反強磁性三角格子上 XY モデルの 二種類の相転移と そのユニバーサリティ - クラス 理学研究科 宇宙地球科学専攻 大阪大学 小渕智之 1

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1 反強磁性三角格子上 XY モデルの 二種類の相転移と そのユニバーサリティ - クラス 理学研究科 宇宙地球科学専攻 大阪大学 小渕智之

2 目標 次元 XY スピン系に起こる KT 転移を通して 繰りこみ群を解説すること 情報の問題における繰りこみ群適用の可能性についても考えたい もうちょっと身近なモチベーション 身近な人たちのセリフ KT 転移なんて幻想です 実際には無いんです 平均場と繰りこみって何が違うんですか? これらに ( ある程度 ) 答えることが目標 もちろん自分の研究成果も話します

3 モデル ハミルトニアン 反強磁性三角格子の XY モデル H XY 対称性 J S S = os( θ θ ), ( J = ) = j, j, j グローバル回転 (SO() 対称性 ) 鏡映反転にたいする Z 対称性 鏡 j 3

4 フラストレーションとカイラリティ フラストレーション イジングとベクトルスピンの違い 4 イジング : フラストレーションをもろにうける 大量の縮退 相転移無しベクトルスピン : 適当に開いてフラストレーションを逃がせる 相転移有り : 秩序変数 =カイラリティ m ( p) = z S S 3 3, j p j

5 カイラル転移とスピン転移 系の対称性 鏡映反転 :Z 対称性 グローバル回転 :SO() 対称性 Mrmn-Wagnr の定理 次元では SO() 対称性は破れない = スピンが固まる転移 ( 強磁性など ) はない 次元強磁性 XY モデル Kostrltz-Thoulss(KT) 転移という特殊な転移 XY モデルの周期性が生むトポロジカル欠陥による転移 次元反強磁性 XY モデル : 回の転移が起き得る 5 カイラル転移 =Z 対称性の破れ スピン転移 =KT 的な転移

6 結果 手法 : モンテカルロシミュレーション ( 普通のメトロポリス ) ヒストグラム法 + オーバーリラクゼーション 相図 Phas dagram: 0 Spn ordr T s Chral ordr T Para phas T ユニバーサリティークラス カイラル転移 =イジング ( 鏡映反転のZ 対称性の破れ ) スピン転移 =KT 的だが臨界指数のずれ (Non-unvrsal KT) 先行研究 6 カイラル転移 =イジング 3-stats ポッツ スピン転移 = 準長距離秩序 :KT 転移 Non-unvrsal KT 次転移 二つが同時に起きる派 : 次転移 IsngかつKT 転移

7 平均場じゃだめ? 答え : 次元だと全然だめ 平均場 スピンが凍結する単純な相転移 定性的に既にだめ Mrmn-Wagnr の定理 近似を上げても ( ベーテとか ) だめ 臨界指数とか絶望的 平均場 = 期待値近傍の揺らぎを無視 間違いの原因 次元のように低い次元では 揺らぎを適切に取り込んだ解析が必要 繰りこみ群 KT 転移を準厳密に導出 7

8 イジング系の表面転移 ( ラフニング転移 ) 3 次元イジングモデル At T = T 境界条件 H 4.5 = 強磁性転移 周期境界条件 単一の強磁性ドメイン 反周期境界 逆向き固定境界 ドメインウォールの励起 ドメインウォール自体の相転移 表面の粗さの転移 ラフニング転移 転移温度 T 0. 5 r T 転移温度以下 平坦なドメインウォール, j S S j 8

9 SOS 模型 ラフニング転移の記述 Sold on Sold (SOS) モデル 分配関数 h h h j Y Z = B j { h = }, j B ( h h, β ) ( ) j h h j = β ( h h ) j β h h j j, : Absolut valu SOS(ASOS) : Dsrt Gaussan(DGSOS) X 9

10 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XYモデルユニバーサリティ Vllanモデル Dualty+ ポアソン和公式 DGSOS ASOS ポアソン和公式 CSW モデル 繰りこみ群で解析 0

11 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XY モデル Vllan モデル DGSOS CSW モデル Z Z XY V = = d π dθ π Vllan と XY π の周期性 os θ ( θ ) θ j, j, j p j β os = ( θ θ ) β 力学変数 Θ の並進対称性 低温での振る舞い ( スピン波 ) ( θ θ πp ) j j j ( ) θ θ j Vllan と XY は同じ ( と信じられている )

