きさにより異なる事がわかる もし > 子供と大人 が共に動く事が出来る条件 かつ >> > であれば 加速度の比は 質量の比以上に大きくなり 大人 物体 がほとんど動かず 子ども 物 58

59 体 のみが動いているように見える 一方 < の場合 物体 はまったく動かない 最大静止摩擦力よりも大きな力が加わらないと 物体は動かない しかし 物体 に加わる力の大きさ > 物体 の最大静止摩擦力 を満足すれば 物体 は動く すなわち 力 が < < を満足すれば 物体 は動かず 物体 のみが動く状況になる この状況では 本当に子ども 物体 のみが動く 例題 4 滑らかに動く台の上での 人の移動図のように 滑らかな水平面上に 質量 の台車があり 台車の左の側に質量 の人が乗っている 台車の車は抵抗無く 床の上をスムーズに動く 人が台車の上を 台車に対して一様な速さ u で右方向へ移動する時 水平面に対する人 および台車の速さを求めよ ただし 水平面に対して人も台車も静止していた状態から 人が台車に対して一様な 速さ u で右方向へ移動するようになったとして その直後の運動について考察せよ の条件で 人が台車に対して右方向に距離 だけ移動した 水平面から見れば 人および台車はどちら方向にどれだけ距離移動しているか? 解説と解答 水平面に対しての速度を人 台車それぞれ とする 右向きを正にとる 人が台車を左方向に押 せば 作用 その反作用として台車が人を右方向に押し返す これにより 最初静止していた台車に 力が加わり 台車が動き出す 人と台車には 外部から力が働かない せいぜい 人と台車が互いに力 を及ぼすだけと考えられる この場合 人と台車全体で見ると 運動量が保存される また 台車に対 して一様な速さ u で右方向へ移動するので 相対速度 u と速度 には u の関係がある 最初 人が静止している時からスタートして 瞬時に一定の速度 u になったとする すると スター ト直前の運動量の総和がゼロであり 外部からは力が働かないため人と台車の運動量の和が保存される の設問の後半部分文章 ただし 考察せよ は 運動量の総和がゼロになる事を示す文章で ある なお 後半部分の文章は 次のような表現でもかまわない 最初人と台車が静止していたとす る 人の台車に対する移動速度が瞬時に u になり その間の人および台車の移動距離は無視できるとす る よって 以下のように が求まる u u u u u 一方 運動方程式から考えると次のようになる 人が台車上で静止していた時から一定の速さ u にな って移動するまでの時間 で 人と台車との作用 反作用による力の大きさを 人に加わる力を とする とする 人および台車の速度 の間の関係式として 等加速度直線運動での速度と加速度の 関係式を用いる事で を得る この関係式は 人および台車の初速度 ゼロの条件を入れて導いた この結果と u の関係から が求まる 以下省略 59

60 台車に対する相対的な速さが u で 台車上での移動距離が なので 移動にかかる時間 は / u である よって 台車および人の移動距離はそれぞれ u u u u となる 台車は左方向 右向きを にとったので - 符号は左方向になる 人は右方向に移動する 例題 4 の類題 : 時間時依存する速度 u での移動 微積分の考えを多少必要とする 図のように質量 の台車が滑らかな水平面上にがあり 台車の左の側に質量 の人が乗っている 人は右向きに 台車に対して速度 u で右方向へ移動 u > は右方向への移動 する 台車の車は 抵抗無く 床の上をスムーズに動くとしよう その時 以下の問いに答えよ 人が台車の上を 台車に対して速度 u で右方向へ移動する時 水 平面に対する人 および台車の速さを求めよ ただし 人は台車の上 で静止し 台車も水平面に対して静止していたとする 人が台車に対して右方向に距離 だけ移動した 水平面で見れば 人 および台車はどちら方向にどれだけの距離移動した事になるか? u 解説と解答 水平面に対しての速度を人 台車それぞれ とする 右向きを正にとる 人が台車を左 方向に押し 作用 その反作用として台車が人を右方向に押す 台車に対して速度 u で右方向へ移 動するので 相対速度 u である 最初は人と台車が静止していたので 運動量保存から は 以下のようになる u u u u u 上の結果は 運動方程式から導くことが出来る 作用 反作用の力の大きさを 人に加わる力を すれば 運動方程式から { } を得る 最初 人と台車は静止しているので である よって 任意の時間で 台車と 人とを合わせた全体での運動量が保存 運動量の和は 時間によらず一定 され その和はゼロになる すなわち これと 相対速度 u より は 以下のように求まる u u u 台車上での人の移動距離が なので 移動にかかる時間を とすれば u である よって 台車および人の移動距離をそれぞれ 6 とすれば

