電気 電子システムと複素数 東京工業大学大学院理工学研究科電子物理工学専攻 松澤昭 4/4/3
4/4/3 講演の狙い 電気電子工学や制御工学では 複素数 がやたら多く出てくる 複素数を使うと, 複雑なことが簡単になるのだが, 虚数 という一見存在しないような数を使うので, 最初はとまどってしまう そこで, なぜ電気電子工学では複素数を使うのか, どんな意味があるかについて説明したい 今後学習を進めるための参考にしてほしい この資料は,hp://www.ssc.p.ich.ac.p の cur にありますので, 興味のある方はダウンロードしてください
4/4/3 電気電子工学に現れる複素数 3 cos sin オイラーの公式 : 解析学 3 学期 工学上, 最も重要な公式 i は電流を表すので工学での虚数は i ではなく が用いられる ( 電圧 電流の複素表示 : 線形回路 3 学期 F( f ( d フーリエ変換 : フーリエ変換とラプラス変換 3 学期 時間領域関数の周波数領域関数への変換 s F( s f ( d ラプラス変換 : フーリエ変換とラプラス変換 3 学期 S は複素数 s 電気回路, 電力工学などの基本 通信, 信号処理などに用いられる 回路理論 4 学期 時間領域関数の複素周波数領域関数への変換 微分方程式の解法, 回路解析, 制御におけるシステム設計や安定解析などに用いられる
4/4/3 3 種類の電気素子 4 電気素子としてはこの 3 種類しかない この 3 種類の素子の性質を知ろう 容量 抵抗 R インダクタ
4/4/3 抵抗の性質 5 抵抗では電圧と電流は比例関係にあり, エネルギーを消費する 抵抗 R コンダクタンス :G R 電流 : 電圧 : 電圧は電流に比例する ( 比例係数は R R G 電流は電圧に比例する ( 比例係数は G P G R G R 消費電力は電圧の 乗もしくは電流の 乗に比例する W R Pd 消費エネルギーは消費電力の時間積分
4/4/3 容量の性質 6 容量では電圧と電流は時間微積分関係にあり, 電気エネルギーを蓄積する 電荷が本質的働きをする 容量 電流 : 電圧 : Q 電荷は電圧に比例する ( 比例係数は Q d 電圧は電流の時間積分に比例する ( 比例係数は / dq d d d 電流は電圧の時間微分に比例する ( 比例係数は Q W Q 電気エネルギーは電圧の 乗に比例し, これを蓄積する
4/4/3 インダクタの性質 7 インダクタでは電圧と電流は時間微積分関係にあり, 磁気エネルギーを蓄積する インダクタ 電流 : d d 電圧は電流の時間微分に比例する ( 比例係数は 電圧 : W d 電流は電圧の時間積分に比例する ( 比例係数は / 電気エネルギーは電流の 乗に比例し, これを蓄積する
4/4/3 抵抗, 容量, インダクタのまとめ 8 容量 抵抗 R インダクタ エネルギー W W R ( 保存 G R ( 消失 W ( 保存 d d 電圧 Q 各素子の電圧と電流の関係 d d d R R G d d d dq d 電流
4/4/3 容量と抵抗の時間応答 9 電荷が溜まっている容量を抵抗で終端した場合 +Q -Q S R スイッチを閉じた瞬間, 容量の電圧 oと抵抗の電圧 ( は等しいので, ( 抵抗の電圧 ( は電流 ( が流れることで生じるので, ( R S R ( ( 容量から電荷 ΔQ が抜けていく このことによる容量側の電圧変化と抵抗側の電圧変化 Δ は等しいので Q Q R R 全ての項を時間変化 Δ で割ると
容量と抵抗の時間応答の答え 4/4/3 R Q R S ( ( Q 電荷と電流は R Q これより R d d 指数関数を仮定して解いてみる ( d d ( 答えは R ( ( R これを時定数という微分方程式
4/4/3 指数関数の性質 指数関数は値が一定の比率で時間とともに増減する関数である リニア表示 対数表示.8. x.6 x.4.. 3 4 5 x 時間 3 3 4 5 x 時間
インダクタと抵抗の回路の時間応答 最初にスイッチ S が閉じられ,S は開いておりインダクタ には電流 が流れていた 次に S を開き = で S を閉じると, 電圧, 電流はどうなるか R S S インダクタの電圧電流関係は, 電流の向きを考慮して R インダクタに蓄積されている磁気エネルギー W は W このエネルギー W は急には変化できないので電流 は - になる したがって初期電圧は, R d d 抵抗側では R インダクタの電圧と抵抗の電圧は等しいので, R d d R 微分方程式 容量の場合と同様に指数関数になる R R 4/4/3
4/4/3 容量とインダクタの回路の時間応答 3 S d ( ( d 容量 : インダクタ : d ( ( d d 容量 に初期電荷があり, その電圧を とする S を閉じると 回路では A A ( A 容量側の方程式インダクタ側の方程式 電流は等しいので d ( d ( ( d 指数関数を想定して微分方程式を解いてみる 階の微分方程式にすると d ( ( d d ( d A, A 指数の肩に虚数が現れた したがって ( A