12 SOS モデルと ( 強磁性 )XY モデルの関係 XY モデル Vllan モデル Chargd Spn Wav(CSW) モデル スピン波に電荷 ( 離散自由度 ) が加わっている 電荷がなければ可解 DGSOS CSW モデル Z CSW = { q = } 繰りこみ群で解析 ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ Z CSW, q = 0 Z SW q ϕ 可解

13 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれど サインゴルドンモデル ( 先に小さい の和を取る ) へ移行 波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可 繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~ を繰り返す 大きいスケールの現象が自然と表出 3 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β βj

14 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれど サインゴルドンモデル ( 先に小さい の和を取る ) へ移行 波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可 繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~ を繰り返す 大きいスケールの現象が自然と表出 4 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β ( βj ) '

15 CSW の繰りこみ群 Z いくつかの方法があるけれど サインゴルドンモデル ( 先に小さい の和を取る ) へ移行 波数空間繰りこみ群 ( 一番ありふれた繰り込み群 ) で計算可 繰りこみ群 ( の思想 ) とは?. 小さい ( 長さ ) スケールをトレースアウト. 残った自由度が成す系を別パラメータの同じ系と見なす 3. ~を繰り返す 大きいスケールの現象が自然と表出 5 CSW Z ( β ) sn = ( β ) { q = } = dϕ ( ϕ ϕ j ) + π β <, j> dϕ β q q ϕ ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> y = π β ( βj ) ''

16 サインゴルドンの繰りこみ群 手順. 連続化 ( 格子間隔 a 0),. フーリエ変換 ( 波数空間へ移行 ) 3. 波数の大きい部分 Λ dλ < k < Λ を積分 4. 積分の影響をパラメータに押し込める β, y β ', y 5. 3~4を繰り返して行った先を見る β, y β, ポイント 物理的意味 : 大きい波数成分の消去 小さい長さスケールの消去 4. が可能 : 有意な変数の個数が有限 & それを尽くしている 6 Z sn Z ( β ) sn = ( β ) = dϕ 0< k <Λ k β ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> dϕ k dx ϕ ( ) ( ' ) ( ) ( ) y = π β ( x) = dk ϕ( k) kx { ( ϕ ( x )) + yos( π βϕ ( x ))} ff y ff

17 KT 転移の描像 Z sn β ( ϕ ϕ j ) + y os( πϕ ) <, j> 繰りこみの流れ 結論 7 β ff Z V は /π から 0 に飛ぶ ( β ) = Z SW Para ( T > T ) ( β ) T ( β ) ( < T ) ff 低温では y 0 Spn Wav で OK ( 但し 温度は 離散性の効果でより高温のに繰りこまれる ) β ff x = πβ β ff ( β ) < β

18 スピン波の振る舞い 相関関数 ξ ( ) ( ) θ = T > T 0 θr η r ( T < T ) r η = πβ ff T T ( T T ) ξ KT 転移を特徴づける量 Hlty modulus Y: ひねりに対するFの変化率 β ff Vortty modulus V:q =±を導入した時のFの変化率 8 V ( T L) = v ( T ) v ( T ) ln L, 0 + 低温でずっと相関長発散 準長距離秩序 v( T ) 0 = > 0 ( T > T ) ( T < T )

19 Hlty Modulus ひねりの導入 Z SW ( β, ) ff = XY モデルにも定義可能 d θ β { ( θ θ+ x ) + ( θ θ y + ) } ff + Hlty Modulus d log Z ( β ) SW ff, βff Y = β d β H XY = 0 ( ) = { os( θ θ ) + os( θ θ + ) } + x + y Y = π T L 9

20 話を戻して 0 反強磁性三角格子上の XY モデルのモンテカルロシミュレーション 物理量 カイラル磁化 複素磁化 ビンダー比 相関長 (Ornstn-Zrnk form を仮定 ) Hlty modulus, Vortty modulus = all ) ( ) ( p p m N m r p q q s N m S q r q K + = ) ( ) ( = 4 (0) 3 (0) 3 m m g = 4 (0) (0) s s s m m g ) ( (0) ) 3 / sn( mn,,, = q s s s m m L π ξ