61 u u となる 台車は左方向 人は右方向に移動する 人の移動速度 u が時間的に一定でなくても 得られる結果は例題 4 と同じである 例題 5 つの物体の衝突と落下床から高さ の水平で滑らかな台の端に 質量 の大きさの無視できる物体 を置き 質量 の物体 を滑らせて物体 に衝突させると は一体となって 距離 離れた床の上に落ちた が一体となった直後の速度はいくらか? の初速度 と衝突する前の速度 はいくらか? の時 の値を求めよ 解説と解答 と との衝突は 水平方向での衝突なので 一体化した直後は 水平方向の速度しか持ってい ない その速度の大きさを u としよう 物体の落下では 垂直方向の速度 ゼロなので 物体が床に落 ちるのに掛かる時間を とすれば 速度 u は 以下のように求まる u u と との衝突前後で 運動量は保存される 衝突前の の速度を とすれば u u となる 3 具体的に数値を代入しよう u u.4 4./s /s 3 6

62 例題 6 ボールの 壁および床との衝突 図に示すように 水平な床のある点 から 距離 l 離れた鉛直な壁に向かって ある速さで大きさの 無視できるボールを投げた その時のボールの水平 面に対する角度は < < π / であった ボール は壁のある点 に垂直に衝突し その後壁からはね 返って 床の上のある点 C に落ちた ボールは点 C ではねた後 再び床の上の点 D に落ちた ボールと壁および床とのはね返り係数を等しく < < とし 重力加速度を として 次の問 いに答えよ ただし ボールが壁や床に衝突する時 その壁や床の面に平行な速度成分は 衝突前後で 変化しないとする ボールを床から投げたときの速さを l を用いて表わせ 点 の床からの高さを l を用いて表わせ 3 点 と点 C との水平方向の距離を l を用いて表わせ 4 距離 CD を l を用いて表わせ 5 点 と点 D が一致するとき はね返り係数 の値を求めよ C D l 解説と解答ボールが壁に垂直に衝突するのなら 壁に対して平行な方向のボールの速度成分はゼロである ボールが壁に対して垂直に衝突したと言う事は 壁と水平な方向 この問題では 床に対して鉛直 方向 の速度成分がゼロということである ボールの初速度の大きさを とし ボールを投げて時間 でボールが壁に衝突したとしよう そうすると 時間 にボールが点 に到着し その時ボールの鉛 直方向の速度成分がゼロである よって 点 の床からの高さを として 以下の式が成り立つ l l また 水平方向では 質点の運動は等速運動である事から l l l l l l n である 点 の床からの高さは 以下のようになる l n l n 3 点 との衝突直後は ボールの鉛直方向の速度はゼロである また 衝突により ボールの水平方 向の速度は となる この後のボールの運動は 鉛直方向の速度 ゼロである事か ら 鉛直方向には自由落下の問題と同じになる ボールが点 と衝突後点 C に達するまでにかかる時 6