4 容量とインダクタの回路の時間応答 4/4/3 A ( = で なので ( d d ( ( から電流を求める d d ( ( ( 三角関数を用いて微分方程式を解いてみる A ' cos ( と置くと A d d A d d ' cos ' (, ' sin ' ( ( ( d d なので A A ', ' cos ' cos ' = で (= なので cos ( d d d d sin sin cos ( (
5 指数応答と正弦波応答の関係 4/4/3 ( ( cos ( sin ( 指数関数から求めた答え三角関数から求めた答え本来は同じ答えなので sin cos sin cos sin cos sin cos 有名なオイラーの公式一般化すると指数関数と三角関数を結びつける公式で複素数で表される指数関数に虚数を導入すると三角関数になる
オイラーの公式の複素平面での表現 6 虚軸 : 複素数の極形式 cos sin sin 実軸 角度 θ を位相角という 大きさが cos オイラーの公式は Z 平面 ( 複素平面 上の大きさ, で位相角 θ の点を表し単位円上にある 実軸成分が cosθ, 虚軸成分が sinθ である
4/4/3 回路の電圧と電流 7 共振回路における電圧と電流の関係は等速円運動上の水平軸への投影と垂直軸の投影と考えることができる cos sin 電流 cos 電圧と電流 電圧 sin x ( x (.5.5 4 6 8 時間 ( 位相 x 電流波形 電圧波形
4/4/3 電気エネルギーと磁気エネルギーの交換 8 共振回路では電気エネルギーを磁気エネルギーに, 磁気エネルギーを電気エネルギーに, 互いに交換している これが振動である 全エネルギーは一定 W o W W ( W c Wc 4 cos cos 初期電圧 cos 電気エネルギー 電流 : 容量 : インダクタ : 電圧 : W 磁気エネルギー ( sin W sin cos 4 W c cos cos 4 W 4
エネルギー交換から生じる電気振動 9 電気的振動は電気エネルギーと磁気エネルギーの交換から生じる 電気エネルギーと磁気エネルギー 磁気エネルギー 赤 : 電気エネルギー青 : 磁気エネルギー W c W 4 4 cos cos W W.8 W W W W sin sin sin W W cos c W 電気エネルギー W c cos cos.6.4. 4 6 周期 x
抵抗 容量 インダクタの回路 各素子の電圧 は同一で, 電流の和はゼロであるので ( A S 抵抗 : /G R 容量 : インダクタ : d d d d とすると G G R d d G したがって G 4 G d R d G d d d G d d 4 G 4 G 流れ出る電流の和はゼロ のときは d
抵抗 容量 インダクタの回路の時間応答 4/4/3 A ( G G 4 G G G 4 4 のときは回路の応答は λ が実根の場合は振動成分が生ぜず, λ が複素根のときに振動成分が発生する 4 G G G A A A A ( 複素根の場合は = で (= なので cos ( 減衰項振動項
時間応答の違い 微分方程式が実根の場合は減衰するだけで振動成分は発生しない 複素根の場合は振動成分が発生し, 減衰振動になる ( cos 減衰振動波形. 複素平面上の動き.8.4 青 : 実根の場合 赤 : 複素根の場合.8.6.4. 電圧 (@R ( f3( x -.4 4/4/3 -.8 5u u 5u u 5u 3u 時間 TME (s f( x
4/4/3 電気回路の応答の基本 3 G 4 電気回路の応答は, 微分方程式の根 ( ラプラス変換の極 の複素平面上の位置で決まる 共役複素根 s p 重根 x x p G p c G 減衰振動 安定 定常振動 ( 発振 不安定 共役複素根 s p p x
電気回路と複素数 4 電気素子 (R は電圧 電流の関係が比例 積分 微分 (PD の関係にあり, その応答は 次の微分方程式で表される 解は複素数の指数関数となる 電気エネルギーと磁気エネルギが交換されるときの解は虚数を含み, 正弦波の振動を発生させる 解の実数部分は電磁エネルギーの減衰を表す R 抵抗 : /G R 容量 : インダクタ : d d G d D: 微分項 P: 比例項 : 積分項 d d G ( A G 複素数は電気回路の基本 d d G ( G 4 A A
4/4/3 なぜ複素数で電気信号を表すのか? 5 実数だけを用いると, 振動現象の背後にある電気エネルギーと磁気エネルギーの交換を表せない 複素数を用いることにより, 総エネルギー量 ( 絶対値 と電気エネルギーと磁気エネルギーの比率 ( 位相 が表現でき, 振動の本質を表すことができる 電流 cos sin sin 電流 : 電圧 : cos 電圧 電圧と電流 容量 : 電気エネルギー インダクタ : 磁気エネルギー