21 期待される振る舞い カイラル転移点 ( T ) 近傍 次転移 比熱の発散 ビンダー比 相関長のクロス ユニバーサリティー : イジング? χ ( T, L) 有限サイズスケーリング スピン転移点 (T s ) 近傍 準長距離秩序 ( 無限次相転移 ) ビンダー比 相関長 Hlty modulus のジャンプ のマージ ユニバーサリティー :Just KT か? 否か? 転移点で η < 4? v T L η / ν ( L) = T + al Isng valus η = ν = 0.5 Cho-Stroud, Mnnhagn, L-L, Kawamura

22 Pak of Spf Hat around T

23 Cross of Bndr paramtr around T 3

24 Cross of Corrlaton Lngth around T 4

25 Loaton of T May b du to Grown Spn- Corrlaton lngth at T Bhavor Chang around L~ ξ s 00 at T = 0.55 ν = 0.7(5) T = (30) ν = 5 T =0.555(0)

26 Crtal Proprty of Chral Transton Fttng of Chral susptblty χ ( T, L) a( T ) + b( T ) L η η 0.5 Isng unvrsalty 6

27 Bndr paramtr around T s 7

28 Corrlaton Lngth around T s 8 Extrmly hard to dntfy rossng ponts for larg L...

29 Rdud Vortty v ( T ) around T s Salng of Vortty modulus: V ( T, L) a( T ) + v( T ) log L 9

30 Estmat of T s 準長距離秩序 ξ s / x ( T ) T スケーリング形 ( log L) x Ozk/003, 0.508() Non unvrsal KT T s =0.5038(9)(x~.8(7)) Myashta/983, 0.50 S. L/998, 0.50() 普通の KT 解析,T s =0.505(5) (x=) 30

31 Crtal xponnt η 通りの決め方 帯磁率から決める χ ( T, L) L s η η ( ) ( att ) 0.0 = η ( ) ( att ) 0.5 = Bndr 比等から決めた転移点とかなりずれる 3

32 Crtal xponnt η 通りの決め方 Hlty modulus から決める Y = T πη η = 0. T=0.505(): Inonsstnt wth KT η = 0.5 T s =0.5037(5),x=0.8(3): Consstnt wth Non unvrsal KT

33 解析のまとめ Salng Bndr のクロス等からの Ts 帯磁率からの T s と η Hlty からの T s と η KT (log L) (5) x=(fx) Non-KT (log L) -x (9) x=.84(70) T s =0.5064() η=0.5(fx) T s =0.5038(fx) η=0.0() T s =0.505() η=0.5(fx) x=(fx) T s =0.5037(5) η=0.0(fx) x=.8(3) KT を仮定すると nonsstnt な転移温度を導く Non-Unvrsal KT 転移 33

34 まとめと比較 モンテカルロで反強磁性三角格子上の XY モデルを解析 Author/ Yar T Unvrsalty att Ts Unvrsalty at Ts Sz/ Mthod Myashta t al./983 S. L t al./998 Ozk t al./003 Our rsult / Isng 0.50 KT L=45/ MC 0.53() 3-stat Potts 0.50() Non-unvrsal KT L=0/ MC 0.5() Isng 0.508() KT L=000/ NER 0.555(0) Isng (9) Non-unvrsal KT L=5/ MC カイラル転移 Isngのユニバーサリティと考えて矛盾ない スピン転移 KTと考えると転移点がばらつく 34 KT lk だけど Non-unvrsal な転移

35 SOS モデルと厳密解 Body-Cntrd SOS modl (BCSOS) Z BCSOS = { h = }, j β h BCSOS= ある種のアイスモデル (F modl) (H. V. Bjrn 977) h j h h j = 次元アイスモデル = 多くが Solvabl KT の厳密解 T T ( ) π T ξ T T, = 8 ln / 35 (.g. BCSOS)

36 Colorng と KT 転移 Thr olorng= アイスモデル (A. Lnard, E. H. Lb 967) 3 Thr Colorng は KT 転移を起こす 他のColorngだったら? Colorngの問題一般に繰りこみ群は適用可? 情報の繰りこみ群 色々な人が妄想してるけど堅実な切り口を見たこと無い そういう人のとはちょっと目標が違うのかも まずは3 色でやって色数増やしていくのがいいかも だれかネタに困ったらやってみてください 36