63 間を C とすれば 点 と点 C との水平方向の距離を l C として 以下の式が成り立つ l C C C l C C C l C l n l l n / l n l n l l C を求めるため ここでは正直な計算を行ったが 次のように考える事もできる 鉛直方向の重力 がかかる運動では ある点から鉛直方向にボールを投げ上げた時 ボールが最高点 速度 ゼロ に届 くまでの時間と 最高点から元に戻るまでの時間は等しい よって と考えてよい これは ボールが点 に衝突する時 鉛直方向の速度成分 ゼロ から導かれる結果である 水平方向の運動で考えれば C は ボールが点 から点 に移動する時間も 点 から点 C まで移動する時間も同じである事を示す 水平方向の速さは から点 に移動する時は で あり 点 から点 C へ移動する時は である よって l l はl の 倍 すなわち l l が求まる ら C C C l C か 4 ボールと床との衝突の前後で ボールの持つ速度の床と垂直方向の成分は その大きさが 倍にな る ボールの水平方向の速度成分は変わらない 点 C に衝突する直前のボールの鉛直方向の速度成分 C を求めると 鉛直上方向を にとり l n l n C C l n または C l n となる 鉛直方向へのボール投げ上げでは 同じ高さにおけるボールの鉛直方向の速度成分の大きさ は 同じになる それが右側の式の意味である これから 衝突後のボールの鉛直方向の速度 は l n となる ボールはこの後鉛直方向の速度 ゼロになるまで 上方向に向かって運動 移動 する その後再び落下し 水平方向の速度成分がゼロでないため 点 D に落下する 点 C で跳ねて点 D に落下するまでの時間を とする 鉛直方向 上向きの速度が l n 水 C D 平方向の速度が であるから 点 C と点 D との水平距離をl C D として 以下の式が成り立つ l CD l CD CD CD l CD C CD CD D CD CD CD l 5 点 と点 D が一致する時 次の式が成り立つ よって < < から はね返り係数. 5 である l l l /.5 > 注意 : この問題は小問 ~5 に分かれているが いきなり 点 と点 D が一致するとき はね返り 係数 の値を求めよ のような出題の場合 上のようにボールの運動を順番に考えていけばよい なお この問題では 微積分を積極的に用いる必然性はない C 63

64 例題 7 なめらかに動く台に乗る物体 図のように なめらかな 摩擦のない 水平面 お よび CD が 鉛直面 C を介してつながっており その P 面 C に接するように質量 の物体 Q が置かれている 水平面 および CD はなめらか 摩擦のない である いま 大きさの無視できる質量 の物体 P が図の左 Q から速さ で近づき 点 で物体 Q に移り 最後に物 体 P と Q は一体となって運動する 物体 P と Q との間 の動摩擦係数を の問題に答えよ とし 重力加速度を とする 以下 C D 物体 P と物体 Q が一体化した瞬間の速度 および一体化するまでの時間を求めよ 一体化するまでに 物体 P および物体 Q が点 から移動した水平距離を求めよ 解説と解答 物体 P および Q の つの物体の間に生じる つの動摩擦力は 作用 反作用の関係になっている よって 大きさが等しく互いに反対向きである この つの摩擦力は つの物体から見ると内力であ るので つの物体の運動量は保存される そこで つの物体が一体となった後の速度を とすると となる 物体 P には 物体 Q との間に動摩擦力が働き その大きさは f で運動方向と逆向きであ る 物体 P に働く力は : 物体 P に働く 垂直抗力 f : 物体 P と物体 Q との間の動摩擦力 : 物体 P に働く重力である 運動方程式を立てると f P f つの物体が一体化するまでの時間を とすると 次のようにして求まる の結果を用いると 物体 Q と一体化するまでに物体 P が移動した距離 P は 次のように求まる P 物体 Q の移動距離 を求めるため 物体 Q の加速度を まず求める Q よって物体 Q の距離 は 以下のとおり : Q 64