4/4/3 超高速無線通信 6 複素数は電気電子工学, 特に通信や信号処理の基本である ここでは, 高周波信号に情報を載せる変調技術への応用を示す 関数の直交性から信号を複素数で捉え, 同一周波数で つの独立した ( 複素 情報をおくることができるため, 古典的な変調技術に比べ, 同一帯域で 倍の情報を送ることができる 研究室ではこの技術を用いて,8Gbps の世界最高速無線通信が可能な 6GHz 帯無線トランシーバー集積回路を開発した
3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 6GHz MOS トランシーバーの開発 7 研究室で開発した, 超高速無線伝送用集積回路 K. Okada and A. Masuzawa, al., SS
3.8. Tokyo Tch アンテナ内蔵パッケージと電波の放出 8
3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 性能測定系 9 BB chip RF chip wih 6dBi annna [3] BB chip BB board onrol (FPGA Powr supply BB PHY RF board /Q Tx mod RF board /Q Absorbr Rx mod RF board /Q RF board /Q BB board Powr supply BB PHY onrol (FPGA onrol signals onrol signals apop P apop P
4/4/3 超高速無線通信 3 世界最高速の 8Gbps 無線通信を実現 超高速無線通信ではダントツの世界一 Daa ra [Gb/s] 3 5 5 5 松澤 岡田研の成果 UB Univ. of Torono SiBam ME UB Broadcom NE EA-ET Panasonic Toshiba Toshiba 7 8 9 3 4 5
3//5 A. Masuzawa, Tokyo Tch. 研究室の高周波特性評価装置 3 GHz までの最新の高周波評価装置が揃っている
3/3/ トランシーバー開発メンバー 3 修士学生が中心の開発メンバー若い力が未来をつくる 年 月
4/4/3 変調技術 33 高周波信号 どのようにして無線信号に情報を載せるか? これらの古典的な変調方法は効率が悪い! y ( A( cos ( ( ( 振幅変調 : A( ( 周波数変調 : ω( (3 位相変調 :θ( 正弦波の 3 つのパラメータをデータに応じて変化させれば良い ( 振幅変調 ; AM (Ampliud modulaion ( 周波数変調 ; FM (Frquncy modulaion (3 位相変調 ; PM (Phas modulaion
直交という概念 34 関数の直交性 つの関数 f(x, g(x が区間 α から β において f ( x g( x dx となる関数は互いに直交している関数である 例えば cos x 複素数の直交性 と cos x sin xdx sinx sinx は区間 -π から +π において 複素数の実部と虚部は独立しており, 直交性を有する z z a b a b z であるので 直交している a a b z b 3 A. Masuzawa 34
直交変調 35 sin 波と cos 波は直交しているため 同一周波数でも つの独立した情報が送れる 変調 復調 D a D b cos c sin c 送信波 フィルタ後 元のデータが再現できる 3 A. Masuzawa 35
複素変調 ( 直交変調 36 QAM( Quadraur Ampliud Modulaion 位相と振幅の両方に情報を有し 狭帯域でも多くの情報を送れる 複素数としての取り扱いが可能である ( 虚数 b ( A( ( 極形式 ( 直交加算 y( A( ( y( a( cos b( sin ( ( ( ( ( ( ( a ( ( 実数 cos 波と sin 波を重みを付けて加えることで, 複素形式となる A ( a( b( ( ( ( ( ( an b a 3 A. Masuzawa 36
超高速無線通信機の構成 37 直交発振器とミキサを用いることで複素変復調が可能になる この技術で通信速度を上げた a( cos b( sin c A( cos c ( c a( cos 送信機 電力増幅器 受信機 c b( sin c 直交ミキサ ( 乗算器 cos c sin c cos c フィルタ 発振器 フィルタ フィルタ a( 直交発振器 b( a( 発振器 低雑音増幅器 sin c フィルタ b( 4/4/3
4/4/3 複素平面で考えよう 38 次元の価値観 勝ち組, 負け組 お金 複素平面の価値観人間性高い偏差値 偏差値 低い 高い 低い 高い 低い
4/4/3 複素の価値で考えると 39 情報 ( ソフトウエア エンターテインメント 電気電子 ( ハードウエア エネルギー