65 Q 補足 : では きちんと運動方程式を書くと 作用 反作用と同等の関係 の意味が理解しやすい つの物体および水平面 CD に働く力を全て書くと 右図のようになる 記号の意味は 以下のとお り この問題での力のベクトル表示は以前行った : 物体 P に働く 重力 : 物体 Q に働く 重力 : 物体 P が物体 Q を押す力 : 物体 Q が水平面 CD を押す力 : 物体 P に働く 垂直抗力 : 物体 Q に働く 垂直抗力 f : 物体 P と物体 Q との間の動摩擦力 物体 P Q の水平方向の加速度をそれぞれ とすると 物体 P および Q の運動方程式は 次のようになる 動摩擦力の大きさ f は f で与えられる f f f f つの物体に加わる力のベクトルとしての足し算 ゼロになることが重要である この時 物体 P およ び物体 Q の水平方向の座標をそれぞれ X とすれば 運動方程式の和は次のように式変形される X X X 一定 すなわち 運動量保存の式が導かれた P P Q f Q f f f 例題 8 3 つの物体の間で 作用 反作用の力を及ぼす 質量がそれぞれ の物体 C があり 一直 C 線上で 図のように互いに力を及ぼしあっている 3 つの物体と水平面との摩擦はない その時 運動量は保存されるか? C - - C C 解説 説明図のように 作用 反作用の力をきめる すると それぞれの物体の運動方程式は次のようになる : : C C : C C 3 つの式を積分し 運動量 力積を出す その際 作用 反作用の力のみが働いている事に着目する : : C C : C において 3 つの運動方程式全部を足せば 見通しよく運動量保存の式を導く事ができる 65 C C C

66 66 } { C C C C C C 積分すると C C C C C C よって 運動量保存の式 : C C C C を得る 作用 反作用の力のみが物体 の集合体 に加わっている時は 物体の数に関係なく 運動量保存が成り立っている 逆に言えば 作用 反作用の力だけが働いている事が 運動量を保存するために重要である なお 次の式 : C C は 時間によらず運動量は一定である事を示している つまり互いに力を及ぼしあっているまさにその最中でも 運動量が保存される 運動量保存は 物体どうしが互いに力を及ぼしあう 作用 反作用の力を互いに与える 最初と最後の時刻だけでなく その途中の時刻でも成り立つ

67 力学的エネルギー 質量 の物体の 初速度ゼロでの自由落下を考える 水平面から の高さから 物体を 初速度ゼロで離す その時の運動方程式は 上向きを正 にとれば となる この運動は等加速度運動なので 物体を離して時刻 だけたった時の速度を とすれば 時間 で 水平面に到達するとすれば となる よって 水平面に到達した時の物体の速度は この結果を次のように変形しよう ここで 物体に加わる力の大きさ 重力による力の大きさ は であり 物体の力の向きに沿った移動距離は である事に注意しよう ここで出た つの量 はそれぞれ物体 の 運動エネルギー 位置エネルギーと呼ばれる これらエネルギーは まとめて力学的エネルギーと呼ばれる なぜ上のような量が出るのか 次の計算で理解しよう 確認事項 : ある時刻 における速度 加速度の定義は li li である 運動方程式の積分を考えると 力学的エネルギーなどの式が出てくる i 力学的エネルギー保存の 高校の範囲での 天下り的な導出 直線上での運動 かつ等加速度運動を仮定する 時刻 での速度 を とする / / / すなわち を得る これは 物理量 / 物体の運動エネルギーという が 外から加えられた力 移動方 67

68 向と同じ力の向きなら > とし 逆方向なら < である に移動量 を掛けた値 : この量 を 物理では仕事という だけ増加し / になる事を示す もし が負の値をとる 例えば 動 摩擦力 なら 物体の運動エネルギーが減少する事を示す この式 概念は 持つ物体が 外部から仕事をされた時に持つ速度を求める際などに 使う 物理における仕事の定義 : 物体の移動距離と移動方向の力の大きさ 同じ向きなら 逆向きなら - とする をかけたもので与えられる よって 移動方向と力の方向が直交 9 度の角度をなす してい れば 仕事はゼロである 例 自由落下 の高さで 速度 で自由落下する質量 の物体の 重力下での運動を考えよう 高さ での時の速度を とすれば 重力による力 の向きと物体の移動方向は同 じで移動距離 なので これから 一定 を得る よって 物体の高さが低くなればなるほど 物体の速度は大きくなる を 物体の 持つ位置エネルギーという この運動では 運動エネルギーと位置エネルギーを合せた 力学的エネル ギーが保存する 一定の値をとる この関係を用いる事で 運動方程式を解かなくても 物体の速度 を求める事ができる 物体の速度 重力に関連した高さ ばねの伸びに関連したそれぞれの量は 力学 的エネルギーとして保存される 一定の値を取る なお ばねの伸びに関連した力学的エネルギー ば ねの持つ弾性エネルギー については 後ほど説明する なお ここでは簡単のため 次元の運動を考えたが 3 次元の運動でも この関係は成り立つ 重 力による力と垂直な向き 地面と平行方向 の運動では 力は加わらない 空気抵抗を無視する ので 地面と平行な方向の 重力による仕事はゼロである 位置エネルギーは上下方向の位置関係に注目する のでよい つまり 速度を というように成分に分けて書いて 水平方向の運動が加わっ ても z 一定 z z または 一定 となる ここで 初速度 である z 質量 の物体 例 水平面での摩擦のある運動右図のように 質量 の物体が右方向にある速度で移動し 物体に動摩擦力 f が加わる場合を考える 動摩擦力の大きさは f であるが 常に移動する f 68

69 69 方向と逆方向に働く そこで移動方向を にとると 距離 だけ移動した時 動摩擦力が物体にする仕事は f となる 物体の初速度を とし 物体の位置が から ただし > に変わった時の物体の速度 を求める 時間 かかって距離 > だけ移動するとすれば 右方向を にとり 運動方程式 : から 加速度は となる よって / が成り立つ これから 位置 に移動する時間 を求めると / ± ± ± となる 速度を求めると となる ところが は常に力が左方向に働くとした場合の速度 物体の運動は減速運動であり 最終的には速度はゼロになるべきだが は左方向の速度成分を持つ であり この場合は不適当 よって が求める速度 右辺の符号 は 右向きの速度成分を意味する である この問題を 仕事とエネルギーの関係から求めよう 動摩擦力によってなされる仕事は 動摩擦力の向きが運動方向と逆向きなので 仕事は である - 符号は 物体の運動と逆方向に摩擦力が働くために付いた この仕事の分だけ 運動エネルギーに変化 減少 が起こる これから速度が求まる } { ここで速度 は不適当なので 捨てた - 符号は 摩擦による力が 物体の運動方向に関係なく常に左向きという仮定 こんな事はありえない 物体が左方向に移動している状態では 摩擦力は右向きに働く で得られた値である 重力の場合は 質量 の物体に対して常に上から下方向へ 力 が働く これと同様に 摩擦力が常に右から左へ の大きさが働くと仮定 この仮定は正しくない した場合の値である しかし 摩擦の無い斜面での物体の運動では このような事は起こる 重力による紙面に沿った力の大きさ が 常に斜面を下がる向きに物体に加わる

70 さて 例 の摩擦力の問題において { } となり 位置エネルギーに相当するものとして を考 えれば 一見して例 の重力下での物体の運動と同様に見え る すなわち 動摩擦力の場合でも 力学的エネルギー保存 の関係式に類似の関係式が成り立ち 物体の速度が求まるよ うに見える それをさらに一般化すると 次の関係式 位置 のみに関する関数として摩擦力による仕事を扱ってもよ い? が成り立つように思われる ここで は物体のある基準面からの高さであり は物体と水平面 斜面などが接する場所の 位置座標である 動摩擦力が働くような場合でも 力学的エネルギー保存の法則 のようなもの が成 り立つのか 以下の計算で確認しよう ここでは 斜面上の質点の運動を例に取り 斜面と質点との摩 擦がない場合とある場合で考える 混乱を避けるため 結果を先に述べると 質点に働く力が質点の在る場所 位置 のみで決まる場合 力学的エネルギーは保存される 一方 質点に働く力が質点の位置だけでは決まらない場合 力学的エ ネルギーは保存されない 本当にそうなっているか 確認しよう 斜面上での物体の運動 ある角度 の 動かない 斜面での質量 の物体の運動を考えよう つの斜面があり その違いは 摩擦の有無である 斜面に沿って上向きに 初速度 で斜面の一番下から物体が運動するとしよう まず 摩擦がない斜面での運動を考える 斜面に沿って物体に働く力は重力による である 運動方程式は 上向きを にとると となる 斜面の一番下から計って 時間 かかって斜面の最下点から距離 移動するときの物体の速度 を求める まず 斜面の最下点から距離 離れた場所に移動する時間を求める よって速度 は ± ± ± 7